Soal KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN BILANGAN I SMP Abdul Azis Abdillah Januari 07. Angka satuan dari + ( ) + ( 3) + ( 3 4) +... + ( 3 4... 07) adalah.... Diberikan dua buah bilangan yaitu x = 070707 06060606 dan y = 060606 07070707.. Hitunglah nilai dari (x y) 07 3. Hitunglah 54 + 4 5 + 35 + 3 0 7 4. Hitunglah 3 + 3 4 + 4 5 +... + 06 07 5. Manakah yang paling besar diantara dua bilangan a dan b, jika a = 6 04 dan b = 5 306? 6. Sederhanakan bentuk berikut ini... =... 7. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berikut ini. HITAM 4 x MATIH 8. Berapakah hasil dari 00 99 + 98 97 +... +? 9. Berapakah jumlah digit bilangan 06 5 07? 0. Hitunglah nilai dari + + + +... + + 3 3 + 4 9800 + 980. Hitunglah ( ) ) ) 3 ( 3 ( 33... 000 000 000. Carilah nilai dari ( ) ( 3 ) ( 4 )... ( n ) ) ( 073 000
3. Buktikan bahwa 4. Nilai dari adalah... (OSK 06)! +! + 3! + + 06! < 07 (06 6) 05 00 (06 ) 5. Banyak bilangan real x yang memenuhi x 06 x 04 = x 05 x 03 adalah... (OSK 06) ( 6. Nilai dari (OSK 06) ) 3..4+.4.8+...+n.n.4n.3.9+.6.8+...+n.3n.9n adalah... 7. Misalkan x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika maka x =... (OSK 06) x = 00 + 00 + 3 003 +... + 0 00, 8. 5050 4950 =... 9. Jika a =, maka b dinyatakan dalam a adalah... b b 0. Bentuk sederhana dari 4 5 4 + 5 adalah...
Pembahasan. Angka satuan dari + ( ) + ( 3) + ( 3 4) +... + ( 3 4... 07) adalah... Perhatikan jumlah 4 suku pertama berikut: Jumlah satu suku pertama yaitu, angka satuan () Jumlah dua suku pertama yaitu + = 3, angka satuan (3) Jumlah tiga suku pertama yaitu 3 + 6 = 9, angka satuan (9) Jumlah empat suku pertama yaitu 9 + 4 = 33, angka satuan (3) Perhatikan jumlah 5 suku pertama dan selanjutnya: Jumlah lima suku pertama yaitu 33 + 0 = 53, angka satuan (3) Jumlah enam suku pertama yaitu 53 + 70 = 873, angka satuan (3). Maka jumlah 07 suku pertama yaitu 53 + 70 = 873, angka satuan (3). Diberikan dua buah bilangan yaitu x = 070707 06060606 dan y = 060606 07070707.. Hitunglah nilai dari (x y) 07 Perhatikan bentuk berikut: x = 070707 06060606 = 07(000000) 06(000000000) y = 060606 07070707 = 06(000000) 07(000000000) Berdasarkan diatas terlihat bahwa x = y, sehingga nilai dari (x y) 07 = 0 07 = 0 3
3. Hitunglah 54 + 4 5 + 35 + 3 0 7 Untuk menjawab bentuk soal seperti ini perhatikan bentuk berikut. ( a + b) = (a + b) + a.b ( a + b) = (a + b) + a.b ( a b) = (a + b) a.b ( a b) = (a + b) a.b Maka 54 + 4 5 + 35 + 3 0 7 = 54 + 45 + 35 + 3 75 4. Hitunglah = ( 49 + 5) + ( 7 5) + ( 5 7) = 3 + 3 4 + 4 5 +... + 06 07 4
Untuk menjawab bentuk soal seperti ini perhatikan bentuk berikut. Dari bentuk diatas maka diperoleh a (a + ) = a a + 3 + 3 4 + 4 5 +... + 06 07 = 3 + 3 4 +... + 06 07 = 07 5. Manakah yang paling besar diantara dua bilangan a dan b, jika a = 6 04 dan b = 5 306? Ubah a dan b kedalam bentuk berikut a = 6 04 = (6 ) 0 = 46656 0 b = 5 306 = (5 3 ) 0 = 5 0 Sehingga jelas terlihat bahwa a merupakan bilangan yang terbesar 6. Sederhanakan bentuk berikut ini... =... Misalkan a =..., maka a = a Kuadratkan kedua ruas maka diperoleh a = a a a = 0 a(a ) = 0 Nilai yang memenuhi adalah a = 0 atau a =. a tidak mungkin bernilai 0, maka a ditolak. Sehingga nilai yang memenuhi adalah a = 7. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berikut ini. HITAM 4 x MATIH 5
Hasil H 4 harus kurang dari 0 (tidak ada yang disimpan), yang mungkin hanya atau. H tidak mungkin, karena HIT AM 4 bersatuan genap, maka H =. Jika H = maka M = 8. IT A 4 + 3 = AT I (ingat 3 merupakan simpanan dari 8 4) I 4 < 0, maka nilai I yang mungkin hanya 0,, dan, sehingga nilai yang memenuhi adalah I =. Akibat ini, haruslah A = 7. Jadi T 4 + 3 menghasilkan angka akhir T dan dibawa 3, maka haruslah T = 9. 978 4 x 879 8. Berapakah hasil dari 00 99 + 98 97 +... +? 6
Perhatikan pola berikut : = 3 = + 4 3 = 7 = 3 + 4 6 5 = = 5 + 6. maka soal dapat dituliskan dalam bentuk 00 99 + 98 97 +... + = 00 + 99 + 97 + 96 +... + + 9. Berapakah jumlah digit bilangan 06 5 07? 00(00 + ) = = 5050 06 5 07 = 06 5 06 5 = ( 5) 06 5 = 5 0 06 Sehingga jumlah digit bilangan dari 06 5 07 adalah 07 digit 0. Hitunglah nilai dari + + + +... + + 3 3 + 4 9800 + 980 Rasionalkan setiap penyebut sehingga diperoleh bentuk berikut: = + 3 3 + 3 4 3 4 +... + 9800 980 9800 980 = ( + 3 + 3 4 +... + 9800 980) = ( 980) = ( 99) = 98. Hitunglah ( ) ) ) 3 ( 3 ( 33... 000 000 000 Perhatikan ( bentuk ) ( berikut: ) ( ) ( ) = 3 000 3 000... 03 000... 073 000 = ( ) ( ) ( ) ) 000 8 000... 000 000... ( 073 000 = ( ) ( ) ) 000 8 000... ( )... ( 073 000 = ( ) ( ) ) 000 8 000... (0)... ( 073 000 = 0 ) ( 073 000. Carilah nilai dari ( ) ( 3 ) ( 4 )... ( n ) 7
( ) ( 3 ) ( 4 )... ( n ) ( = ) ( + ) ( ) ( + ) 3 3 (... ) ( + ) n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 n n + =... 3 3 n n = n + n 3. Buktikan bahwa! +! + 3! + + 06! < 8
Perhatikan ketaksamaan berikut: maka Perhatikan bahwa 3! < 3! ; 4! < 3 4! ; ; 06! < 05 06!! +! + 3! + + 06! <! +! + 3! + + 05 06! k (k + )! = k + (k + )! (k + )! = (k)! (k + )! Dengan menggunakan bentuk pada (**) maka pertaksamaan pada (*) dapat ditulis menjadi:! +! + 3! + + 06! < (! +! ) ( +!! ) ( + 3! 3! ) ( + + 4! 05! ) 06! Terbukti 4. Nilai dari adalah... (OSK 06) Misalkan x = 06, maka diperoleh bentuk! +! + 3! + + 06! < + 06!! +! + 3! + + 06! < 06!! +! + 3! + + 06! < 07 (06 6) 05 00 (06 ) 07 (06 6) 05 00 (06 = (x + ) (x 6) (x ) ) (x + 4) (x ) = (x )(x + 4)(x 4) (x + 4)(x ) (*) (**) = x 4 (*) Kemudian substitusikan nilai x = 06 pada persamaan (*), sehingga diperoleh nilai 07 (06 6) 05 00 (06 ) = 06 4 = 0 5. Banyak bilangan real x yang memenuhi x 06 x 04 = x 05 x 03 adalah... (OSK 06) 9
x 06 x 04 = x 05 x 03 (x 05 x 03 )x x 05 x 03 = 0 (x )(x 05 x 03 ) = 0 (x )(x )(x 03) = 0 (x )(x )(x + )(x 03) = 0 (*) Sehingga nilai x yang memenuhi persamaan (*) adalah x =, x =, dan x = 0 ( 6. Nilai dari (OSK 06) ) 3..4+.4.8+...+n.n.4n.3.9+.6.8+...+n.3n.9n adalah... ( )..4 +.4.8 +... + n.n.4n.3.9 +.6.8 +... + n.3n.9n ( 3..4( + +... + n) =.3.9( + +... + n) ( ) 8 3 = 7 ) 3 = 4 9 0
7. Misalkan x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika maka x =... (OSK 06) x = 00 + 00 + 3 0, 003 +... + 00 Kita akan menyelesaikan permasalahan ini dengan mencari rentang nilai terdekat dengan x. Berikut penyelesaiannya Nilai minimum untuk x dapat diperoleh dengan mengubah semua penyebut dari penyebut menjadi 00, sehingga diperoleh suatu nilai yaitu 00 + 00 + 3 00 +... + 0 00 = 55 00 = 00 55 = 36, 4 Nilai maximum untuk x dapat diperoleh dengan mengubah semua penyebut dari penyebut menjadi 00, sehingga diperoleh suatu nilai yaitu 00 + 00 + 3 00 +... + 0 00 = 55 00 = 00 = 36, 73 55 Berdasarkan nilai minimum dan maksimum yang telah kita peroleh yaitu 36, 4 < x < 36, 73 dapat disimpulkan bahwa nilai x yang memenuhi adalah 37 8. 5050 4950 =... 5050 4950 = (5050 + 4950) (5050 4950) = (00.000).(00) = 000 9. Jika a = b b, maka b dinyatakan dalam a adalah...
b a = b Pangkatkan dua pada setiap ruas, maka diperoleh bentuk a = b b Kalikan ke dua ruas dengan ( b), maka diperoleh bentuk b = a +a a ( b) = b a a b = b a a = b + a b a = b( + a ) + a = b 0. Bentuk sederhana dari 4 5 4 + 5 adalah...
Misalkan 4 5 4 + 5 = x Kuadratkan kedua ruas, maka diperoleh bentuk x = = = ( 4 5 4 + ) 5 ( 4 5 4 + ) ( 5 4 5 4 + ) 5 ( 4 ) ( 5 + 4 + ) 5 4 5 4 + 5 = 8 6 5 = 8. = 6 Sehingga nilai x = 6 Biografi Penulis Abdul Azis Abdillah memiliki minat dalam bidang matematika terapan. Saat ini, kegiatan yang dilakukan selain belajar menulis, juga merupakan salah satu staf pengajar di salah satu perguruan tinggi yang ada di Depok. Penulis dapat dihubungi melalui alamat email berikut : abdillah.azul@gmail.com Jika anda ingin memasang iklan pada karya-karya penulis silahkan menghubungi penulis lewat alamat email yang telah disediakan. 3