BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET

BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET Diskret radom variabel dapat diguaka utuk berbagai radom umber yag diambil dalam betuk iteger. Pola kebutuha ivetori (persediaa) merupaka cotoh yag serig diguaka dalam pegambila radom sampel 7.. Distribusi Diskret Uiform X = a + R/P utuk P = ( b a ) X = a + (R (b a + )) Cotoh : Sebuah perusahaa bakery membuat suatu kelompok jeis doat yag dijual ke toko-toko dega distribusi permitaa dikret uiform dega kebutuha haria maximum = 00 uit da miimum = 40 uit. Pertayaa : a. Tetuka radom variate dari distribusi dikret uiform tersebut. b. Dega a = 77; Z 0 = 357 da m =7, hitug X utuk pegambila radom umber sebayak 0 kali. Peyelesaia : Lagkah-lagkah :. Geerate bila RNG sebayak 0 kali.. Tetuka ilai maximum da ilai miimum a = mi da b = max 3. Subsitusi ke dalam perhituga diskret uiform X = a + (R (b a + )) 4. Dari hasil X s.d. X 0 kelompokka berdasarka kesamaa ilai akhir 5. Ambil kesimpula dari pegelompoka ilai. Pemodela &Simulasi : Radom variate distribusi diskret 39

a = 77; Z 0 = 357; m =7; a = mi = 40; b = max = 00 i Z R X = a + (R (b-a+)) 5 0,0394 4 4 0,035 4 3 54 0,45 66 4 94 0,740 85 5 6 0,99 00 6 50 0,3937 64 7 40 0,350 59 8 3 0,50 55 9 5 0,406 64 0 7 0,93 96 Dari hasil simulasi dega 0 kali percobaa pearika radom umber didapat diatara 4 64. 7.. Distribusi Biomial Diyataka bahwa X mempuyai distribusi Biomial dega PDF : f x x ( x) ( p) ( p) utuk x = 0,,.., x Dega sigkataya B(,p) dari distribusi X tersebut, yag kemudia aka membagkitka ilai X yag harus diyataka terlebih dahulu : X Y i i Dimaa setiap Y i aka diambil sampelya dari percobaa Beraulli dega meyataka : p yi 0 p utuk i,,.., Y i mempuyai Momet Geeratig Fuctio (MGF) : M yi (Z) = p + pz Pemodela &Simulasi : Radom variate distribusi diskret 40

Karea yi adalah idepede maka adaya MGF dari X adalah : M yi (Z) = ( p + pz) Dimaa hal ii adalah MGF dari suatu radom variabel dari B(,p). Utuk melaksaaka pedekata iverse trasformasi guaka : p 0 = p ( k) p da A k- = ( k )( p) Suatu variate Biomial dapat diyataka sebagai suatu set terhigga maka dapat dibuat tabel CDF yag juga dapat megguaka metode iverse trasformasi tersebut. Bila besar sekali maka jika megguaka cara ii utuk geerate Biomial Variates aka memerluka bayak waktu. Salah satu pedekata alteratif yag didasarka pada asymptotic yag aka memberika hasil yag aka sama dilakuka dega meguragi waktu utuk geeratig tersebut. Apabila bertambah besar maka distribusi dari : ( X p) Z dega pedekata (0, ) stadar ormal p( p) Utuk medapatka suatu Biomial variate kita dapat membagkitka Z dari (0,) dari : X p( p * Z p da guaka X yag dibulatka sehigga mejadi iteger Utuk meolak kesalaha-kesalaha yag mucul dapat diguaka hasil dari asymptotic tersebut apabila sebagai berikut : p > 5 utuk p ½ da (-p) > 5 utuk p > ½ 7.3. Metode Trasformasi dari Distribusi Biomial Salah satu metode trasformasi ii dapat diperguaka pada distribusi probabilitas biomial. f ( j) k j k j p ( p) j Biomial yag meyataka utuk f(j) dimaa j = 0,,.., k da F( x) x j0 f ( j) Pemodela &Simulasi : Radom variate distribusi diskret 4

Yag dapat diuraika apabila X = j sehigga aka diperoleh F(j-) < R < F(j), demikia juga utuk F(-) = 0 da 0 < p < da k = iteger positif. Cotoh : Dari distribusi Biomial : P = 0,5 da k =. Pertayaa :. Geerate radom variate dari cotoh di atas. Jika diketahui a = 77, Z 0 = 357 da m = 7, hitug jumlah X optimal yag diperoleh utuk 5 kali RN Peyelesaia :. Distribusi fugsi desitas Biomial : f ( j) k j k j p ( p) j Utuk k = da p = 0,5, maka : 0 0 a. Bila j = 0 : f (0) (0,5) ( 0,5) ()(0,5) 0, 5 0 b. Bila j = : f () (0,5) ( 0,5) (0,5)(0,5) 0, 5 0 c. Bila j = : f (0) (0,5) ( 0,5) (0,5) (0,5) 0, 5. Dari perhituga o. disusu dalam betuk tabel : X Batas ilai 0 0,00-0,5 0,6-0,75 0,76-,00 Utuk a = 77, Z 0 = 357 da m = 7 maka : i Z RNG X 5 0,04 0 4 0,03 0 3 54 0,43 4 94 0,74 5 6 0,99 Maka yag dipilih X = uit Pemodela &Simulasi : Radom variate distribusi diskret 4

7.4. Distribusi Poisso Distribusi Poisso mempuyai fugsi desitas probabilitas : x t ( t) e f ( x) utuk x = 0,,,... x! Distribusi Poisso serig disimbolka dega P(λ) da secara teoritis dapat dilakuka dega beberapa cara : a. Dapat dilakuka melalui batasa da distribusi Biomial dega B(,p), bila mecapai ilai besar tidak terbatas da juga P saga kecil maka dapat dilakuka dega Poisso Variate. b. Terdapat melalui hubuga dega distribusi ekspoesial dega ϵ (β), β merupaka parameter ekspoesial, apabila ada waktu diatara dua evet (kejadia) adalah idepede. Dega demikia dari hubuga pada distribusi ekspoesial aka dapat diguaka utuk megeerate radom variate x sebagai suatu Poisso variate yag dapat dirumuska melalui pertambaha waktu t dega batasa-batasa : i ti t i ti dega ti adalah radom variate dari distribusi ekspoesial ti l Ri sehigga aka diperoleh : i Ri e t i Ri Rumus ii merupaka peetu simulasi utuk medapatka jumlah kedataga dari distribusi Poisso dega mea (rata-rata) = λ per uit waktu. Cotoh : Suatu percobaa peelitia utuk megeerate distribusi Poisso melalui simulasi dega parameter jumlah kedataga mea = 3 kejadia per jam. Selama periode waktu,4 jam. Berapakah jumlah kedataga yag diharapka dari proses simulasi ii jika megguaka radom umber a = 7, m = 37 da Z 0 = 357. Peyelesaia : Dari Distribusi Poisso diketahui λ = 3 kejadia per jam da t =,4 jam Berarti λt = 3 *,4 = 4, kejadia Sehigga e- λt = e -4, =0,050 Pemodela &Simulasi : Radom variate distribusi diskret 43

Utuk a = 7, m=37 da Z 0 =357 maka : i 3 4 5 6 7 8 9 0 Z.06 9 455 33 373 56 78 55 75 9 RNG 0,83 0,968 0,3678 0,530 0,305 0,6 0,439 0,446 0,586 0,9636 i Ri 0,050 i Ri Dari radom umber yag diambil kemudia dimaipulasi : i Ri 0,83 * 0,968 * 0,3678 * 0,530 * 0,305 = 0,0 i Ri 0,83 * 0,968 * 0,3678 * 0,530 * 0,305 *0,6 = 0,008 Jadi : i Ri 0,050 Ri 0,0 0,050 > 0,008 i Sehigga diperoleh = 5, berarti jumlah kedataga optimal = 5 Utuk metode yag kedua, dari teori probabilitas dapat ditemuka sejumlah kejadia(evet) yag mucul da diyataka dalam distribusi Poisso, sedagka waktu atara kedua kejadia diyataka dalam parameter distribusi ekspoesial. Hasil akhir distribusi Poisso diyataka dalam jumlah kejadia (evet) sebesar yag mucul dalam waktu atau periode t. Rata-rata = µp = λt dimaa : λ = parameter ekspoesial T = jumlah waktu Distribusi Ekspoesial diketahui radom variabelya : ti l Ri utuk µ c = /λ Dega megambil t i =berulag kali sampai jumlah radom variate ekspoesial melampaui ilai waktu t utuk pertama kali. Hal ii dapat dilakuka utuk setiap distribusi Poisso setelah λ da t sebagai parameter yag perlu diketahui. Cotoh : Diguaka soal pada distribusi Poisso diatas kemudia megguaka radom variate ekspoesial, yaitu λ = 3 kejadia perjam da t =,4 jam. Peyelesaia : µ c = /λ = /3 jam ; ti l Ri Pemodela &Simulasi : Radom variate distribusi diskret 44

Tabel Poisso Number : R t l R t i 0,83 0,0656 0,0656 0,968 0,06 0,078 3 0,3678 0,3334 0,46 4 0,530 0,458 0,8697 5 0,305 0,3997,694 6 0,6 0,690,9596 7 0,439 Hasil maksimal Hasi akhir melampaui t Hasil akhir perhituga variate ii merupaka pejumlaha dari t i atau ti Utuk dapat mecapai atau melampaui t =,4 jam berarti ti t =,4 jam, agka yag pertama diperoleh pada = 6, dega demikia berdasarka distribusi Poisso, ilai Poisso diperoleh = 6- = 5, da hasil ii sama dega hasil pada metode yag pertama. 7.5. Distribusi Geometri Distribusi geometri merupaka suatu distribusi probabilitas diskret yag dapat megguaka ladasa pemikira simulasi diskret bilaga acak yag mempuyai radom variate dega rumus : log( ) X It i log( q) dimaa : µ i = pembagkit radom umber Cotoh : q = p p = parameter dari distribusi probabilitas geometri Pada seleksi karyawa baru pada sebuah perusahaa terdapat 30% pelamar yag sudah mempuyai keahlia komputer tigkat advace dalam pembuata program. Para pelamar diiterview secara itesif da diseleksi secara radom. Pertayaa : Pemodela &Simulasi : Radom variate distribusi diskret 45

. Apabila terdapat 0 pelamar yag dikumpulka, simulasika berapa pelamar yag dapat diterima utuk RNG dega a = 43, m = 37 da Z 0 =357.. Perhitugka rata-rata yag diterima dari jumlah pelamar yag ada. 3. Berapa besarkah probabilitas pertama kali pelamar diterima pada 5 iterview yag dilakuka? 4. Berapakah rata-rata pelamar yag membutuhka iteview iterview gua Peyelesaia : medapatka satu calo yag puya advace traig da juga variasiya? 30% pelamar sudah mempuyai latiha advace komputer berarti p = 0,30 dari distribusi geometri, q = -0,30 = 0,70 da log(q) = -0,549.. Radom variate dari distribusi geometri : X i Q i log( i ) Iteger log( q) utuk i =,,.., 0. utuk a = 43, m = 37 da Z 0 =357 didapat RNG (µ i ), X i (Q i ) i Z RNG=µ i X i =Q i 678 0,548 3 703 0,5683 3 3 54 0,4373 3 4 997 0,8060 5 83 0,657 6 33 0,6 5 7 8 0,80 5 8 993 0,807 9 64 0,58 3 0 349 0,8 5 Perbadiga X = : 3 : 5 = 3 : 4 : 3 Dari distribusi geometri dilakuka simulasi diperoleh : a. Sarjaa komputer yag diterima dari 0 orag calo adalah = 3 orag b. Rata-rata yag diterima dari jumlah calo yag ada = 3/0 * 00% = 30 % c. Probabilitas pertama kali pelamar diterima pada 5 iterview yag dilakuka : f(y) = p. Q y- utuk y =,, 3,.. Pemodela &Simulasi : Radom variate distribusi diskret 46

y = 5; p = 0,3; da q = - 0,3 = 0,7 f(y) = (0,3) (0,7) 5- = 0,070 Probabilitas P(y) = 0,070 d. Rata-rata pelamar yag membutuhka iterview utuk medapatka satu calo yag kualifide adalah : Rata-rata distribusi geometri : E(y) = q/p = 0,7/0,3 =,333 Variasiya : σ(y) = (-p)/p = 0,7/(0,3) = 7,78 Stadar deviasiya : SD(y) = 7,78 =,79 Pemodela &Simulasi : Radom variate distribusi diskret 47