BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini, akan dibahas system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton, titik ekuilibrium, pelinieran, analisa kestabilan titik ekuilibriumnya dengan menggunakan Software Maple 16 dan untuk mengetahui perilaku dari pemangsa-mangsa berdasarkan system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton. 4.1 Analisis Titik Ekuilibrium Sistem Predator-Prey dengan Respon Fungsi Tak Monoton Bentuk umum system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton (Prihantoso, Kus [4]): x = x(1 x) y = δy μy 2 + xy αx 2 + βx + 1 xy αx 2 + βx + 1 (4.1) Untuk memperoleh titik ekulibrium dari persamaan (4.1) maka harus dipenuhi persamaan berikut : x = 0 dan y = 0 Sehingga masing-masing persamaan (4.1) memberikan : x = 0, maka x(1 x) y = 0, maka = δy μy 2 + xy αx 2 +βx+1 = 0, xy αx 2 +βx+1 = 0 (4.2) Berdasarkan persamaan (4.2), maka titik ekulibrium yang diperoleh yakni : 1. Untuk titik ekuilibrium pertama, T 1 (0,0). 20
2. Untuk titik ekuilibrium pertama, T 2 (0, δ μ ). 3. Untuk titik ekuilibrium pertama, T 3 ( 1, 0). Berdasarkan uraian di atas, diketahui bahwa pada system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton diperoleh tiga titik ekulibrium, yakni T 1 (0,0), T 2 (0, δ )dan T μ 3 ( 1, 0). 4.2 Pelinieran 4.2.1 Pelinieran Titik Ekuilibrium T 1 (0,0) Untuk proses pelinieran pada titik ekuilibrium T 1 (0,0) tidak akan mengubah bentuk umum dari system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton. Misal : p = x x 0, maka p = x atau x = p. Misal : q = y y 0, maka q = y atau y = q. Kemudian mensubtitusikan nilai x dan y ke persamaan (4.1), sehingga diperoleh : x = p(1 p) y = δq μq 2 + pq pq (4.3) Jika persamaan (4.3) disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh : pq ( x ) = ( 1 0 p2 y 0 δ ) (p q ) + ( μq 2 pq ) + 4.2.2 Pelinieran Titik Ekuilibrium T 2 (0, δ μ ) Untuk proses pelinieran pada titik ekuilibrium T 2 (0, δ μ ). Misal : p = x x 0, maka p = x atau x = p. 21
Misal : q = y y 0, maka q = y + δ μ atau y = q δ μ. Kemudian mensubtitusikan nilai x dan y ke persamaan (4.1), sehingga diperoleh : (pq δ x = p p 2 μ p) (pq δ y = δq μq 2 μ p) + (4.4) Jika persamaan (4.4) disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh : ( x ) = ( 1 0 y 0 δ ) (p q ) + 4.2.3 Pelinieran Titik Ekulibrium T 3 ( 1, 0) ( (pq δ p 2 μ p) μq 2 + (pq δ μ p) ) Untuk proses pelinieran pada titik ekuilibrium T 3 ( 1, 0). Misal : p = x x 0, maka p = x 1 atau x = p + 1. Misal : q = y y 0, maka q = y atau y = q. Kemudian mensubtitusikan nilai x dan y ke persamaan (4.1), sehingga diperoleh : x = p p 2 (4.5) y = δq μq 2 + Jika persamaan (4.5) disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh : 22
( x ) = ( 1 0 y 0 δ ) (p q ) + 4.3 Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium p 2 μq 2 + αp ( 2 + 2α p + βp + α 2 + β + 1 ) Dalam menentukan jenis titik ekuilibrium stabil atau tidak, diperlukan matriks Jacobi dan nilai eigen. Dari proses pelinieran, diperoleh matriks Jacobi berikut: y 1 2 x αx 2 + βx + 1 + xy (αx 2 + βx + 1) 2 J (x,y) = y xy(2αx + β) ( αx 2 + βx + 1 αx 2 + βx + 1 x αx 2 + βx + 1 x δ 2μy + αx 2 + βx + 1) 4.3.1 Titik Ekuilibrium T 1 (0,0) Berdasarkan matriks Jacobi yang diperoleh, didapatkan matriks Jacobi untuk titik ekuilibrium T 1 (0,0) sebagai berikut : Dengan nilai eigen, NE = 1, δ. J (0,0) = ( 1 0 0 δ ) Karena salah satu nilai eigennya positif, 1 > 0 dan δ < 0, maka titik ekuilibrium T 1 (0,0) merupakan titik sadel yang tidak stabil. 4.3.2 Titik Ekuilibrium T 2 (0, δ μ ) Berdasarkan matriks Jacobi yang diperoleh, didapatkan matriks Jacobi untuk titik ekuilibrium T 2 (0, δ ) sebagai berikut : μ J (0, δ μ ) = ( 1 + δ μ 0 δ μ δ ) 23
Dengan nilai eigen, NE = μ+δ, δ. μ Karena nilai eigennya positif, μ+δ T 2 (0, δ ) merupakan titik tidak stabil. μ μ > 0 dan δ > 0, maka titik ekuilibrium 4.3.3 Titik Ekuilibrium T 3 ( 1, 0) Berdasarkan matriks Jacobi yang diperoleh, didapatkan matriks Jacobi untuk titik ekuilibrium T 3 ( 1, 0) sebagai berikut : J ( 1,0) = ( 1 0 δ + 1 ( α 2 + β + 1) 1 ( α 2 + β + 1) ) Dengan nilai eigen, NE = 1, δα+δβ +δ 2 α+β + 2 Karena salah satu nilai eigennya negatif, 1 < 0 dan δα+δβ +δ 2 α+β + 2 belum diketahui δα+δβ +δ 2 α+β + 2 T 3 ( 1, 0) belum diketahui kestabilannya. 4.4 Metode Manifold Center < 0 atau δα+δβ +δ 2 α+β + 2 > 0, maka titik ekuilibrium Pada metode manifold center ini, yang akan dibahas hanya bagian titik ekuilibrium T 3 ( 1, 0). Untuk menyelesaikan persamaan (4.5), kita menyertakan parameter δ sebagai variable baru, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut : 24
x = p p 2 δ = 0 (4.6) y = δq μq 2 + Jika persamaan (4.6) disajikan dalam bentuk matriks, diperoleh : x 1 0 0 p ( y ) = ( 0 0 0) ( q) + δ 0 0 0 δ ( p 2 δq μq 2 + 0 ) Setelah dilakukan langkah-langkah metode center manifold, diperoleh persamaan : p = ap 2 + bδp + cp 3 + dδp 2 + O(p, δ) 4 δ = 0 (4.7) Dimana : a = β α + α 2 β + 1 + α, 2 b = 1 ( β + 1 + α 2), 25
c = β 3 2 α 1 2 (( 2β 2 2 2 + α 2 ) (β + 2α ) β + 2 ) + α β + 1 + α, 2 d = 1 + (β + 2α ) β + 2 + α β + 1 + α 2 Setelah itu, persamaan (4.7) dilakukan scalling variable sehingga diperoleh persamaan : dan q = bδq + q 2 q = bδq + q 3 4.5 Analisis Bifurkasi Satu Parameter pada Sistem Predator-Prey dengan Respon Fungsi Tak Monoton Bifurkasi adalah perubahan kestabilan yang terjadi pada sistem ketika melewati sebuah titik ekuilibrium. Bifurkasi terjadi pada penyelesaian titik setimbang yang mempunyai paling sedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagian realnya. Nilai dari parameter = 0 yang menyebabkan bagian real dari nilai-nilai eigen D x f adalah nol, disebut nilai bifurkasi. (Thomas,[7]) Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton, setelah manifold center dan scalling variable diperoleh persamaan q = bδq + q 2. Hal ini menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi transkritikal, digambarkan dengan q = bδq + q 2. Terdapat dua solusi ekuilibrium 26
yaitu q = 0 dan q = bδ, keduanya mengalami perubahan kestabilan pada saat bδ melewati 0. Gambar 4.1: Bifurkasi Transkiritikal pada Sistem predator-prey Selain itu, system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton, setelah manifold center dan scalling variabel diperoleh persamaan q = bδq + q 3. Hal ini menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi pitchfork, digambarkan dengan q = bδq + q 3. Jika bδ > 0 tidak ada solusi ekuilibrium, yaitu q = 0 yang merupakan solusi yang stabil. Jika bδ < 0 ada tiga buah solusi, yaitu solusi takstabil q = 0, dan dua buah solusi stabil q = ± bδ. 27
Gambar 4.2: Bifurkasi Pitchfork pada Sistem predator-prey Berdasarkan uraian di atas, jadi pada system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton terjadi bifurkasi satu parameter yaitu bifurkasi transkritikal dan bifurkasi pitchfork. 28