PEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT VIRUS EBOLA DAN ANALISIS PENGARUH PARAMETER LAJU TRANSMISI TERHADAP PERILAKU DINAMISNYA TUGAS AKHIR SKRIPSI

Transkripsi

1 PEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT VIRUS EBOLA DAN ANALISIS PENGARUH PARAMETER LAJU TRANSMISI TERHADAP PERILAKU DINAMISNYA TUGAS AKHIR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh : Yusnita Afrida NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2017 i

2 PEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT VIRUS EBOLA DAN ANALISIS PENGARUH PARAMETER LAJU TRANSMISI TERHADAP PERILAKU DINAMISNYA Oleh : Yusnita Afrida NIM ABSTRAK Kajian ini bertujuan untuk mendapatkan model matematika dari penyebaran penyakit virus Ebola, menganalisis dinamika penyebaran penyakit virus Ebola, dan mengetahui jenis bifurkasi yang terjadi apabila parameter laju transmisi divariasikan. Model matematika penyebaran penyakit virus Ebola memiliki titik ekuilibrium dan bilangan reproduksi dasar yang bergantung pada parameter laju transmisi. Kestabilan titik ekuilibrium ditentukan berdasarkan nilai eigen titik ekuilibrium. Perubahan kestabilan titik ekuilibrium digunakan sebagai penanda terjadinya bifurkasi. Model matematika penyebaran penyakit virus Ebola yang terbentuk adalah model. Sistem persamaan dari model mengalami bifurkasi pada saat parameter laju transmisi sama dengan. Saat parameter laju transmisi kurang dari terdapat titik ekuilibrium bebas penyakit yang bersifat stabil asimtotik artinya ketika individu rentan, individu laten, individu terinfeksi, individu terisolasi, dan individu sembuh pada jumlah tertentu, kemudian interaksi antara individu rentan dan individu terinfeksi menghasilkan individu laten kurang dari dari banyaknya interaksi tersebut, penyakit tidak akan menyebar dan menyebabkan populasi terbebas dari penyakit seiring berjalannya waktu. Saat parameter laju transmisi lebih dari terdapat titik ekuilibrium endemik yang bersifat stabil asimtotik artinya ketika individu rentan, individu laten, individu terinfeksi, individu terisolasi, dan individu sembuh pada jumlah tertentu, kemudian interaksi antara individu rentan dan individu terinfeksi menghasilkan individu laten lebih dari dari banyaknya interaksi tersebut, penyakit akan menyebar dan menyebabkan populasi berada dalam keadaan endemik seiring berjalannya waktu. Variasi nilai parameter laju transmisi pada sistem persamaan model menyebabkan terjadinya bifurkasi transkritikal. Kata kunci : penyakit virus Ebola, pemodelan matematika, kestabilan titik ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar, bifurkasi transkritikal. ii

3 SURAT PERNYATAAN iii

4 LEMBAR PERSETUJUAN iv

5 LEMBAR PENGESAHAN v

6 MOTTO Telah menceritakan kepada kami Sa id bin Ufair berkata, Telah menceritakan kepadaku Al Laits berkata, Telah menceritakan kepadaku Uqail dari Ibu Syihab dari Hamzah bin Abdullah bin Umar bahwa Ibnu Umar berkata : aku mendengar Rasulullah shallallahu alaihi wasallam bersabda: Ketika aku tidur, aku bermimpi diberi segelas susu lalu aku meminumnya hingga aku melihat pemandangan yang bagus keluar dari kuku-kukuku, kemudian aku berikan sisanya kepada sahabat muliaku Umar bin Al Khaththab. Orang-orang bertanya: Apa ta wilnya wahai Rasulullah? Beliau menjawab Ilmu (HR. Bukhari) vi

7 HALAMAN PERSEMBAHAN Karya ini saya persembahkan untuk Ayahanda Sanudin Ibunda Hesti Lestari Kayla Dea Aosa Keluarga Besar Mbah H.Tulus Darapon Keluarga Besar Mbah Rakwan Keluarga Besar Bapak Imam Mulyanto Heskiela Adhi Wibowo MATHLAB 13 Melda Eka Saputri, Safrina Harfah & Shandi Irma Kharismayanti Christiani Noni Malau & Leonardus Adi Saktyari vii

8 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan segala rahmat, karunia dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pemodelan Matematika Penyebaran Penyakit Virus Ebola dan Analisis Pengaruh Parameter Laju Transmisi terhadap Perilaku Dinamisnya. Skripsi ini disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. Skripsi ini dapat terselesaikan tidak terlepas karena bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu diucapkan terimakasih secara tulus kepada semua pihak yang telah banyak membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada: 1. Ibu Nikenasih Binatari, M.Si. selaku dosen pembimbing dan penasehat akademik yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, motivasi, bantuan dan arahan dengan sabar dalam penyusunan tugas akhir skripsi ini. 2. Bapak Kus Prihantoso Krisnawan, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, motivasi, bantuan dan arahan dengan sabar dalam penyusunan tugas akhir skripsi ini. 3. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam sekaligus dosen penguji yang telah memberikan waktu dan ilmunya untuk memperbaiki dan menyelesaikan tugas akhir skripsi ini. viii

9 4. Ibu Eminugroho Ratna Sari, M.Sc. selaku dosen penguji yang senantiasa memberikan waktu dan ilmunya untuk memperbaiki dan menyelesaikan tugas akhir skripsi ini. 5. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematka atas izin kepada penulis untuk menyusun tugas akhir skripsi ini dan memberikan kelancaran pelayanan dalam keputusan akademik. 6. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Prodi Matematika yang telah memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik. 7. Bapak Ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY yang telah mengajarkan ilmunya selama perkuliahan. 8. Teman-teman Matematika B 2013 yang selalu menemani dan memberi semangat serta bantuan demi kelancaran penyusunan tugas akhir skripsi ini. 9. Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung sehingga tugas akhir skripsi ini dapat diselesaikan. Penulis menyadari adanya ketidaktelitian, kekurangan dan kesalahan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat terbuka lebar. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak yang terkait. ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN SAMPUL... i ABSTRAK... ii SURAT PERNYATAAN... iii LEMBAR PERSETUJUAN... iv LEMBAR PENGESAHAN... v MOTTO... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv DAFTAR SIMBOL... xv BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Identifikasi Masalah... 3 C. Batasan Masalah... 4 D. Rumusan Masalah... 4 E. Tujuan... 4 F. Manfaat Penelitian... 4 BAB II LANDASAN TEORI... 6 A. Pemodelan Matematika... 6 x

11 B. Teorema Taylor... 7 C. Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Diagonalisasi... 9 D. Sistem Dinamik E. Kestabilan Titik Ekuilibrium F. Kriteria Routh-Hurwitz G. Teori Center Manifold H. Bifurkasi I. Bilangan Reproduksi Dasar BAB III PEMBAHASAN A. Model Matematika Penyebaran Penyakit Virus Ebola B. Ilustrasi Model C. Titik Ekuilibrium Model D. Bilangan Reproduksi Dasar E. Kestabilan Titik Ekuilibrium F. Grafik Proporsi Jumlah Individu G. Transformasi Sistem BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

12 DAFTAR TABEL Tabel 1. Routh-Hurwitz Tabel 2. Nilai Parameter dari Model Matematis Penyebaran Penyakit Virus Ebola.. 37 Tabel 3. Routh-Hurwitz Persamaan xii

13 DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Bifurkasi Saddle-Node Gambar 2. Bifurkasi Transkritikal Gambar 3. Bifurkasi Pitchfork Superkritikal Gambar 4. Bifurkasi Pitchfork Superkritikal Gambar 5. Diagram Alir Model Matematika Penyebaran Penyakit Virus Ebola. 34 Gambar 6. Grafik Proporsi Kelompok Susceptible Gambar 7. Grafik Proporsi Kelompok Exposed Gambar 8. Grafik Proporsi Kelompok Infected Gambar 9. Grafik Proporsi Kelompok Isolated Gambar 10. Grafik Proporsi Kelompok Recovered Gambar 11. Grafik Proporsi Kelompok Susceptible Gambar 12. Grafik Proporsi Kelompok Exposed Gambar 13. Grafik Proporsi Kelompok Infected Gambar 14. Grafik Proporsi Kelompok Isolated Gambar 15. Grafik Proporsi Kelompok Recovered Gambar 16. Potret Fase Transformasi Sistem = Gambar 17. Potret Fase Transformasi Sistem = Gambar 18. Potret Fase Transformasi Sistem = Gambar 19. Diagram Bifurkasi Sistem (126) xiii

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Perintah Maple untuk Operasi Baris Elementer Persamaan (71)..84 Lampiran 2. Perintah Maple untuk Memperoleh Diagram Proporsi Jumlah Individu dengan dan Lampiran 3. Perintah Maple untuk Memperoleh Diagram Proporsi Jumlah Individu dengan dan Lampiran 4. Perintah Maple untuk Memperoleh Diagram Proporsi Jumlah Individu dengan Lampiran 5. Perintah Maple untuk Memperoleh Persamaan Center Manifold.95 Lampiran 6. Perintah Maple untuk Memperoleh Potret Fase Sistem (126)...98 xiv

15 DAFTAR SIMBOL : Himpunan bilangan real. : Himpunan bilangan real pada ruang dimensi. : Himpunan bilangan asli. : Tak hingga. : Sama dengan. : Tidak sama dengan. : Didefinisikan sebagai. : Kurang dari. : Kurang dari atau sama dengan. : Lebih dari. : Lebih dari atau sama dengan. : Norm. : Jika maka. : Matriks Jacobian dari. : Turunan variabel keadaan terhadap waktu. : Waktu. : Jumlah keseluruhan dari. : Turunan parsial terhadap. : Elemen atau himpunan bagian. : Matriks identitas. : Matriks dengan ukuran. xv

16 : Transpose matriks. : Invers matriks. : Determinan dari matriks. : Bagian real dari. xvi