MODEL VALUASI PREMI ASURANSI JIWA ENDOWMEN BERBASIS SUKU BUNGA STOKASTIK Oleh Sudiato Maullag, S.Si., M.Sc ABSTRAK Peelitia ii bertujua utuk medapatka model premi asurasi jiwa edowme dega megguaka suku buga stokastik Vasicek Faktor suku buga da mortalitas merupaka kompoe utama pembetuk premi asurasi jiwa edowme. Model suku buga Vasicek adalah salah satu model suku buga stokastik yag diguaka pada derivatif yag mejadi faktor disko dari harga zero coupo bod utuk medapatka ilai auitas, asurasi sehigga meghasilka ilai premi bersih tahua asurasi jiwa edowme. 1. PENDAHULUAN Hidup mausia merupaka sebuah aset yag dapat medatagka pedapata. Aset ii juga meghadapi risiko seperti kematia, sakit, da cacat yag membuat seseorag tidak mampu memperoleh peghasila. Hal ii megakibatka pihak-pihak yag bergatug seperti keluarga megalami kesulita. Da asurasi meyediaka perliduga terhadap risiko-risiko tersebut. Pada asurasi tradisioal ilai aset (hidup mausia) diaggap sama disetiap waktu padahal ilai hidup mausia tidak sama sepajag waktu (dimais). Jika karir seseorag maki meigkat maka ilai ekomois dari hidupya pu aka aik atau sebalikya Sedagka hukum pasar dari idustri asurasi adalah meciptaka premi da beefit yag seoptimal mugki. Jika premi yag ditawarka terlalu mahal maka kemugkia besar produk tersebut tidak aka laku dijual sedagka apabila premi terlalu murah maka perusahaa aka medapatka resiko yag besar da profit yag kecil pula. Pada dasarya premi asurasi jiwa dipegaruhi oleh tiga faktor yaitu: peluag seseorag usia tertetu aka meiggal dalam jagka waktu tertetu (mortalitas), suku buga yaitu tigkat suku buga yag diperoleh oleh daa yag diivestasika, da biaya utuk memasarka polis da biaya admiistrasi laiya utuk pegelolaa polis tersebut. Model buga stokastik yag dipakai adalah model buga yag megikuti suatu persamaa diferesial stokastik, model ii diaggap dapat meyempuraka model kovesioal, yaitu model buga determiistik. Selai itu model buga stokastik juga merupaka betuk umum dari model buga determiistik, dimaa 1
model buga determiistik merupaka kasus khusus dari model buga stokastik Usur stokastik dalam peetua besara aktuaria pada suku buga stokastik dapat dilakuka dega megguaka model tigkat suku buga derivatif yag ada dalam duia pasar modal. Model yag palig popular dalam struktur waktu suku buga (term structure of iterest rate) adalah model kesetimbaga karea memuat usur determiistik da stokastik didalamya. Salah satu model yag berkembag tersebut adalah model Vasicek (1977), model ii merupaka pegembaga dari model Orstei-Uhlebeck (1931). Salah satu istrume pasar yaki obligasi yag megguaka tigkat buga derivatif serig diaplikasika dalam perhituga aktuaria pada asurasi jiwa. Betuk obligasi tapa buga (zero coupo bod) yag memuat faktor disko pada ilai premi dapat dirumuska dega megguaka model ii, yag pada akhirya juga dapat meggambarka perubaha-perubaha tigkat suku buga dari perhituga aktuaria. 2. TEORI DASAR 2.1 Proses Stokastik Defeisi 2.1 Suatu proses stokastik dega waktu kotiu X t, t T disebut memiliki ikreme idepede (idepedet icremet) jika semua t t 1 t 2... t, variabel radom X t 1 X t, X t 2 X t 1,..., X t X t 1 adalah salig idepede. 2.2 Gerak Brow Defeisi 2.2 (Ross, 1996) Gerak brow serig juga disebut sebagai proses Wieer. Suatu proses stokastik W t : t disebut gerak Brow jika proses tersebut memeuhi beberapa kriteria berikut ii : i) W da W t adalah kotiu saat t ii) W t N, t yag berarti W t berdistribusi ormal dega mea da variasi t. iii) W t W s N, t s da aka idepede selama proses sampai waktu ke-s 2.3 Asurasi Jiwa Edowme Diberika b k 1 adalah fugsi mafaat (beefit) asurasi da v k 1 meujukka fugsi diskoto. Nilai waktu sekarag (preset value) dari pembayara mafaat pada saat dikeluarkaya polis diotasika dega z k 1 z k 1 b k 1 v k 1 (2.2.1) Utuk asurasi jiwa edowme tahu yag memberika mafaat sebesar 1 satuaa di akhir tahu kematia dipuyai, 2
1 k,1,..., 1 b k 1 k laiya v k 1 v k 1, v K 1 Z K,1,..., 1 laiya Premi tuggal bersih utuk asurasi ii dega megguaka equivalece premium priciple diberika sebagai : A 1 1 E Z v k 1 k k p x q x k (2.2.2) dega k p x meujukka probabilitas seseorag yag sekarag berusia x tahu aka hidup sampai k tahu ke depa, da q meujukka probabilitas seseorag yag x k sekarag berusia (x +k) tahu aka meiggal 1 tahu yag aka datag. Diketahui hubuga, p p p... p (1 q )(1 q )...(1 q ) atau p l xk k x x x1 xk 1 x x1 xk 1 k x l x dimaa l x adalah jumlah yag hidup berusia x. Dalam hal ii A 1 meotasika premi tuggal bersih asurasi jiwa edowme tahu. Asurasi jiwa edowme muri tahu adalah salah jeis asurasi yag membayar sebesar 1 kepada tertaggug (isured) pada akhir tahu kemudia jika tertaggug masih hidup pada waktu tersebut. Jadi, fugsi utuk jeis asurasi ii adalah : k,1,..., 1 b k 1 1 k, 1,... k,1,..., 1 v k 1 v k, 1,... K,1,..., 1 Z v K, 1,... Premi tuggal bersih utuk jeis asurasi ii dega megguaka equivalece premium priciple diberika sebagai : A 1 E v x: x p x (2.2.3) 1 Sebagaiamaa peotasia pada asurasi jiwa edowme tahu, Ax: E x meujukka otasi utuk premi tuggal bersih utuk asurasi jiwa edowme muri tahu utuk seseorag yag berusia x tahu. Asurasi jiwa edowme (dwigua) adalah peggabuga atara asurasi jiwa edowme da asurasi jiwa edowme muri. Asurasi jiwa edowme yag aka membayar sebesar 1 kepada ahli waris jika tertaggug pada selag waktu atau aka membayar sebesar 1 pada akhir tahu kemudia jika tertaggug masih hidup pada waktu tersebut. Sehigga premi tuggal bersih utuk jeis asurasi jiwa edowme 1 x: diberika sebagai : A A 1 A 1 k x x k x k v k 1 p q v p 2.4 Auitas Hidup Auitas hidup merupaka seragkaia pembayara dikaitka dega mati 3
hidupya sesorag secara terus-meerus atau pada selag waktu yag sama, 4
seperti bula, triwula, atau tahua, selama seseorag yag mejadi tertaggug masih hidup. Dega kata lai Auitas hidup merupaka auitas yag pembayaraya dikaitka dega mati hidupya sesorag. Iterval pembayara dapat dilakuka pada awal (auities-due), atau auitas akhir (auitiesammediate) yag dapat dilakuka pada akhir waktu pembayara. Nilai auitas hidup edowme waktu tahu dapat dituliska sebagai berikut : a vt p dt t x 2.4.1 2.5 Premi Premi dalam asurasi jiwa edowme dibayarka secara berkala selama jagka waktu kotrakya, yag biasaya dibayarka pada awal periode. Semaki pajag retag jagka waktu pembayara premi maka harga premi yag dibayarka aka semaki kecil. Perhituga premi secara berkala dega periode pembayara tahu serta memberika mafaat sebesar 1 satua pada saat tahu kematia adalah : Pa A 1 2.6.1 dega a adalah ilai tuai auitas awal da A 1 adalah asurasi atau ilai satua. 3.1 Peetua Premi Bersih Asurasi Jiwa Edowme 3.1.1 Persamaa model VASICEK Model Vacisek diperkealka pertama kali tahu 1977 oleh Oldrich Vasicek (Vasicek, 1977). Model ii merupaka salah satu model matematika yag mejelaska evolusi tigkat buga. Model Vacisek termasuk dalam persamaa diferesial stokastik yag mampu meggambarka fluktuasi pergeraka short-rate (tigkat suku buga sesaat) dari yield obligasi selama masa obligasi. Selai dapat memodelka fluktuasi tigkat suku buga, model Vacisek juga dapat diguaka utuk memprediksi besarya tigkat buga pada periode kedepa. Model Vasicek berbetuk sebagai berikut : dr t r t dt dw t, 3.1.1 r t Dalam model ii ditujukka adaya mea reversio yaitu suatu kecedruga ilai berada disekitar rata-rata log ru atau dapat dikataka bahwa tigkat suku buga bergerak dalam rage terbatas. Sebagai ilustrasi jika tigkat buga berada diatas rata-rata log ru r maka faktor drift aka berilai egatif sehigga suku buga aka diteka sampai pada ilai rata-rata. Jika r maka faktor drift aka berilai positif sehigga buga juga harus diteka karea faktor drift berilai positif aka meaikka suku buga. Naikya suku buga pada akhirya aka meghambat percepata pertumbuha ekoomi. 5
Dega megguaka proses Orstei-Uhlebeck solusi persamaa 3.1.1 mejadi : t s r t r e t e dw s r r e t t 1 e t e e dw 3.1.2 t s s s 3.1.2 ZCB (Zero Coupo Bod)/ Obligasi berkupo ol Yield dari ZCB, yaitu hasil yag aka diperoleh ivestor apabila meempatka daaya utuk dibelika obligasi, sepeuhya sama dega suku buga. Misalka r t mewakili suku buga pada waktu yag bersifat kotiu diperoleh ilai ZCB sebesar : P t,t e r t T t da diperoleh yield 3.1.3 R t,t log P * t,t T t 3.1.4 Solusi utuk masalah harga ZCB pada dapat ditetuka dega megguaka model Affie. Diasumsika drift da volatilitas spot rate pada model mea reversio masigmasig berbetuk r, t t t r da r, t 2 t t r t 1 2 t t 1 2 t utuk i t da i t, i 1, 2, adalah fugsi determiistik dalam t. 3.1.5 Sebuah ZCB edowme waktu T dega harga pada waktu t adalah P t,t, r P, r, misalka peetua harga megikuti formula P, r exp A B r t 3.1.6 Solusi utuk A da B utuk peetua ilai ZCB dapat dicari dega mereduksi usur r t pada persamaa (3.5.5) sehigga diperoleh persamaa diferesial simulta 5
B ' 1 2 2t r B 2 t 2 t r t B 1 A ' 1 t B 2 t B 2 1 1 3.1.7 3.1.8 dega : B 1 e 2 2 2 2 2 2 A r B B 1 B 2 2 r B 1 B 2 4 3.1.9 3.1.1 Premi tahua utuk asurasi jiwa dega 1 uit pembayara pada saat kematia x berdasarka model suku buga Vasicek diyataka dega A 1 A 1 E E v t E v t f TX t dt P, r t f TX t dt exp A B r t f TX t dt A 1 3.1.11 2 2 2 exp r B r r B 2 exp ds dt 2 2 t 2 2 4 x t x s da utuk auitas hidup kotiu pembayara 1 uit setiap periode berdasarka model suku buga Vasicek diyataka dega a 6
a a P t p x dt A exp B r p dt t t x 2 2 r 2 4 t t x 2 2 2 r B B 2 exp B r p dt 3.1.12 B B 2 exp B r exp ds dt 2 2 t x s 4 Berdasarka persamaa (2.1.11) da (3.1.12) maka premi asurasi jiwa seumur hidup dega suku buga Vasicek adalah Pa BA 1 P B A 1 a 3.6.1 4.1 Studi kasus Dega megguaka bahasa pemograma R diperoleh hasil ilai asurasi, auitas, da harga premi bersih asurasi jiwa edowmeya sebagai berikut : 1. Premi Vasicek masa kotrak Auitas berfugsi sebagai pembagi ilai dari asurasi maka jika semaki besar ilai auitas maka pembagi aka semaki besar yag meyebabka harga premi aka semaki redah. Utuk melihat asumsi tersebut aka ditujukka dalm simulasi berikut. Dega megguaka data berikut aka diperoleh perubaha harga premi asurasi jiwa edowme. Berusia 4 tahu membeli kotrak asurasi jiwa edowme dega jagka waktu kotrak selama 1-5 tahu da uag pertagguga/beefit yag ditawarka sebesar Rp. 5.., da suku buga ista yag berlaku adalah 6.75% per tahu. Dega megguaka pemograma yag sama da fugsi perulaga terhadap masa asurasi pada perhituga harga premi maka aka diperoleh hasil sebagai berikut : Tabel 4.5 Harga premi dega suku buga Model Vasicek berdasarka perubaha masa kotrak asurasi buga asurasi auitas premi Fakultas Matematika Uiversitas.51 Negeri Meda.1324671 13.45725 487333.7.52.1333127 13.39112 48816.3 7.53.1341652 13.32547 488699.3
buga asurasi auitas premi.3.116234 14.96679 473119.3.31.1169171 14.88936 47379.2.32.1176365 14.81252 474461.8 8
.33.1183617 14.73625 475134.1.34.119927 14.6657 47587.35.1198297 14.58545 47648.5.36.125725 14.5189 477154.6.37.1213214 14.4369 477829.4.38.122764 14.36346 47854.7.39.1228375 14.2958 47918.7.4.123647 14.21824 479857.2.41.1243782 14.14644 48534.2.42.1251579 14.7518 481211.9.43.1259439 14.445 48189.44.1267364 13.93424 482568.7.45.1275353 13.86457 483248.46.128346 13.79541 483927.7.47.1291526 13.72676 48468.48.1299711 13.65863 485288.7.49.137964 13.591 485969.9.5.1316283 13.52388 486651.6.54.135247 13.2631 489382.8.55.1358912 13.19563 4966.6.56.1367649 13.13143 4975.9.57.1376457 13.6771 491435.6.58.1385337 13.445 49212.6.59.139429 12.94165 49286.6.143317 12.87932 493491.8.61.1412418 12.81745 494177.9.62.1421593 12.7563 494864.4.63.143845 12.6956 495551.2.64.144172 12.63454 496238.3.65.1449577 12.57445 496925.7.66.145959 12.51481 497613.4.67.1468619 12.45561 49831.4.68.1478258 12.39683 498989.6.69.1487977 12.33848 499678.1.7.1497777 12.2856 5366.9 auitas premi 14 15 16 17 49 55 52 Plot ilai Premi Plot ilai asurasi asurasi.14.16.18 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 volatilitas volatilitas Plot ilai auitas 1 2 3 4 5 6 7 8 volatilitas 9
Gambar 4.1 Grafik harga premi, asurasi da auitas asurasi jiwa edowme model Vasicek berdasarka masa kotrak asurasi 5.1 Kesimpula Dalam tesis ii dibahas tetag pembetuka ilai premi asurasi jiwa edowme dega megguaka suku buga deteriistik da suku buga stokastik model Vasicek da dalam implemetasiya dalam perhituga ilai asurasi, aiutas, serta premi, dega hasil sebagai berikut : 1. Nilai asurasi, auitas serta premi dega suku buga determiistik yag selalu kosta pada asurasi jiwa edowme lebih tiggi ilaiya dibadigka dega megguaka suku buga stokastik model Vasicek. 2. Dalam simulasi data dega megguaka model Vasicek yag diperoleh bahwa terdapat pegaruh jika ilai beefit, usia, suku buga ista, suku buga jagka pajag volatilitas da asumsi gompertz yaki aka meigkat ilai auitas, asurasi serta premi yag aik pula. Namu jagka waktu yag pajag aka relatif meuruka ilai auitas, asurasi serta premi. DAFTAR PUSTAKA Bai, L.J ad Egelhardt, M. 1992. Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics 2 d Edito. Belmot. Califoria : Duxbury Press. Bowers, N.L, et al. 1997. Actuarial Mathematics 2 d Edito. Schaumburg, Illiois : The Society of Actuaries. Jorda, C.W. 1991. Life Cotigecies 2 d Edito. Chicago, Illiois : The Society of Actuaries. Li, X.S. 26. Itroductory Stochastic Aalysis for Fiace ad Isurace Hoboke, New Jersey : Willey & Sos, Ic. Noviyati, L. Ad Syamsuddi, M. 25. Life Isurace with Sthochastic Iterest Rate, Proceedigs 13th East Asia Actuarial Coferece The Actuary at Risk, The Society of Actuaries of Idoesia. Kelliso, S.G., 1991. The Theory of Iterest 2 d Edito, Irwi Homewood, Bosto. Ross, S. M., 1983. Stochastic Processes, Joh Wiley & Sos, New York. Seydel, R.U., 26. Tools for Computatioal Fiace third editio. Netherlad. Spriger-Verlag. 1
Sudiato Mau/lag Sula, M.S. 24. Asurasi Syariah (Life ad Geeral) : Kosep da Sistem Operasioal. Jakarta: Gema Isai. Vasicek,. 1977. A Equilibrium Characterizatio of Term Structure. Joual of Ecoomics. 1