ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II INTAN SELVYA

Transkripsi

1 ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II INTAN SELVYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2016 Intan Selvya NIM G

4 ABSTRAK INTAN SELVYA. Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan PAIAN SIANTURI. Dalam karya ilmiah ini dipelajari model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II dan analisa mengenai karakteristik serta kestabilan titik tetapnya. Dari model tersebut dilakukan transformasi sehingga diperoleh dua model yang disebut model 1 dan model 2. Model 1 menghasilkan dua titik tetap dan model 2 menghasilkan empat titik tetap. Analisis kestabilan dilakukan dengan cara mencari nilai eigen untuk setiap titik tetap dari masing-masing model. Pada model 1 terjadi perubahan kestabilan titik tetap dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil. Perubahan kestabilan tersebut merupakan sifat dari bifurkasi Hopf. Pada model 1 terdapat limit cycle pada titik tetap kedua. Pada model 2 tidak terjadi perubahan kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil dan tidak terjadi kemunculan limit cycle. Kata kunci: bifurkasi Hopf, Holling-Tanner tipe II, kestabilan, limit cycle. ABSTRACT INTAN SELVYA. Stability Analysis of Predator-Prey Model of Holling-Tanner Type II. Supervised by ALI KUSNANTO and PAIAN SIANTURI. In this manuscript, we studied the predator-prey model of Holling-Tanner type II and analysis about characteristics and stability of the fixed point. From transformation of the model it is obtained two new models, called model 1 and model 2. Model 1 has two fixed points and model 2 has four fixed points. Stability analysis is performed by identifying eigenvalues for any fixed point of each model. In model 1, the stability of a fixed point changes from stable spiral to unstable spiral. The changes of stability is the characteristic of the Hopf bifurcation. In model 1, there is a limit cycle at the second fixed point. In model 2, there is no changes in the stability from stable spiral to unstable spiral and there is no appearance of limit cycle. Keywords: Holling-Tanner type II, Hopf bifurcation, limit cycle, stability.

5 ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA HOLLING-TANNER TIPE II INTAN SELVYA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

6

7

8

9 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wa ta ala atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah yang berjudul Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada: 1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya, 2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman, 3 keluarga tercinta: Ibunda Marliah dan Ayahanda Suarta yang selalu menyebut nama penulis dalam setiap doanya. Fahmi Junaedi dan Linda Safira yang selalu menjadi kesayangan, 4 keluarga besar Bapak Icin (alm) dan Bapak Narmin (alm), 5 Bapak Drs. Ali Kusnanto, MSi dan Dr. Paian Sianturi selaku dosen pembimbing atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya selama membimbing penulis, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji, 6 staf tata usaha dan perpustakaan Departemen Matematika IPB, 7 guru SMA kebanggaan yang paling berjasa: Bu Pipit dan Pak Ade, 8 sahabat-sahabat: BSW (Menik, Bella, Kokom, Andre, Valen, Dani), Lala, Tia, Suhe, dan Teh Lia yang telah memberikan motivasi, bantuan, keceriaan, dan waktu yang berkesan bagi penulis, 9 teman-teman satu bimbingan: Aul dan Vivi yang selalu saling mengingatkan, membantu dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini, 10 teman-teman mahasiswa Matematika 49, PB Gumatika, Biro Kewirausahaan Gumatika (Zorro dan Garputala) atas doa, semangat, serta kebersamaan, dan kerjasamanya selama ini, 11 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Bogor, Agustus 2016 Intan Selvya

10 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1 LANDASAN TEORI 2 PEMODELAN 4 PEMBAHASAN 6 Model 1 6 Penentuan Titik Tetap 6 Analisis Kestabilan Titik Tetap 7 Analisis Kestabilan di Sekitar T 7 Analisis Kestabilan di Sekitar T 7 Analisis Kestabilan di Sekitar T 7 Model 2 8 Penentuan Titik Tetap 8 Analisis Kestabilan Titik Tetap 8 Analisis Kestabilan di Sekitar T 8 Analisis Kestabilan di Sekitar T 9 Analisis Kestabilan di Sekitar T 9 Analisis Kestabilan di Sekitar T 9 SIMULASI NUMERIK 10 SIMPULAN 21 DAFTAR PUSTAKA 22 LAMPIRAN 23 RIWAYAT HIDUP 35

11 DAFTAR TABEL 1 Ringkasan analisis kestabilan Model 1 dan Model Pemilihan nilai parameter untuk Model Pemilihan nilai parameter untuk Model Kestabilan hasil simulasi Model 1 dan Model 2 21 DAFTAR GAMBAR 1 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 12 2 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 12 3 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 13 4 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 13 5 Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa 14 6 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 14 7 Bidang fase yang menunjukkan jenis kestabilan spiral tak stabil 15 8 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 15 9 Bidang fase yang menunjukkan terjadi limit cycle Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Bidang fase populasi mangsa terhadap populasi pemangsa Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu 20 DAFTAR LAMPIRAN 1 Penondimensionalan Model 23 2 Penentuan titik tetap Model Penentuan titik tetap Model Penentuan matriks Jacobi Model Penentuan nilai eigen Model Penentuan matriks Jacobi Model Penentuan nilai eigen Model Program plot bidang fase Kasus 1 Model 1 (Gambar 1) 30 9 Program plot bidang solusi Kasus 1 Model 1 (Gambar 2) Program plot bidang fase Kasus 2 Model 1 (Gambar 3) Program plot bidang solusi Kasus 2 Model 1 (Gambar 4) Program plot bidang fase Kasus 3 Model 1 (Gambar 5) Program plot bidang solusi Kasus 3 Model 1 (Gambar 6) Program plot bidang fase Kasus 4 Model 1 (Gambar 7) Program plot bidang solusi Kasus 4 Model 1 (Gambar 8) Program plot bidang fase Kasus 4 Model 1 (Gambar 9) 32

12 17 Program plot bidang solusi Kasus 4 Model 1 (Gambar 10) Program plot bidang fase Kasus 1 Model 2 (Gambar 11) Program plot bidang solusi Kasus 1 Model 2 (Gambar 12) Program plot bidang fase Kasus 2 Model 2 (Gambar 13) Program plot bidang solusi Kasus 2 Model 2 (Gambar 14) Program plot bidang fase Kasus 3 Model 2 (Gambar 15) Program plot bidang solusi Kasus 3 Model 2 (Gambar 16) Program plot bidang fase Kasus 4 Model 2 (Gambar 17) Program plot bidang solusi Kasus 4 Model 2 (Gambar 18) 34

13 PENDAHULUAN Latar Belakang Suatu ekosistem terdiri dari berbagai populasi makhluk hidup. Makhluk hidup terdiri atas berbagai spesies yang saling berinteraksi dan saling bergantung satu sama lain. Salah satu interaksi antara makhluk hidup dengan makhluk hidup lainnya adalah dalam hal mencari sumber makanan untuk kelangsungan hidup. Hubungan antara pemangsa (predator) dan mangsanya (prey), di mana pemangsa akan bersaing dengan pemangsa lain untuk memperoleh mangsa sebagai sumber makanan merupakan peristiwa yang disebut predasi (Curio 1976). Predasi bertujuan untuk memahami tentang kebiasaan dan struktur hewan. Pemangsa (predator) sendiri merupakan suatu organisme yang memakan atau memangsa organisme lain. Sedangkan mangsa (prey) merupakan organisme yang dimakan oleh pemangsa. Alfred Lotka pada tahun 1925 dan Vito Volterra pada tahun 1927 mengembangkan persamaan diferensial yang menggambarkan fenomena mangsapemangsa yang dikenal dengan model Lotka-Volterra (Bacaer 2011). Kekurangan dari model Lotka-Volterra adalah asumsi bahwa populasi mangsa dapat tumbuh tanpa batas saat tidak adanya pemangsa. Selanjutnya, berkembang beberapa model modifikasi dari model Lotka-Volterra. Tahun 1959, Holling memperkenalkan fungsi respons yang terbagi atas tiga macam. Fungsi respons tipe I terjadi pada pemangsa yang memunyai karakteristik pasif atau menunggu mangsanya (Garrott et al. 2009). Fungsi respons tipe II terjadi pada pemangsa yang memiliki karakteristik aktif dalam mencari mangsa (Skalski dan Gilliam 2001). Fungsi respons tipe III terjadi pada saat pemangsa mencari populasi mangsa lain ketika populasi mangsa yang dimakannya mulai berkurang. Dalam penulisan karya ilmiah ini, akan dikonstruksi kembali model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II yang disusun oleh Kuang dan Li (2007). Dari model tersebut dianalisis kestabilan, karakteristik dan dinamika populasi mangsa-pemangsa terhadap waktu. Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk: 1 Merekonstruksi model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II yang disusun oleh Kuang dan Li (2007) 2 Menganalisis karakteristik dan kestabilan titik tetap model mangsapemangsa Holling-Tanner tipe II.

14 2 LANDASAN TEORI Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut: =. Fungsi merupakan fungsi bernilai real dari waktu. Fungsi adalah fungsi bernilai real dari (Verhulst 1990). Misalkan diketahui sistem persamaan diferensial dua dimensi, =,, =,. Andaikan, adalah titik tetap dari persamaan (1) sehingga, = dan, =. Selanjutnya dilakukan transformasi dengan pusat koordinat,, =, =. Maka didapatkan: = = +, +. Dengan menggunakan ekspansi Taylor diperoleh =, + + +,,. Karena, = sehingga, = Dengan,, memiliki nilai bilangan yang kecil. Dengan cara yang sama dapat diperoleh: = = + +,,. + +,,. Oleh karena itu, dapat dituliskan dalam bentuk matriks menjadi: Dengan matriks ( ) = ( +,,. ) =. Matriks disebut matriks Jacobi dengan titik tetap,. Karena,, yang dekat titik tetap bernilai kecil, sehingga menurut Strogatz (1994) diperoleh sistem pelinearan: ( ) =. (1)

15 Menurut Tu (1994), jika matriks berordo, maka vektor taknol di adalah vektor eigen dari. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial dua dimensi sebagai berikut: Sistem ini dapat ditulis menjadi: = +, = +. =, dengan = [ ], = [ ]. Untuk mencari nilai eigen dapat dilakukan dengan menggunakan, =. (2) Vektor adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan adalah matriks identitas. Persamaan (2) akan memiliki penyelesaian tak nol jika dan hanya jika: det = =. (3) Persamaan (3) dapat ditulis menjadi: det =, sedemikian sehingga diperoleh persamaan: + Δ =, dengan = trace = + = +, Δ = det = =. Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut:, = ± Δ. Menurut Strogatz (1994) untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem dapat dilihat dari nilai dan. Ada tiga kasus untuk nilai Δ, yaitu: 1 Jika Δ <, maka kedua nilai eigen bernilai real dan berbeda tanda maka titik tetap bersifat sadel. 2 Jika Δ >, 2.1 Jika Δ > dan jika > maka kedua nilai eigen bernilai real positif, sehingga titik tetap bersifat simpul tak stabil. Jika < dan kedua nilai eigen bernilai real negatif, maka titik tetap bersifat simpul stabil. 2.2 Jika Δ <, dan jika > maka kedua nilai eigen adalah bilangan kompleks ±, sehingga titik tetap bersifat spiral tak stabil. Jika < dan kedua nilai eigen adalah bilangan kompleks ±, maka titik tetap bersifat spiral stabil. Jika = dan kedua nilai eigen adalah bilangan kompleks ±, maka titik tetap bersifat center. 2.3 Jika Δ =, parabola Δ = adalah garis batas antara simpul dan spiral. Star nodes atau degenerate nodes terletak pada 3

16 4 parabola ini. Kestabilan titik atau spiral ditentukan oleh nilai. Jika <, kedua nilai eigen bernilai negatif maka titik tetap bersifat simpul stabil. Jika > maka titik tetap bersifat spiral tak stabil. 3 Jika Δ =, maka salah satu nilai eigen bernilai nol, sehingga titik asal bersifat titik tetap tak terisolasi. Menurut Strogatz (1994), perubahan pada parameter sistem dapat merubah struktur kualitatif pada suatu sistem yang disebut bifurkasi. Bifurkasi merupakan perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter saat terjadi bifurkasi disebut titik bifurkasi. Beberapa jenis bifurkasi, salah satunya adalah bifurkasi Hopf. Kemunculan limit cycle merupakan sifat dari bifurkasi Hopf. Limit cycle merupakan orbit tertutup yang terisolasi yang berarti orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Ketika terjadi perubahan kestabilan yang melalui sepasang nilai eigen imajiner murni, maka saat itu terjadi kemunculan limit cycle. PEMODELAN Karya ilmiah ini membahas mengenai model mangsa-pemangsa Holling- Tanner tipe II yang menunjukkan persaingan antara suatu spesies pemangsa dengan suatu spesies mangsa. Model dapat dilihat pada sistem persamaan berikut: = +, (4) = ( + ), di mana,, dan,,,, >, dengan: : banyaknya populasi mangsa, : banyaknya populasi pemangsa, : koefisien interaksi yang mempengaruhi laju penangkapan pemangsa, : laju kematian pemangsa, m : tingkat kejenuhan pemangsaan, : koefisien interaksi yang mempengaruhi laju pertumbuhan pemangsa, : laju pertumbuhan intrinsik mangsa, : daya dukung lingkungan. Pada sistem persamaan (4) terdapat = + merupakan respons fungsional yang menunjukkan ketersediaan mangsa sebagai sumber makanan serta laju penangkapan pemangsa terhadap mangsa. Selanjutnya, dilakukan penondimensionalan model terhadap persamaan (4), sehingga persamaan memiliki bentuk yang lebih sederhana. Skala parameter yang dipakai:,,.

17 Persamaan (4) menjadi: = 5 +, (5) dengan = + +, =, =, =. (Bukti Lampiran 1) Persamaan (5) disebut Model 1. Parameter menyatakan tingkat pertumbuhan mangsa, parameter menyatakan tingkat kematian pemangsa, dan parameter menyatakan tingkat interaksi antara mangsa dengan pemangsa. Menurut Tang dan Zhang (2005), dengan mengubah variabel bebas +. Persamaan (5) berpadanan dengan sistem persamaan, = +, (6) = + +. Berdasarkan Tang dan Zhang (2005) juga dapat dilakukan transformasi Briot- Bouquet pada persamaan (6), dengan mengubah parameter untuk memperoleh persamaan:,,, = [ ], = [ ]. Kuang dan Li (2007) kemudian mengganti variabel pada persamaan (7) dengan variabel sehingga persamaan menjadi:, = [ ], (8) = [ ]. Persamaan (8) dapat dibuat lebih sederhana dengan menggunakan parameter dan = sehingga persamaan dapat ditulis kembali sebagai berikut: = +, (9) = (7)

18 6 Kuang & Li (2007) memandang dan + sebagai gangguan dari sistem pada persamaan (9), sehingga persamaan yang digunakan menjadi: =, (10) = + +. Persamaan (10) disebut Model 2. Dalam tulisan ini akan dibandingkan Model 1 dan Model 2 untuk mencari perilaku solusi modelnya. PEMBAHASAN Model 1 Penentuan Titik Tetap Penentuan titik tetap Model 1 diperoleh dari = dan = pada persamaan (5), sehingga persamaan menjadi: + =, (11) + + =. Persamaan (11) diselesaikan sehingga diperoleh 2 titik tetap yaitu, dan ++, ++ dan tidak terdefinisi pada titik (0,0). Walaupun begitu analisis kestabilan di sekitar titik, tetap dilakukan. (Bukti Lampiran 2) Analisis Kestabilan Titik Tetap Dengan melakukan pelinearan pada Model 1 sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: = (12) Kestabilan di sekitar titik tetap dapat diperiksa dengan melihat nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobi persamaan (12) yang dievaluasi pada titik tetap. (Bukti Lampiran 4)

19 7 Analisis Kestabilan di Sekitar, Substitusi, pada matriks Jacobi persamaan (12), sehingga diperoleh matriks Jacobi = ( ). Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik =, diperoleh nilai eigen sebagai berikut: =, =. Diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga > dan <. Karena kedua nilai eigen bernilai real dan berbeda tanda, sehingga kestabilan bersifat sadel (Strogatz 1994). Analisis Kestabilan di Sekitar, Substitusi, pada matriks Jacobi persamaan (12), sehingga diperoleh matriks Jacobi = ( ). Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik =, diperoleh nilai eigen sebagai berikut: =, =. Karena diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga < dan bergantung pada nilai dan yang ditentukan. Jika > maka kestabilan bersifat simpul stabil. Jika < maka kestabilan bersifat sadel (Strogatz 1994). Analisis Kestabilan di Sekitar ++, ++ Substitusi titik tetap ++, ++ pada matriks Jacobi persamaan (12), Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik =, diperoleh nilai eigen sebagai berikut: = δ, = δ +, dengan = δ δ δ + δ, = δ δ + δ + δ δ. Diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga kestabilan titik tetap ditentukan dari nilai eigen yang bergantung pada nilai parameter dan. Jika nilai > dan < maka kestabilan bersifat simpul stabil. Jika nilai < dan < maka kestabilan bersifat sadel. Jika nilai < dan

20 8 < maka kestabilan bersifat spiral stabil. Jika nilai < dan > maka kestabilan bersifat spiral tak stabil (Strogatz 1994). Terjadi perubahan kestabilan titik tetap δ+δ+, δ δ+δ+ δ δ dari kondisi kestabilan spiral stabil menjadi spiral tak stabil dengan mengubah nilai parameter sistem. (Bukti lampiran 5) Model 2 Penentuan Titik Tetap Penentuan titik tetap Model 2 diperoleh dari persamaan (10), sehingga persamaan menjadi: =, + + =. = dan = pada Dilakukan penyelesaian pada sistem persamaan (13) sehingga diperoleh 4 titik tetap, yaitu,,,,,, dan,. (Bukti Lampiran 3) Perbedaan Model 1 dan Model 2 adalah dari jumlah dan nilai titik tetap yang diperoleh. Analisis Kestabilan Titik Tetap (13) Dengan melakukan pelinearan pada Model 2 sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: + = +. (14) (Bukti lampiran 6) Kestabilan di sekitar titik tetap dapat diperiksa dengan melihat nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobi persamaan (14) yang dievaluasi pada titik tetap. Analisis Kestabilan di Sekitar, Substitusikan, pada matriks Jacobi persamaan (14), sehingga diperoleh matriks Jacobi = ( ). Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik =, diperoleh nilai eigen sebagai berikut: + =, =.

21 9 Karena diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga > dan bergantung pada nilai yang ditentukan. Jika < maka kestabilan bersifat simpul tak stabil. Jika > maka kestabilan bersifat sadel (Strogatz 1994). Analisis Kestabilan di Sekitar, Titik tetap, disubstitusikan pada matriks Jacobi persamaan (14), sehingga diperoleh matriks Jacobi = ( ). Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik =, diperoleh nilai eigen sebagai berikut: =, =. Karena diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga < dan bergantung pada nilai yang ditentukan. Jika < maka kestabilan bersifat sadel. Jika > maka kestabilan bersifat simpul stabil (Strogatz 1994). Analisis Kestabilan di Sekitar, Substitusikan titik tetap, sehingga diperoleh matriks Jacobi: = ( pada matriks Jacobi persamaan (14),. + ) Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik =, diperoleh nilai eigen sebagai berikut: =, = +. Karena diasumsikan parameter tidak bernilai negatif, sehingga dan bergantung pada nilai yang ditentukan. Jika < maka kestabilan bersifat sadel. Jika > maka kestabilan bersifat simpul tak stabil. Analisis Kestabilan di Sekitar, Substitusikan titik tetap, pada matriks Jacobi persamaan (2), sehingga diperoleh matriks Jacobi: = + ( ( ) )

22 10 Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik =, diperoleh nilai eigen sebagai berikut: + = +, + = +. Kestabilan di sekitar titik tetap belum dapat ditentukan dari nilai eigen yang diperoleh. Sehingga, kestabilan di sekitar titik tetap ditentukan dari hasil simulasi yang akan dilakukan. (Bukti lampiran 7) Model 1 Tabel 1 Ringkasan analisis kestabilan Model 1 dan Model 2 Ket. S SS SS > ; >, < S S < ; <, < SPS <, < SPTS <, > STS S S < S SS STS > Model 2 Keterangan: (S=Sadel; SS=Simpul Stabil; STS=Simpul Tak Stabil; SPS=Spiral Stabil; SPTS=Spiral Tak Stabil). SIMULASI NUMERIK Dalam karya ilmiah ini akan dilakukan simulasi terhadap dua model persamaan yaitu Model 1 dan Model 2. Pada simulasi untuk Model 1 tingkat interaksi antara mangsa dengan pemangsa () mempengaruhi kestabilan di titik tetap. Sehingga dalam simulasi untuk Model 1 akan dilakukan perubahan pada nilai parameter untuk melihat perubahan kestabilannya. Selanjutnya, dilakukan simulasi untuk Model 2. Diasumsikan bahwa setiap parameter bernilai taknegatif. Saat penondimensionalan model diketahui bahwa = dan =. Nilai sebanding dengan tingkat pertumbuhan mangsa tanpa pengaruh adanya pemangsa. Sedangkan nilai sebanding dengan tingkat kematian pemangsa. Model 2 hanya dilakukan simulasi pada nilai < untuk melihat jenis kestabilannya. Nilai setiap parameter untuk masing-masing persamaan diasumsikan sebagai berikut dalam Tabel 2 dan Tabel 3.

23 11 Tabel 2 Pemilihan nilai parameter untuk Model 1 Kas Nilai eigen dan kestabilan titik tetap = 0.41 = -0.5 S = 0.41 = -0.5 S = = -0,01 SS = = 0.1 S =. =. S =. =, SS Ket. > < = 0.41 = -0.5 S = = 0.25 S =... =.. +. SPS < = 0.41 = -0.5 S = =. S =... =... SPTS Keterangan: (S=Sadel; SS=Simpul Stabil; STS=Simpul Tak Stabil; SPS=Spiral Stabil; SPTS=Spiral Tak Stabil). Tabel 3 Pemilihan nilai parameter untuk Model 2 < Kas Nilai eigen dan kestabilan titik tetap =. = 1.23 STS =. = S =. =. SS Ket. < =. = 1.23 =. = =. =. < STS S SS =. = 1.23 =. = =. =. < STS S SS =. = 1.23 =. = =. =. < STS Keterangan: (S=Sadel; SS=Simpul Stabil; STS=Simpul Tak Stabil; SPS=Spiral Stabil; SPTS=Spiral Tak Stabil). S SS

24 12 Simulasi 1 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 1 Kasus 1 Nilai parameter yang digunakan adalah δ =., dengan nilai awal =. dan =.. Pada Kasus 1 diperoleh nilai titik tetap,,,,.,.. Nilai eigen yang didapatkan pada Kasus 1 adalah =. dan =.. Gambar 1 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y Mangsa (x) Pemangsa (y) Gambar 2 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Gambar 1 menunjukkan bahwa ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap di mana kedua populasi stabil menuju titik tetap. Pada Gambar 1 diperlihatkan bahwa kestabilan titik tetapnya adalah stabil. Gambar 2 menunjukkan bahwa pada waktu awal populasi mangsa mengalami penurunan yang mengakibatkan populasi pemangsa ikut mengalami penurunan. Hal tersebut terjadi akibat tingkat interaksi antara mangsa pemangsa cukup rendah. Selanjutnya, pada nilai tertentu populasi mangsa naik tetapi populasi pemangsa tetap menurun menuju kepunahan. Hingga pada suatu nilai kedua populasi mengalami kestabilan.

25 13 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 1 Kasus 2 Nilai parameter yang digunakan adalah δ =., dengan nilai awal =. dan =.. Pada Kasus 2 diperoleh nilai titik tetap,,,,.,.. Nilai eigen yang didapatkan pada Kasus 2 adalah =. dan =., sehingga kestabilan di titik tetap adalah simpul stabil. Gambar 3 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y Mangsa (x) Pemangsa (y) Gambar 4 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Gambar 3 menunjukkan bahwa ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap di mana kedua populasi stabil menuju titik tetap. Kestabilan di sekitar titik tetap bersifat sadel. Pada Gambar 3 diperlihatkan bahwa kestabilan titik tetapnya adalah stabil. Gambar 4 menunjukkan bahwa pada waktu awal populasi mangsa mengalami penurunan yang mengakibatkan populasi pemangsa ikut mengalami penurunan. Selanjutnya, pada nilai tertentu populasi mangsa mengalami kenaikan jumlah populasi. Hingga pada suatu nilai kedua populasi mengalami kestabilan jumlah populasi.

26 14 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 1 Kasus 3 Nilai parameter yang digunakan adalah δ =., dengan nilai awal =. dan =.. Pada Kasus 3 diperoleh nilai titik tetap,,,,.,.. Nilai eigen yang didapatkan pada Kasus 3 adalah =... dan =.. +., sehingga kestabilan di titik tetap adalah spiral stabil. Gambar 5 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y Mangsa (x) Pemangsa (y) Gambar 6 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Gambar 5 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Kedua populasi stabil menuju titik tetap. Jenis kestabilan yang terjadi pada Kasus 2 adalah stabil. Gambar 6 menunjukkan bahwa pada waktu awal terjadi penurunan terhadap kedua populasi. Ketika mulai terjadi kenaikan jumlah populasi mangsa, diikuti dengan kenaikan jumlah populasi pemangsa dikarenakan ketersediaan makanan yang mencukupi. Kondisi sebaliknya, ketika terjadi penurunan pada jumlah populasi mangsa kemudian diikuti dengan penurunan jumlah populasi pemangsa. Gambar 6 menunjukkan terjadi osilasi dengan simpangan yang semakin mengecil dan pada suatu nilai tertentu kedua populasi mengalami kestabilan.

27 15 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 1 Kasus 4 Nilai parameter yang digunakan adalah δ =., dengan nilai awal =. dan =.. Pada Kasus 4 diperoleh nilai titik tetap,,,,.,.. Nilai eigen yang didapatkan pada Kasus 4 adalah =... dan =..., sehingga kestabilan di titik tetap adalah spiral tak stabil. Gambar 7 Bidang fase yang menunjukkan jenis kestabilan spiral tak stabil Mangsa (x) Pemangsa (y) Gambar 8 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu

28 16 Gambar 9 Bidang fase yang menunjukkan terjadi limit cycle Mangsa (x) Pemangsa (y) Gambar 10 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Gambar 7 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap di mana kedua populasi tak stabil menjauhi titik tetap. Kestabilan di sekitar titik tetap bersifat spiral tak stabil. Gambar 8 merupakan gambaran pada interaksi antara mangsa dengan pemangsa dengan nilai awal yang berbeda. Terjadi penurunan jumlah kedua populasi pada waktu awal. Pada suatu waktu terjadi kenaikan jumlah populasi mangsa. Selanjutnya, diikuti dengan kenaikan pada jumlah populasi pemangsa dan kejadian tersebut terus berulang. Terjadi osilasi dengan nilai simpangan yang semakin membesar, sehingga mengakibatkan kedua populasi tidak stabil menuju ke suatu nilai tertentu. Gambar 9 merupakan bidang fase kemunculan limit cycle. Perubahan kestabilan yang melalui sepasang nilai eigen imajiner murni mengakibatkan munculnya keberadaan limit cycle merupakan sifat dari bifurkasi Hopf. Gambar 10 merupakan gambaran pada interaksi antara mangsa dengan pemangsa yang di waktu awal terjadi interaksi yang ekstrim. Dibutuhkan waktu yang singkat bagi pemangsa untuk mencari mangsa. Terjadi osilasi dengan nilai simpangan yang tetap, sehingga mengakibatkan kedua populasi tidak stabil menuju ke suatu nilai tertentu.

29 17 Simulasi 2 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 2 Kasus 1 Nilai parameter yang digunakan adalah =., =., =. dengan nilai awal =. dan = 0.3. Pada Kasus 1 diperoleh nilai titik tetap,,.,,,.. Gambar 11 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y Mangsa (x) Pemangsa (y) Gambar 12 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Pada Kasus 1 kestabilan di titik tetap adalah simpul stabil. Gambar 11 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Kedua populasi stabil menuju titik tetap. Jenis kestabilan yang terjadi pada Kasus 1 pada Model 2 adalah stabil. Gambar 12 menunjukkan bahwa pada waktu awal terjadi kenaikan terhadap jumlah populasi mangsa, tetapi terjadi penurunan terhadap jumlah populasi pemangsa. Hal tersebut dikarenakan tingkat kematian populasi pemangsa lebih tinggi dari tingkat interaksi antara mangsa dengan pemangsa. Hingga populasi pemangsa hampir mengalami kepunahan.

30 18 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 2 Kasus 2 Nilai parameter yang digunakan adalah =., =., =. dengan nilai awal =. dan = Pada Kasus 2 diperoleh nilai titik tetap,,.,,,.. Gambar 13 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y Mangsa Pemangsa Gambar 14 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Pada Kasus 2 kestabilan di titik tetap adalah spiral stabil. Gambar 13 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Kedua populasi stabil menuju titik tetap. Jenis kestabilan yang terjadi pada Kasus 2 pada Model 2 adalah stabil. Gambar 14 menunjukkan bahwa pada waktu awal terjadi kenaikan terhadap jumlah populasi pemangsa, tetapi terjadi penurunan terhadap jumlah populasi mangsa. Jumlah populasi mangsa di awal waktu hampir mengalami kepunahan. Akibatnya, terjadi penurunan jumlah populasi pemangsa dikarenakan ketersediaan mangsa sebagai sumber makanan yang tidak memenuhi. Pada suatu nilai, terjadi peningkatan terhadap jumlah populasi mangsa. Selanjutnya, terjadi peningkatan jumlah populasi pemangsa. Hingga pada suatu nilai keduanya mengalami kestabilan.

31 19 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 2 Kasus 3 Nilai parameter yang digunakan adalah =., =., =. dengan nilai awal =. dan = Pada Kasus 3 diperoleh nilai titik tetap,,.,,,.. Gambar 15 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y Mangsa Pemangsa Gambar 16 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Gambar 15 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Jenis kestabilan yang terjadi pada Kasus 3 pada Model 2 adalah stabil. Gambar 16 menunjukkan bahwa pada waktu awal terjadi kenaikan terhadap jumlah populasi mangsa, tetapi terjadi penurunan terhadap jumlah populasi pemangsa. Jumlah populasi pemangsa di awal waktu hampir mengalami kepunahan. Pada suatu nilai, terjadi peningkatan terhadap jumlah populasi pemangsa dan penurunan pada jumlah populasi mangsa. Populasi pemangsa meningkat tanpa batas, sementara populasi mangsa menuju kepunahan. Hal tersebut tidak mungkin terjadi, karena jika populasi mangsa menuju kepunahan artinya ketersediaan mangsa sebagai sumber makanan bagi pemangsa tidak mencukupi dan populasi pemangsa tidak mungkin mengalami peningkatan tanpa batas.

32 20 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Model 2 Kasus 4 Nilai parameter yang digunakan adalah =., =., =. dengan nilai awal =. dan = Pada Kasus 4 diperoleh nilai titik tetap,,.,,,.. Gambar 17 Bidang fase populasi mangsa x terhadap populasi pemangsa y Mangsa Pemangsa Gambar 18 Bidang solusi jumlah populasi terhadap waktu Gambar 17 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap. Kedua populasi stabil menuju titik tetap. Jenis kestabilan yang terjadi pada Kasus 4 pada Model 2 adalah stabil. Gambar 18 merupakan ilustrasi bidang solusi populasi mangsa dan populasi pemangsa terhadap waktu. Ilustrasi bidang solusi pada kasus 4 model 2 menunjukan hasil yang serupa dengan ilustrasi bidang solusi kasus 3 model 2.

33 21 Tabel 4 Kestabilan hasil simulasi Model 1 dan Model 2 Model 1 Kasus 1 S SS - - Kasus 2 S S SS - Kasus 3 S S SPS - Kasus 4 S S SPTS - Model 2 Kasus 1 STS SS S - Kasus 2 STS S S SPS Kasus 3 STS S S - Kasus 4 STS S S - Keterangan: (S=Sadel; SS=Simpul Stabil; STS=Simpul Tak Stabil; SPS=Spiral Stabil; SPTS=Spiral Tak Stabil). SIMPULAN Model mangsa-pemangsa Holling-Tanner tipe II diperoleh dua model persamaan yaitu Model 1 dan Model 2. Model 1 diperoleh dua titik tetap dan Model 2 diperoleh empat titik tetap. Hasil analisis pada Model 1 diperoleh dua titik tetap yaitu dan serta dilakukan analisis di sekitar titik (0,0) yang disebut. Kestabilan di sekitar titik tetap selalu bersifat sadel. Saat tingkat kematian pemangsa lebih rendah dari tingkat interaksi antara mangsa dengan pemangsa, kestabilan di sekitar titik tetap bersifat sadel. Saat tingkat kematian pemangsa lebih tinggi dari tingkat interaksi antara mangsa dengan pemangsa, kestabilan di sekitar titik tetap bersifat simpul stabil. Kestabilan di sekitar titik tetap bergantung pada nilai dan. Terjadi kemunculan limit cycle yang merupakan sifat dari bifurkasi Hopf akibat terjadinya perubahan kestabilan dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil. Hasil analisis pada Model 2 diperoleh empat titik tetap yaitu,,, dan. Kestabilan di sekitar titik tetap, dan bergantung pada nilai parameter tingkat kematian pemangsa. Jenis kestabilan untuk kasus 1 model 2 yaitu stabil menuju titik tetap. Penentuan jenis kestabilan di sekitar titik tetap hanya ditentukan berdasarkan hasil simulasi. Dari hasil simulasi, pada kasus 2 model 2 jenis kestabilan titik tetap adalah spiral stabil. Pada kasus 3 dan 4 model 2 terjadi pertumbuhan yang tidak terbatas terhadap jumlah populasi pemangsa. Sementara populasi mangsa menuju kepunahan. Hal tersebut tidak mungkin terjadi dalam kondisi sesungguhnya, karena jika populasi mangsa menuju kepunahan artinya ketersediaan mangsa sebagai sumber makanan bagi pemangsa tidak mencukupi dan populasi pemangsa tidak mungkin mengalami peningkatan tanpa batas.

34 22 DAFTAR PUSTAKA Bacaer N A Short History of Mathematical Population Dynamics. New York (US): Springer-Verlag. Curio E The Ethology of Predation. New York (US): Springer-Verlag. Garrott RA, White PJ, Watson FGR The Ecology of Large Mammals in Central Yellowstone Sixteen Years of Integrated Field Studies. San Diego (US): Elsevier. Kuang Y, Li B Heteroclinic bifurcation in the Michaelis-Menten-type ratiodependent predator-prey system. Society for Industrial and Applied Mathematics. 67(5): DOI / Skalski GT, Gilliam JF Functional Response with Predator Interference: Viable Alternatives to the Holling Type II Model. Ecology. 82: doi: / Strogatz SH Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US): Addison-Wesley Publishing Company. Tang Y, Zhang W Heteroclinic bifurcation in a ratio-dependent predatorprey system. J. Math. Biol. 50, DOI /s Tu PNV Dynamical System An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag. Verhulst F Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.

35 23 Lampiran 1 Penondimensionalan Model Model persamaan : = +, = ( + ). Untuk memperoleh sistem persamaan yang lebih sederhana dilakukan penondimensionalan model dengan skala parameter yang digunakan, yaitu :,,. = ( ) + = + = + = = + + = ( + ) = ( + ) = ( + ) = +. Misalkan : =, =, δ =. Substitusikan,, ke persamaan dan, sehingga sistem persamaan menjadi: = +, δ = +.

36 24 Lampiran 2 Penentuan titik tetap Model 1 Penentuan titik tetap Model 1 ditentukan dengan cara membuat persamaan menjadi = dan = seperti persamaan (11) berikut: + =, δ =. + Dari persamaan (11) didapat : + = + = diperoleh: = dan = +. Selanjutnya, δ = + ( δ ) = + diperoleh: = dan = δ. + Substitusikan = pada persamaan δ =, sehingga diperoleh: + δ = + = = diperoleh titik tetap,. Dari persamaan = dan persamaan = = = = diperoleh titik tetap,. Dari persamaan = = = = = + δ + δ + +, diperoleh: dan persamaan = δ +, diperoleh: = δ δ δ = δ + δ δ δ + δ = δ δ+. δ

37 Selanjutnya substitusikan nilai yang diperoleh ke persamaan = δ +, sehingga didapatkan: = δ + + = δ + = δ = δ = δ = δ δ+ δ δ = δ δ+δ δ diperoleh titik tetap + Lampiran 3 Penentuan titik tetap Model 2, +. Penentuan titik tetap Model 2 ditentukan dengan cara membuat persamaan menjadi = dan = seperti persamaan (13) berikut: =, + + =. Dari persamaan (13) didapat : = diperoleh: = dan = +. Selanjutnya, + + = diperoleh: = dan + =. Dari persamaan = dan = diperoleh titik tetap,. Dari persamaan = dan persamaan = +, diperoleh: = + = diperoleh titik tetap,. Dari persamaan = dan persamaan + =, diperoleh: + = = =. Karena nilai =, sehingga: = = diperoleh titik tetap,. 25

38 26 Dari persamaan = + dan persamaan + =, diperoleh: + = + = = + + = + = + =. Selanjutnya, = = - = diperoleh titik tetap,. Lampiran 4 Penentuan matriks Jacobi Model 1 Misalkan Model 1 ditulis sebagai berikut:, = = +,, = = +. Dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi: = ( ) dengan: = ( = ) + = ( + ) = + + = ( δ + ) = δ + δ + = ( δ + ) = δ + δ + = δ ( + + δ δ + + δ. + )

39 27 Lampiran 5 Penentuan nilai eigen Model 1 Pelinearan titik tetap, Substitusikan titik tatap terhadap matriks Jacobi Model 1 = ( ). Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) = untuk memperoleh nilai eigen. = = = =, =. Pelinearan titik tetap, Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 1 = ( δ ). Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( ) = untuk memperoleh nilai eigen. = δ = δ = =, = δ. Pelinearan titik tetap δ+δ+, δ δ+δ+ δ δ Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 1 dengan = ++ + ( ++ + = ), = δ δ+δ+ δ δ+δ+ δ + δ δ+δ+ δ δ δ+δ+ δ δ+δ+, + δ δ+δ+ δ = = δ δ+δ+ δ δ+δ+ δ + + δ δ+δ+ δ δ δ+δ+ δ δ+δ+ δ + + δ δ+δ+ δ δ δ+δ+, + δ δ+δ+ δ δ+δ+ δ δ+δ+ δ δ+δ+. + δ δ+δ+ δ

40 28 dengan Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( ) = untuk memperoleh nilai eigen. = =. Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut: = +, = + = + + = + +. Lampiran 6 Penentuan matriks Jacobi Model 2 Misalkan Model 2 ditulis sebagai berikut:, = =,, = = + +. Dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi: = ( ) dengan: = ( ) = ( ) = = = ( + + ) = + = = ( + + ) = + +.

41 29 Lampiran 7 Penentuan nilai eigen Model 2 Pelinearan titik tetap, Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 2 = ( ). Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( ) = untuk memperoleh nilai eigen. = = = =, =. Pelinearan titik tetap, Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 2 = ( ). Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( ) = untuk memperoleh nilai eigen. = = = =, =. Pelinearan titik tetap, Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model 2 = (. + )

42 30 Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( ) = untuk memperoleh nilai eigen. = ( ) + =, = + = +. = Pelinearan titik tetap, Substitusikan titik tetap terhadap matriks Jacobi Model = + ( ) Selanjutnya, dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det( ) = untuk memperoleh nilai eigen. = ( = + ) + = +, + = +. Lampiran 8 Program plot bidang fase kasus 1 Model 1 (Gambar 1) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., =, = Lampiran 9 Program plot bidang solusi kasus 1 Model 1 (Gambar 2) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: +

43 31 h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =, h, [,, =.., [[ =., =.] ], =, =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =. Lampiran 10 Program plot bidang fase kasus 2 Model 1 (Gambar 3) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., =, = Lampiran 11 Program plot bidang solusi kasus 2 Model 1 (Gambar 4) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =, h, [,, =.., [[ =., =.] ], =, =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =. Lampiran 12 Program plot bidang fase kasus 3 Model 1 (Gambar 5) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., =, = Lampiran 13 Program plot bidang solusi kasus 3 Model 1 (Gambar 6) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: +

44 32 h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =, h, [,, =.., [[ =., =.] ], =, =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =. Lampiran 14 Program plot bidang fase kasus 4 Model 1 (Gambar 7) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., =, = Lampiran 15 Program plot bidang solusi kasus 4 Model 1 (Gambar 8) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =, h, [,, =.., [[ =., =.] ], =, =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =. Lampiran 16 Program plot bidang fase kasus 4 Model 1 (Gambar 9) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., =, = Lampiran 17 Program plot bidang solusi kasus 4 Model 1 (Gambar 10) : h: h: h: [ =.. ( )., = ].:.:.: +

45 h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =, h, [,, =.., [[ =., =.] ], =, =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =. Lampiran 18 Program plot bidang fase kasus 1 Model 2 (Gambar 11) : h: h: h: [ = (. ), = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., =, = Lampiran 19 Program plot bidang solusi kasus 1 Model 2 (Gambar 12) : h: h: h: [ = (. ), = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =, h, [,, =.., [[ =., =.] ], =, =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =. Lampiran 20 Program plot bidang fase kasus 2 Model 2 (Gambar 13) : h: h: h: [ = (. ), = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., =, = Lampiran 21 Program plot bidang solusi kasus 2 Model 2 (Gambar 14) : h: h: h: [ = (. ), = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =, h, [,, =.., [[ =., =.] ], =, =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =. Lampiran 22 Program plot bidang fase kasus 3 Model 2 (Gambar 15) : h: h: h: [ = (. ), = ] 33

46 34.:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., =, = Lampiran 23 Program plot bidang solusi kasus 3 Model 2 (Gambar 16) : h: h: h: [ = (. ), = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =, h, [,, =.., [[ =., =.] ], =, =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =. Lampiran 24 Program plot bidang fase kasus 4 Model 2 (Gambar 17) : h: h: h: [ = (. ), = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., =, = Lampiran 25 Program plot bidang solusi kasus 4 Model 2 (Gambar 18) : h: h: h: [ = (. ), = ].:.:.: h, [,, =.., [[ =., =.] ], =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =, h, [,, =.., [[ =., =.] ], =, =., = [, ], = [^ ^, ^ ^ ], =.

47 35 RIWAYAT HIDUP Penulis bernama lengkap Intan Selvya, lahir pada tanggal 28 Juli 1994 di Bogor, Jawa Barat. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dan lahir dari pasangan suami istri Bapak Suarta dan Ibu Marliah. Pendidikan yang telah ditempuh oleh penulis yaitu SD Negeri Bojongrangkas 04 Kabupaten Bogor lulus tahun 2006, SMP Negeri 1 Cibungbulang Kabupaten Bogor lulus tahun 2009, dan SMA Negeri 1 Cibungbulang Kabupaten Bogor lulus tahun Sejak tahun 2012 sampai dengan penulisan skripsi ini, penulis masih terdaftar sebagai mahasiswa Program S-1 Departemen Matematika, Fakultas MIPA di Institut Pertanian Bogor (IPB). Selama menjadi mahasiswa IPB, penulis aktif dalam berbagai kegiatan yang ada di kampus IPB yaitu mengikuti PB Gumatika 2013 sampai 2016, dan menjadi anggota pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) pada Biro Kewirausahaan tahun 2013/2014. Serta menjadi ketua Biro Kewirausahaan Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) tahun 2014/2015. Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti lomba yang diadakan oleh Departemen Matematika, Fakultas MIPA, dan Bidikmisi IPB. Adapun penghargaan yang telah penulis raih, antara lain Juara 3 Perkusi SEMARAK BIDIK MISI tahun 2013, Juara 2 Aerobik SPIRIT tahun 2014, Juara 3 Bulutangkis SPIRIT tahun 2015, serta Juara 2 Bulutangkis SPIRIT tahun 2016.