MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 27 Januari 2017
Bab Sebelumnya 7. Teknik Pengintegralan 7.1 Aturan Dasar Pengintegralan 7.2 Pengintegralan Parsial 7.3 Integral Trigonometrik 7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan 7.5 Integral Fungsi Rasional 7.6 Strategi Pengintegralan 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 2
MA1201 MATEMATIKA 2A BAB 8. BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 3
Sasaran Kuliah Hari Ini 8.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 Menghitung it bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan Aturan l Hopital 8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya Menghitung it bentuk tak tentu tipe /, 0., -, 0 0, 0, dan 1 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 4
MA1201 MATEMATIKA 2A 8.1 BENTUK TAK TENTU TIPE 0/0 Menghitung it bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan Aturan l Hopital 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 5
Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 Di Semester I, kita pernah membahas it-it berikut: sin, 3 1, 1 ( ) f 0 1 c c f ( c). Ketiga bentuk it ini mempunyai kemiripan: baik pembilang maupun penyebutnya samasama menuju 0. Ketiga it tsb merupakan it bentuk tak tentu tipe 0/0. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Catatan Ketika kita membahas sistem bilangan real, 0/0 tidak didefinisikan. Yang sedang kita bahas adalah it bentuk tak tentu 0/0, bukan 0/0. Limit tsb disebut bentuk tak tentu, karena nilainya memang tak tentu (bisa ada, bisa tidak; dan kalaupun ada, bisa berbeda antara satu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya). 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Aturan L Hôpital Misalkan c maka f '( ) g'( ) c. Jika ada (terhingga) atau tak terhingga, c f ( ) f ( ) g( ) c c g( ) f '( ). g'( ) 0 Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c +, c -, atau -. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Contoh/Latihan 1. Hitung Jawab: 3 1 1. 1 Bentuk it di atas merupakan bentuk 0/0. Dengan Aturan L Hopital: 1 3 1 1 ( L) 1 3 1 3.1 1 Catatan: (L) berarti bhw kita menggunakan Aturan L Hopital. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 9 2 2 3.
sin 2. Hitung (a), (b) 0 2 Jawab: sin 3 0. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 10
3. Hitung Jawab: sin 2 tan 0. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 11
4. Hitung Jawab: e e 0 2sin. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 12
5. Hitung Jawab: 2 ln 2. 1 1 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Bahan Diskusi Perhatikan bentuk it berikut: sin( 2 1 0 tan Apakah it ini merupakan bentuk 0/0? Apakah Aturan L Hopital dapat diterapkan? Hitunglah nilai it tsb (terserah dengan cara apa). ). 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 14
MA1201 MATEMATIKA 2A 8.2 BENTUK TAK TENTU LAINNYA Menghitung it bentuk tak tentu tipe /, 0., -, 0 0, 0, dan 1 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Bentuk Tak Tentu Tipe / Selain bentuk tipe 0/0, it berbentuk seperti e juga sering kita hadapi. Dalam bentuk ini, baik pembilang maupun penyebut sama-sama menuju tak hingga. Bentuk it ini merupakan bentuk tak tentu juga, yang kita sebut sebagai bentuk tak tentu tipe /. 2 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Aturan L Hôpital utk Bentuk / Misalkan c maka f '( ) g'( ) c. Jika ada (terhingga) atau tak terhingga, c f ( ) f ( ) g( ) c c g( ) f '( ) g'( ) Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c +, c -, atau -. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 17.
Contoh/Latihan 1. Hitung Jawab: e 2. Bentuk it di atas merupakan bentuk /. Dengan Aturan L Hopital: e 2 ( L). Catatan: Seperti biasa, (L) berarti bahwa kita menggunakan Aturan L Hopital. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 18 e 2
2. Hitung Jawab: e 2. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Bahan Diskusi Perhatikan bentuk it berikut:. 2 1 Apakah it ini merupakan bentuk /? Apakah Aturan L Hopital dapat diterapkan? Hitunglah nilai it tsb (terserah dengan cara apa). 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 20
Bentuk 0. 3. Hitung 0 ln. Jawab: Di sini 0 + dan ln - bila 0 +. Untuk menghitung it ini, kita tuliskan ln ln. 0 0 1/ Perhatikan bahwa bentuk di ruas kanan merupakan bentuk /. Karena itu ( L) ln 1/ ln ( ) 2 0 0 1/ 0 1/ 0 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 21 0.
4. Hitung Jawab: sin 0.ln. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 22
Bentuk 1 1 5. Hitung. 0 sin Jawab: Kita ubah terlebih dahulu bentuk di atas ke bentuk 0/0 atau /. 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 23
6. Hitung (sin ). [Wow, bentuk apakah ini?] Jawab: 0 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 24
1 7. Hitung (1 ). [Eh, bentuk apa lagi ini?] Jawab: 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 25
cos 8. Hitung (tan ). [Bentuk apa pula ini?] 2 Jawab: 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 26
Bahan Diskusi Perhatikan bentuk it berikut: (a) (b) (sin 2 0 ln ). cos. Apakah mereka merupakan bentuk tak tentu? Hitunglah nilai masing-masing it tersebut (terserah dengan cara apa). 2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 27