ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR

Transkripsi

1 TUGAS AKHIR ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR ( S TA B I L I T Y A N A LY S I S O F A P R E D AT O R - P R E Y M O D E L W I T H I N F E C T E D P R E Y I N P O L L U T E D E N V I R O N M E N T ) OLEH: N OVERIA CHAR I N A P UTRI

2 ABSTRAK Pencemaran lingkungan memberi efek negatif bagi kelangsungan hidup makhluk hidup. Pencemaran lingkungan terutama yang mengandung racun, memiliki pengaruh besar terhadap pemangsaan (predasi). Mangsa (prey) yang terinfeksi racun mengancam kelangsungan hidup populasi pemangsa (predator). Penyakit menular pada populasi hewan menjadi permasalahan yang mempengaruhi predasi. Penyebaran penyakit SIS terjadi bila infeksi tidak menyebabkan kekebalan, sehingga infectives menjadi rentan lagi setelah pemulihan penyakit. Dalam Tugas Akhir ini dibahas bilangan reproduksi dasar, analisis stabilitas dari titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik, serta kaitannya dengan bilangan reproduksi dasar dan simulasi perilaku sistem yang dipengaruhi infeksi dan racun. Diasumsikan bahwa interaksi epidemiologi adalah tipe SIS dan populasi prey maupun predator keduanya dipengaruhi oleh racun yang ada di lingkungan. Kata kunci : predator, prey, SIS, penyakit, racun, analisis kestabilan

3 P E N D A H U L U A N LATAR BELAKANG Perubahan dalam lingkungan yang disebabkan oleh polusi (racun & pencemar) kelangsungan hidup jangka panjang spesies, gaya hidup manusia dan keanekaragaman hayati dari habitat Terutama pemangsaan (Predasi) Prey terinfeksi racun mengancam kelangsungan hidup populasi predator Penyakit menular pada populasi hewan menjadi permasalahan yang mempengaruhi predasi analisis kestabilan dan simulasi model predator-prey dengan prey yang terinfeksi di lingkungan tercemar

4 RUMUSAN MASALAH dianalisa model epidemik tipe SIS yang mempunyai bentuk: dengan: : populasi prey : fraksi yang menular : populasi predator : konsentrasi racun di lingkungan pada waktu : konsentrasi racun dalam organisme pada waktu

5 K : daya dukung lingkungan terhadap prey Q : laju masukan eksogen racun ke dalam lingkungan r : laju pertumbuhan populasi prey per kapita tanpa adanya predator : parameter positif, masing-masing laju di mana prey dan populasi predator kehilangan biomassa mereka karena racun : laju memangsa : koefisien prey yang lebih rentan terinfeksi terhadap predasi : koefisien prey yang terinfeksi racun k : efisiensi pakan dalam mengubah predasi menjadi predator baru h : laju kumulatif kehilangan racun dari lingkungan yang diakibatkan oleh proses seperti transformasi biologis, hidrolisis kimia, volatilisasi degradasi mikroba dan degradasi fotosintesis dan juga proses penyerapan

6 : laju kematian predator per kapita : koefisien laju kelahiran populasi prey : gerakan prey yang terinfeksi keluar dari kelas menular karena proses pemulihan : jumlah rata-rata kontak binatang per unit waktu : konstanta positif yang menunjukkan laju penyerapan racun lingkungan per satuan massa organisme : konstanta positif yang menunjukkan laju penyerapan racun dalam makanan per satuan massa organisme : konstanta positif yang menunjukkan konsentrasi racun dalam sumber daya : konstanta positif yang menunjukkan laju rata-rata asupan makanan per satuan massa organisme : masing-masing konstanta positif yang menunjukkan organisme bersih konsumsi dan laju pembersihan dari racun

7 PERMASALAHAN 1. Bagaimana menentukan bilangan reproduksi dasar, analisis stabilitas dari titik kesetimbangan bebas penyakit (disease free equilibrium) dan titik kesetimbangan endemik (endemic equilibrium), serta kaitannya dengan bilangan reproduksi dasar. 2. Bagaimana menginterpretasikan model matematika predator-prey beserta simulasinya. BATASAN MASALAH Model penyebaran penyakit yang dipakai adalah model tipe SIS Populasi prey maupun populasi predator keduanya dipengaruhi oleh racun lingkungan

8 TUJUAN PENELITIAN 1. Menganalisis kestabilan dari titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik serta kaitannya dengan bilangan reproduksi dasar dari model sistem predator-prey dengan prey yang terinfeksi di lingkungan tercemar. 2. Menginterpretasikan hasil analisis pengaruh penyebaran penyakit pada model sistem predator-prey dengan software Matlab. MANFAAT PENELITIAN Memberikan informasi mengenai analisis kestabilan model sistem predator-prey dengan prey yang terinfeksi di lingkungan tercemar Memberi informasi bahwa penyelesaian bentuk kestabilan yang diberikan dapat direalisasikan untuk menjaga keseimbangan ekositem

9 SISTEMATIKA PENULISAN Sistematika penulisan dalam Tugas Akhir ini adalah : BAB I Pada bab ini berisi tentang gambaran umum dalam penulisan Tugas Akhir yang meliputi latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II Pada bab ini menjelaskan secara umum mengenai hasil penelitian terdahulu yang relevan dengan Tugas Akhir dan semua teori yang mendasari penulisan Tugas Akhir. BAB III METODE PENELITIAN Pada bab ini menjelaskan tentang metode penelitian yang digunakan dalam penulisan Tugas Akhir dan urutan pelaksanaan kegiatan yang ditempuh untuk menyelesaikan Tugas Akhir. BAB IV Pada bab ini dibahas analisis stabilitas dari model dengan titik setimbang bebas penyakit dan endemik serta kaitannya dengan basic reproduction number. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Pada bab ini berisi tentang kesimpulan dari pembahasan Tugas Akhir dan saran untuk pengembangan selanjutnya.

10 T I N JAU A N P U S T A K A HASIL PENELITI TERDAHULU Model predator-prey [5] dengan dan masing-masing merupakan ukuran populasi prey dan predator adalah (2.1) Model ini adalah modifikasi model predator-prey Lotka-Volterra dengan pertumbuhan kepadatan logistik tergantung pada prey. Perkembangan selanjutnya ada model interaksi predator-prey yang dipengaruhi penyebaran penyakit menular tipe SIS pada prey sebagai berikut:

11 TUGAS AKHIR SEBELUMNYA (Angkasa, 2005) menganalisis penyebaran penyakit pada interaksi predator-prey dengan dua laju kontak yang berbeda, insiden aksi massa (konstan) dan insiden standart. Interaksi predator-prey dimodelkan menggunakan model Lotka Volterra dan penyebaran penyakit menular dimodelkan dengan menggunakan model epidemik tipe SI dan SIS, dengan pertumbuhan eksponensial, dengan asumsi penyakit hanya terjadi pada populasi prey. BILANGAN REPRODUKSI DASAR Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number). Dengan menerapkan matematika bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menentukan nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks Jacobian yang dihitung pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Pada model yang kompleks, suatu model mungkin mempunyai lebih dari satu bilangan reproduksi dasar. Untuk kasus seperti ini, bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai terbesar dari beberapa bilangan reproduksi dasar.

12 TITIK SETIMBANG DAN KESTABILANNYA Kestabilan suatu titik setimbang juga dapat diperiksa dari akar akar karakteristik (nilai eigen ) dengan menyelesaikan dengan A adalah matrik dari sistem linearisasi persamaan differential yang berukuran 5x5, menghasilkan polynomial dengan derajat tertinggi sama dengan ukuran matrik yaitu polynomial derajat 5 yang mempunyai bentuk umum Sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan tanda bagian real dibagi menjadi 3 yaitu : Stabil Titik Setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real tak positif. Stabil Asimtotis Titik Setimbang dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real negatif. Tidak stabil Titik Setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan positif atau mempunyai paling sedikit satu niai eigen dengan bagian real positif.

13 KRITERIA KESTABILAN ROUTH HURWITZ Kriteria kestabilan Routh Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut : Kemudian susun koefisien persamaan karakteristik menjadi : Tabel 2.1 Tabel Routh Hurwitz Dengan Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistem linear. Persamaan hasil linearisasi disekitar dapat ditulis dalam bentuk:

14 KESTABILAN GLOBAL Kestabilan global dari titik kesetimbangan dapat ditentukan dengan kriteria negatif Bendixon-Dulac. Mempertimbangkan: dengan dan setidaknya dalam Teorema 2.1 (Kriteria Bendixon) Jika pada suatu daerah, tidak identik dengan nol dan tidak berubah tanda, maka persamaan (2.6) tidak memiliki orbit tertutup di D. Generalisasi dari kriteria Bendixon karena Dulac adalah sebagai berikut: Teorema 2.2 Misal adalah pada daerah. Jika tidak identik dengan nol dan tidak berubah tanda di D, kemudian (2.6) tidak memiliki orbit tertutup di D.

15 M E T O D O L O G I METOD OLOGI

16 A N A L I S I S D A N P E M B A H A S A N DAERAH FEASIBLE Model mempunyai daerah penyelesaian (daerah feasible) sebagai berikut : dengan: TITIK SETIMBANG MODEL Titik Setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu, dimana laju perubahan adalah nol. Dengan demikian titik-titik setimbang dari persamaan (4.1) sampai (4.5) diperoleh dari sehingga diperoleh titik-titik kesetimbangan: Titik setimbang bebas penyakit, dan Titik setimbang endemik dan

17 KESTABILAN LOKAL TITIK SETIMBANG BEBAS PENYAKIT a. Titik setimbang matriks jacobiannya adalah Nilai eigen diperoleh dari: Didapat nilai eigen: jika jika stabil jika dengan,yaitu:

18 b. Titik setimbang matriks jacobiannya adalah L ANJUTAN Nilai eigen diperoleh dari: Didapat nilai eigen: dengan stabil jika jika, jika, yaitu:

19 L ANJUTAN c. Titik setimbang matriks jacobiannya adalah Nilai eigen diperoleh dari:, dengan:,,,

20 L ANJUTAN Didapat nilai eigen: Dua akar yang lainnya diberikan oleh persamaan yang dapat ditulis menjadi maka koefisien dari polynomial orde 2 adalah: Titik setimbang bebas penyakit yaitu: jika dengan jika yang berarti jika dan stabil jika

21 KESTABILAN LOKAL TITIK SETIMBANG ENDEMIK a. Titik setimbang matriks jacobiannya adalah Nilai eigen diperoleh dari:,, dengan:,,

22 L ANJUTAN Didapat nilai eigen: Titik setimbang endemik stabil jika yaitu:

23 L ANJUTAN b. Titik setimbang matriks jacobiannya adalah nilai eigen diperoleh dari, dengan:

24 L ANJUTAN Didapat nilai eigen:, Dua akar yang lainnya diberikan oleh persamaan yang dapat ditulis menjadi maka koefisien dari polynomial orde 2 adalah: Titik setimbang endemik stabil jika yaitu: jika jika yang berarti jika dan

25 BILANGAN REPRODUKSI DASAR Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Berdasar perhitungan sebelumnya, didapat tiga bilangan reproduksi dasar yaitu dan. Bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai terbesar. Diperoleh: Karena maka didefinisikan:

26 KESTABILAN GLOBAL TITIK SETIMBANG BEBAS PENYAKIT Dipilih : jelas jika dan Akan dibuktikan stabil asimtotik global pada bidang H-P. Sehingga untuk semua, oleh karena itu, dengan kriteria Bendixon-Dulax, maka sistem tidak mempunyai orbit periodik. Ini membuktikan stabil asimtotik global pada bidang H-P.

27 SIMULASI Parameter yang digunakan:,,,,,,,,,,,,. Dengan nilai awal: Perilaku sistem yang dipengaruhi infeksi dan racun

28 L ANJUTAN Laju Pertumbuhan Susceptible Prey Pada awal laju pertumbuhannya, susceptible prey mengalami penurunan karena peningkatan laju kehilangan biomassa, yang mengakibatkan prey menjadi terinfeksi dan rentan terhadap predasi. Kemudian susceptible prey mengalami kenaikan laju pertumbuhan akibat peningkatan laju kematian predator yang disebabkan oleh kehilangan biomassa karena racun. Laju Pertumbuhan Infected Prey Pada awal laju pertumbuhannya, terjadi kontak antara infected prey dengan susceptible prey. Laju pertumbuhan infected prey menurun akibat dari peningkatan laju memangsa predator pada susceptible prey yang tidak diimbangi dengan peningkatan laju kelahiran populasi prey. Laju Pertumbuhan Predator Pada awal laju pertumbuhan predator, terjadi peningkatan laju memangsa infected prey. Kemudian predator kehilangan biomassa karena terinfeksi racun dari prey yang dimangsanya dan mengalami peningkatan laju kematian.

29 L ANJUTAN Untuk U* =9

30 Untuk U*=1

31 P E N U T U P KESIMPULAN: a. Diperoleh titik setimbang bebas penyakit: b. Diperoleh titik setimbang endemik:

32 L ANJUTAN c. Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal : Jika dan maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil. Jika dan maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil. Jika, dan maka titik kesetimbangan stabil. d. Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal endemik: Jika : maka titik setimbang endemik Jika : dan stabil.,, maka titik kesetimbangan endemik stabil.

33 L ANJUTAN e. Diperoleh bilangan reproduksi dasar: Jika maka akan terjadi penularan penyakit pada seluruh populasi prey yang rentan (susceptible). Jika maka tidak terjadi endemik. SARAN Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai persistensi oleh karena itu penulis menyarankan agar pada penelitian selanjutnya menyertakan permasalahan persistensi.

34 D AFTAR Angkasa, dan Winarko Masalah Penyebaran Penyakit Menular pada Model Predator-Prey. Skripsi ITS. Anonim. Pebruari Interaksi Antar Komponen. URL: (diakses tanggal 15 Pebruari 2011). Finizio, N. dan Landas, G Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Publishing Company. Kristianto, D.A Analisis Model Perkembangan Virus HCV Type 4A pada Penyebaran Penyakit Hepatitis C. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS. Surabaya. Sinha. S, Misra. O.P, Dhar J Modelling a Predator-Prey System with Infected Prey in Polluted Environment. Applied Mathematical Modelling 34(2010) Wiggins, S, (1990), Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Splinger-Verlag, New York

35 TERIMA KASIH