Bab IV Pemodelan dan Perhtungan Sumberdaa Batubara IV1 Pemodelan Endapan Batubara Pemodelan endapan batubara merupakan tahapan kegatan dalam evaluas sumberdaa batubara ang bertuuan menggambarkan atau menatakan endapan batubara secara sstemats untuk memudahkan proses evaluas terhadap endapan tersebut secara kuanttatf Endapan batubara dapat dgambarkan menggunakan model matematka determnstk Pemodelan secara determnstk mencakup tga tahapan ang harus dlakukan atu pemodelan konseptual, pemodelan matematka, dan pemodelan numerk IV11 Pemodelan Konseptual Pemodelan konseptual merupakan pemodelan endapan batubara ang drepresentaskan secara vsual, msalkan pada kontur struktur bdang perlapsan batubara Pemodelan konseptual dapat dlakukan dengan cara dskrtsas terhadap endapan batubara menggunakan elemen dua dmens Elemen dua dmens ang dgunakan adalan elemen segtga, dplhna elemen segtga dkarenakan merupakan elemen dua dmens ang sederhana d mana endapan batubara dasumskan sebaga bdang ang kontnu (stead state) tanpa mengalam perubahan bentuk kekontnuan sepert hadrna struktur geolog sesar maupun washed out Dskrtas doman solus (bdang perlapsan batubara) menad elemen-elemen segtga tdak harus teratur Elemen segtga tersebut merupakan ens elemen ang sangat sederhana d dalam metode elemen hngga d mana mempuna tga buah ttk (node) ang dketahu kordnatna (,,z) Node-node tersebut akan drangka menad elemen-elemen segtga ang menatu pada endapan batubara 4
U e ( n, n ) P 3 ( 3, 3 ) P 1 ( 1, 1 ) P (, ) Gambar IV1 Rangkaan ttk-ttk pada elemen segtga (P 1,P,P 3 ), dan dstrbus nla pada ttk ang tdak dketahu besaranna (U e ) 43
IV1 Pemodelan Matematka Pemodelan matematka perlu dlakukan agar evaluas sumberdaa batubara menad sstemats dan efektf, ang pada prnspna merupakan ekspres smbolk atau matematka bag medan dstrbus data-data ang umumna berupa skalar Contoh sederhana adalah croplne batubara merupakan medan dstrbus ttk-ttk sngkapan (outcrop) ang dapat dnatakan secara matematka menggunakan persamaan lengkungan, demkan halna uga terhadap bdang perlapsan batubara dapat dnatakan dengan persamaan bdang (Wdodo, LE, 4) Persamaan bdang perlapsan batubara dapat dkonstruks dar data pemboran batubara Selan tu pemodelan matematka uga dapat dlakukan terhadap medan dstrbus data-data skalar berkat dengan state varabel dalam geometr endapan batubara tersebut State varable tersebut dapat berupa data ketebalan atau kualtas batubara Pemodelan matematka akan memudahkan realsas pemodelan numerk untuk estmas sumberdaa batubara Dlakukanna pemodelan determnstk pada endapan batubara dkarenakan beberapa hal atu : a Endapan batubara dgolongkan sebaga endapan ang sederhana dengan state varable danggap kontnu sehngga sesua dengan pemodelan matematka determnstk Demkan uga halna dengan ekspres geometr endapan batubara dapat dmodelkan dengan pemodelan determnstk b Model determnstk memungknkan pemodelan endapan batubara secara meneluruh, mula dar pemodelan konseptual, pemodelan matematka, dan pemodelan numerk, sehngga dengan menggunakan metode elemen hngga endapan batubara dapat dgambarkan secara dskrt menad elemen-elemen dengan volume tertentu Metode elemen hngga merupakan solus numerk persamaan dfferensal ang ddasarkan pada kalkulus dengan fungs state varable ang kontnu Fungs state varable dapat ddefnskan sebaga ekspres matematka dar medan dstrbus state varable, sebaga contoh adalah dstrbus ttk-ttk (kordnat) permukaan lapsan batubara (roof), d mana dapat dlekatkan atrbut berupa nla- 44
nla tertentu sepert ketebalan, parameter kualtas, dan elevas Masng-masng state varable dapat dnatakan dengan fungs satu dmens maupun dua dmens IV11 Pemodelan Matematka Endapan Batubara Dengan Metode Elemen Hngga Metode elemen hngga dapat dterapkan untuk estmas sumberdaa batubara d mana dstrbus state varable pada endapan batubara danggap konstan (kontnu), sehngga fungs state varable pada endapan batubara bersfat stead state, untuk penerapan elemen dua dmens dapat dnatakan dengan model matematka sebaga berkut (Wdodo, L E, 6) : L u u ( u) u, ) + ( ------------------------------ (1) u merupakan state varable tdak bebas (dapat berupa elevas, ketebalan, ataupun kualtas batubara), dan adalah state varable bebas berupa kordnat Persamaan n menatakan bahwa state varable u bervaras secara spasal Untuk estmas sumberdaa batubara dasumskan tebal batubara bervaras terhadap ruang atau bervaras secara spasal, sehngga tebal batubara dapat dtetapkan sebaga state varable dengan dstrbus spasal berdasar persamaan (1) dapat dnatakan sebaga berkut: L t t () t t, ) + ( ------------------------------ () Solus analtk persamaan () dapat dkenakan dengan metode elemen hngga (dalam Sun, 1995 atau Istok, 1989) ang ddasarkan pada metode resdual terbobot dengan formula estmas (aproksmas) berkut: tˆ N 1 t φ (, ) ----------------------------- (3) tˆ harus memenuh konds batas doman solus φ (, ), φ (, ),, (, ) 1 φ N merupakan fungs-fungs bass ang bebas lner ang besarna tergantung dar geometr elemen ang dgunakan Untuk elemen segtga dengan 3 ttk verte, maka fungs bass bersfat lner, sehngga persamaan (3) dengan elemen segtga 45
merupakan estmas berbass kombnas lner Pada persamaan (3), tˆ hana merupakan solus pendekatan dar persamaan () atau L( tˆ ), oleh karena tu maka ddapatkan: Rˆ (, ) L( tˆ ) --------------------------------------(4) Persamaan (4) dsebut resdual, ang dperoleh dengan cara mensubsttus tˆ ke dalam persamaan () Untuk memperoleh solus dengan akuras ang tngg, maka harga resdual n dalam keseluruhan doman solus (R) harus mnmum dan secara metemats dnatakan ( R ) r --------------------------------------(5) Wd d ( WRˆ d d R ) Persamaan (5) menatakan resdual rata-rata terbobot untuk mengukur resdual total dalam doman solus (R) Parameter W(,) merupakan fungs pembobot atau weghtng functon Untuk orde N, maka akan terdapat fungs bobot sebanak: W1 (, ), W (, ),, WN (, ) ------------------------------ (6) Fungs-fungs pembobot n dplh sedemkan rupa, sehngga resdual total dalam doman solus akan mempuna harga sama dengan nol dan dnatakan: W L( tˆ )d d,( 1,,,N ) ----------------------------------(7) ( R ) Substtus persamaan () ke dalam persamaan (7) dan dengan menggunakan formula Green akan ddapatkan persamaan berkut: W tˆ W tˆ W L( tˆ )d d + dd -----------------------(8) ( R ) ( R ) 46
47 Substtus persamaan (3) ke dalam persamaan (8) akan dperoleh sstem persamaan lner smulatan berkut: tˆ tˆ n 1 nn n1 1n 11 --------------------------------------(9) tˆ adalah harga state varable ang dcar melalu estmas menggunakan MEH Matrks [] mempuna elemen sebaga berkut: dd W W R ) ( + φ φ --------------------------------------(1) Berdasar metode Galerkn, fungs-fungs bass dalam persamaan (3) dgunakan sebaga fungs-fungs pembobot menggantkan persamaan (6), sehngga persamaan (1) dapat drubah menad: dd M 1 m ) Rm ( + φ φ φ φ --------------------------------------(11)
48