A. Turunan sebagai Limit Fungsi Turunan Fungsi Aljabar f(t) t = t t jika dan hanya jika t = t + t m = f(t ) f(t ) t t = f( t+t ) f(t ) t = f( t+t ) f(t ) t f( t+t ) f(t ) t 0 t = f (t ) f(+x) f(x) m = f (x) f(+x) f(x) f (x), karena melengkung maka Definisi (Pengertian) Misalkan fungsi f: S R dan S R, maka fungsi f dapat diturunkan di titik x jika f(+x) f(x) dan hanya jika lim ada. Turunan dapat dinotasikan f (x), y, df(x) dy, atau. dx dx Contoh: Jika diketahui f(x) = 3x, maka tentukan f (x)! Diketahui: f(x) = 3x Ditanya: f (x)? Jawab: f(x) = 3x f() = 3() f(x + ) = 3(x + )
f( + x) f(x) f (x) 3(x+) 3x 3(x+)(x+) 3x 3(x +x+ ) 3x 3x +6x+3 3x 3x 3x +6x+3 0 6x+3 (6x+3) 6x+3 0 6x + 3 0 = 6x + 3(0) = 6x Jadi, f (x) = 6x B. Turunan Fungsi Aljabar Jika f(x) = ax n, maka f (x) = nax n Misal: f(x) = ax n f (x) = a lim 0 f(+x)n f(x)n = a lim 0 xn +nxn + n(n ) = a lim 0 xn xn +nxn + = a lim 0 nxn + = a lim 0 (nxn + = a lim 0 nxn + n(n ) n(n ) n(n ) x n + +nx n + n x n n(n ) x n + +nx n + n x n + +nx n + n x n + +nx n + n ) x n + +nx n + n = a lim nx n + n(n ) x n + + nx n + n 0 = a nx n + n(n ) x n (0) + + nx(0) n + (0) n = anx n = anx n = nax n Contoh: Jika diketahui f(x) = 3x, maka tentukan f (x)! Diketahui: f(x) = 3x
Ditanya: f (x)? Jawab: f(x) = 3x f (x) = 3x = 6x Jadi, f (x) = 6x C. Operasi Turunan ) Penjumlahan Turunan Jika f(x) + g(x), maka f (x) + g (x) Misal: y = f(x) + g(x) {f(+x) f(x)}+{g(+x) g(x)} f(+x) f(x) f(+x) f(x) y = f (x) + g (x) + g(+x) g(x) + lim g(+x) g(x) Contoh: Jika diketahui f(x) = 3x dan g(x) = x, maka tentukan f (x) + g (x)! Diketahui: f(x) = 3x g(x) = x Ditanya: f (x) + g (x)? Jawab: f(x) + g(x) = 3x + x f (x) + g (x) = 3x + x = 6x + 4x = 0x Jadi, f (x) + g (x) = 0x ) Pengurangan Turunan Jika f(x) g(x), maka f (x) g (x) Misal: y = f(x) g(x) {f(+x) f(x)} {g(+x) g(x)} f(+x) f(x) f(+x) f(x) y = f (x) g (x) g(+x) g(x) lim g(+x) g(x) Contoh: Jika diketahui f(x) = 3x dan g(x) = x, maka tentukan f (x) g (x)! Diketahui: f(x) = 3x g(x) = x Ditanya: f (x) g (x)? 3
Jawab: f(x) g(x) = 3x x f (x) g (x) = 3x x = 6x 4x = x Jadi, f (x) g (x) = x 3) Perkalian Turunan Jika f(x) g(x), maka f(x) g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Misal: y = f(x) g(x) f(+x) g(+x) f(x) g(x) f(+x) g(+x)+0 f(x) g(x) f(+x) g(+x) f(+x) g(x)+f(+x) g(x) f(x) g(x) {f(+x) g(+x) f(+x) g(x)}+{f(+x) g(x) f(x) g(x)} {f(+x) g(+x) f(+x) g(x)} f(+x) g(+x) f(+x) g(x) f(+x){g(+x) g(x)} f(+x){g(+x) g(x)} + {f(+x) g(x) f(x) g(x)} + f(+x) g(x) f(x) g(x) + {f(+x) f(x)}g(x) + g(x){f(+x) f(x)} f(+x){g(+x) g(x)} + lim g(x){f(+x) f(x)} f( + x) lim g(+x) g(x) + lim g(x) lim f(+x) f(x) 0 0 y = f(x)g (x) + g(x)f (x) y = g(x)f (x) + f(x)g (x) y = f (x)g(x) + f(x)g (x) Contoh: Jika diketahui f(x) = 3x dan g(x) = x, maka tentukan f(x) g(x)! Diketahui: f(x) = 3x g(x) = x Ditanya: f(x) g(x)? Jawab: f(x) g(x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) = ( 3x )(x ) + (3x )( x ) = (6x)(x ) + (3x )(4x) = x 3 + x 3 = 4x 3 Jadi, f(x) g(x) = 4x 3 4
4) Pembagian Turunan Jika f(x), maka f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g(x) g(x) Misal: y = f(x) g(x) f(+x) g(+x) f(x) g(x) 0 f(+x) g(x) f(x) g(+x) g(+x) g(x) f(+x) g(x) f(x) g(+x) 0 g(+x) g(x) f(+x) g(x) f(x) g(+x) g(+x) g(x) f(+x) g(x) f(x) g(+x) lim 0 g(+x) g(x) f(+x) g(x)+0 f(x) g(+x) lim 0 g(+x) g(x) f(+x) g(x) f(x) g(x)+f(x) g(x) f(x) g(+x) lim 0 g(+x) g(x) {f(+x) g(x) f(x) g(x)}+{f(x) g(x) f(x) g(+x)} lim 0 g(+x) g(x) {f(+x) g(x) f(x) g(x)} { f(x) g(x)+f(x) g(+x)} lim 0 g(+x) g(x) {f(+x) g(x) f(x) g(x)} {f(x) g(+x) f(x) g(x)} lim 0 g(+x) g(x) {f(+x) g(x) f(x) g(x)} {f(x) g(+x) f(x) g(x)} lim 0 g(+x) g(x) f(+x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(+x) f(x) g(x) lim 0 g(+x) g(x) {f(+x) f(x)}g(x) f(x){g(+x) g(x)} lim 0 g(+x) g(x) y = lim {f(+x) f(x)}g(x) lim f(x){g(+x) g(x)} lim 0 g(+x) g(x) y = lim f(+x) f(x) lim g(x) lim f(x) lim g(+x) g(x) lim 0 0 g(+x) g(x) y = f (x)g(x) f(x)g (x) y = f (x)g(x) f(x)g (x) y = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g(x) g(x) g(x) Contoh: Jika diketahui f(x) = 3x dan g(x) = x, maka tentukan f(x)! g(x) Diketahui: f(x) = 3x g(x) = x Ditanya: f(x)? g(x) Jawab: f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g(x) = ( 3x )(x ) (3x )( x ) x = (6x)(x ) (3x )(4x) 4x 4 = x3 x 3 4x 4 5
Jadi, f(x) g(x) = 0 = 0 4x 4 = 0 D. Teorema L Hopital Jika g 0 dan x c, maka f(x) lim x c g(x) x c Misal: y = f(x) g(x) y f(+x) g(+x) f(x) g(x) y 0 f(+x) g(x) f(x) g(+x) g(+x) g(x) 6 f (x) g (x) y f(+x) g(x) f(x) g(+x) 0 g(+x) g(x) y f(+x) g(x) f(x) g(+x) y g(+x) g(x) f(+x) g(x) f(x) g(+x) lim 0 g(+x) g(x) y f(+x) g(x)+0 f(x) g(+x) lim 0 g(+x) g(x) y f(+x) g(x) f(x) g(x)+f(x) g(x) f(x) g(+x) lim 0 g(+x) g(x) y {f(+x) g(x) f(x) g(x)}+{f(x) g(x) f(x) g(+x)} lim 0 g(+x) g(x) y {f(+x) g(x) f(x) g(x)} { f(x) g(x)+f(x) g(+x)} lim 0 g(+x) g(x) y {f(+x) g(x) f(x) g(x)} {f(x) g(+x) f(x) g(x)} lim 0 g(+x) g(x) y {f(+x) g(x) f(x) g(x)} {f(x) g(+x) f(x) g(x)} lim 0 g(+x) g(x) y f(+x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(+x) f(x) g(x) lim 0 g(+x) g(x) y {f(+x) f(x)}g(x) f(x){g(+x) g(x)} lim 0 g(+x) g(x) y = lim {f(+x) f(x)}g(x) lim f(x){g(+x) g(x)} lim 0 g(+x) g(x) y = lim f(+x) f(x) lim g(x) lim f(x) lim g(+x) g(x) lim 0 0 g(+x) g(x) y = f (x)g(x) f(x)g (x) y = f (x)g(x) f(x)g (x) y = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) () Misal: y = f (x) g (x) y f(+x) g(+x) f(x) g(x) y 0 lim f(+x) g(+x) f(x) g(x) g(x) g(x) g(x)
y 0 lim 0 f(+x) g(x) f(x) g(+x) g(+x) g(x) y lim f(+x) g(x) f(x) g(+x) 0 g(+x) g(x) y lim f(+x) g(x) f(x) g(+x) 0 g(+x) g(x) y lim f(+x) g(x) f(x) g(+x) lim 0 0 g(+x) g(x) y lim f(+x) g(x)+0 f(x) g(+x) lim 0 0 g(+x) g(x) y lim f(+x) g(x) f(x) g(x)+f(x) g(x) f(x) g(+x) lim 0 0 g(+x) g(x) y lim {f(+x) g(x) f(x) g(x)}+{f(x) g(x) f(x) g(+x)} lim 0 0 g(+x) g(x) y lim {f(+x) g(x) f(x) g(x)} { f(x) g(x)+f(x) g(+x)} lim 0 0 g(+x) g(x) y lim {f(+x) g(x) f(x) g(x)} {f(x) g(+x) f(x) g(x)} lim 0 0 g(+x) g(x) y lim {f(+x) g(x) f(x) g(x)} {f(x) g(+x) f(x) g(x)} lim 0 0 g(+x) g(x) y lim f(+x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(+x) f(x) g(x) lim 0 0 g(+x) g(x) y lim {f(+x) f(x)}g(x) f(x){g(+x) g(x)} lim 0 0 g(+x) g(x) y 0 lim y 0 lim y {f(+x) f(x)}g(x) f(+x) f(x) 0 f (x)g(x) f(x)g (x) y = f (x)g(x) f(x)g (x) y = f (x)g(x) f(x)g (x) y = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) () lim f(x){g(+x) g(x)} lim g(x) lim f(x) lim 0 g(x) g(x) g(x) g(x) g(x) 0 g(+x) g(x) lim g(+x) g(x) Dari () dan () y = f (x)g(x) f(x)g (x) dan y g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x), maka g(x) Jika y = y f(x), maka lim f (x) x c g(x) x c g (x) 0 g(+x) g(x) lim Contoh: Jika diketahui f(x) = x 3 7x 8x dan g(x) = x pada saat x =, maka tentukan f(x) g(x)! Diketahui: f(x) = x 3 7x 8x g(x) = x Ditanya: f(x) g(x)? Jawab: f(x) = x 3 7x 8x f (x) = 3x 4x 8 g(x) = x g (x) = 7
Cara f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g(x) Cara = (3x 4x 8)(x ) (x 3 7x 8x )() x = (3x3 6x 4x +8 8x+6) (x 3 7x 8x ) (x )(x ) = 3x3 6x 4x +8 8x+6 x 3 +7x +8x+ x 4x+4 = 3x3 x 3 6x 4x +7x 8x+8x+8+6+ x 4x+4 = x3 3x +56 x 4x+4 = ()3 3() +56 () 4()+4 = 6 5+56 4 8+4, tidak terdefinisi = 0 0 lim g(x) x f(x) f (x) x g (x) 3x 4x 8 x 3x 4x 8 x = 3() 4() 8 = 8 8 = 4 Jadi, f(x) g(x) = 4 E. Aplikasi Turunan ) Gradien Contoh: Jika diketahui fungsi f(x) = x 3 + 3x dan memotong sumbu X di titik (,0), maka tentukanlah gradiennya! Diketahui: f(x) = x 3 3x memotong sumbu X di titik (,0) Ditanya: m? Jawab: f(x) = x 3 + 3x f (x) = 3x + 6x f () = 3() + 6() = + = 4 m = 4 Jadi, m = 4 Contoh: Jika diketahui fungsi f(x) = 3 x3 3x tentukan koordinat titik singgung pada gradien 9! Diketahui: f(x) = 3 x3 3x m = 9 Ditanya: koordinat titik singgung? Jawab: f(x) = 3 x3 3x 8
f (x) = x 6x jika dan hanya jika m = x 6x 9 = x 6x jika dan hanya jika x 6x = 9 x 6x + 9 = 0 (x 3)(x 3) = 0 x 3 = 0 x = 3 f(x) = 3 x3 3x y = 3 x3 3x y = 3 (3)3 3(3) y = 9 7 = 8 Jadi, koordinat titik singgung (3, 8) ) Fungsi Naik dan Turun Untuk setiap x, x S Fungsi f dikatakan naik jika x < x, maka f(x ) < f(x ) Fungsi f dikatakan turun jika x > x, maka f(x ) > f(x ) Contoh: Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti kecepatan perahu mereka. Lumba-lumba tersebut berenang cepat, terkadang menyelam dan tiba-tiba melayang ke permukakaan air laut. Pada saat nelayan tersebut melihat lumba-lumba menyelam maka ia akan melihatnya melayang ke permukaan 5 detik kemudian dan kembali ke permukaan air laut setelah 3 detik di udara. Demikan pergerakan lumba-lumba tersebut diamati berperiode dalam beberapa interval waktu pengamatan. 9
3) Titik Stasioner Syarat mencapai nilai stasioner jika f (x) = 0 Contoh: Jika f(x) = 3 x3 5 x + 6x, maka tentukanlah titik stasionernya! Diketahui: 3 x3 5 x + 6x Ditanya: titik stasioner? Jawab: f(x) = 3 x3 5 x + 6x f (x) = x 5x + 6 jika dan hanya jika x 5x + 6 = 0 (x )(x 3) = 0 x = 0 atau x 3 = 0 x = atau x = 3 Jadi, titik stasionernya adalah (,0) dan (3,0) 4) Kecepatan dan Percepatan v = dx dv dan a = dt dt Keterangan: x = jarak t = waktu v = kecepatan a = percepatan Contoh: Jika diketahui jarak yang ditempuh oleh benda adalah (t 3 ) meter dan pada saat t = 5 detik, maka tentukan kecepatan dan percepatannya! Diketahui: x = t 3 pada saat t = 5 detik Ditanya: v dan a? Jawab: v = dx dt = d(t3 ) dt = 6t = 6(5) = 50 meter/detik a = dv dt = d(6t ) dt = t = (5) = 60 meter/detik Jadi, kecepatan adalah 50 meter/detik dan percepatan 60 meter/detik 5) Maksimum dan Minimum Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutupdilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut. 0
a) Menentukan nilai fungsi pada batas interval. b) Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada xdi dalam interval. c) Menentukan nilai minimum dan maksimum berdasarkan hasil dari (a) dan (b). Contoh: Jika f(x) = x 3 + 6x dan pada interval < x < 3, maka tentukanlah nilai maksimum dan minimum! Diketahui: f(x) = x 3 + 6x interval < x < 3 Ditanya: nilai maksimum dan minimum? Jawab: Nilai fungsi pada batas interval f( ) = ( ) 3 + 6( ) = + 6 = 7 f(3) = (3) 3 + 6(3) = 7 + 54 = 7 Nilai stasioner f(x) = x 3 + 6x f (x) = 3x + x jika dan hanya jika 3x + x = 0 3x(x 4) = 0 3x = 0 atau x 4 = 0 x = 0 atau x = 4 Nilai maksimum dan minimum f(0) = (0) 3 + 6(0) = 0 + 0 = 0 f(4) = (4) 3 + 6(4) = 64 + 96 = 3 Sehingga pada interval < x < 3 diperoleh f( ) = 7 f(3) = 7 f(0) = 0 Jadi, nilai maksimumnya 7 dan nilai minimumnya 0 Contoh: Jika sebuah peluru ditembakkan dari permukaan tanah dengan jarak awal ( t 3 + 6t ) meter dengan sudut elevasi 45, g = 0 meter/detik, dan pada saat t = 3 detik, maka berapa jarak maksimum yang dicapai peluru! Diketahui: x 0 = ( t 3 + 6t ) meter α = 45 g = 0 meter/detik pada saat t = 3 detik Ditanya: x max? Jawab: x 0 = t 3 + 6t v 0 = 3t + t = 3(3) + (3) = 7 + 36 = 9 x max = v 0 sin α g = (9) sin (45 ) 0 8 sin 90 = 0 = 8() 0 = 8, meter Jadi, jarak maksimum yang dicapai peluru adalah 8, meter