BIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER

Transkripsi

1 BIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER T - 2 Andini Putri Ariyani 1, Kus Prihantoso Krisnawan 2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 [email protected], 2 [email protected]. Abstrak Pada makalah ini dibahas mengenai bifurkasi 1-parameter yang terjadi pada sistem flutter. Flutter merupakan fenomena ketidakstabilan dinamik suatu sistem yang diakibatkan oleh interaksi antara unsur inersia, redaman, dan fleksibilitas struktur, serta beban-beban aerodinamika yang bekerja pada struktur. Sistem flutter berbentuk sistem persamaan diferensial orde 2 dengan dua persamaan. Transformasi dilakukan untuk mereduksi orde sehingga diperoleh empat persamaan diferensial orde pertama. Analisis terhadap sistem flutter hasil transformasi dilakukan dengan melakukan reduksi dimensi sistem menggunakan teorema Manifold Center. Hasil analisis menunjukkan bahwa pada sistem flutter terjadi bifurkasi pitchfork superkritikal. Hal ini berakibat titik kesetimbangan sistem menjadi tidak stabil ketika dilakukan perubahan terhadap nilai parameter. Kata kunci: sistem flutter, manifold center, bifurkasi pitchfork A. PENDAHULUAN Menurut Novi Andria [6] flutter merupakan fenomena ketidakstabilan dinamik suatu sistem yang diakibatkan oleh interaksi antara unsur inersia, redaman, dan fleksibilitas struktur, serta beban-beban aerodinamika yang bekerja pada struktur. Apabila suatu struktur terkena aliran udara yang besar maka struktur tersebut akan bergetar dengan amplitudo yang meningkat. Getaran ini terjadi terus menerus sehingga struktur mengalami kegagalan. Jika fenomena ini terjadi pada pesawat terbang maka dapat dipastikan pesawat akan jatuh [3] Sebenarnya, fenomena flutter tidak pernah terjadi pada pesawat di masa masa awal diciptakannya pesawat terbang [4 ]. Hal ini dikarenakan, pada masa itu pesawat bergerak dengan kecepatan rendah dan sayap pesawat dibuat rigid, sehingga fenomena flutter tidak banyak diketahui. Namun seiring dengan perkembangan jaman, sayap pesawat dibuat lebih lentur. Hal ini dimaksudkan agar pesawat lebih ringan. Jika pesawat semakin ringan maka gerak pesawatpun menjadi lebih cepat. Namun dengan dibuatnya sayap pesawat yang lentur menyebabkan munculnya fenomena flutter ini. Penelitian terhadap fenomena flutter akan dilakukan secara matematis, yaitu dengan menganalisa model matematika dari sistem flutter pada sayap pesawat terbang. Analisis digunakan dengan menggunakan Teorema Manifold Center. Beberapa penelitian yang telah dilakukan terhadap fenomena flutter, diantaranya adalah Yang,1995 [9] dan liu, et, al,2[5]. Yang [9], menunjukkan bahwa pada sistem flutter muncul Osilasi Limit Cycle, sedangkan Liu,et,al [5] melakukan penelitian tentang sistem flutter berdimensi 8 dan memberikan prediksi dan frekuensi dasar dari Osilasi Limit Cycle yang terjadi. Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 213 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

2 Pada penelitian ini, model sistem flutter yang digunakan didasarkan pada model sistem flutter yang dinyatakan oleh Chen dan Liu[2]. Model ini terdiri dari dua persamaan diferensial orde dua. Persamaan tersebut adalah h +.25α +.1h +.2h +.1Qα =.25h +.5α +.1α + (k.4q)α + e α (1) = dengan h adalah plunge displacement of airfoil, α adalah pitch displacement of airfoil, Q adalah kecepatan udara yang tergeneralisasi, k adalah koefisien kekakuan linear, dan e > adalah koefisien kekakuan nonlinier Dalam makalahnya, Chen dan Liu menunjukkan bahwa pada saat parameter k bernilai, terjadi bifurkasi Hopf superkritikal maupun subkritikal. Di dalam makalah ini, ditunjukkan bahwa pada saat k bernilai, terjadi bifurkasi pitchfork superkritikal. B. PEMBAHASAN a. Transformasi Pertama Sistem (1) akan ditransformasi menjadi sistem berdimensi 4 berorde 1 dengan cara mensubstitusikan x = α, x = α, x = h, x = h, dan nilai k =, ke dalam sistem (1). Kemudian dilakukan penskalaan terhadap waktu t, yaitu t = 7τ didapatkan 7 = 4(.26Q ) e x + x (2) 7 4( Q) e x Ketika nilai Q akan didapatkan satu titik ekuilibrium yaitu u = (,,, ), dan ketika Q > akan didapat tiga titik ekuilibrium yaitu: u = (,,, ), u =....,,.5Q.., dan u =,,.5Q.., Adanya perubahan banyaknya titik ekuilibrium menandakan terjadinya bifurkasi pada saat Q = Selanjutnya, dilakukan translasi terhadap sistem agar bifurkasi terjadi pada saat Q =. Untuk itu dimisalkan Q = Q , kemudian nilai ini disubstitusikan ke persamaan (2) sehingga didapat 7 = Q x + x 16e x (3) e x.96q x b. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Jacobian dari sistem (3) pada titik ekuilibrium (,,, ) pada saat Q = adalah 7 J = Matriks tersebut mempunyai nilai eigen, , i, dan i dengan vektor eigen yang bersesuaian adalah V =, V = , Yogyakarta, 9 November 213 MT - 8

3 PROSIDING ISBN : i V = i, dan i i i V = i i i c. Transformasi Kedua Berdasarkan vektor eigen yang telah diperoleh, dibentuk matriks P yang didefinisikan sebagai berikut P = Selanjutnya dimisalkan x = Pu, dan dilakukan substitusi ke persamaan (3) sehingga diperoleh u = u + P f(pu, Q ) (4) d. Penentuan Manifold Center Definisi (Wiggins [8]) Sebuah manifold invariant dikatakan manifold center jika x = Ax + f(x, y) y = By + g(x, y) (5) Dengan (x, y) R R jika memenuhi persamaan W () = {(x, y) R R y = h(x), x < δ, h() =, Dh() = } untuk δ cukup kecil Teorema (Wiggins [8]) Terdapat sebuah manifold center C untuk system (5). Keadaan dinamik dari system (5) dapat didekati oleh manifold center berikut u = Au + fu, h(u), u R (6) Untuk u cukup kecil yang diberikan oleh vektor lapangan berdimensi-c Bukti dapat dilihat pada Carr [1] Akibat selanjutnya menyatakan secara tidak langsung bahwa keadaan dinamik dari persamaan (6) mendekati u = menentukan keadaan dinamik dari system (5) mendekati (x, y) = (,) Teorema (Wiggins[8]) i. Andaikan solisi nol dari (6) adalah stabil (stabil asimtotis)(takstabil); maka solusi nol dari system (5) juga stabil (stabil asimtotis)(takstabil). ii. Andaikan solusi nol dari persamaan (6) adalah stabil. Maka, jika x(t), y(t) adalah solusi dari system (5) terdapat solusi u(t) dari persamaan (5) sedemikian sehingga untuk t x(t) = u(t) + O(e ), y(t) = hu(t) + O(e ), dengan y adalah suatu konstanta. Bukti dapat dilihat pada Carr [1] Secara lokal ( untuk u cukup kecil), manifold center dari sistem (4) mempunyai bentuk Yogyakarta, 9 November 213 MT - 9

4 W () = {(u, u, u, u, Q ): u = h (u, Q ), u = h (u, Q ), u = h (u, Q ), h (,) =, h (,) =, h (,) = h (,) =, h (,) =, h (,) = u u u Sehingga u = u u = u u = u Jika dimisalkan h (u, Q ) = a u + a u Q + a Q + O u Q h (u, Q ) = b u + b u Q + b Q + O u Q h (u, Q ) = c u + c u Q + c Q + O u Q Dengan mensubstitusikan h, h, h ke persamaan (7a), (7b), (7c). selanjutnya koefisien koefisien dari Q, Q u, dan u disamakan dengan koefisien koefisien dari u, u, u pada persamaan (4) maka i. untuk koefisien Q didapatkan a = b c = b c = ii. untuk koefisien Q u didapatkan a = b c = b c = iii. untuk koefisien u didapatkan a = b c = b c = Berdasarkan hasil diatas, didapat a = a = b = b = c = c =, a = , b = , dan c = Subtitusikan nilai nilai tersebut ke dalam persamaan h, h, h sehingga didapat u = h (u, Q ) = u Q + O u Q u = h (u, Q ) = u Q + O u Q u = h (u, Q ) = u Q + O u Q Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (8a), (8b), (8c) ke dalam bentuk u pada persamaan (4) didapat u = μ (Q )u μ (Q )u dengan μ (Q ) = Q ( Q ) μ (Q ) = e ( Q ) (7a) (7b) (7b) (8a) (8b) (8c) Yogyakarta, 9 November 213 MT - 1

5 Untuk Q =, didapat μ (Q ) = dan μ (Q ), berarti ada daerah Q R yang cukup kecil yaitu Q < δ. dengan δ adalah bilangan positif kecil sedemikian sehingga μ (Q ) Q ( δ, δ) Misal θ = μ (Q )τ = μ (Q ) dengan Q cukup kecil, maka u = du dθ dθ dτ = μ (Q ) du dθ Untuk Q cukup kecil, jika Q < maka μ (Q ) < dan μ (Q ) >. Jika Q > maka μ (Q ) > dan μ (Q ) <, dan untuk Q = didapatkan μ () = dan μ () sehingga dengan μ = ( ) = μu u (9) dan μ() = Persamaan (9) merupakan bentuk normal dari sebuah sistem yang mengalami bifurkasi pitchfork (dapat dilihat di Perko[7]). u μ Diagram Bifurkasi Pitchfork e. Interpretasi Hasil Pada sistem flutter sayap pesawat ini, variabel k adalah tingkat kekakuan linier sayap pesawat, sedangkan Q adalah kecepatan angin yang tergeneralisasi (kecepatan angin ditambah kecepatan pesawat). Untuk nilai paramater k =,819668, titik ekuilibrium u = menalami bifurkasi pitchfork superkritikal terjadi pada saat Q = Titik ekuilibrium u = diartikan sebagai posisi normal sayap pesawat pada saat diam. Pada saat Q < ( kecepatan angin ditambah dengan kecepatan pesawat kurang dari satuan kecepatan angin), titik ekuilibrium u = stabil sehingga dapat dimaksudkan sayap pesawat stabil ( dapat kembali ke posisi normal walaupun ada gangguan). Sedangkan jika Q > ( kecepatan angin ditambah dengan kecepatan pesawat lebih dari satuan kecepatan angin), titik ekuilibrium u = tidak stabil atau posisi sayap pesawat bukan lagi merupakan titik yang stabil. Hal ini dimaksudkan setiap kali pesawat kembali ke posisi normal akan kembali terdorong lagi menjauhi posisi normal. Hal ini akan terjadi terus menerus dan geraknya akan semakin cepat. Kondisi seperti ini yang menyebabkan sayap pesawat patah. C. SIMPULAN Berdasarkan pengaruh parameter Q menunjukkan bahwa bifurkasi pitchfork superkritikal terjadi pada sistem flutter di titik ekuilibrium u = (,,, ) yang merupakan titik asal pada saat parameter kecepatan udara tergeneralisasi (Q) bernilai Yogyakarta, 9 November 213 MT - 11

6 D. DAFTAR PUSTAKA Carr, J Application of Center Manifold Theory. Springer-Verlag: New York, Heidelberg,Berlin. Chen, Y.M dan Liu, J.K. Supercritical as well as subcritical Hopf bifurcationin nonlinear flutter system. Jurnal Applied Mathematics and Mechanics-Engl. Ed., 28, 29(2): DOI 1.17/s x. FariduzzamanFluttw2d : A Software Tool For Flutter Prediction On Airplane Wings. Artikel 221 LITBANG,. (22). Hlm Hollmann, M Modern Aerodinamic Flutter Analisis. Building S Monterey: California. Liu L., Wong, Y.S, dan Lee, B.H.K. Application of the center manifoldtheory in nonlinear aeroelasticity. J Sound Vib, 2.234(4): Novi Andria. Analisis flutter sirip roket balistik rx-42 dengan Melibatkan modus gerak kaku struktur roket. Jurnal Universitas Indonesia, 211. Hlm Perko, Lawrence. 2. Differential Equations and Dynamical Sistem. Springer-Verlag: New York. Wiggins, S.199. Intoduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos. Springer-Verlag: New York. Yang, Y.R. KBM method of analyzing limit cycle flutter of a wing an external store and comparison with wind tunnel test. J Sound Vib, 1995, 187(2) Yogyakarta, 9 November 213 MT - 12