MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a dan b b b b dua vektor di R. Perkalian titik dari a dan b, dinotasikan a badalah a b ab + ab + ab Pada R dengan definisi serupa adalah a b ab + ab Di mana a a a dan b b b CONTOH SOAL. Bila diketahui a i j+ 5 k dan b i 4j+ k maka a b. a i j+ 5k a 5 b i 4j+ k b [ 4 ] ab 5 4 [ ] + ( ) ( 4) + 5 4 Hasil dari perkalian titik berupa angka (konstanta) bukan berupa vektor.. Bila a [ x x ] dan b [ x 5 ] jika nilai dari ab. 0 maka nilai x yang memenuhi adalah.
ab 0 x x [ x 5 ] 0 x 5 + ( x ) 0 x + x 8 0 ( x+ )( x ) 0 x ataux B. SIFAT-SIFAT PERKALIAN TITIK Apabila a, b dan c adalah vektor-vektor di R (atau di R) dan k R konstanta sembarang, maka. aa. 0 dan aa. 0 jika dan hanya jika a 0. ab. ba.. a. ( b+ c) ab. + ac. 4. ka. b k ab. a. kb ( ) ( ) ( ) CONTOH SOAL. Jika diketahui vektor a i 7 j+ k dan b 4 i k maka hasil dari a+ b. a adalah. a i 7j+ k a 7 b 4i k b 4 0 Maka a+ b. a aa. ab. ( ) ( ) + [ 7 ].[ 7 ]+ [ 7 ]. 4 0 ( 4+ 49 + )+ ( 8+ 0 ) 08 + 4 50 ( ) ( ). Diketahui a [ 4 ], b [ ] dan c [ 5 ] vektor-vektor pada R. Hitunglah ( ab. ) c dan abc. kemudian tarik kesimpulan kedua operasi tersebut! ( )
ab. c 4. 5 ( ) ( ). [ 5 ] [ 5 ] (. ) [ 4 ] ([ ]. [ 5 ] ) [ 4 ]. [ 8 ] abc Kesimpulannya ab. c a bc. ( ) ( ) Teorema Apabila a dan b adalah dua vektor tidak nol di R (atau R) yang digambar dengan pangkal berimpit, misal θ, di mana 0 θ π, adalah sudut antara a dan b, maka berlaku ab. abcosθ CONTOH SOAL. Diketahui persegi panjang OABC dengan panjang OA dan AB 5. Jika OA u dan OB v maka u v... Misal ilustrasinya sebagai berikut C B 5 θ O A Dimana panjang OB dengan rumus pythagoras adalah, sehingga kita bisa mendapatkan nilai cos θ dengan memperhatikan segitiga siku-siku OAB dan menggunakan definisi cosinus
OA cosθ OB Maka u v uvcosθ OA OB 44. Diketahui titik-titik A(, -, 4), B (4,, ), dan C (, 0, 5). Kosinus sudut antara AB adalah... AB b a [ 4 ] 4 AC c a [ 0 5] 4 [ 0 ] ABAC. ABACcosθ [ ].[ 0 ] + + ( ) 0 + 0+ cosθ cosθ maka cosθ + cosθ dan AC. Diketahui vektor a Nilai x... a, b x dan b x. Sudut antara vektor a dan vektor b adalah 0. 4
ab. abcos ab, x + + + x x+ + 4 x 5 ( x+ 4) x + 5. x + x + 8x+ 5 ( ) 4 4x x+ 4 x + 0 x + x 4 0 x + x 7 0 ( x + 7)( x ) 0 x -7 atau x. + cos0 o 4. Vektor-vektor a A. -5 B. - C. 0 D. E. 5 dan b 4 adalah saling tegak lurus. Nilai x adalah... x ab. abcos ab, 4 ( ) + + ( ) ( ) + 4 + x cos90 x + 4 x 0 0 x 0 x 5 5. Jika vektor a dan b membentuk sudut 0, a dan b 5, maka a ( b+ a)sama dengan... 5
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 E. 0 a ( b+ a) a b+ a a a b cos ab + a a cos aa a b cos0 + a a cos0 5 + 9. Segitiga PQR dengan P(, 5, ), Q (, 4, ), dan R (,, ). Besar sin PQR adalah... Misal bentuk segitiganya PQR QPQR, Maka QP p q 5 4 0 QR r q 4 0
QP QR QP QR cosθ ( ) + + 0 ( ) + ( ) + 0 cosθ 0 0 0 5 5 cosθ cosθ 0 θ 90 Maka sinθ sin90 o Teorema Apabila a dan b adalah dua vektor tidak nol di R (atau R) yang digambar dengan pangkal berimpit, misal θ di mana 0 θ π adalah sudut antara a dan b, maka berlaku: a+ b a + b +. abcosθ a b a + b. abcosθ Atau dapat ditulis a+ b a + b +. ab. a b a + b. ab. Bila rumus di atas dijumlah atau dikurangkan akan didapat a+ b + a b a + b a+ b a b 4. ab. CONTOH SOAL. Diketahui a+ b 9, jika a 4 dan b maka a b adalah... 7
a+ b a + b + abcos0 a b a + b abcos0 + a+ b + a b a + b ( 9) + a b ( 4) + ( ) 7 + a b + 7 a b 8 a b 7 C. PROYEKSI VEKTOR PADA VEKTOR Apabila a dan b adalah dua vektor tidak nol di R (atau R) yang digambar dengan pangkal berimpit, misal θ dimana 0 θ π adalah sudut antara a dan b, maka berlaku a θ ab ab b Proyeksi a dan b, dinotasikan ab tegak lurus a dan b, di mana a b ab. b b adalah vektor pada b yang merupakan hasil proyeksi Sedangkan panjang proyeksi a pada b dinotasikan ab panjang vektor atau ab ab. b, dapat dicari dengan rumus 8
. Suatu vektor a adalah. a b ab. b b ( ( ) + + ) CONTOH SOAL dan b. Vektor proyeksi orthogonal a pada b [ ] [ ] + 9+ 4 9 [ ] 4 9 7 9 4 4 7. Suatu vektor u i 4 k, v i+ j+ kpanjang proyeksi orthogonal u pada v adalah... u i 4k [ 0 4] v i j k + + Panjang proyeksi orthogonal u pada v adalah uv uv. v [ 0 4][ ] + + + 0 8 5. Diketahui vektor AB [ a ] dan CD [ 4 4 ]. Bila proyeksi skalar AB CD adalah, maka nilai a adalah... pada 9
Diketahui AB [ a ] 4 4 4 + ( 4) + CD 4a 4 4a Maka 4a 4a a atau 4a 4a 0 a 0 D. PERKALIAN SILANG Apabila a dan b adalah dua vektor tidak nol di R di mana a x y z dan b [ x y z ] maka perkalian silang (cross product) dinotasikan a b adalah vektor atau dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk determinan i j k a b x y z x y z. Diketahui a [ 5 ] dan b CONTOH SOAL 7 9, bandingkan a b dengan b a i j k 5 5 a b 5 i j+ k 8i+ j 4k 7 9 9 7 7 9 i j k b a 7 9 0 7 9 9 9 a a i j+ k 8i j+ 4k 5 5 5 5 0
Bisa dilihat dan bisa dibuktikan berlaku sifat pada cross product yaitu a b b a ( ) LATIHAN SOAL. Diketahui vektor-vektor u i+ j+ 5 k ; v i j+ 5 k. Sudut antara vektor u dan v adalah... (Soal UN) A. 0 B. 45 C. 0 D. 90 E. 0. Diketahui vektor a i xj+ k ; b i+ j k, dan. Jika a tegak lurus b maka a b c adalah... (Soal UN) A. -0 B. - C. -0 D. -8 E. - ( ). Diketahui vektor u i+ j k dan v i+ 9j k. Jika vektor u av tegak lurus terhadap v maka a adalah... (Soal UN) A. - B. - C. D. E. 4. Diketahui titik A (5,, ); B (, -, -), dan C (4,, -4). Besar sudut ABC... (Soal UN) A. π B. π
C. D. π π E. 0 5. Diketahui vektor a 4i j+ k dan vektor b i j+ 4 k. Proyeksi vektor orthogonal vektor a pada b adalah... (Soal UN) A. i j+ k B. i j+ k C. i 4j+ 4k D. i j+ k E. i 8j+ k. Diketahui vektor-vektor a (,, ), b ( ) a+ c ( ) adalah... (Soal SPMB/SNMPTN) A. 0 B. 45 C. 0 D. 90 E. 0,,, dan c, 5, 0. Sudut antara ( a b)dan ( ) 7. Diketahui vektor u i 4j k dan v i j+ 4 k. Proyeksi vektor orthogonal u pada v adalah... (Soal UAN) A. 4i+ 8j+ k B. 4i+ 4j+ 8k C. i+ j 4k D. + i j+ k E. + i j k 8. Jika proyeksi vektor u i+ 4 j ke vektor v 4i+ 8 j adalah vektor w maka w adalah... (Soal UM UGM)
A. 5 B. 5 C. D. E. 9. Diketahui vektor a dan b 0. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4 maka salah satu nilai x adalah... A. B. 4 C. D. -4 E. - 0. Diketahui vektor a x, b dan panjang proyeksi a pada b adalah. Sudut antara a dan b adalah α maka... A. B. C. D. E.