ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR SKRIPSI

Transkripsi

1 ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh Lia Listyana NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2016

2 ii

3 iii

4 SURAT PERNYATAAN Yang bertanda tangan di bawah ini, saya: Nama : Lia Listyana NIM : Prodi Fakultas Judul TAS : Matematika : MIPA : Analisis Bifurkasi pada Model Matematis Sistem Predator- Prey dengan Dua Predator dengan ini menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang atau institusi lain kecuali pada bagian tertentu yang memang diambil sebagai pedoman, acuan, atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim. Yogyakarta, 2 Mei 2016 Yang menyatakan, Lia Listyana NIM iv

5 HALAMAN MOTTO Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. (Q.S. Al Insyirah : 5-6) Jangan khawatirkan kesulitan-kesulitan dalam Matematika. Saya pastikan bahwa kesulitanku dalam hal Matematika masih lebih sulit daripada kesulitanmu. (Albert Einstein) v

6 HALAMAN PERSEMBAHAN Karya tulis ini aku persembahkan untuk Kedua orang tuaku tercinta, Ibu Sumiyatun dan Bapak Sunarto untuk semua pengorbanan, kerja keras, dukungan, kasih sayang, dan doa yang telah diberikan selama ini Kedua adikku tersayang, Tika Widyaningrum dan Fahmi Putra Mas Panggah Budi Santoso yang selalu memberikan semangat dan doa Sahabat-sahabatku Melati, Anis, Risqi, Andin, dan Dita Rekan-rekan seperjuangan, Matswa 2011 dan KKN ND Pelita dalam gelapku, Bapak/bu Guru, Dosen, dan Pendidik dan Semua orang yang aku sayangi vi

7 ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Oleh: Lia Listyana NIM ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model matematis sistem predator prey dengan dua predator dan mengetahui jenis bifurkasi sistem tersebut dengan perubahan laju kematian kedua jenis predator. Model predator prey dengan dua predator memiliki lima titik ekuilibrium yang keberadaan tiga di antaranya bergantung pada laju kematian kedua jenis predator dan dua titik ekuilibrium yang lain tidak bergantung pada laju kematian kedua jenis predator. Kestabilan masing-masing titik ekuilibrium ditentukan berdasarkan nilai eigen masing-masing titik ekuilibrium. Perubahan kestabilan masing-masing titik ekuilibrium dan perubahan banyaknya titik ekuilibrium sebagai penanda terjadinya bifurkasi. Selain itu, simulasi dilakukan untuk beberapa pasang nilai laju kematian. Hasil perhitungan nilai eigen dan hasil analisis secara numerik menunjukkan terjadinya bifurkasi pada sistem predator prey dengan dua predator saat laju kematian predator jenis I adalah per satuan waktu dan laju kematian predator jenis II adalah per satuan waktu. Pada saat laju kematian predator jenis I lebih dari atau sama dengan per satuan waktu dan laju kematian predator jenis II lebih dari atau sama dengan per satuan waktu terdapat dua titik ekuilibrium. Kemudian saat laju kematian predator jenis I kurang dari per satuan waktu dan laju kematian predator jenis II lebih dari atau sama dengan per satuan waktu atau saat laju kematian predator jenis I lebih dari atau sama dengan per satuan waktu dan laju kematian predator jenis II kurang dari per satuan waktu terdapat tiga titik ekuilibrium dan untuk laju kematian predator jenis I kurang dari per satuan waktu dan laju kematian predator jenis II kurang dari per satuan waktu terdapat empat titik ekuilibrium. Kata kunci : Sistem predator prey, Sistem predator prey dengan dua predator, titik ekuilibrium, bifurkasi vii

8 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan karunia-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir skripsi yang berjudul Analisis Bifurkasi pada Model Matematis Predator Prey dengan Dua Predator. Penyusunan tugas akhir skripsi ini ditujukan untuk memenuhi sebagian syarat kelulusan guna meraih gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan tugas akhir skripsi ini tidak akan terlaksana dengan baik tanpa adanya dukungan dari berbagai pihak, naik berupa bimbingan, petunjuk, nasehat, maupun dorongan moral dan spiritual. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis menyampaikan terima kasih kepada 1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta dan selaku dosen pembimbing tugas akhir skripsi yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan dalam penyusunan tugas akhir skripsi ini. 2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta. viii

9 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Negeri Yogyakarta. 4. Bapak Kus Prihantoso Krisnawan, M.Si selaku dosen pembimbing tugas akhir skripsi yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan dalam penyusunan tugas akhir skripsi ini. 5. Kedua orang tua, Ibu Sumiyatun dan Bapak Sunarto atas doa dan fasilitas yang telah diberikan selama ini. 6. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY dan guru-guru almamater yang selama masa studi ini telah memberikan banyak ilmu dan pengalaman hidup yang berharga bagi penulis. 7. Rekan-rekan mahasiswa Matematika Swadana 2011 dan semua pihak yang telah membantu secara langsung maupun tidak langsung sehingga tugas akhir skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. Penulis menyadari bahwa penyusunan tugas akhir skripsi ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik maupun saran dari berbagai pihak demi kesempurnaan tugas akhir ini. Semoga tugas akhir skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua. Wassalamu alaikum Wr.Wb Yogyakarta, 2 Mei 2016 Penulis, Lia Listyana NIM ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL.... HALAMAN PERSETUJUAN. HALAMAN PERNYATAAN. HALAMAN PENGESAHAN.... HALAMAN MOTTO... HALAMAN PERSEMBAHAN... ABSTRAK.... i ii iii iv v vi vii KATA PENGANTAR..... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR TABEL xiv DAFTAR LAMPIRAN xv DAFTAR SIMBOL.. xvi BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah. 4 C. Batasan Masalah 4 D. Tujuan Penulisan 5 E. Manfaat Penulisan... 5 x

11 BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Nilai Eigen, Vektor Eigen, Diagonalisasi, dan Kebebasan Linear... 6 B. Sistem Dinamik. 13 C. Model Matematis Sistem Predator-Prey.. 15 D. Deret Taylor dan Deret Maclaurin E. Sistem Linear 18 F. Titik Ekuilibrium.. 23 G. Linearisasasi Sistem Non linear H. Kestabilan Titik Ekuilibrium I. Kriteria Routh-Hurwitz. 29 J. Bifurkasi 31 K. Teori Center Manifold.. 35 L. Vektor Eigen Tergeneralisasi 36 BAB III PEMBAHASAN A. Model Matematis Sistem Predator-Prey dengan Dua Predator 1. Asumsi Dasar Pembentukan Model Matematis Predator-Prey.. 41 a. Model Matematis Prey.. 41 b. Model Matematis Predator Jenis I 41 c. Model Matematis Predator Jenis II 42 B. Titik Ekuilibrium Sistem Predator-Prey dengan Dua Predator 43 C. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium xi

12 D. Sistem dengan Dua Parameter Bebas Titik Ekuilibrium Analisis Kestabilan Transformasi Sistem a. Translasi Parameter b. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Saat Bifurkasi. 62 c. Pendefinisian Variabel Baru d. Persamaan Center Manifold e. Hasil Transformasi.. 71 f. Potret Fase Hasil Transformasi Sistem BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan. 84 B. Saran.. 89 DAFTAR PUSTAKA 90 LAMPIRAN.. 92 xii

13 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Bifurkasi Saddle Nodes.. 32 Gambar 2.2 Bifurkasi Transkritikal Gambar 2.3 Bifurkasi Pitchfork Superkritikal 34 Gambar 2.4 Bifurkasi Pitchfork Subkritikal 34 Gambar 3.1 Potret fase pada dan. 72 Gambar 3.2 Potret fase pada dan Gambar 3.3 Potret fase pada dan Gambar 3.4 Potret fase pada dan. 75 Gambar 3.5 Potret fase pada dan. 76 Gambar 3.6 Potret fase pada dan 77 Gambar 3.7 Potret fase pada dan. 78 Gambar 3.8 Potret fase pada dan.. 79 Gambar 3.9 Potret fase pada dan. 80 xiii

14 DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Tabel Routh Hurwitz Tabel 3.1 Definisi Variabel dan Parameter Tabel 3.2 Tabel Routh-Hurwitz untuk Titik Ekuilibrium Tabel 3.3 Nilai parameter pada sistem predator-prey (3.16).. 57 Tabel 3.4 Titik Ekulibrium Sistem (3.114) dan Kestabilannya xiv

15 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Perintah Maple 15 untuk Memperoleh Persamaan Manifold Center. 93 Lampiran 2. Perintah Maple 15 untuk Menggambarkan Potret Fase Sistem (3.78) untuk dan Lampiran 3. Perintah Maple 15 untuk Menggambarkan Potret Fase Sistem (3.78) untuk dan. 97 Lampiran 4. Perintah Maple 15 untuk Menggambarkan Potret Fase Sistem (3.78) untuk dan. 98 Lampiran 5. Perintah Maple 15 untuk Menggambarkan Potret Fase Sistem (3.78) untuk dan Lampiran 6. Perintah Maple 15 untuk Menggambarkan Potret Fase Sistem (3.78) untuk dan Lampiran 7. Perintah Maple 15 untuk Menggambarkan Potret Fase Sistem (3.78) untuk dan Lampiran 8. Perintah Maple 15 untuk Menggambarkan Potret Fase Sistem (3.78) untuk dan Lampiran 9. Perintah Maple 15 untuk Menggambarkan Potret Fase Sistem (3.78) untuk dan Lampiran 10. Perintah Maple 15 untuk Menggambarkan Potret Fase Sistem (3.78) untuk pada dan xv

16 DAFTAR SIMBOL : Himpunan bilangan real. : Himpunan bilangan real pada ruang dimensi. : Sama dengan. : Tidak sama dengan. : Elemen atau himpunan bagian : Kurang dari. : Kurang dari atau sama dengan. : Lebih dari. : Lebih dari atau sama dengan. : Tak hingga. : Determinan. : Norm. : Akhir pembuktian. : Matriks identitas. : Transpose dari matriks. : Invers dari matriks. : Matriks dengan ukuran. : Determinan dari matriks. : Nilai eigen. xvi

17 : Bagian real dari nilai eigen. : Matriks Jacobian dari. : Waktu. : Variabel keadaan. : Turunan variabel keadaan terhadap waktu. : Titik ekuilibrium. : Laju kelahiran alami prey. : Laju kematian predator jenis I. : Laju kematian predator jenis II. : Parameter interaksi antara prey dengan sesama jenisnya. : Parameter interaksi antara prey dengan predator jenis I. : Parameter interaksi antara prey dengan predator jenis II. : Parameter interaksi antara predator jenis I dengan prey. : Parameter interaksi antara predator jenis I dengan predator jenis II. : Parameter interaksi antara predator jenis II dengan prey. : Parameter interaksi antara predator jenis II dengan predator jenis I. xvii