LANDASAN TEORI Lanasan teori ini berasarkan rujukan Jaharuin (4 an Groesen et al (99, berisi penurunan persamaan asar fluia ieal, sarat batas fluia ua lapisan an sistem Hamiltonian Penentuan karakteristik gelombang interfacial menggunakan penekatan linear, sehingga perlu ilakukan linearisasi Dalam proses linearisasai paa tulisan ini, menggunakan uraian Talor Penjelasan mengenai uraian Talor berasarkan rujukan Stewart (3 an isampaikan paa bagian akhir bab ini Persamaan Dasar Fluia Penurunan persamaan asar fluia menggunakan hukum kekekalan massa an hukum kekekalan momentum Misalkan menatakan rapat masa fluia, an masing-masing menatakan komponen horizontal an komponen vertikal, an t menatakan waktu Kemuian u an w menotasikan kecepatan partikel alam arah horizontal an vertikal Untuk menurunkan persamaan asar fluia, iberikan sketsa laju perubahan massa paa fluia satu lapisan seperti i bawah ini, + + Gambar Laju perubahan massa Dari Gambar, u an w masing-masing menatakan massa ang masuk ari arah horizontal an vertikal Besaran u u an w + w w + u + + masing-masing menatakan massa ang keluar ari arah horizontal an vertikal Sehingga hukum kekekalan massa ang menatakan bahwa laju perubahan massa merupakan selisih massa ang masuk engan massa ang keluar, apat ituliskan u + w atau u + w + ( u u + + ( w w + ( Pembagian keua ruas persamaan ( engan menghasilkan u u w w + + + Untuk an, maka iperoleh u w ( Jika inotasikan, an q ( u, w, serta notasi turunan total terhaap t, akni D + u + w Dt maka persamaan ( menjai D ( q, (3 Dt ( u + w engan q, ( u, w Dengan menggunakan asumsi fluia tak termampatkan, aitu fluia ang mengalir tanpa mengalami perubahan volume atau massa jenis, maka iperoleh D Dt Sehingga ari persamaan (3 iperoleh (4
3 q (5 Persamaan (4 an (5 apat ituliskan + u + w t (6 u + w Hukum kekekalan momentum menatakan bahwa laju perubahan momentum aalah selisih momentum ang masuk engan momentum ang keluar itambah gaa-gaa ang bekerja paa elemen luasna Jika iamati ari komponen, maka sketsana + wu uu + Gambar Perubahan momentum paa arah Dari Gambar, laju perubahan momentum alam elemen luas paa komponen- aalah u ( uu uu + + ( wu + wu + + ( P P + (7 engan ( P P + menatakan jumlah gaa ang bekerja paa komponen, an P tekanan Jika keua ruas persamaan (7 ibagi engan, maka untuk an iperoleh ( u uu wu P uu + (8 Dengan menggunakan asumsi fluia tak termampatkan, persamaan (8 apat ituliskan wu Du P (9 Dt Laju perubahan momentum alam elemen luas paa komponen- itunjukkan oleh Gambar 3 + uw + Gambar 3 Perubahan momentum paa arah Jika ( P P + + g merupakan gaa ang bekerja paa komponen, engan g menatakan percepatan gravitasi, maka laju perubahan momentum ituliskan w ( uw uw t + + ( + + ( P P + + g ( Jika keua ruas persamaan ( ibagi engan an,, maka iperoleh ( w uw P + g ( Dengan asumsi fluia tak termampatkan, persamaan ( apat ituliskan Dw P +g ( Dt Persamaan (9 an ( apat ituliskan ( u t + uu + wu + P + ww ( wt + uw + ww + P + g uw + (3
4 Dari persamaaan (6 an (3 iperoleh sistem persamaan paa fluia ieal sebagai berikut: t + u + w u + w ( u t + uu + wu + P (4 ( wt + uw + ww + P + g Berasarkan asumsi irrotational, maka terapat fungsi ϕ ang merupakan potensial kecepatan ang memenuhi q ϕ sehingga ari persamaan (5 iapat Sarat Batas ϕ + ϕ Terapat ua sarat batas, aitu sarat batas kinematik an sarat batas inamik Sarat batas kinematik muncul karena gerak ari partikel fluia itu seniri Seangkan sarat batas inamik igunakan untuk permukaannna Gambar 4 Domian fluia satu lapisan Paa Gambar 4, misalkan kurva η (, t merupakan batas atas permukaan sehingga S(, η ( aalah persamaan permukaan, maka sarat batas kinematikna aalah (lihat lampiran A η t + ϕ η ϕ i η( (5 Sarat batas kinematik paa asar fluia ang rata, misal h aalah (lihat lampiran A ϕ (6 air uara η ( h atau engan vektor satuan ϕ N Sarat batas inamik iperoleh ari persamaan asar fluia (3 ihasilkan (lihat lampiran A ϕt + ϕ (7 paa permukaan η ( Fluia Dua Lapisan h t h Gambar 5 Domain fluia ua lapisan Dari Gambar 5, omain fluia memenuhi h < < h + η ( Domain fluia tersebut ibagi menjai ua bagian, aitu ( : η( < < h + S( t, η, η η( {( : h < η ( } S( t, η < t Analog engan asumsi fluia irrotational paa fluia satu lapisan, paa fluia ua lapisan iperoleh persamaan berikut ϕ ϕ paa S t, η, (8a + ( η ϕ ϕ paa S t, (8b + ( η h + η ( Sarat batas kinematik paa asar fluia ang rata aalah ϕ, paa h (9 Seangkan sarat batas kinematik paa η ( iperoleh ari analogi sarat batas permukaan fluia satu lapisan (5, ihasilkan (lihat lampiran A η ϕ N( + η / t an ( η ( / t ϕ N + η η (
5 sarat batas inamik i η ( iperoleh ari kekontinuan tekanan paa batas keua lapisan fluia, iperoleh ϕ t + ϕ ( ϕ t + ϕ Paa kasus batas atas berupa permukaan rata iperoleh ϕ ϕ N i h ( T engan N (, vektor normal satuan i h Turunan Variasi Sarat berlakuna sistem Hamilton ijelaskan menggunakan konsep turunan variasi an operator simetri miring Sehingga iperlukan pengertian keuana Ruang linear merupakan sistem matematika ang melibatkan operasi penjumlahan an perkalian engan skalar, alam konteks ang beraneka ragam alam matematika Jika M ruang linear, maka operator Γ : M M isebut operator simetri miring jika v, sγ Γv, s, v, s M, engan, notasi untuk perkalian alam Dalam tulisan ini, perkalian alam ang igunakan berbentuk v, s vs v, s M v, s Jika R himpunan bilangan real, maka apat iefinisikan pemetaan H : M R H ( v h( v, v, v, v M (3 imana h merupakan fungsi sembarang ari v beserta turunanna Fungsional H terhaap v iefinisikan γ H( v + γs γ Γ s s M, (4 engan γ bilangan real an Γ merupakan operator simetri miring, sehingga turunan variasi apat ituliskan δ vh Turunan variasi δ v H apat itentukan engan cara berikut ini Diberikan fungsional H ( v + γs h( v + γs, v + γs, (5 Misalkan r v + γs, maka apat ituliskan H ( + + ( s + s + ( + s Setelah ilakukan integrasi parsial berulangulang an untuk γ iperoleh δ v H Sistem Hamilton + + (6 Suatu persamaan iferensial parsial ikatakan sistem Hamilton jika terapat H an operator simetri miring Γ sehingga apat ituliskan alam bentuk v Γδ v H (7 t Hamiltonian H merupakan besaran ang tetap, artina bahwa jika v( merupakan penelesaian ari persamaan (7, maka nilai H ( v( tiak berubah terhaap waktu Hal tersebut ijelaskan Jika r v + γ v, maka t t H ( r H ( v( r γ H ( r r γ H( r γ γ H ( v( + γ γ v γ (8
6 ari persamaan (4 iperoleh H t δ H, Γ H v δ v Karena Γ operator simetri miring, maka sehingga iperoleh δ v H, Γδ H H t v (9 (3 Selanjutna akan ibahas sistem persamaan ang merupakan sistem Hamiltonian Diefinisikan fungsi H aalah H ( v v, h ( v, v, v vv, (3 engan h fungsi sembarang ari v an v beserta turunanna Turunan variasi ari H terhaap v atau ituliskan δ v H, memenuhi H ( v + γs, v δ H, γ γ v s s M (3 an turunan variasi ari H terhaap v, δ ituliskan γ H v, memenuhi H ( v, v + γs s, δ H, γ v s M (33 Keua persamaan i atas apat ituliskan alam bentuk v t v δ Γ δ v v H Γ Γ, H Γ Γ Γ (34 Sistem persamaan (34 merupakan suatu sistem Hamilton, karena Γ merupakan operator simetri miring Uraian Talor Misalkan f( fungsi sebarang ang apat inatakan sebagai suatu eret pangkat sebagai berikut: + f ( c + c ( a + c ( a (35 imana c n engan n,,3,, menatakan koefisien eret pangkat an a menatakan titik pusatna Fungsi f( paa persamaan (35 apat inatakan alam bentuk ( n ( ( f a n f ( a n n! f ' ( a f ' ' ( a f ( a + ( a + ( a!! f ' ' ' ( a 3 ( a + 3! (36 Persamaan (36 isebut eret Talor ari fungsi f( ang berpusat i a Misalkan fungsi f( merupakan fungsi eksponen ang berpusat i, aitu f ( e (37 maka berasarkan uraian eret Talor paa persamaan (36, persamaan (37 apat inatakan : n e (38 n n!