Abstract

dokumen-dokumen yang mirip
Abstract

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

ANALISIS TENTANG GRAF PERFECT

Analisa Himpunan Dominasi pada Graf-Graf Khusus

Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC

Abstract

KARAKTERISTIK NILAI EIGEN DARI MATRIKS LAPLACIAN

Rainbow Connection Number Pada Operasi Graf

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG MASALAH

KARAKTERISTIK GRUP YANG DIBANGUN OLEH MATRIKS N X N DENGAN ENTRI BILANGAN BULAT MODULO P, P PRIMA

Batas Bilangan Ajaib Pada Graph Caterpillar

DIMENSI PARTISI PADA GRAF KINCIR PARTITION DIMENSION OF WINDMILL GRAPH

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 1, 41-45, April 2001, ISSN : KETERHUBUNGAN GALOIS FIELD DAN LAPANGAN PEMISAH

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G

BARISAN PANGKAT TERURUT MATRIKS PADA ALJABAR MAX PLUS

SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY

PELABELAN GRACEFUL SISI PADA GRAF KOMPLIT, GRAF KOMPLIT REGULER K-PARTIT, GRAF RODA, GRAF BISIKEL, DAN GRAF TRISIKEL

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

Pelabelan E-cordial pada Graf Hasil Cartesian Product

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS

RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman

SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak

Semigrup Matriks Admitting Struktur Ring

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

BILANGAN DOMINASI DARI GRAF-GRAF KHUSUS

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati

ANUITAS DUE PADA STATUS HIDUP PERORANGAN BERDASARKAN FORMULA WOOLHOUSE

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

ESSENTIALLY SMALL RIEMANN SUMS FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b] Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275

ESSENTIALLY SMALL RIEMANN SUMS FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b]

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB 2 LANDASAN TEORI

GRUP TERURUT PARSIAL PADA MATRIKS SIMETRI BERUKURAN 2 2

Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

(S.3) EVALUASI INTEGRAL MONTE CARLO DENGAN METODE CONTROL VARIATES

JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6 1

Ruang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

Kajian Himpunan Dominasi pada Graf Khusus dan Operasinya

PENDUGA RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KUARTIL VARIABEL BANTU PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK SEDERHANA DAN PENGATURAN PERINGKAT MEDIAN

Himpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia

UKURAN PEMUSATAN DATA

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL

LANGKAH-LANGKAH PENENTUAN SUATU BARISAN SEBAGAI SUATU GRAFIK DENGAN DASAR TEOREMA HAVEL-HAKIMI. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang.

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart

Aji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru

KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret)

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

METODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

Supriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS

KESETARAAN UJI PEPIN DAN LUCAS-LEHMER. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Penyelesaian Persamaan Non Linier

BAB III METODOLOGI PENELITIAN. kuantitatif karena bertujuan untuk mengetahui kompetensi pedagogik mahasiswa

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta

Metode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret. Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series

HUBUNGAN VARIETY DAN IDEAL RADIKAL SKRIPSI. Oleh : Ambar Mujiarti J2A

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

BAB III METODE PENELITIAN

BAB 2 LANDASAN TEORI

INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS ALJABAR MAXPLUS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

3. Rangkaian Logika Kombinasional dan Sequensial 3.1. Rangkaian Logika Kombinasional Enkoder

PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KOEFISIEN KURTOSIS PADA SAMPLING GANDA

BAB III METODOLOGI START. Baca Input Data γ, c, φ, x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3, x 4, y 4, D. Menghitung FK Manual. Tidak.

SUBGELANGGANG KOMUTATIF MAKSIMAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

BAB V UKURAN GEJALA PUSAT (TENDENSI CENTRAL)

PENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

MATEMATIKA EKONOMI (Deret)

KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG

PERSAMAAN DIFERENSIAL

PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b BUSUR-BERURUTAN PADA GRAF UNICYCLE SKRIPSI

BAB IV PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TI NGGI (1-n)

Transkripsi:

Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus Hedry Dwi Sautro 1,2, Ika Hesti A. 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT- Uiversity of Jember 2 Deartmet of Mathematics Educatio - Uiversity of Jember 3 Deartmet of Iformatio System - Uiversity of Jember hedry.dws29@gmail.com; Hestyari@gmail.com; d.dafik@uej.ac.id Abstract A set D of vertices of a simle grah G, that is a grah without loos ad multile edges, is called a domiatig set if every vertex u V (G) D is adjacet to some vertex v D. The domiatio umber of a grah G, deoted by γ(g), is the order of a smallest domiatig set of G. A domiatig set D with D = γ(g) is called a miimum domiatig set. We will show domiatig set of grah oeratio of secial grah (P, K m, cycle C, W m, ladder L, Bt m, ad secial grah G 1, G 2. Keywords: Domiatig Set, Domiatio Number, Graf Hasil Oerasi. Pedahulua Sebuah graf G didefiisika sebagai asaga terurut himua (V (G), E(G)) dimaa V (G) adalah sebuah himua berhigga tak kosog yag elemeelemeya diamaka titik (vertex), sedagka E(G) adalah sebuah himua sisi (edge) berbetuk garis lurus atau legkug yag meghubugka dua buah titik. Salah satu kajia dalam teori graf adalah domiatig set. Himua D dari titik graf sederhaa G diamaka domiatig set jika setia titik u V (G) D adjacet ke beberaa titik v D [?]. Kardialitas terkecil dari domiatig set disebut domiatio umber yag diotasika dega γ (G). Domiatig set bayak dialikasika dalam kehidua sehari-hari, diataraya utuk memodelka keterkaita ada jariga komuikasi komuter, emasaga kamera egawas, teori jariga sosial, eemata os atau olisi, da lai sebagaiya. Pada artikel ii aka dielajari tetag domiatig set ada hasil oerasi graf hhusus, diataraya graf G 1 [G 2 ], P [K m ], C [W m ], L [K m ], P [Bt m ], Amal (G, v = x i, r), da Amal (Bt, v = x 2, r). Berikut adalah ejelasa dari oerasi graf yag diakai dalam eelitia ii. Comositio dari graf G 1 (V 1, E 1 ) da G 2 (V 2, E 2 ) diotasika dega G = G 1 [G 2 ], yaitu graf dega himua titik V (G 1 ) V (G 2 ) da dua titik (u 1, u 2 ) da (v 1, v 2 ) di G adjacet ketika (u 1 adj v 1 ) atau (u 1 = v 1 da u 2 adj v 2 ) [?]. Amalgamatio titik diotasika dega Amal (G, v, r) dimaa G adalah suatu keluarga graf berhigga, setia G memuyai suatu titik v yag disebut titik termial, da r meyataka bayakya graf G yag aka di-amalgamatio [?]. Sebelumya, [?] telah melakuka eelitia tetag domiatig set ada

Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 100 graf jarig laba-laba W b, arasut P C, helm H,m, da regular A 2,m. Kemudia [?] juga melakuka eelitia tetag domiatig set ada graf rem cakram Db,m, risma D m,, lamio,m, tigkat tagga risma Dt,m, da Amal (C, 1, m). Peelitia megeai domiatig set ada graf tribu T, ratai etago BC, Shack (S m, ), C (P 4 + K 1 ), C + P, lobster L i,j,k, triagular ladder L, P 2 C, da P [C 3 ] telah dilakuka oleh [8]. [?] da [?] telah melakuka eelitia tetag alikasi teori domiatig set ada aalisis morfologi jala. Kemudia masih di tahu yag sama, [?] juga melakuka eelitia tetag domiatig set ada graf F l, ϑ,m, F,k, B,m, da CR,m, serta megalikasika teori domiatig set ada aalisis toologi jariga Wide Area Network (WAN). Berdasarka eelitia sebelumya, maka eeliti aka megembagka teori domiatig set ada hasil oerasi graf khusus, yaitu graf G 1 [G 2 ], P [K m ], C [W m ], L [K m ], P [Bt m ], Amal (G, v = x i, r), da Amal (Bt, v = x 2, r). Teorema yag Diguaka Teorema 1 Utuk sebarag graf G, maka 1+ (G) γ (G) (G). Bukti: Misalka S adalah sebuah domiatig set dari G. Utuk batas bawahya, setia titik daat sebagai domiatig set da memuyai (G) ke titik yag lai. Berakibat, γ(g) 1+ (G). Utuk batas atasya, misalka v adalah titik dega derajat maksimum ( (G)) da N[v] meruaka titik yag adjacet dega v. Maka v sebagai domiatig set dari N[v] da titik-titik di V N[v] meruaka domiatig set mereka sediri. Berakibat, V N[v] meruaka domiatig set dega kardialitas (G), sehigga γ(g) (G). Maka 1+ (G) γ(g) (G) [?]. Hasil Peelitia Dari hasil eelitia ii dieroleh 2 teorema da 5 akibat yaitu domiatio umber ada graf G 1 [G 2 ], P [K m ], C [W m ], L [K m ], P [Bt m ], Amal (G, v = x i, r), da Amal (Bt, v = x 2, r). Teorema yag ertama adalah domiatio umber ada hasil oerasi comositio dari sebarag dua graf sederhaa. Teoremaya adalah sebagai berikut: Teorema 2 Misal G 1 da G 2 adalah sebarag graf sederhaa dega (G 2 ) = V (G 2 ) 1. Maka domiatio umber dari γ (G 1 [G 2 ]) = γ (G 1 ).

Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 101 Bukti. Comositio dari graf G 1 (V 1, E 1 ) da G 2 (V 2, E 2 ) diotasika dega G = G 1 [G 2 ], yaitu graf dega himua titik V (G 1 ) V (G 2 ) da dua titik (u 1, u 2 ) da (v 1, v 2 ) di G adjacet ketika (u 1 adj v 1 ) atau (u 1 = v 1 da u 2 adj v 2 ). Misal V (G 1 ) = m da V (G 2 ) = maka V (G 1 [G 2 ]) = m. Misal (G 1 ) = k, dimaa k m 1 maka m k+1 γ (G 1) m k da misal (G 2 ) = 1 maka (G 1 [G 2 ]) = (k+1) 1. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i y j ; 1 i V (G 1 ) ; x i V (G 1 ); x i adalah domiatig set di G 1 ; y j adalah sebarag satu titik di G 2 ; dimaa (y j ) = V (G 2 ) 1}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = γ (G 1 ) sehigga γ (G 1 [G 2 ]) = γ (G 1 ). Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (G 1 [G 2 ]) γ (G 1 [G 2 ]) (G 1 [G 2 ]), substitusika ilai da (G 1 [G 2 ]) mejadi m (k+1) γ (G 1[G 2 ]) m ((k + 1) 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu m k+1 γ (G 1[G 2 ]) m k +1. Utuk γ (G 1 ) = m k+1, maka γ (G 1[G 2 ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Utuk m k+1 < γ (G 1) m k aka ditujukka m k m k + 1. m k + 1 = m k( m k + 1 m k ). Utuk m > 1, 1, da k < m 1, ambil m da terkecil yaitu m = 2 da = 1 sehigga m k = 1 1 2 = 1 2 da 1 m k = 1 2. Sehigga utuk m > 1, 1, da k < m 1 dieroleh m k 1 2 da 0 < 1 m k 1 2, sehigga m k + 1 m k 1. Hal ii megakibatka m k( ) m k. Sehigga dieroleh m k + 1 m k m k m k + 1. Maka γ (G 1 [G 2 ]) berada ada selag domiatio umber utuk m k+1 < γ (G 1) m k. Selajutya aka disajika akibat yag ertama dari Teorema 2.1, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf P [K m ]. Berikut adalah akibat yag ertama dari Teorema 2.1. Corollary 1 Misal G adalah graf hasil oerasi comositio dari graf litasa P da graf legka K m, dimaa 2 da m 3, maka γ (P [K m ]) = 3. Bukti. Graf P [K m ] adalah graf dega V (P [K m ]) = {x i y j ; 1 i ; 1 j m}, E(P [K m ]) = {x i y j x i y k ; 1 i ; 1 j m; j k} {x i y j x i+1 y k ; 1 i 1; 1 j m; 1 k m}, V (P [K m ]) = m, E(P [K m ]) = m(m 1) 2 + m 2 ( 1), da terdaat dua kemugkia (P [K m ]), yaitu (P [K m ]) = 2m 1 utuk = 2 da (P [K m ]) = 3m 1 utuk 3. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i 1 y j ; 1 i ; i = keliata 3; y j adalah sebarag satu titik di K m } {x y j ; = 3k + 1; dimaa k A; y j adalah sebarag satu titik di K m }, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 3 sehigga γ (P [K m ]) = 3. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (P γ (P [K m]) [K m ]) (P [K m ]), substitusika ilai da

Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 102 (P [K m ]). Utuk = 2 maka (P [K m ]) = 2m 1 sehigga 1+ (P γ [K m]) (P [K m ]) (P [K m ]) mejadi 2m 2m γ (P [K m ]) 2m (2m 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 1 γ (P [K m ]) 1. Maka γ (P [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Utuk 3 maka (P [K m ]) = 3m 1 sehigga 1+ (P γ (P [K m]) [K m ]) (P [K m ]) mejadi m 3m γ (P [K m ]) m (3m 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 3 γ (P [K m ]) m 3m + 1. Maka γ (P [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Selajutya aka disajika akibat yag kedua dari Teorema 2.1, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf C [W m ]. Berikut adalah akibat yag kedua dari Teorema 2.1. Corollary 2 Misal G adalah graf hasil oerasi comositio dari graf cycle C da graf roda W m, dimaa 3 da m 3, maka γ (C [W m ]) = 3. Bukti. Graf C [W m ] adalah graf dega V (C [W m ]) = {x i A, x i y j ; 1 i ; 1 j m}, E(C [W m ]) = {x i y j x i y j+1 ; 1 i ; 1 j m 1} {x i y m x i y 1 ; 1 i } {x i A x i y j ; 1 i ; 1 j m} {x i y j x i+1 y k ; 1 i 1; 1 j m; 1 k m} {x y j x 1 y k ; 1 j m; 1 k m} {x i A x i+1 A; 1 i 1} {x A x 1 A} {x i A x i+1 y j ; 1 i 1; 1 j m} {x A x 1 y j ; 1 j m} {x i A x i 1 y j ; 2 i ; 1 j m} {x 1 A x y j ; 1 j m}, V (C [W m ]) = (m + 1), E(C [W m ]) = m 2 + 4m +, da (C [W m ]) = 3(m + 1) 1. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i 1 A; 1 i ; i = keliata 3} {x A; = 3k + 1; dimaa k A}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 3 sehigga γ (C [W m ]) = 3. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (C [W m]) γ (C [W m ]) (C [W m ]), substitusika ilai da (C [W m ]) mejadi (m+1) 3(m+1) γ (C [W m ]) m (3(m + 1) 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 3 γ (C [W m ]) m 3m + 2. Maka γ (C [W m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Selajutya aka disajika akibat yag ketiga dari Teorema 2.1, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf L [K m ]. Berikut adalah akibat yag ketiga dari Teorema 2.1. Corollary 3 Misal G adalah graf hasil oerasi comositio dari graf ladder L da graf legka K m, dimaa 3 da m 3, maka domiatio umber dari

Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 103 (L [K m ]) adalah sebagai berikut: { γ (L [K m ]) = 2, dimaa = gajil. 2 + 1, dimaa = gea. Bukti. Graf L [K m ] adalah graf dega V (L [K m ]) = {y i x j, z i x j ; 1 i ; 1 j m}, E(L [K m ]) = {y i x j y i x k ; 1 i ; 1 j m; 1 k m; j k} {z i x j z i x k ; 1 i ; 1 j m; 1 k m; j k} {y i x j y i+1 x k ; 1 i 1; 1 j m; 1 k m} {y i x j z i x k ; 1 i ; 1 j m; 1 k m} {z i x j z i+1 x k ; 1 i 1; 1 j m; 1 k m}, V (L [K m ]) = 2m, E(L [K m ]) = 4m 2 2m 2 m, da (L [K m ]) = 4m 1. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {y 4i 3 x j ; 1 i 4 ; y j adalah sebarag satu titik di K m } {{z 4i 1 x j ; 1 i 4 ; y j adalah sebarag satu titik di K m ; = 4k atau = 4k 1; dimaa k A} atau {z 4i 1 x j ; 1 i < 4 ; y j adalah sebarag satu titik di K m ; = 4k 2 atau = 4k 3; dimaa k A}} {y x j, y j adalah sebarag satu titik di K m m; = 4k; dimaa k A} {z x j, y j adalah sebarag satu titik di K m ; = 4k 2; dimaa k A}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 2 utuk gajil da D = 2 + 1 utuk gea, sehigga γ (L [K m ]) = 2 utuk gajil da γ (L [K m ]) = 2 + 1 utuk gea. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (L γ (L [K m]) [K m ]) (L [K m ]), substitusika ilai da (L [K m ]) mejadi 2m 4m γ (L [K m ]) 2m (4m 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 2 γ (L [K m ]) 2m 4m + 1. γ (L [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber utuk gajil da γ (L [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber ditambah satu utuk gea. Selajutya aka ditujukka bahwa 2 + 1 2m 4m + 1. 2m 4m + 1 = 2 (4m 8m + 2 ). Utuk sebarag m 3 da 4 dimaa gea dieroleh 6 4m 8m < 4m da 2 1 2, sehigga 4m 8m + 2 > 6. Hal ii megakibatka 2 (4m 8m + 2 ) > 2 + 1. Sehigga dieroleh 2 +1 < 2m 4m+1. Maka 2 +1 selalu berada ada selag domiatio umber. Maka γ (L [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber utuk gajil da γ (L [K m ]) berada ada batas bawah domiatio umber ditambah satu utuk gea. Selajutya aka disajika akibat yag keemat dari Teorema 2.1, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf P [Bt m ]. Berikut adalah akibat yag keemat dari Teorema 2.1. Corollary 4 Misal G adalah graf hasil oerasi comositio dari graf litasa P da graf buku segitiga Bt m, dimaa 2 da m 2, maka γ (P [Bt m ]) = 3.

Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 104 Bukti. Graf P [Bt m ] adalah graf dega V (P [Bt m ]) = {x i y j, x i z k ; 1 i ; 1 j 2; 1 k m}, E(P [Bt m ]) = {x i y j x i y j+1 ; 1 i ; j = 1} {x i y j x i z k ; 1 i ; 1 j 2; 1 k m} {x i y j x i+1 y l ; 1 i 1; 1 j 2; 1 l 2} {x i y j x i+1 z k ; 1 i 1; 1 j 2; 1 k m} {x i y j x i 1 z k ; 2 i ; 1 j 2; 1 k m} {x i z k x i+1 z l ; 1 i 1; 1 k m; 1 l m}, V (P [Bt m ]) = (m + 2), E(P [Bt m ]) = m 2 m 2 + 6m 4m + 5 4, da terdaat dua kemugkia (P [Bt m ]), yaitu (P [Bt m ]) = 2m + 3 utuk = 2 da (P [Bt m ]) = 3m + 5 utuk 3. Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i 1 y j ; 1 i ; i = keliata 3; y j adalah sebarag satu titik di Bt m ; dimaa (y j ) = V (Bt m ) 1} {x y j ; y j adalah sebarag satu titik di Bt m ; dimaa (y j ) = V (Bt m ) 1}; = 3k + 1; dimaa k A}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 3 sehigga γ (P [Bt m ]) = 3. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (P γ (P [Bt m]) [Bt m ]) (P [Bt m ]), substitusika ilai da (P [Bt m ]). Utuk = 2 maka (P [Bt m ]) = 2m+3 sehigga 1+ (P γ (P [Bt m]) [Bt m ]) (P [Bt m ]) mejadi 2m+4 2m+4 γ (P [Bt m ]) (2m+4) (2m+3), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 1 γ (P [Bt m ]) 1. Maka γ (P [Bt m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Utuk 3 maka (P [Bt m ]) = 3m + 5 sehigga 1+ (P γ (P [Bt m]) [Bt m ]) (P [Bt m ]) mejadi (m+2) 3m+6 γ (P [Bt m ]) (m + 2) (3m + 5), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 3 γ (P [Bt m ]) m 3m + 2 5. Maka γ (P [Bt m ]) berada ada batas bawah domiatio umber. Teorema yag kedua adalah domiatio umber ada hasil oerasi amalgamatio dari sebarag graf sederhaa. Teoremaya adalah sebagai berikut: Teorema 3 Misal G adalah sebarag graf sederhaa dega (G) = V (G) 1. Maka domiatio umber dari γ (Amal (G, v = x i, r)) = 1, dimaa x i V (G), (x i ) = V (G) 1, da r 2. Bukti. Amalgamatio titik dari suatu graf G diotasika dega Amal (G, v, r) dimaa G adalah suatu keluarga graf berhigga, setia G memuyai suatu titik v yag disebut titik termial, da r meyataka bayakya graf G yag aka di-amalgamatio. Misal G adalah sebarag graf sederhaa dega V (G) = m da (G) = m 1, maka V (Amal (G, v = x i, r)) = r(m 1) + 1 dimaa x i adalah titik termial berderajat m 1, sehigga (Amal (G, v = x i, r) = r(m 1). Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x i ; (x i ) = V (G) 1}, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 1 sehigga γ (Amal (G, v = x i, r)) = 1. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa

Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 105 1+ (Amal(G,v=x i,r)) γ (Amal (G, v = x i, r)) (Amal (G, v = x i, r)), substitusika ilai da (Amal (G, v = x i, r)) mejadi r(m 1)+1 r(m 1)+1 γ (Amal (G, v = x i, r)) (r(m 1) + 1) r(m 1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 1 γ (Amal (G, v = x i, r)) 1. Maka γ (Amal (G, v = x i, r)) berada ada batas bawah domiatio umber. Selajutya aka disajika akibat dari Teorema 2.2, dimaa graf yag diguaka ada akibat ii adalah graf Amal (Bt, v = x 2, r). Berikut adalah akibat dari Teorema 2.2. Corollary 5 Misal G adalah graf hasil oerasi amalgamatio dari graf Bt, dimaa 2 da r 2, maka γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) = 1. Bukti. Graf Amal (Bt, v = x 2, r) adalah graf dega V (Amal (Bt, v = x 2, r) = {x 1,k, x 2 ; y j,k ; 1 j ; 1 k r}, E(Amal (Bt, v = x 2, r) = {x i,k x 2 ; 1 k r} {x 1,k y j,k ; 1 j ; 1 k r} {x 2 y j,k ; 1 j ; 1 k r}, V (Amal (Bt, v = x 2, r)) = r( + 1) + 1, E(Amal (Bt, v = x 2, r)) = r(2 + 1), da (Amal (Bt, v = x 2, r) = r( + 1). Pilih titik yag mejadi domiatig set D = {x 2 }, maka daat dilihat bahwa D adjacet dega semua eleme V \D. D = 1 sehigga γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) = 1. Berdasarka Teorema 1 diyataka bahwa 1+ (Amal(Bt,v=x 2,r)) γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) (Amal (Bt, v = x 2, r)), substitusika ilai da (Amal (Bt, v = x 2, r)) mejadi r(+1)+1 r(+1)+1 γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) (r(+1)+1) r(+1), sehigga dieroleh batas bawah da batas atas domiatio umber yaitu 1 γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) 1. Maka γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) berada ada batas bawah domiatio umber. Kesimula Berdasarka hasil dari embahasa ada bagia sebelumya, daat disimulka bahwa: 1. γ (G 1 [G 2 ]) = γ (G 1 ), dimaa (G 2 ) = V (G 2 ) 1. 2. γ (P [K m ]) = 3, dimaa 2 da m 3. 3. γ (C [W m ]) = 3, dimaa 3 da m 3. 4. γ (L [K m ]) = { 2, dimaa 3, m 3, da = gajil. 2 + 1, dimaa > 3, m 3, da = gea. 5. γ (P [Bt m ]) = 3, dimaa 2 da m 2.

Hedry, et.al: Domiatig Set ada Hasil Oerasi Graf Khusus 106 6. γ (Amal (G, v = x i, r)) = 1, dimaa x i V (G), (x i ) = V (G) 1, da r 2. 7. γ (Amal (Bt, v = x 2, r)) = 1, dimaa 2 da r 2. Oe Problem 1 Peeliti memberika sara keada embaca suaya daat mecari domiatio umber ada hasil oerasi sebarag graf khusus yag berada ada batas bawah domiatio umber, yaitu graf G 1 G 2, G 1 G 2, G 1 [G 2 ] dimaa G 2 V (G 2 ) 1, da Shack (P 2 [K m ], v = x 1,k, r) dimaa r > 50. Refereces [1] Agusti. I.H ad Dafik. 2014. O The Domiatio Number of Some Families of Secial Grahs. Prosidig Semiar Matematika da Pedidika Matematika Uiversitas Jember. 1 (1). [2] Alfarisi. R. 2014. Peeraa Tekik Kostruksi Graf, Raibow Coectio, da Domiatig Set dalam Aalisis Morfologi Jala. Tidak diublikasika Skrisi). Jember: Uiversitas Jember. [3] Alfarisi. R.,Dafik ad Fatahillah. A. 2014. Aalisa Himua Domiasi ada Graf-Graf Khusus. Prosidig Semiar Matematika da Pedidika Matematika Uiversitas Jember. 1 (1). [4] Ardiyasah. R ad Darmaji. 2013. Bilaga Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf. Jural Sais da Sei Pomits. 2 (1). [5] Harrary. F. 2007. Grah Theory. Addiso: Wesley. [6] Hayes. T. W., Hedetiemi. S. T. ad Slater. P. j.1998. Fudametals of Domiatio i Grahs.New York: Marcel Dekker. [7] Muharromah. A. 2014. Aalisis Morfologi Jala Kota dega Peeraa Teori Graf Domiatig Set. Tidak diublikasika (Skrisi). Jember: Uiversitas Jember [8] Muharromah. A., Agusti. H. I. ad Dafik. 2014. Bilaga Domiasi ada Graf Hasil Oerasi. it Prosidig Semiar Matematika da Pedidika Matematika Uiversitas Jember.1 (1). [9] Wardai. D. A. R. 2014. Aalisis Toologi Jariga Wide Area Network (WAN) dega Peeraa Teori Graf Domiatig Set. Tidak diublikasika (Skrisi). Jember: Uiversitas Jember.

2024 © DocPlayer.info Pengaturan dan alat privasi | Ketentuan | Tanggapan