Statistika, Vol. 7 No. 1, 1 6 Mei 007 Metode Bootstrap Persetil Pada Sesor Tipe II Berdistribusi Ekspoesial Jurusa Statistika FMIPA Uiversitas Islam Idoesia Yogyakarta Abstrak Metode bootstrap adalah suatu metode berbasis komputer yag sagat berpotesi pada masalah ketakstabila da keakurasia, khususya dalam meetuka selag kepercayaa. Selag yag serig dicari pada sesor tipe II berdistribusi ekspoesial adalah selag bagi parameter, fugsi taha hidup da kuatil taha hidup. Rumus yag diguaka memerluka distribusi da F. Dega metode bootstrap persetil aka lebih baik, keraa selag yag dihasilka lebih pedek da tidak memerluka batua distribusi. 1. Latar Belakag Aalisis uji hidup (survival aalysis) adalah suatu peyelidika tetag tahap hidup dari suatu uit atau kompoe hasil idustri. Salah satu uit atau kompoe di dalam idustri adalah mesi. Pihak maajeme sebuah idustri biasaya igi melakuka suatu peyelidika utuk megetahui seberapa besar peluag mesi dapat bertaha hidup sampai masa tertetu. Dalam ilmu statistik, khususya bidag aalisis uji hidup, peluag suatu idividu (mesi) aka bertaha hidup sampai waktu tertetu disebut dega fugsi survivor (Cox ad Oakes, 1984). Peyesora adalah sesuatu hal yag petig di dalam aalisis uji hidup. Beberapa tipe peyesora yag biasaya serig dipakai atara lai sesor legkap, sesor tipe I da tipe II. Dalam sesor legkap atau uji sampel legkap ii eksperime aka dihetika apabila semua kompoe yag diuji telah megalami kematia semua atau gagal. Utuk sesor tipe I, eksperime aka dihetika apabila telah mecapai waktu peyesora tertetu. Sedagka suatu sampel dikataka tersesor tipe II apabila eksperime aka dihetika setelah kerusaka atau kegagala ke-r telah diperoleh (Lawless, 003). Salah satu distribusi yag petig di dalam aalisis uji hidup adalah distribusi ekspoesial dega satu da dua parameter. Lawless (198), Bai da Egelhardt (199) serta Bury (1999) telah meguraika suatu metode utuk mecari selag kepercayaa fugsi madiria bagi satu da dua parameter distribusi ekspoesial pada data tertapis tipe II. Perhituga selag tersebut memerluka batua distribusi khi kuasa dua. Metode bootstrap adalah suatu metode berkomputera yag sagat berpotesi utuk diperguaka pada masalah ketakstabila da kejitua, khususya dalam meetuka selag kepercayaa. Tujua dari pegguaa metode bootstrap adalah utuk medapatka pedugaa yag sebaik-baikya yag berasal dari data yag miimal (Efro da Tibshirai, 1993). Fauzy da Ibrahim (00a da 00b) telah mecari aggara selag bagi satu da dua parameter distribusi ekspoesial di bawah sesorlegkap dega metode bootstrap persetil. Dalam kajia kali ii perlu dicoba utuk meghitug aggara selag bagi satu da dua perameter distribusi ekspoesial di bawah sesortipe II dega metode bootstrap persetil. Objektif Tujua dari peyelidika ii adalah utuk meujukka bahawa selag kepercayaa bagi satu da dua parameter distribusi ekspoesial di bawah sesortipe II yag dihasilka oleh metode bootstrap persetil aka lebih baik apabila dibadigka dega megguaka metode yag serig diguaka dalam aalisis madiria (metode tradisioal). 1
Metode Data yag diguaka pada peyelidika ii adalah data yag diambil dari buku Statistical Models ad Methods for Lifetime Data, karaga Lawless tahu 198 halama 103 utuk satu parameter da halama 130 utuk dua parameter. Lagkah yag pertama adalah meghitug selag bagi satu da dua parameter distribusi ekspoesial di bawah sesortipe II dega metode tradisioal. Lagkah selajutya adalah mecari ilai ulaga bootstrap sehigga mecapai titik peumpua. Setelah diketahui titik peumpuaya, maka selag dega metode bootstrap persetil dapat dicari. Kemudia hasil selag atara metode tradisioal dega metode bootstrap persetil dibadigka.. Ladasa Teori Utuk memperoleh iformasi megeai masa hayat suatu produk idustri, maka biasaya idustri tersebut melakuka aalisis madiria. Aalisis madiria biasaya dilakuka oleh divisi riset da pegembaga dari idustri tersebut. Pegujia tersebut dapat berupa pegoperasia dalam laboratorium (uji kaji), diobservasi sampai barag -barag tersebut gagal atau tidak berfugsi lagi. Dalam hal ii biasaya aalisis madiria aka meujukka arti sebagai masa kegagala ( failure times). Yag membezaka aalisis madiria dega bidag-bidag statistik laiya adalah adaya peapisa. Beberapa tipe sesoratara lai sesorlegkap, sesortipe I da tipe II. Suatu sampel dikataka tertapis tipe II apabila peyelidika aka dihetika setelah kerusaka atau kegagala ke-r telah diperoleh (Lawless, 198). Betuk dari samper tertapis tipe II ialah di maa t : t :... t -s: 1 (1) t i : adalah statistik tertib ke-i dari sampel berukura. Distribusi Ekspoesial Satu Parameter Fugsi ketumpata bagi distribusi eskpoe diberi oleh (Bury, 1999): 1 t f t; eksp ; t 0, 0 () di maa ialah masa hayat jagkaa. Aggara kebolehjadia maksimum daripada iaitu (Lawless, 198 da Bury, 1999) ˆ t i : s t -s T (3) s - s s i 1 : di maa T ialah total dari masa hayat. Bai da Egelhardt (199) telah meguraika suatu rumus utuk mecari selag kepercayaa (1-) bagi iaitu T T -s ;1 / -s ; / Distribusi Ekspoesial Dua Parameter (4) Fugsi ketumpata bagi distribusi eskpoe diberi oleh (Lawless, 198): 1 t f t ;, eksp ; t, 0 (5) di maa ialah hayat mi reja da masa jamia. Aggara kebolehjadia maksimum daripada da iaitu (Lawless, 198 da Bury, 1999) ˆ t1: da ˆ t i : s t s : t1 (6) s s i 1 : Statistika, Vol. 7, No. 1, Mei 007
Metode Bootstrap Persetil Pada Sesor Tipe II Berdistribusi Ekspoesial 3 Bai da Egelhardt (199), Lawless (198) da Bury (1999) telah meguraika suatu rumus utuk mecari selag kepercayaa (1-) bagi da iaitu t 1: - sˆ F,-s - - s 1 - s ˆ ;1-/ -s -;1- / Metode Bootstrap Persetil - s ˆ -s -; / t 1: - sˆ F,-s - - s - 1 ; / Metode bootstrap adalah suatu metode berkomputera yag sagat berpotesi utuk diperguaka pada masalah ketakstabila da kejitua, khususya dalam meetuka selag kepercayaa. Istilah bootstrap berasal dari pull oeself up by oe s bootstrap (Efro da Tibshirai, 1993) yag bermaksud berpijak di atas kaki sediri, berusaha dega sumber daya miimal. Dalam sudut padag statistik, sumber daya yag miimal adalah data yag sedikit, data yag meyimpag dari aggapa tertetu, atau data yag tidak mempuyai aggapa apapu tetag distribusi populasiya. Tujua dari pegguaa metode bootstrap adalah utuk medapatka aggara yag sebaik-baikya yag berasal dari data yag miimal. Dega demikia pegguaa komputer dalam metode bootstrap sagat diperluka Secara umum tatacara bootstrap persetil utuk pegaggara selag bagi satu da dua parameter distribusi ekspoesial di bawah sesortipe II iaitu 1. Berika kebaragkalia yag sama 1/(-s) pada setiap data tertapis tipe II,. Megambil suatu sampel berulag secara rawak berukura (-s) dega peggatia, 3. Ulagi lagkah sebayak B kali utuk medapatka idepedet Bootstrap replicatios ˆ * * 1,ˆ,. * B..,ˆ da mecari pada ulaga keberapa tercapai titik. peumpua. Lagkah selajutya adalah mecari da : Satu parameter ˆ s b b b i 1 : Dua parameter b t b 1: t s t i: s (9) s da ˆ s b b b b i 1 : * i t i: s t s: t 1 (10) s 4. Selag kepercayaa Bootstrap persetil pada tigkat kepercayaa 1 - bagi da i i didefiisika dega persetil ke-100(/) da ke-100(1-/) pada * da *, ˆ / * b 1 / * b, da / * b 1 / ˆ, ˆ (11) * b ˆ 3. Hasil da Pembahasa Data yag diguaka pada peyelidika ii adalah data yag diambil dari buku Statistical Models ad Methods for Lifetime Data, karaga Lawless tahu 198 halama 103 utuk satu parameter 31, 58, 157, 185, 300, 470, 497, 673, halama 130 utuk dua parameter 16, 00, 71, 30, 393, 508, 539, 69, 706, 777, 884, 1008, 1101, 118, 1463, 1603, 1984, 355, 880 * i (7) (8) Statistika, Vol. 7, No. 1, Mei 007
4 Satu parameter Dega megguaka (3) da (9) maka estimasi titik bagi = 63.875 da = 598.9774. Batas bawah, batas atas da lebar selag pada tigkat kepercayaa 99 % da 95 % bagi dapat dilihat pada tabel 1. Tabel 1. AK Batas bawah (BB), batas atas (BA) da lebar selag (LS) bagi pada tigkat kepercayaa (AK) 99 % da 95 % metode tradisioal metode bootstrap BB BA LS BB BA LS 99 % 95.501 1969.194 1673.693 74.15 839.375 565.50 95 % 351.045 1465.908 1114.863 387.375 79.000 404.65 Dua parameter Dega megguaka (6) da (10) maka estimasi titik bagi = 16.000 da = 187.75 da = 836.158 da = 813.1663. Batas bawah, batas atas da lebar selag pada tigkat kepercayaa 99 % da 95 % bagi da dapat dilihat pada tabel dega metode tradisioal da tabel 3 dega metode bootstrap. Tabel. TK Batas bawah (BB), batas atas (BA) da lebar selag (LS) bagi bagi da pada tigkat kepercayaa (TK) 99 % da 95 % BB BA LS BB BA LS 99 % (-168.41) 161.884 330.15 493.310 190.66 1409.316 95 % (-68.477) 161.415 9.89 551.36 161.341 1061.015 Tabel 3. TK Batas bawah (BB), batas atas (BA) da lebar selag (LS) bagi bagi da pada tigkat kepercayaa (TK) 99 % da 95 % BB BA LS BB BA LS 99 % 16.000 393.000 31.000 405.789 1307.63 901.474 95 % 16.000 30.000 158.000 479.11 116.737 737.56 Utuk mecari pada ulaga keberapa aka tercapai titik koverge, maka dibuat plot atara bias dega ulaga. Plot tersebut dapat dilihat pada gambar 1 bagi satu parameter da gambar bagi dua parameter. -5-5 -15 picag -35-45 picag -5-35 -45-55 -55 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 ulaga ulaga Gambar 1 Gambar Statistika, Vol. 7, No. 1, Mei 007
Metode Bootstrap Persetil Pada Sesor Tipe II Berdistribusi Ekspoesial 5 Perbadiga Lebar Selag Perbadiga lebar selag kepercayaa bagi satu dua parameter distribusi ekspoesial di bawah sesor tipe II yag dihasilka oleh metode tradisioal da metode bootstrap persetil dapat dilihat pada tabel 4. Tabel 4. Perbadiga lebar selag bagi satu da dua parameter pada tigkat kepercayaa (TK) 99 % da 95 % Metode Satu parameter Dua parameter () () () TK 99 % 95 % 99 % 95 % 99 % 95 % Tradisioal 1673.693 1114.863 330.15 9.89 1409.316 1061.015 Bootstrap persetil 565.50 404.65 31.000 158.000 901.474 737.56 Selisih selag 1108.443 710.38 99.15 71.89 507.84 33.489 Selag yag dihasilka oleh metode bootstrap persetil lebih pedek daripada yag dihasilka oleh metode tradisioal. Hal ii bisa dilihat pada tabel 4, dimaa terjadi selisih lebar selag yag cukup besar atara kedua metode tersebut. Dega demikia dapat disimpulka bahawa metode bootstrap persetil jauh lebih baik dari pada metode tradisioal, karea metode tersebut meghasilka lebar selag yag lebih pedek. 4. Kesimpula Metode yag lebih baik di dalam meghitug selag kepercayaa bagi satu da dua parameter distribusi ekspoesial di bawah sesor tipe-ii ialah metode bootstrap persetil. Metode tersebut meghasilka lebar selag yag lebih sempit apabila dibadigka dega metode tradisioal. 5. Rujuka Bai, L. J. da Max Egelhardt. 199. Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics. Jilid. Bosto: PSW-KENT Publishig Compay. Bury, K. 1999. Statistical Distributios i Egieerig. Cambridge: Cambridge Uiversity Press. Cox, D.R. ad D. Oakes. 1984. Aalysis of Survival Data. Lodo: Chapma & Hall. Efro, B. da Tibshirai R. 1993. A Itroductio to the Bootstrap. New York: Chapma & Hall. Fauzy, A. da N.A. Ibrahim. 00a. Iterval Kofidesi utuk Satu Parameter Distribusi Ekspoesialsial di bawah Sesor Legkap dega Metode Bootstrap Persetil. jural MATEMATIKA, Uiversitas Negeri Malag, Tahu VIII, Nomor 1, April 00, ISSN 085-779, Akreditasi DIKTI No.: 69/DIKTI/Kep/ 000, hal. 70-77 Fauzy, A. da N.A. Ibrahim. 00b. Selag Kepercayaa bagi Dua Parameter Distribusi Ekspoesial di bawah SesorLegkap dega Metode Bootstrap Persetil. Kertas Kerja dalam Simposium Kebagsaa Sais Matematik Ke-10, Uiversiti Tekologi Malaysia, Hotel Puteri Pa Pacific, Johor Bahru, 3-4 Disember 00 Lawless. 198. Statistical Models ad Methods for Lifetime Data. New York: Joh Wiley & Sos. Statistika, Vol. 7, No. 1, Mei 007
6 Statistika, Vol. 7, No. 1, Mei 007