... Difference equation dapat diselesaikan menggunakan proses iterasi. Didefinisikan fungsi

Transkripsi

1 LECTURE 1: EXAMPLE OF DYNAMICAL SYSTEM A. An Example from Finance Misalkan kita mendeposito uang $1000 di sebuah bank dengan bunga 10% setiap tahun. Diasumsikan bunga 10% ditambahkan pada setiap akhir tahun. Jika kita membiarkan uang tersebut selama n tahun, berapa banyak uang yang kita punya pada akhir periode tersebut? Kasus di atas merupakan contoh sederhana dari iterative process atau dynamical system. Didefinisikan A : jumlah uang di bank pada akhir tahun ke-n. Untuk menentukan A melalui iterasi, diperlukan beberapa nilai awal. Diketahui nilai awal deposito A = $1000. Sehingga diperoleh A = A A = 1.1 A A = A A = 1.1 A... A = A A = 1.1 A Jadi, nilai A dapat ditentukan secara rekursif melalui nilai deposito pada tahun sebelumnya. Persamaan A = 1.1 A merupakan salah satu contoh (first-order) difference equation. Pada kasus ini, informasi sekarang ditentukan dengan menggunakan informasi periode (tahun) sebelumnya. Selanjutnya, informasi sekarang digunakan untuk menentukan informasi periode (tahun) berikutnya, dan seterusnya. Difference equation dapat diselesaikan menggunakan proses iterasi. Didefinisikan fungsi F(x) = 1.1x, sehingga diperoleh A = F(A ) A = F(A ) = F(F(A )) = FoF(A ) A = F(A ) = F(F(F(A ))) = FoFoF(A ). Dengan demikian diperoleh fungsi komposisi F terhadap dirinya sendiri secara berulang untuk mencapai periode tertentu. Karena F(x) = 1.1x, maka FF(x) = (1.1) x F FF(x) = (1.1) x dan secara umum, pada iterasi ke-n dari fungsi tersebut diperoleh

2 Fo of(x) = (1.1) x Jadi, untuk menentukan A digunakan rumus A = (1.1) A B. An Example from Ecology Misalkan kita ingin memprediksi perilaku populasi suatu spesies tertentu, apakah mengalami pertumbuhan atau penurunan dari generasi sebelumnya. Didefinisikan P : jumlah populasi pada generasi ke-n. Pertanyaan yang sering muncul adalah: 1. Apakah kita dapat memprediksi apa yang terjadi pada P jika n semakin besar? 2. Apakah P mendekati 0 sehingga spesies tersebut akan punah? Atau P mengalami pertumbuhan tak terbatas sehingga terjadi peledakan populasi? Sudah banyak model matematika yang digunakan untuk memprediksi perilaku populasi. Model yang paling sederhana dikenal dengan model pertumbuhan eksponensial (exponential growth model). Pada model ini diasumsikan populasi pada pergantian generasi (generasi berikutnya) proporsional secara langsung terhadap populasi pada generai sekarang. Secara matematis dirumuskan sebagai difference equation P = rp dengan r konstan dan bergantung pada kondisi ekologi. Diberikan nilai populasi awal P, sehingga kita dapat melihat pergantian generasi secara rekursif sebagai berikut. P = rp P = rp = r P P = rp = r P... P = rp = r P Perilaku populasi dapat ditentukan secara iterasi. Pada kasus ini, fungsi yang akan diiterasikan didefinisikan sebagai F(x) = rx, sehingga diperoleh Fo of(x) = r x Jadi, untuk menentukan P digunakan rumus P = r P

3 Sebagai catatan bahwa perilaku populasi untuk jangka panjang bergantung pada nilai r 1. Jika r > 1, maka r untuk n. Akibatnya P, yaitu terjadi pertumbuhan populasi yang tak terkendali. 2. Jika r < 1, maka r 0 untuk n. Akibatnya P 0, yaitu populasi akan mengalami kepunahan. 3. Jika r = 1, maka P = P, yaitu tidak terjadi perubahan berarti pada populasi. Berdasarkan sejumlah perilaku di atas, dapat kita simpulkan bahwa sebenarnya model tersebut (model pertumbuhan eksponensial) kurang realistis terhadap kehidupan populasi di dunia nyata. Sebagai contoh, populasi dapat tidak pernah menuju tak hingga. Dalam perkembangan model selanjutnya, dibentuk model logistik (logistic model of population growth). Pada model ini diasumsikan terdapat beberapa nilai maksimum absolut populasi, yang bergantung pada kondisi lingkungan, seperti: persediaan makanan, luas wilayah, dsb. Diasumsikan P : proporsi populasi terhadap nilai maksimal populasi pada generasi ke-n, sedemikian sehingga 0 P 1. Model logistik dirumuskan sebagai P = αp (1 P ), dengan α konstant dan bergantung pada kondisi ekologi. Untuk selanjutnya, selalu diasumsikan 0 < α 4. Sebagai catatan bahwa tanpa (1 P ), maka model pertumbuhan logistik akan kembali menjadi model pertumbuhan eksponensial. 1. Jika P = 0 (tidak ada individu), maka P = Jika P = 1 (tidak ada individu), maka P = 0. Jadi, untuk memprediksi perilaku populasi pada model pertumbuhan logistik, kita dapat melakukan iterasi terhadap logistic function F (x) = αx(1 x) C. Finding Roots and Solving Equations 1. Menentukan Nilai Akar Nilai dari n, n > 0 dapat ditentukan dengan menggunakan proses iterasi sederhana. Misalnya diambil nilai awal x positif dan x n. Berikut diberikan prosedur iterasi tersebut. Jika x n, maka x < n atau x > n. Dari kedua kasus tersebut diperoleh

4 Kasus 1 Kasus II x < n x > n nx < n nx > n n < n >. Sehingga x < n < atau < n < x. Dengan kata lain, n berada di antara x dan. Oleh karena itu, dengan mengambil nilai rata-rata x dan akan memperkecil interval (range) dimana n berada, yaitu x = x + yang merupakan titik tengah antara x dan. Nilai tersebut merupakan nilai pedekatan yang cukup baik terhadap n. Dengan cara yang sama diperoleh x = x + x = x +... Dengan demikian, barisan x, x, x, x, diharapkan akan konvergen menuju n. Contoh 1. Jika diambil nilai awal x = 1 terhadap 5 diperoleh x = (1 + 5) = 3 x = 3 + = = x = + = = x = x = x = Dapat dilihat bahwa barisan tersebut konvergen menuju ke nilai sebenarnya dari 5 = Contoh 2. Jika diambil nilai awal x = 2 terhadap 9 diperoleh x = 2 + = 3.25 x = x = x = x = = Jadi, barisan tersebut konvergen menuju ke 9 = 3.

5 2. Menentukan Solusi suatu Persamaan Solusi suatu persamaan F(x) = 0 dapat ditentukan menggunakan proses iterasi. Sebagai contoh, karena x 5 = 0 x = 5, maka persamaan x 5 = 0 dapat diselesaikan dengan menentukan nilai akar dari 5, yaitu menggunakan proses iterasi yang sudah kita pelajari sebelumnya. Tetapi, tidak semua persamaan dapat diselesaikan dengan cara seperti di atas. Sangat sulit untuk menyelesaikan persamaan dari fungsi polinomial untuk derajat lebih dari 2, dan secara umum tidak mungkin untuk derajat 5 atau lebih. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan suatu persamaan dari fungsi polinomial (nonlinear) secara umum adalah metode Newton, yang sudah dipelajari dalam Kalkulus dan Metode Numerik. Jika diberikan suatu fungsi F, maka akar fungsi tersebut dapat didekati menggunakan iterasi metode Newton untuk suatu nilai awal x, yaitu x = x ( ) ( ). Dari difference equation di atas, kemudian didefinisikan Newton iteration function N(x) = x () (). Untuk nilai awal x, diperoleh proses iterasi fungsi N sebagai berikut. x = N(x ) x = N(x ) = N(N(x )) x = N(x ) = N NN(x )... Dapat ditunjukkan bahwa barisan x, x, x, x,...konvergen menuju ke suatu akar dari F Contoh. Diberikan fungsi F(x) = x 5 (yang mempunyai akar ± 5). Sehingga diperoleh Newton iteration function N(x) = x () () N(x) = x = x +, seperti yang sudah kita diskusikan sebelumnya.

6 D. Changing from Continuous to Discrete Persamaan diferensial (differential equation) merupakan salah satu contoh sistem dinamik kontinu, dimana waktu (time) merupakan variabel kontinu. Berbeda dengan proses iterasi dimana waktu diukut dalam interval diskret, seperti tahun dan generasi. Terdapat sejumlah cara dalam melibatkan proses iterasi ke dalam persamaan diferensial. Misal solusi persamaan diferensial A(t) = A e merupakan fungsi kontinu dari waktu [t = time in years]. Jika kita memandang solusi tersebut pada waktu interval diskret, misalnya A(t) = A e dengan n = 1, 2, 3,... [n = # of years], maka proses iterasi dapat diterapkan pada solusi tersebut. Jadi, kita dapat mengubah dari kontinu menjadi diskret dengan fungsi iterasi I(x) = e x Seringkali, persamaan diferensial tidak dapat diselesaikan secara eksplisit. Namun, dengan menggunakan bantuan komputer kita dapat menentukan solusi numerik. Metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut biasanya menggunakan proses iterasi, seperti metode Runge-Kutta.