MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS
Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk fungsi permintaan dan penawaran
Dengan mempelajari fungsi non linear ini, secara umum diharapkan dapat memahami berbagai macam bentuk fungsi non-linier, mengenai sifat-sifatnya dan dapat menggambarkan grafiknya. Di samping itu, Anda diharapkan mampu untuk menggunakan sifat-sifat fungsi kuadratik untuk membuat gambar grafiknya,membedakan bentuk-bentuk fungsi kuadratik seperti lingkaran, elips, parabola dan hiperbola, menentukan jika ada: format, jari-jari, asimtot dari fungsi kuadratik serta batasan-batasan nilai untuk variabel-variabelnya Fungsi Non Linear
Grafik Kurva Non-Linear Polinom atau suku banyak dalam x dan y dilambangkan f(x) adalah ungkapan yang mengandung suku-suku kx r y s, di mana k adalah konstan, r dan s adalah bilangan bulat. Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y) dinamakan pangkat polinom. Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan disamakan dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y yaitu f(x,y) = 0. Persamaan ini disebut persamaan aljabar. Suatu grafik yang melukiskan persamaan aljabar disebut sebagai kurva aljabar. Suatu contoh kurva aljabar adalah garis lurus. Sebaiknya suatu persamaan yang hendak dibuat grafiknya diuji dulu dengan memperhatikan kaidah-kaidah yang berhubungan dengan fungsi tersebut, sehingga titik-titik yang digunakan jumlahnya tidak terlalu banyak Kaidah-kaidah dalam membuat grafik kurva non-linear dan kegunaannya adalah sebagai berikut:
Titik Potong Titik potong suatu kurva adalah titik perpotongan antara kurva dan garis sumbu. Titik potong dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0 ke dalam persamaan dan kemudian mencari nilai x nya. Titik potong dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan x = 0 ke dalam persamaan dan kemudian mencari nilai y nya. Untuk menggambar grafik suatu fungsi, titik-titik potong ini harus dicari.
Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut sama. Contoh Simetris Titik (x,y) simetris dengan titik (x,-y) terhadap sumbu x. Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,y) terhadap sumbu y. Dua titik simetris terhadap titik ke tiga, jika titik ke tiga itu terletak di tengah-tengah garis yang menghubungkan ke dua titik tersebut.
Contoh: Simetris Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,-y) terhadap titik origin. Suatu kurva juga dapat simetris terhadap garis sumbu atau terhadap titik origin. Kurva simetris terhadap sumbu x bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva, simetris dengan titik (x,-y) yang juga terletak pada kurva.
Simetris Contoh: Kurva simetris terhadap sumbu y, bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva simetris dengan titik (- x,y) yang juga terletak pada kurva.
Dari tiga contoh terakhir dapat dilihat bahwa grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap: a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0 b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0 c.titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0 Perlu diperhatikan di sini bahwa suatu fungsi yang simetris terhadap sumbu x dan sumbu y tentu simetris terhadap origin. Akan tetapi sebaliknya, kurva yang simetris terhadap origin belum tentu simetris terhadap sumbu x dan y. Contoh : Simetris Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x 2 y + y + x 3 = 0 merupakan fungsi dengan kurva yang simetris terhadap origin tetapi tidak simetris terhadap salah satu sumbu.
Simetris f(x,-y) = -x 2 y - y + x 3 f(x,-y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu x. f(-x,y) = x 2 y + y - x 3 f(-x,y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu y. f(-x,-y) = -x 2 y - y - x 3 = 0 f(-x,-y) = 0 sama dengan f(x,y) = 0. Jadi f(x,y) = 0 simetris terhadap origin.
Batas Nilai Pada sistim sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilanganriil. Jadi untuk titik (x,y) di mana nilai x merupakan bilangan riil tetapi y bilangan imajiner atau nilai y merupakan bilangan riil tetapi x bilangan imajiner harus dikecualikan dan titiknya tidak digunakan. Hal ini disebabkan variabel-variabel yang berpangkat genap dalam persamaan, penyelesaiannya melibatkan akar dan bilangan negatif tidak mempunyai akar bilangan riil. Akibatnya kurva harus dibatasi sedemikian rupa sehingga semua titik mempunyai koordinat bilangan riil. Setiap variabel pada suatu persamaan, sebaiknya dilihat apakah nilainya mempunyai batas. Contoh Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x 2 + y 2 = 25 mempunyai batas? x 2 = 25 - y 2 x = ± 25 y 2 Nilai di bawah tanda akar yaitu 25 - y 2 akan bertanda negatif bila: 25 - y 2 < 0 - y 2 < - 25 atau y > ±5 dan batas untuk y adalah -5 < y < 5
Batas Nilai Batas untuk x: y 2 = 25 - x 2 y = ± 25 x 2 Nilai di bawah tanda akar bertanda negatif bila: 25 - x2 < 0 - x2 < 25 atau x > ±5 dan batas untuk x adalah -5 < x < 5
Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva dengan jarak yang semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin jauh dari origin atau dapat pula dikatakan bahwa garis y = mx + b merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) - mx + b jika x dan y -. Pada umumnya garis asimtot yang banyak digunakan adalah garis asimtot yang sejajar sumbu x atau sumbu y. Garis asimtot yang sejajar dengan sumbu x disebut asimtot horisontal dan yang sejajar sumbu y disebut asimtot vertikal dan didefinisikan: Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y = f(x) bila y k untuk x. Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila x h untuk y. Untuk kepentingan penggambaran suatu kurva, akan dibedakan arah gerakan suatu kurva apakah x dan y nilainya terus bertambah besar tanpa batas (x + ; y + ) atau x dan y nilainya terus berkurang tanpa batas (x - ; y - ). Di samping itu harus diperhatikan juga nilai variabel yang tidak bertambah atau berkurang tanpa ada batasnya. Hal ini sangat berguna untuk menentukan apakah suatu kurva mendekati asimtot dari kiri atau dari kanan (untuk asimtot vertikal) atau mendekati asimtot dari atas atau dari bawah (untuk asimtot horisontal). Asismtot Kurva
Asismtot Kurva Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan xy-3x-4y-2= 0 mempunyai asimtot horisontal atau vertikal? Langkah pertama adalah mengeluarkan x: x=
Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa, jika y +, maka x 4 dan x > 4. Jika y -, maka x 4 dan x < 4. Jadi x = 4 merupakan asimtot vertikal yang didekati oleh kurva dari kiri dan kanan. Langkah kedua adalah mengeluarkan y: Asismtot Kurva y= Jika x +, maka y 3 dan y > 3, tetapi bila x - maka y 3 dan y < 3. Jadi y = 3 merupakan asimtot horisontal yang didekati kurva dari atas dan bawah.
Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian antara dua faktor atau lebih, atau f(x,y) = g(x,y). h(x,y) = 0. Dengan demikian maka grafik f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) = 0 dan h(x,y) = 0, dan titik (x,y) yang memenuhi persamaan g(x,y) = 0 atau h(x,y) = 0 terletak pada f(x,y) = 0. Contoh: Buatlah grafik persamaan 2x 2 + 3xy - 2y 2 = 0 2x 2 - xy + 4xy - 2y 2 = 0 (Faktorisasi) x(2x - y) + 2y(2x - y) = 0 (2x - y) (x + 2y) = 0 Jadi grafik persamaan 2x 2 + 3xy - 2y 2 = 0 terdiri dari grafik dua garis lurus yaitu: 2x - y = 0 dan x + 2y = 0. Faktorisasi
Tentukan Titik Potong, Kesimetrisan, Batas Nilai, dan Asimtot Grafik dari persamaan persamaan berikut : 1) y = (x + 2)(x - 3) 2 2) y 3 + xy 2 - xy - x 2 = 0 3) y 2-4xy - 1 = 0 4) xy - y - x - 2 = 0 5) x 2 y - x 2-4y = 0 Soal Latihan
Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips, parabola, hiperbola atau bentuk yang lain. Bentuk umum persamaan kuadratik: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 di mana: A,B,C,D,E dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari A,B dan C tidak bernilai sama dengan nol. Kurva yang menggambarkan persamaan di atas dapat diperoleh dengan mengiris dua buah kerucut dengan suatu bidang datar. Dari persamaan kuadratik Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 dengan mudah dapat diketahui secara cepat apakah kurvanya berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hiperbola. Jika B = 0 dan A = C, maka irisan berbentuk lingkaran. Jika B2-4 AC < 0, maka irisan berbentuk elips. Fungsi Kuadratik Jika B2-4 AC = 0, maka irisan berbentuk parabola. Jika B2-4 AC > 0, maka irisan berbentuk hiperbola.
Secara ilmu ukur, lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap. Titik tertentu itu dinamakan pusat dan jarak titik-titik pada lingkaran ke pusat dinamakan jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah: Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 Lingkaran Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 di mana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Gambar lingkaran tersebut adalah sebagai berikut:
Lingkaran Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan: x 2-4x + y 2 = 0 Bentuk umum lingkaran: (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 x 2 4x + y 2 = 0 ruas kiri dan kanan ditambah 4 x 2-4x + 4 + y 2 = 4 (x - 2) 2 + (y - 0) 2 = 2 2 Titik pusat (2,0), jari-jari = 2.
Secara ilmu ukur, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya dari dua buah titik tetap. Kedua titik tersebut dinamakan fokus. Suatu elips dibagi secara simetris oleh dua sumbu yang berpotongan tegak lurus. Yang panjang dinamakan sumbu panjang dan yang pendek dinamakan sumbu pendek. Perpotongan kedua sumbu disebut pusat elips. Elips Bentuk umum persamaan Elips adalah Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A, C, A dan C berlainan tanda. Persamaan Elips dapat ditulis dalam bentuk standar: Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x. Akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu y. Sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendeknya 2b. Sumbu panjang disebut jari-jari panjang dan sumbu pendek disebut jari-jari pendek.
Contoh : Elips Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan: Pusat elips (-2,1) Jari-jari panjang = 9 = 3 Jari-jari pendek = 4 = 2
Secara ilmu ukur, parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus dan garisnya disebut "directrix". Suatu parabola simetris terhadap suatu garis yang disebut sumbu. Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan "vertex parabola. Persamaan umum dari suatu parabola yang sumbunya sejajar sumbu y adalah: Ax 2 + Dx + Ey + F = 0, Jika sumbunya sejajar sumbu x, persamaannya: Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, Bentuk persamaan standar dari parabola adalah: (x - h) 2 = 4p (y - k) di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbunya sejajar dengan sumbu y; atau (y - k) 2 = 4p (x - h) Parabola di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbu parabola sejajar dengan sumbu, sedang p adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.
Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y: Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah. Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas. Parabola Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x: Jika p < 0, maka parabola terbuka di sebelah kiri. Jika p > 0, maka parabola terbuka di sebelah kanan. Besarnya jarak antara titik fokus dan garis directrix adalah 2p. Apabila nilai p semakin besar, maka parabola semakin cepat membuka. Bagian-bagian parabola dapat Anda perhatikan pada gambar berikut.
Parabola Contoh Jadikan bentuk standar persamaan parabola: x2-4x + 4y + 16 = 0 dan tentukan vertexnya. Bentuk standar parabola: (x - h) 2 = 4p(y - k) x 2-4x + 4y + 16 = 0 x 2-4x + 4 = -4y - 16 + 4 (x - 2) 2 = -4 (y + 3) Jadi parabola mempunyai vertex (2, -3); p = -1; sumbu sejajar dengan sumbu y dan parabola terbuka ke bawah.
Hiperbola Secara ilmu ukur hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu "transverse". Pada suatu hiperbola terdapat dua buah garis asimtot yang saling berpotongan. Titik potongnya disebut pusat hiperbola. Bentuk umum persamaan hiperbola yaitu Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A dan C berlawanan tanda. Persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk standar untuk hiperbola. di mana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu x. Asimtot ditunjukkan oleh persamaan: Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus.
Contoh Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan hiperbola adalah 9x 2-4y 2-18x - 16y - 43 = 0. Bentuk umum persamaan hiperbola: Hiperbola 9x 2-4y 2-18x - 16y - 43 = 0 9(x 2-2x + 1) - 4(y 2 + 4y + 4) = 43 + 9-16 9(x - 1) 2-4(y + 2) 2 = 36 Jadi titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3. Sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.
Hiperbola Persamaan asimtot: Asimtot 1: 3x - 3 = 2y + 4 atau 3x - 2y - 7 = 0 Asimtot 2: 3x - 3 =-2y - y atau 3x + 2y + 1 = 0 Telah disebutkan bila a = b, maka asimtot hiperbola akan saling berpotongan tegak lurus. Apabila asimtot hiperbola sejajar dengan sumbu x dan sumbu y, maka bentuk persamaan standar hiperbola menjadi: (x - h) (y - k) = c
Tentukan bentuk dari persamaan kuadratik berikut, dan gambarkan grafiknya: 1) x 2 +y 2-6x -2y -6 = 0 2) xy -4y = 4 3) x 2 +9y 2-8x +7 = 0 4) y 2-4x 2-4y +4 = 0 5) y 2-2y -8x +25 = 0 Soal Latihan
Penggunaan Fungsi Non-Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang menggunakan fungsi nonlinier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat dalam materi ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk fungsi permintaan dan penawaran Setelah mendapatkan mata kuliah ini mahasiswa diharapkan mampu: a. mendemonstrasikan pembuatan grafik berbagai macam bentuk fungsi non-linier; b. menjelaskan sifat-sifat berbagai bentuk fungsi non-linier; c. menunjukkan perbedaan fungsi permintaan dan penawaran yang disajikan dalam bentuk persamaan kuadratik; d. menghitung harga dan jumlah keseimbangan; e. menghitung kepuasan seorang konsumen dengan menggunakan konsep kurva indifference; f. menghitung kombinasi jumlah barang yang diminta dengan menggunakan konsep garis anggaran.
Fungsi Permintaan & Penawaran Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang merupakan fungsi linear. Secara grafis, fungsi permintaan dan penawaran dapat ditunjukkan juga oleh fungsi non-linear seperti berikut: Pada gambar di atas, sumbu vertikal menunjukkan harga (P) dan sumbu horisontal menunjukkan jumlah (Q), sedang fungsi permintaan maupun penawaran, keduanya ditunjukkan oleh garis lengkung
Bentuk Kurva Parabola Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu P (sumbu vertikal) bentuk persamaan umumnya dapat ditulis sebagai berikut (Q - h) 2 = 4p (P - k)
Bentuk Kurva Parabola Pada gambar (a), parabola terbuka ke bawah berarti p < 0. Titik vertex (h, k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P. Ini berarti nilai h 0 dan k > 0. Gambar (b) menunjukkan parabola yang terbuka ke atas. Parabola macam ini mempunyai p > 0 dan titik vertex (h,k) yang terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q (sumbu horisontal) jadi h > 0 dan k 0. Ada dua potongan kurva yang terletak di kuadran pertama yaitu bagian kurva yang menaik dan menurun. Namun untuk kurva permintaan yang dipakai adalah potongan kurva yang menurun. Nilai Q yang berlaku mempunyai batas yaitu 0 < Q < Q1, dan Q1 terletak pada potongan kurva yang menurun. Bentuk parabola yang ditunjukkan oleh gambar (c) dan (d) adalah parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q (sumbu horisontal) dan bentuk umumnya adalah (P - k) 2 = 4p(Q - h) Pada gambar (c), parabola terbuka ke kiri yang berarti p < 0 dan titik vertex terletak di kuadran keempat dan mungkin juga terletak di sumbu Q.Titik vertex (h,k) di kuadran keempat ditunjukkan oleh h > 0 dan k < 0. Gambar (d) adalah gambar parabola yang terbuka ke kanan dengan P > 0. Titik vertex bisa berada di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P.Titik vertex (h,k) yang berada di kuadran kedua, ditandai oleh nilai h 0 dan k > 0.
Contoh Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:p = 11-Q- Q2 Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut 4P = 44-4Q - Q 2 + 4 4 atau Q 2 + 4Q + 4 = 4P + 48 (Q + 2) 2 = -4(P - 12) maka: P = -1, h = -2, k = 12 Perpotongan dengan sumbu vertikal (P) terjadi untuk Q = 0 dan P = 11. Perpotongan dengan sumbu horisontal (Q) terjadi untuk P = 0 dan Q 1 = -2 + 4 3 Q 2 = -2-4 3
Tentukan harga keseimbangan dan grafik fungsi penawaran dan permintaan dari persamaan persamaan berikut : 1) Permintaan: 2Q + P = 10 Penawaran: P2 4Q = 4 2) Permintaan: 2Q2 + P = 9 Penawaran: Q2 + 5Q P = -1 3) Permintaan: Q = 64 8P 2P2 Penawaran: Q = 10P + 5P2 4) Permintaan: PQ + 12P + 6Q = 97 Penawaran: P Q = 6 Soal Latihan
Thank You...