SEBUAH VARIASI BARU METODE NEWTON BERDASARKAN TRAPESIUM KOMPOSIT Vera Alvionita Harahap 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 893, Indonesia veraharahap5@gmail.com ABSTRACT This article discusses the modification of Newton s method using the composite trapezoidal rule to approximate an indefinite integral in its derivation. It is analytically demonstrated that the order of convergence of Newton s composite trapezoidal rule is three. Furthermore, computational tests show that the discussed method can be used as an alternative method in their class in solving nonlinear equations. Keywords: Newton s method, nonlinear equations, the third-order convergence, composite trapezoidal rule ABSTRAK Artikel ini membahas tentang modifikasi metode Newton dengan menggunakan aturan trapesium komposit untuk mengaproksimasi suku integral tak tentu dalam penurunannya. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode Newton Trapesium Komposit mempunyai orde kekonvergenan tiga. Selanjutnya dari uji komputasi terlihat bahwa metode iterasi yang didiskusikan dapat dijadikan sebagai metode alternatif untuk metode sekelas dalam menyelesaikan persamaan nonlinear. Kata kunci: Metode Newton, persamaan nonlinear, konvergensi orde ketiga, aturan trapesium komposit 1. PENDAHULUAN Dalam matematika persoalan solusi dari suatu persamaan sangat perlu diperhatikan. Salah satu persoalannya yang paling sering dijumpai dalam matematika adalah manentukan akar dari persamaan nonlinear fx = 0. Beberapa metode numerik yang sering digunakan dalam menentukan suatu persamaan nonlinear adalah metode Newton. Dalam perkembangannya Metode Newton [1, h.68] sering dimodifikasi yang bertujuan untuk mempercepat kekonvergenan dan memperkecil tingkat kesalahannya. Modifikasi yang dikemukanan Weerakoon [6] menggunakan metode aturan Repository FMIPA 1
trapesium [3, h.194] dalam penurunan metode yang akan didapat. Pada tulisan ini digunakan aturan trapesium komposit untuk menurunkan metode yang akan dikemukakan. Teknik ini dikemukakan oleh Zhang et al. [7] dan menghasilkan metode iterasi sebagai berikut: 8fx n x n+1 =x n f z n+1 + 3 i=1 f x i + f x n, z n+1 =x n x n f x n, x i = 4 i 4 x n + i 4 z n+1. Sajian ini dimulai dengan penurunan metode Newton trapesium komposit dan kekonvergenannya di bagian kedua dan dilanjutkan di bagian ketiga dengan uji perbandingan dengan metode sekelas.. METODE NEWTON TRAPESIUM KOMPOSIT Untuk mendapatkan metode Newton trapesium komposit MNTK dimulai dengan melihat aturan trapesium komposit. Misalkan α adalah akar sederhana dari fx = 0, dan fx mempunyai turunan secukupnya. Untuk memperbaiki perhitungan dari integral numerik, bagi interval [x n, x n+1 ] ke dalam m buah subinterval yang titik jumlah ujung interval dinyatakan dengan t i = x n + ih dengan i = 0, 1,, m, dan h = x n+1 x n disebut panjang langkah. Subinterval ini dinyatakan dengan [t i 1, t i ] m dengan i = 1,, 3,, m. Dengan menggunakan aturan Trapesium, diperoleh xn+1 t1 t f tdt = f tdt + f tdt + + x n t 0 t 1 = h f t 0 + f t 1 + h xn+1 = h x n f tdt = h tn f t 1 + f t f tdt t n 1 + + h f t n + f t n+1 f t 0 + f t 1 + f t + + f t n + f t n+1 m 1 f x n + f t i + f x n+1. 1 i=1 Selanjutnya substitusikan persamaan 1 ke dalam persamaan fx = fx n + x x n f tdt sehingga Karena h = x n+1 x n m 0 = fx n + h m 1 f x n+1 + f t i + f x n. i=1 maka persamaan menjadi 0 =fx n + x n+1 x n m m 1 f x n+1 + i=1 f t i + f x n. 3 Repository FMIPA
Dengan melakukan manipulasi aljabar pada persamaan 3 didapat x n+1 =x n Misalkan m = 4, pada persamaan 4 diperoleh x n+1 = x n mfx n f x n+1 + m 1 i=1 f t i + f x n. 4 8fx n f x n+1 + 3 i=1 f t i + f x n. 5 Dari persamaan 5 terlihat bahwa untuk menentukan nilai x n+1 pada ruas kiri, diperlukan nilai turunan fungsi f pada titik x n+1. Untuk menghindari bentuk implisit pada persamaan 5 nilai x n+1 di ruas kanan di taksir dengan metode Newton yang di notasikan dengan y n, sehingga persamaan 5 dapat ditulis menjadi 8fx n x n+1 =x n f y n + 3 i=1 f t i + f x n. 6 y n =x n fx n f x n 7 t i = 4 i 4 x n + i 4 y n. Persamaan 6 dan 7 ini disebut dengan persamaan MNTK. Selanjutnya akan ditunjukkan orde kekonvergenan metode ini sebagaimana diberikan Teorema 1. Teorema 1 [Orde Konvergensi][7] Misalkan α adalah akar sederhana dari fungsi yang terdiferensial secukupnya fx : I R R untuk suatu interval terbuka pada I. Jika x 0 cukup dekat ke α, orde konvergenan metode iterasi persamaan 6 dan 7 adalah tiga dan memenuhi persamaan error e n+1 = c + 1 3 c 3e 3 n. Bukti: Misalkan α adalah akar sederhana dari persamaan fx = 0 maka fα = 0 dan f α 0. Misalkan e n = x n α. Dengan melakukan ekspansi Taylor [, h. 189] terhadap fx n di sekitar x n = α sampai orde tiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi, diperoleh fx n = f αe n + f α e n + f α e 3 n + Oe 4 6 n. 8 Dengan menyatakan c n = f n α maka persamaan 8 menjadi n!f α fx n = f α e n + c e n + c 3 e 3 n + Oe 4 n, 9 Repository FMIPA 3
Selanjutnya dengan cara yang sama f x n diekspansikan di sekitar x n = α sehingga setelah disederhanakan diperoleh f x n = f α1 + c e n + 3c 3 e n + Oe 3 n. 10 Kemudian dengan membagi persamaan 9 dan 10 dan dengan bantuan deret geometri, setelah disederhanakan diperoleh fx n f x n = e n c e n + c c 3 e 3 n + Oe 4 n. 11 Kemudian hitung y n dengan mensubstitusikan persamaan 11 ke dalam persamaan 7 sehingga diperoleh y n = x n fx n f x n = e n + α e n c e n + c c 3 e 3 n + Oe 4 n y n = α + c e n c c 3 e 3 n + Oe 4 n. 1 Selanjutnya dilakukan ekspansi Taylor dari fy n dan f y n di sekitar y n = α dan dengan menggunakan persamaan 1, maka diperoleh berturut-turut dan fy n = fα + c e n c c 3 e 3 n + Oe 4 n, f y n = f α1 + c e n + 4c c 3 c 3 e 3 n + Oe 4 n. 13 Selajutnya akan dihitung 3 i=1 f t i. Untuk itu terlebih dahulu dilakukan ekspansi Taylor dari f t 1, f t, dan f t 3 di sekitar t i = α, i = 1,, 3, setelah disederhanakan diperoleh f t 1 =f α 1 + 3 c e n + 1 c + 7 16 c 3e n + c 3 + 7 16 c 4 + 17 18 c c 3 e 3 n + Oe 4 n f t =f α 1 + c e n + c + 3 4 c 3e n + c 3 + 1 c 4 + 7 c c 3 e 3 n + Oe 4 n f t 3 =f α 1 + 1 c e n + 3 c + 3 16 c 3e n + 3c 3 + 1 16 c 4 + 33 8 c c 3 e 3 n + Oe 4 n Jadi didapatkan f t 1 + f t + f t 3 =6f α + 6f αc e n + 6f αc + 1 4 c 3f αe n. + 1f αc 3 + 39 f αc c 3 + 9 c 4f αe 3 n. 14 Selanjutnya dengan menggunakan persamaan 13, 14, dan 10 diperoleh f y n + f t 1 + f t + f t 3 + f x n = f α 8 + 8c e n + 8c + 33 4 c 3e n + 47 c c 3 16c 3 + 9 c 4e 3 n + Oe 4 n. 15 Repository FMIPA 4
Kemudian akan dihitung 8fx n f y n + 3 i=1 f t i + f x n 16 menggunakan persamaan 9 dan 15, setelah disederhanakan diperoleh 8fx n f y n + 3 i=1 f t i + f x n = e n + c e n + c e 3 n + Oe 4 n 1 + c e n + 33c 3 + c e n + c 3 + 47c 16 4e 3 n + Oe 4 n. Selanjutnya dengan menggunakan formula deret geometri, persamaan 17 dapat disederhanakan menjadi 17 8fx n f y n + 3 i=1 f t i + f x n = e n + c 1 3 c 3e 3 n + oe 4 n. 18 Kemudian substitusikan persamaan 18 ke dalam persamaan 6, diperoleh x n+1 = x n e n c + 1 3 c 3e 3 n + oe 4 n. Karena α = x n e n, maka x n+1 = α + c + 1 3 c 3e 3 n + oe 4 n. 19 Selanjutnya substitusikan nilai x n+1 α dengan e n+1, sehingga persamaan 19 menjadi e n+1 = c + 1 3 c 3e 3 n + oe 4 n. 0 Dari persamaan 0 diperoleh MNTK memiliki orde kekonvergenan 3, maka Teorema terbukti. 3. SIMULASI NUMERIK Pada bagian ini dilakukan simulasi numerik untuk membandingkan kecepatan dalam menemukan akar persamaan antara metode Newton CN, metode Newton aritmatik AN [6], metode Newton titik tengah MN [5], metode Newton harmonik HN [4], dan MNTK untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. 1. f 1 x = x 3 + 4x 10.. f x = x + e x +. 3. f 3 x = x 3 10. Repository FMIPA 5
4. f 4 x = cosx x. 5. f 5 x = sinx x + 1. 6. f 6 x = x + sin 1 5 1 4. 7. f 7 x = e x 4x. 8. f 8 x = e x + cosx. Untuk menentukan solusi numerik dari contoh-contoh fungsi nonlinear di atas digunakan program Maple 13. Dalam menemukan solusi numerik juga ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk semua metode, yaitu jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan, atau jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan, atau jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi. Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi dari Beberapa Metode Iterasi f i x 0 Jumlah Iterasi CN AN MN HN MNT K f 1 1 4 13 9 1 +100 5 4 4 3 4 f 0 8 7 5 5 3 0.5 6 5 4 7 3 f 3 1 6 3 15 4 6 11 8 6 5 5 f 4 1.5 5 1 1 9 3 1 4 3 3 3 3 f 5 0 15 15 6 5 5 3 6 4 4 4 4 f 6 0. 10 9 9 9 3 0.7 7 8 8 8 3 f 7 0. 5 4 4 9 3 0.7 5 4 4 10 4 f 8 0.5 1 5 5 4 4 1 10 5 5 5 3 Dalam Tabel 1 dapat dilihat bahwa nilai tebakan awal berpengaruh cukup besar pada keempat metode pembanding. Namun pada MNTK nilai tebakan awal tidak terlalu mengakibatkan bertambah atau berkurangnya jumlah iterasi. Namun secara keseluruhan berdasarkan Tabel 1 MNTK memiliki jumlah iterasi yang lebih sedikit dan lebih efisien dibandingkan dengan metode lain. Oleh karena itu metode baru ini dapat dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Repository FMIPA 6
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Atkinson, K. E. 1993. Elementary Numerical Analysis, nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [] Bartle, R. G. & R. D, Sherbert. 011. Inroduction to Real Analysis, 3 th Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [3] Burden, R. I. & I. D, Faires. 011. Numerical Analysis, 9 th Ed. Brooks Cole, New York. [4] Homeier, H. H. H. 005. On Newton Type Methods with Cubic Convergence. Journal of Computational and Applied Mathematics. 176: 45 43. [5] Ozban, A. Y. 004. Some New Variants of Newton s Method. Applied Mathematics Letters, 677 68. [6] Weerakoon, S & T. G. I, Fernando. 000. A Variant of Newton s Method with Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letters, 13: 87 93. [7] Zhang, L., Li, S., Yang, Y. & Y, Tan. 013. A New Variant of Newton s Method Based on Equidistant Nodes. Journal of Information & Computational Science, 10: 5163 5170 Repository FMIPA 7