ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL INTERAKSI PEMANGSA-MANGSA MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN

Transkripsi

1 ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL INTERAKSI PEMANGSA-MANGSA MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN TESIS diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Pendidikan Disusun oleh: Yulius Wahyu Putranto NIM: PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 i

2

3

4 HALAMAN MOTTO Tesis yang baik adalah tesis yang selesai. (Yulius Wahyu Putranto, 2017) iv

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Tesis ini kupersembahkan untuk: Ibuku Emiliana Yuniasih, Bapaku Ignatius Bowo Hariyanto, dan segenap keluarga yang mendukung dengan perhatian dan Doa. Terima kasih. v

6

7 ABSTRAK Yulius Wahyu Putranto, Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi Pemangsa-Mangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Tesis ini bertujuan untuk meneliti tentang sistem dinamika dua populasi dengan satu populasi memangsa populasi yang lain. Populasi disebut populasi pemangsa dan populasi disebut populasi mangsa. Setiap spesies dari diasumsikan hanya mendapat makanan dari sedangkan bertumbuh secara alami. Dengan demikian terjadi suatu sistem dinamika pemangsa- mangsa. Aspek pemanenan ditambahkan pada kedua populasi tersebut untuk mengetahui dampak yang terjadi pada titik ekuilibrium ketika kedua populasi atau salah satu dilakukan pemanenan. Model yang dimodifikasi ada tiga macam yaitu model pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada mangsa, model pemangsamangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan model pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada keduanya. Masing-masing model telah dianalisis kestabilan titik ekuilibriumnya. Peneliti mencari solusi sistem dinamika dua populasi secara umum dengan metode dekomposisi Adomian. Pada analisis solusi sistem, dilakukan perhitungan dengan tiga parameter yang berbeda, sehingga menghasilkan tiga macam interaksi yang berbeda. Interaksi yang muncul dengan parameter yang telah ditentukan adalah mutualisme, parasitisme dan kompetisi. Kata Kunci: Sistem dinamis, model pemangsa-mangsa, titik ekuilibrium, Dekomposisi Adomian. vii

8 ABSTRACT Yulius Wahyu Putranto, Analysis of Equilibrium Points and Solution of Predator-Prey Interaction Model Using Adomian Decomposition Method. Thesis. Study Program of Master of Mathematics Education, Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. This thesis aims to examine the dynamical system of two populations with one population prey on other populations. Population is called predator population and population is called prey population. Each species of is assumed to only get food from while grows naturally. Thus there is dynamical systems of predaror-prey. Harvesting aspects are added to both populations to determine the impacts that occur at the equilibrium point when the two populations or one is harvested. There were three kinds pf models that were modified: predator-prey models with harvesting aspects of prey, predator-prey models with harvesting aspects of predators and predatory models with harvesting aspects in both. Each model has analyzed the stability of the equilibrium point. We seek a general solution for dynamical systems in general with Adomian decomposition method. In the analysis of system solutions have been calculated with three different parameters, so as to produce three kinds of different interactions. Interactions that arise with predetermined parameters are mutualism, parasitism and competition. Keywords: Dynamical Systems, predator-prey models, equilibrium point, Adomian Decomposition viii

9

10 DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut: Y.W. Putranto dan S. Mungkasi, Adomian decomposition method for solving the population dynamics model of two species, Journal of Physics: Conference Series, Volume 795, Nomor 1, Artikel , Tahun 2017 (terideks Scopus), Link Artikel: Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis (Yulius Wahyu Putranto). x

11 KATA PENGANTAR Sungguh sebuah mimpi yang menjadi kenyataan bagi penulis ketika tesis yang berjudul Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi Pemangsa- Mangsa Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian telah selesai dengan baik dan tepat waktu. Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena telah mengabulkan doa penulis selama menyusun tesis ini dan senantiasa mendampingi dalam setiap tulisan yang dibuat oleh penulis. Menjadi bagian dari keluarga Magister Pendidikan Matematika Sanata dharma memang tidak terbayangkan oleh penulis mengingat sulitnya kerja keras ketika menulis skripsi pada jenjang S1. Rencana Tuhan memang luar biasa karena penulis diberi kesempatan untuk mengikuti kembali dunia kampus yang telah ditinggalkan biarpun belum lama. Penulis berterima kasih kepada Suster Vianney, S.SpS karena telah mendorong penulis untuk menempuh kembali kuliah S2 Pendidikan Matematika demi bekal di masa depan. Semangat itulah yang penulis pegang selama mengikuti perkuliahan di S2 Pendidikan Matematika ini. Tentunya keberhasilan menulis Tesis ini tidak luput dari para dosen dan teman-teman yang penulis temui ketika menjadi bagian kembali di Kampus Sanata Dharma ini. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan rasa terima kasih kepada: 1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis, sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu. 2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi Magister Pendidikan Matematika. Terima kasih sudah menjadi motivator xi

12 dan memfasilitasi mahasiswa dalam berkonsultasi baik tentang perkuliahan maupun tentang dunia luar perkuliahan sejak pertama kali masuk kuliah. 3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan yang telah membimbing pada awal penulisan tesis ini. Terima kasih sudah membimbing kami untuk memulai masuk ke dalam dunia sistem dinamika. 4. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan tesis dengan baik dan tepat waktu dan segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi kampus selama penulis melaksanakan studi di sini. 5. Teman seperjuangan tesis yaitu Meta, Mas Beni dan Mas Tatak yang telah mau saling memberi semangat dan meluangkan waktu untuk bersama-sama untuk menyelesaikan tesis serta teman-teman dari Program Studi Magister Pendidikan Matematika angkatan yang memberikan dukungan kepada penulis selama studi di S2 pendidikan matematika. 6. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, tetapi penulis meyakini bahwa penulisan tesis ini memiliki kontribusi yang cukup bagi kampus dan para pembaca yang ingin mengembangkan tesis ini. Terima kasih. Penulis, Yulius Wahyu Putranto xii

13 DAFTAR ISI Halaman Judul... i Halaman Persetujuan Pembimbing... ii Halaman Pengesahan... iii Halaman Motto... iv Halaman Persembahan... v Pernyataan Keaslian Karya... vi Abstrak... vii Abstract... viii Pernyataan Persetujuan Publikasi Karya Ilmiah... ix Daftar Publikasi Karya Ilmiah... x Kata Pengantar... xi Daftar Isi... xiii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Tinjauan Pustaka... 2 C. Perumusan Masalah... 4 D. Batasan Masalah... 4 E. Tujuan Penelitian... 5 F. Kebaruan Penelitian... 5 G. Manfaat Penelitian... 6 H. Sistematika Penulisan... 6 I. Metode Penelitian... 9 BAB II LANDASAN TEORI A. Pemodelan Matematika B. Model Pertumbuhan Populasi C. Aspek Pemanenan D. Aspek Kompetisi E. Sistem Persamaan Diferensial F. Metode Dekomposisi Adomian xiii

14 G. Kerangka Berpikir BAB III ANALISIS KESTABILAN MODEL SISTEM DINAMIKA A. Model Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada mangsa B. Model Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada pemangsa. 47 C. Model dengan Aspek Pemanenan pada mangsa dan pemangsa BAB IV SOLUSI SISTEM DINAMIKA DENGAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN A. Mutualisme B. Parasitisme C. Kompetisi BAB V ASPEK KEPENDIDIKAN A. Pembelajaran di Sekolah Menengah B. Pembelajaran di S C. Refleksi BAB VI PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA xiv

15 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Model dinamika populasi sudah banyak dikembangkan dalam bidang matematika biologi. Banyaknya individu akan selalu bertambah atau pun berkurang setiap waktu tergantung pada laju pertumbuhan individu tersebut, sehingga dari data jumlah individu pada suatu populasi tiap waktu dapat ditentukan pola atau model matematika. Pada awal diperkenalkan, model pertumbuhan populasi berupa model eksponensial. Model eksponensial memperlihatkan bahwa populasi suatu individu bertumbuh menurut grafik fungsi eksponen. Seiring berjalannya waktu, model pertumbuhan populasi diperbaiki dengan memperhatikan beberapa faktor seperti tempat tinggal, ketersediaan makanan, ancaman bahaya, dan lain sebagainya. Model baru yang diberikan dapat dikembangkan lebih realistis sesuai kondisi suatu populasi berasal. Suatu populasi pastinya berinteraksi dengan populasi yang lain sehingga menimbulkan suatu sistem dinamika. Hubungan antara populasi memiliki berbagai macam sifat dan perilaku antara lain pemangsa-mangsa, kompetisi, mutualisme, parasitisme, dan lain-lain. Salah satu hubungan antara dua populasi yang akan dibahas adalah hubungan pemangsa-mangsa. Hubungan tersebut dapat dibuat model dalam matematika yang biasa disebut model pemangsa-mangsa. Model pemangsa-mangsa merupakan sistem dinamika antara dua populasi dengan satu populasi memangsa populasi yang lain. Dalam tesis ini, diteliti bahwa pada pihak yang dimangsa maupun pemangsa 1

16 2 terdapat aspek pemanenan. Solusi dari sistem secara umum akan dicari menggunakan metode dekomposisi Adomian. B. Tinjauan Pustaka Sistem dinamika sudah banyak dibahas dalam berbagai buku dan jurnal yang telah diterbitkan. Pada tesis ini beberapa artikel dan jurnal yang dijadikan acuan adalah sebagai berikut: 1. Penelitian yang dilakukan oleh Rao (2011). A study on series solution of two species lotka volterra equations by adomian decomposition and homotopy pertubation methods. Pada penelitian tersebut Rao membandingkan dua metode untuk menyelesaikan persamaan Lotka Voltera dua spesies. 2. Penelitian yang dilakukan oleh Zhou (2003) dengan judul The stability of predator-prey systems subject to the Allee effects. Pada penelitian tersebut diberikan model interaksi pemangsa-mangsa dengan dikenai efek Allee pada pemangsa maupun mangsa. Allee effects adalah suatu batas bawah dari populasi dengan batas tersebut membuat populasi tidak akan punah. Analisis grafik serta titik ekuilibrium dilakukan untuk mengetahui efek yang ditimbulkan jika dibandingkan dengan model yang aslinya. Dari beberapa tinjauan pustaka di atas menunjukan bahwa model yang semakin mendekati realita di dunia nyata maka modelnya semakin rumit, tetapi tetap ada beberapa asumsi-asumsi untuk membatasi sebuah model. Model yang terlalu kompleks akan sulit untuk dicari penyelesaiannya. Perbedaan penelitian pada tesis ini terletak pada model dasar yang digunakan. Peneliti menggunakan

17 3 model pertumbuhan logistik pada interaksi pemangsa-mangsa. Pada sistem ini peneliti menambahkan aspek pemanenan baik pada mangsa maupun pemangsa. Solusi secara umum model sistem dinamika akan dicari menggunakan pendekatan Metode Dekomposisi Adomian. Berdasarkan tinjauan pustaka, letak penelitian ini dapat digambarkan dengan diagram berikut berikut: Zhou (2003). The stability of predator-prey systems subject to the Alle effects Rao (2011). A study on Series Solution of two Species Lotka Volterra Equations by Adomian Decomposition and Homotopy Pertubation Methods. ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL INTERAKSI PEMANGSA-MANGSA MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Putranto dan Mungkasi (2017). Adomian decomposition method for solving the population dynamics model of two species. Keterangan diagram: : Hal yang dibahas pada penelitian ini. : Hubungan antara penelitian yang sudah dilakukan. : Penelitian yang telah dilakukan sebelumnya. Diagram 1.1. Letak penulisan tesis ditinjau dari beberapa penelitian yang telah dilakukan.

18 4 C. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah: 1. Bagaimana modifikasi model sistem dinamika interaksi dua populasi pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa? 2. Bagaimana analisis sifat-sifat kestabilan titik ekuilibrium model sistem dinamika interaksi dua populasi dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa? 3. Bagaimana solusi secara umum sistem dinamika dengan metode dekomposisi Adomian? D. Batasan Masalah Pada penelitian ini, masalah yang dibahas adalah sistem dinamika populasi dua spesies dengan interaksi pemangsa-mangsa. Kedua populasi berinteraksi di dalam ekosistem yang tertutup, artinya tidak ada laju pertumbuhan populasi yang diakibatkan oleh faktor migrasi. Aspek lain seperti bencana alam, pemangsa lain dan penyakit tidak diperhitungkan. Peneliti hanya memberi aspek pemanenan pada interaksi dua populasi pemangsa-mangsa. Metode yang digunakan untuk mencari solusi secara umum adalah metode dekomposisi Adomian.

19 5 E. Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penelitian ini adalah: 1. Untuk modifikasi model sistem dinamika interaksi dua populasi pemangsamangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa. 2. Untuk analisis sifat-sifat kestabilan titik ekuilibrium model sistem dinamika interaksi dua populasi dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa. 3. Untuk mengetahui solusi secara umum sistem dinamika dengan metode dekomposisi Adomian. F. Kebaruan Penelitian Dalam penelitian ini dilakukan modifikasi model dengan aspek pemanenan yang terjadi pada dua populasi yang berinteraksi. Salah satu model diberi aspek pemanenan terjadi pada pihak mangsa saja dan model yang lain hanya terjadi pada pihak pemangsa saja. Kombinasi dari kedua model tersebut menghasilkan model ketiga sehingga terdapat aspek pemanenan pada pemangsa maupun mangsa. Solusi umum dari sistem dinamika juga dicari dengan pendekatan menggunakan metode dekomposisi adomian.

20 6 G. Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini adalah: 1. Menambah pengetahuan dalam analisis kestabilan model sistem dinamika populasi pemangsa-mangsa dengan pemanenan pada pemangsa dan mangsa. 2. Mengetahui yang terjadi pada kedua populasi jika berinteraksi dalam jangka panjang. 3. mengetahui salah satu metode untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan diferensial 4. Memberikan informasi bagi peneliti selanjutnya untuk menganalisis kasus yang lebih kompleks. 5. Memberi pengetahuan kepada guru dan siswa Sekolah Menengah Atas tentang kegunaan persamaan diferensial. H. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan akan dibagi menjadi lima bagian, yaitu: BAB I: Pendahuluan Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, tinjauan pustaka, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. Permasalahan pada bab ini diawali dari sebuah masalah pada bidang biologi tentang pertumbuhan populasi. Suatu populasi yang bertumbuh dapat dibuat model matematika sehingga dapat dianalisis perilaku jangka populasi tersebut dalam jangka panjang. Model populasi dapat dikembangkan ketika suatu populasi saling berinteraksi satu sama lain sedemikian hingga membentuk sebuah

21 7 sistem yang mengakibatkan setiap populasi akan mempengaruhi populasi yang lain. Solusi dari sebuah sistem tersebut sulit untuk didapatkan secara eksak tetapi dapat dilakuan dengan metode pendekatan salah satunya Metode Dekomposisi Adomian. BAB II: Landasan Teori Pada bab ini dijelaskan mengenai teori-teori yang terkait dengan penelitian antara lain: pemodelan matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial nonlinear, model pertumbuhan logistik, model pertumbuhan logistik populasi dua spesies dengan interaksi pemangsa-mangsa, dan analisis titik ekuilibrium. BAB III: Analisis Kestabilan Sistem Dinamika Bab ini membahas tentang analisis kestabilan tiap titik ekuilibrium dari model sistem dinamika pemangsa-mangsa yang telah dimodifikasi. Model dimodifikasi dengan menambahkan aspek pemanenan baik pada pemangsa saja,atau mangsa saja maupun keduanya. Hal ini mengacu pada rumusan masalah pada Bab I di mana peneliti membuat modifikasi model dengan aspek pemanenan dan analisis kestabilan titik ekuilibriumnya. BAB IV: Solusi Model dengan Metode Dekomposisi Adomian Pada bab ini akan dipaparkan hasil serta pembahasan mengenai solusi dari model pertumbuhan logistik populasi dua spesies secara umum. Nilai parameter yang diberikan ada tiga jenis sehinga mengakibatkan tiga macam interaksi yaitu interaksi mutualisme, parasitisme dan kompetisi. Masing-masing model dicari solusinya dengan mengitung menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Software Maple dan Matlab digunakan untuk menghitung solusi dari sistem

22 8 persamaan diferensial dan menggambar grafik dari perilaku model populasi yang dapat dianalisis perilaku jangka panjang. BAB V : Aspek Kependidikan Pada bab ini akan dibahas tentang berbagai aspek kependidikan yang terkait dengan materi tesis. Aspek kependidikan yang dibahas adalah kependidikan adalah aplikasi tentang sistem dinamika pada pada jenjang Sekolah Menengah dan tingkat S1. Pada jenang sekolah menengah dibuat dengan membuat soal cerita dengan sistem dinamika, sedangkan untuk jenjang S1 sudah ada mata kuliah tentang pemodelan matematika yang membahas masalah sistem dinamika populasi secara lebih detail. Selain itu terdapat refleksi dari peneliti tentang penulisan tesis matematika murni. BAB VI: Penutup Pada bab ini dijelaskan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya. Kesimpulan meliputi modifikasi model, analisis kestabilan titik ekuilibrium dan solusi dengan Metode Dekomposisi Adomian serta beberapa saran yang berkaitan dengan hal yang dibahas pada tesis ini.

23 9 I. Metode Penelitian Penelitian ini adalah penelitian pustaka (Studi Literatur) dengan pendekatan secara mendalam mengenai analisis titik ekuilibrium. Metode Dekomposisi Adomian digunakan untuk mencari solusi dari hal yang dibahas dengan pendekatan secara analitik. Selain perhitungan manual tersebut, simulasi komputer menggunakan program Maple dan Matlab juga dilakukan untuk membantu pertihungan dan menggambar grafik. Tercapainya tujuan dari penelitian ini dilakukan dengan beberapa langkah kerja. Langkah pertama adalah melakukan kajian terhadap buku-buku, jurnal, artikel, atau makalah yang terkait dengan topik penelitian. Langkah kedua adalah menganalisa titik ekuilibrium model matematika yang diperoleh yaitu model pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan dan menggambarkan perilaku dari modifikasi model yang telah didapat menggunakan program Matlab. Langkah ketiga adalah mencari solusi model secara umum dengan Metode Dekomposisi Adomian. Langkah terakhir adalah memberi penjelasan mengenai arti dari grafik yang diperoleh baik pada analisis titik ekuilibrium maupun pada solusi dengan Metode Dekomposisi Adomian.

24 BAB II LANDASAN TEORI A. Pemodelan Matematika Pemodelan matematika merupakan suatu proses matematisasi dari dunia nyata menuju dunia matematika, artinya permasalahan yang ada pada dunia nyata diterjemahkan ke dalam bahasa matematika. Pertumbuhan populasi merupakan salah satu dari berbagai permasalahan di dunia nyata yang dapat dibawa ke dalam dunia matematika menggunakan teori-teori yang sesuai. Pada perkembangannya, model yang sudah dibentuk dapat dikembangkan lagi dengan menambah aspekaspek yang lain yang sekiranya mempengaruhi. Menurut Lovitt (1991) pemodelan matematika ditandai oleh dua ciri utama, yaitu: 1. Pemodelan bermula dan berakhir dengan dunia nyata 2. Pemodelan membentuk suatu siklus Pada prosesnya pemodelan memiliki beberapa tahap yang saling berhubungan satu dengan yang lainnya. Proses pemodelan dapat digambarkan seperti sebuah siklus yang terus mengalami perbaikan. Berikut ini merupakan gambar dari siklus pemodelan matematika: Perumusan Dunia nyata Perbaikan Model matematika Interpretasi Gambar 2.1. Pemodelan matematika menurut Lovitt 10

25 11 B. Model Pertumbuhan Populasi Model pertumbuhan populasi pertama kali diperkenalkan oleh Malthus dengan model pertumbuhan eksponensial. Model ini memperlihatkan bahwa pertumbuhan individu pada populasi mengikuti grafik eksponensial, sehingga model awal dari pertumbuhan eksponensial yang diperlihatkan dalam Murray (2001:2) adalah: =, dengan konstanta > 0 merupakan laju pertumbuhan populasi dan (0) =. Dengan demikian menurut Murray (2001: 2), laju pertumbuhan eksponen dapat dicari solusinya. Shonkwiler (2009:15) mengemukakan hal yang sama sehingga nilai setiap waktu dapat dicari dengan fungsi sebagai berikut: =, =, =, ln = +, ( ) =, ( ) =. substitusikan (0) =, sehingga diperoleh persamaan: (0) =, =, ( ) =,

26 12 dengan : jumlah populasi, : laju pertumbuhan populasi, : waktu. Model Malthus masih memiliki banyak kekurangan. Pada tahun 1838 Verhulst mengemukakan sebuah model pertumbuhan populasi baru yang merupakan perbaikan dari model Malthus. Model tersebut biasa disebut model logistik. Model ini memperhatikan berbagai aspek-aspek yang tidak ada pada model sebelumnya seperti daya dukung alam. Daya dukung alam merupakan kemampuan alam sekitar dalam mendukung kelangsungan hidup suatu populasi baik dari segi makanan, lahan untuk tinggal dan sebagainya. Model logistik dirumuskan sebagai berikut seperti dalam Murray (2001:3): = 1. Model pertumbuhan logistik tersebut bertumbuh dengan laju dan memiliki daya dukung alam. Konstanta dan merupakan konstanta positif dari model tersebut. Model ini memiliki solusi yang berasal dari model yang diberikan. Model logistik yang diberikan dilakukan pengintegralan untuk mendapatkan solusi. Murray (2001:3) menuliskan solusi dari model logistik sebagai berikut: = 1, 1 =.

27 13 Kedua ruas diintegralkan sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut: 1 = +. Dengan menggunakan teknik pengintegralan fungsi rasional, maka dapat dicari hasil integral pada ruas kiri sebagai berikut: 1 = + 1, 1 = 1 + 1, 1 = + 1, (0 + 1 ) 1 = + 1, = 1, atau = 0, =. Hasil integral tersebut membentuk persamaan menjadi: + 1 = +, 1 + 1/ 1 = +, ( ) = +, ln + ln = +,

28 14 ln = +, =. Misalkan = maka persamaan di atas akan menjadi: = 1. Populasi awal untuk (0) =, sehingga dengan mensubstitusi ke variabel maka didapat: (0) = 1, = 1, =. berikut: Dengan demikian solusi dari model pertumbuhan logistik adalah sebagai ( ) = 1, ( ) = 1, ( ) = +, ( ) = [ + ( 1)],

29 15 dengan : jumlah populasi, : laju pertumbuhan populasi, : daya dukung alam terhadap populasi, : waktu. Secara umum model pertumbuhan populasi tunggal dalam Murray (2001:5) memiliki model sebagai berikut: = ( ), dengan ( ) merupakan fungsi nonlinear dari kemudian solusi ekuilibrium merupakan solusi dari ( ) = 0 dan secara umum stabil untuk gangguan kecil jika ( ) < 0 dan tidak stabil jika ( ) > 0. C. Aspek Pemanenan Model pertumbuhan dengan aspek pemanenan diperkenalkan pertama kali oleh Rotenberg tahun 1987 dalam Murray (2001:31). Pada model ini, aspek pemanenan ditambahkan pada model pertumbuhan logistik. Model yang baru dalam Murray (2001:31) adalah: = 1, dengan : jumlah populasi, : laju pertumbuhan populasi,

30 16 : daya dukung alam terhadap populasi, : laju pemanenan. Konstanta, dan adalah konstanta positif dan merupakan banyaknya pemanenan tiap satu waktu dengan adalah besaran dari pemanenan. D. Aspek Kompetisi Kompetisi pada individu merupakan hal yang biasa terjadi. Setiap populasi yang hidup bersama tentunya akan saling berkompetisi satu sama lain karena yang diinginkan adalah hal yang sama. Murray (2001:94) menuliskan model dengan aspek kompetisi dari masing-masing individu. Model berikut berdasarkan model kompetisi dua spesies Lotka-Volterra dengan spesies dan yang bertumbuh secara logistik dan berinteraksi satu sama lain. Model tersebut adalah: = 1, = 1, dengan : jumlah populasi pertama, : jumlah populasi kedua, : laju pertumbuhan populasi, : daya dukung alam terhadap populasi,

31 17 : laju pertumbuhan populasi pertama ketika berkompetisi dengan populasi kedua, : laju pertumbuhan populasi kedua ketika berkompetisi dengan populasi pertama. E. Sistem Persamaan Diferensial Persamaan diferensial merupakan persamaan yang menghubungkan nilai fungsi tersebut dengan turunannya. Bentuk dari persamaan diferensial biasanya berupa laju perubahan. Dalam penelitian ini laju perubahan atau pertumbuhan sebuah populasi digambarkan dalam bentuk persamaan diferensial. Setiap populasi yang ada akan berkumpul dan hidup membentuk ekosistem. Interaksi antar populasi ini yang akan menjadi interpretasi dari sebuah sistem persamaan diferensial. Salah satu interaksi antar populasi yang ada adalah hubungan predasi. Dua populasi yang hidup akan hidup bersama tetapi salah satu populasi akan menjadi makanan bagi populasi yang lain. Hubungan ini biasa disebut interaksi dua spesies pemangsa-mangsa. Pada awalnya populasi pertama bertumbuh secara eksponen dan populasi kedua pun demikian. Kedua populasi berinteraksi, hal ini mengakibatkan populasi kedua bertambah banyak karena populasi pertama diasumsikan merupakan satu-satunya makanan dari populasi kedua dan populasi pertama akan semakin berkurang karena dimakan oleh populasi kedua. Beberapa model interaksi berikut menunjukan dua populasi pemangsa-mangsa dengan cara bertumbuh secara eksponensial dan secara logistik.

32 18 1. Model dasar interaksi pemangsa-mangsa Model dasar yang diperkenalkan adalah model yang pertumbuhan populasi secara eksponensial. Kedua populasi bertumbuh secara eksponen dan saling berinteraksi satu sama lain. Populasi berkurang ketika berinteraksi dengan P dikarenakan yang bertumbuh akan merupakan makanan dari. Populasi akan semakin bertambah ketika berinteraksi dengan dikarenakan tersedianya makanan. Dengan demikian, model interaksi dua populasi dapat dirumuskan sebagai berikut: =, = +, dengan,,, > 0 dan : jumlah populasi mangsa, : laju pertumbuhan populasi mangsa, : laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa, : jumlah populasi pemangsa, : laju pertumbuhan pemangsa, : laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa. a. Titik ekuilibrium Menurut Waltman (1983:12) s yarat untuk mencapai titik ekuilibrium dapat terjadi ketika sistem persamaan disubtitusikan titik

33 19 ekulibrium maka fungsi tersebut akan bernilai 0 (n ol) sedemikian hingga mengakibatkan = = 0. Selanjutnya akan diperoleh dua persamaan nonlinear sebagai berikut: = 0, + = 0. Dari sistem persamaan nonlinear tersebut diperoleh titik ekuilibrium yaitu (0,0) dan,. b. Linearisasi Linearisasi merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear menjadi sistem linear. Menurut Perko (2001:102) Linearisasi bertujuan untuk memperoleh aproksimasi sederhana dengan menggunakan deret Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium. = = +. Dengan mensubstitusikan titik dan pada matriks Jacobi tersebut maka diperoleh: = dan = 0. Matriks jacobi yang diperoleh dari hasil subtitusi masing-masing titik ekuilibrium akan digunakan untuk mencari nilai eigen. Nilai eigen

34 20 yang didapatkan akan digunakan untuk menentukan jenis titik ekuilibrium tersebut dan jenis kestabilan. c. Analisis Kestabilan Titik Ekuillibrium Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen dari masing-masing matriks jacobi. Nilai eigen dapat dicari ketika memenuhi persamaan det( ) = 0, dimana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Adapun kriteria kestabilan menurut Boyce dan DiPrima (2012 : 504) adalah sebagai berikut: Tabel 2.1. Kriteria jenis titik kritis dan kestabilan No Nilai Eigen Jenis titik kritis Kestabilan 1 > > 0 Simpul Tidak stabil 2 < < 0 Simpul Stabil Asimtotik 3 < 0 < Titik Sadel Tidak stabil 4 = > 0 Simpul sejati Tidak stabil atau tidak sejati 5 = < 0 Simpul sejati Stabil asimtotik atau tidak sejati 6 Titik Spiral, = ± > 0 Tidak stabil 7 < 0 Stabil asimtotik 8 =, Pusat Stabil = Dengan demikian kestabilan dari interaksi dari populasi tersebut dapat dicari dengan mensubstitusi titik ekuilibrium ke dalam matriks Jacobi berdasarkan uraian di atas. Berikut merupakan nilai

35 21 eigen yang telah dicari setelah mensubtitusi masing-masing titik ekuilibrium pada matriks jacobi: 1) Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 0 0. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = = Dikarenakan < 0 < maka titik tersebut merupakan titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil. 2) Titik ekuilibrium, dengan matriks = 0 0. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = = Dikarenakan =, = maka titik tersebut merupakan titik pusat sehingga titik ekuilibrium pada bersifat stabil. Jenis-jenis titik ekuilibrium dapat terjadi dalam berbagai kasus yang melibatkan sistem persamaan diferensial. Berikut merupakan penjelasan dari masing-masing titik ekuilibrium yang dicari menggunakan contoh:

36 22 1) Titik simpul. Titik simpul akan terjadi ketika nilai eigen dan seluruhnya bernilai positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut: = Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan det = 0, sehingga dengan menggunakan Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut: Gambar 2.2. Grafik jenis titik simpul Pada Gambar 2.2 tersebut digambarkan bentuk dari titik simpul. Jika diambil nilai dari arah mana pun akan menuju titik tersebut dengan sedikit membelok sehingga akan terlihat seperti sebuah simpul.

37 23 2) Titik simpul sejati. Titik simpul sejati atau tidak sejati akan terjadi ketika nilai eigen dan bernilai sama baik seluruhnya berupa bilangan positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut: = Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan det = 0, sehingga dengan menggunakan Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut: Gambar 2.3. Grafik jenis titik simpul sejati Titik simpul sejati tersebut akan membuat berapapun nilai yang diambil maka akan menuju titik tersebut tanpa ada yang

38 24 membelok sehingga terlihat seperti garis lurus yang langsung menuju ke suatu titik. 3) Titik sadel. Titik sadel akan terjadi ketika nilai eigen dan salah satu bernilai positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut: = Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan det = 0, sehingga dengan menggunakan Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:. Gambar 2.4. Grafik jenis titik sadel

39 25 Pada titik sadel tersebut garis-garis yang berasal dari berbagai titik akan dibelokan menjauhi titik tersebut. Pada awalnya garis tersebut akan mendekati titik sadel tersebut, tetapi setelah mendekati akan dibelokkan menjauhi titik tersebut. 4) Spiral. Titik spiral akan terjadi ketika nilai bagian real dari eigen dan yang merupakan bilangan kompleks seluruhnya bernilai positif atau negatif. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut: = Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan det = 0, sehingga dengan menggunakan program Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:

40 26 Gambar 2.5. Grafik jenis titik spiral Nilai yang diambil dari berbagai arah akan menuju ke suatu titik seolah-olah akan mengelilingi titik tersebut. 5) Titik Pusat. Titik pusat akan terjadi ketika nilai bagian imajiner dari eigen dan yang merupakan bilangan kompleks salah satu bernilai positif atau negatif.. Diberikan contoh sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut: = Nilai eigen dapat dicari dengan memenuhi persamaan det = 0, sehingga dengan menggunakan Pplane8 pada matlab dapat dilihat titik simpul sebagai berikut:

41 27 Gambar 2.6. Grafik jenis titik pusat Grafik pada titik pusat membuat nilai yang diambil dari berbagai arah hanya mengelilingi titik tersebut tanpa adanya upaya untuk mendekati maupun menjauhi. d. Grafik interaksi pemangsa-mangsa Pada sistem persamaan pemangsa-mangsa diberikan nilai untuk tiap parameter yang ada yaitu = 0.4, = 0.3, = 0.01, dan = Gambar yang dihasilkan dengan bantuan Matlab adalah sebagai berikut:

42 28 Gambar 2.2. Grafik interaksi pemangsa-mangsa Pada Gambar 2.2 tersebut jumlah pemangsa dan mangsa akan saling bertambah dan berkurang secara terus menerus. Pemangsa akan bertambah seiring dengan berkurangnya mangsa. Sedangkan dari sisi mangsa, populasi akan bertambah ketika jumlah pemangsa mulai berkurang. 2. Model Logistik interaksi Pemangsa-Mangsa Model yang bertumbuh secara eksponensial dinilai kurang realistis dikarenakan tidak ada sesuatu yang membatasi model eksponensial sehingga populasi akan bertumbuh menuju tak hingga. Populasi yang hidup di suatu tempat pastinya memiliki daya dukung alam yang mampu menghidupi makhluk hidup di daerah tersebut. Model interaksi populasi

43 29 pertama ( ) dan populasi kedua ( ) dibentuk ulang menjadi bertumbuh secara logistik dengan memperhatikan aspek daya dukung alam, sehingga tidak akan mungkin populasi tumbuh terus menerus sampai tak hingga. Dengan demikian model yang baru yang dibentuk menjadi: = 1, = 1 +, dengan,,,,, > 0 dan : jumlah populasi mangsa, : laju pertumbuhan populasi mangsa, : laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa, : daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa, : jumlah populasi pemangsa, : laju pertumbuhan pemangsa, : laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa, : daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa. a. Titik Ekuilibrium Syarat untuk mencapai titik ekuilibrium dapat terjadi ketika kedua sistem persamaan bernilai 0 (nol) yaitu = = 0. Sehingga akan diperoleh sistem persamaan nonlinear dua variabel sebagai berikut:

44 30 1 = 0, 1 + = 0, Berdasarkan sistem persamaan nonlinear tersebut diperoleh titik ekuilibrium (0,0), (, 0), (0, ) dan, ( ). b. Konstruksi Matriks Jacobi Perko (2001:63) menuliskan cara untuk mengk onstruksi matriks Jacobi. Hal tersebut dapat dilakukan dengan cara berikut dalam linearisasi dari sistem persamaan nonlinear: = = 2 / ) + 2 / +. Dengan mensubstitusikan titik,, dan pada matriks Jacobi tersebut maka diperoleh: = 0 0, = 2 0 +, = 0 dan = ( ) ( ) ( ) ( ). c. Analisis Kestabilan Titik Ekuillibrium Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai

45 31 eigen. Boyce dan DiPrima (2012:504) menuliskan syarat untuk menjaci nilai eigen adalah dengan memenuhi persamaan det( ) = 0, dimana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel 2.1, maka kriteria kestabilan Model Logistik pemangsa-mangsa adalah: 1) Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 0 0. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = = Dikarenakan < 0 < maka titik tersebut merupakan titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil. 2) Titik ekuilibrium (, 0) dengan matriks = Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = (negatif) = + a) jika = + bernilai positif, < maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. b) jika = + bernilai negatif, > maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil. 3) Titik ekuilibrium (0, ) dengan matriks = 0. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut:

46 32 = = (positif) a) jika = bernilai positif, > maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil. b) jika = bernilai negatif, < maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. 4) Titik ekuilibrium, ( ) dengan matriks = ( ) ( ) ( ) ( ). Andaikan nilai dari masing-masing elemen dimisalkan menjadi,, dan, maka matriks Jacobi akan menjadi sebagai berikut: = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =, =. Diperoleh nilai eigen ( ) dengan kemungkinan sebagai berikut:, = ( + ) ± ( ) Di sini,, dan merupakan bilangan hasil pencarian nilai eigen yang berasal dari elemen matriks. Nilai,, dan sangat menentukan jenis dan kestabilan dari titik ekuilibrium. Berikut adalah kemungkinan secara umum dari nilai,, dan :

47 33 a) Jika + dan ( ) + 4 bernilai positif, maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. b) Jika + bernilai negatif, ( ) + 4 bernilai positif, dan + < ( ) + 4 maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. c) Jika A bernilai negatif, ( ) + 4 bernilai positif, dan + > ( ) + 4 maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik. d) Jika ( ) + 4 bernilai negatif dan + bernilai positif maka titik tersebut berupa titik spiral dengan sifat tak stabil. e) Jika ( ) + 4 bernilai negatif dan + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik spiral dengan sifat stabil asimtotik. d. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang bertumbuh secara Logistik Pada sistem persamaan pemangsa-mangsa logistik diberikan nilai untuk tiap parameter yang ada yaitu = 0.4, = 0.3, = 0.01, = 0.005, = 1000 dan = 200. Gambar yang dihasilkan dengan bantuan Matlab adalah sebagai berikut:

48 34 Gambar 2.3. Grafik interaksi pemangsa-mangsa yang bertumbuh secara logistik Pada Gambar 2.3. terlihat bahwa ketika pemangsa dan mangsa berinteraksi terus menerus dalam jangka waktu panjang maka perilaku kedua populasi akan berada disekitar suatu titik kesetimbangan. F. Metode Dekomposisi Adomian Salah satu cara untuk mencari solusi dari sebuah sistem persamaan nonlinear adalah menggunakan metode dekomposisi Adomian. Metode ini banyak menarik perhatian di dunia matematika terapan beberapa tahun ini. Banyak peneliti yang menggunakan metode dekomposisi Adomian baik untuk menyelesaikan suatu sistem ataupun membandingkan dengan metode lain. Metode dekomposisi

49 35 Adomian memang bukan yang paling sempurna tetapi metode ini cukup mudah dan efektif ketika digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Metode dekomposisi Adomian dapat digunakan untuk menyelesaikan sebuah persamaan diferensial maupun suatu sistem persamaan diferensial. Berikut ini merupakan contoh penggunaan metode dekomposisi Adomian pada sebuah sistem persamaan nonlinear. Persamaan diambil dari Batiha dkk (2016:903): = + +, = + +. (2.1) Dengan mengubah = sesuai dengan Wazwaz (2009:22), maka bentuk dari sistem (2.1) menjadi: = + +, = + +, (2.2) dan mengoperasikan = (. ) pada kedua ruas dari sistem nonlinear tersebut sedemikian hingga sistem dari persamaan nonlinear menjadi: = + +, = + +. (3.2) Metode dekomposisi Adomian mengubah dekomposisi dan menjadi komponen jumlahan yang tak terbatas sehingga komponen dan dapat diubah menjadi:

50 36 ( ) =, ( ) =, (4.2) dan untuk komponen yang nonlinear seperti, dan y akan diubah menjadi =, =, =. (5.2) Jumlahan dari komponen nonlinear dapat dilihat sebagai berikut: =, =, =, (6.2) sehingga dapat ditentukan polinomial Adomian untuk, dan : = = + = + + (7.2) = = = + = + + (8.2) = + + +

51 37... = = + = + + (9.2) = Sistem persamaan diferensial nonlinear dari (3.2) dapat ditulis dengan mensubstitusikan (4.2), (5.2) dan (6.2) seperti pada Rao (2011), sehingga persamaan tersebut akan menjadi: ( ) (0) = + ( ) (0) = + (10.2) = (0) + + = (0) + + (11.2) Nilai awal (0) =, (0) =, sehingga solusi dari sistem dapat dicari. Iterasi yang dilakukan yaitu mensubstitusikan (7.2), (7.3) dan (7.4) pada (11.2) sedemikian hingga iterasi dapat ditentukan sebagai berikut: = (0) = = + + (12.2)

52 38 = (0) = = + + (13.2) Secara umum solusi dari sistem adalah jumlahan dari seluruh iterasi yang didapat sampai tak hingga, tetapi peneliti dapat menentukan banyaknya iterasi sesuai kebutuhan. Contoh ketika solusi dicari dengan jumlahan sampai iterasi ketujuh adalah sebagai berikut: = , (14.2) = (15.2) G. Kerangka Berpikir Sejauh ini telah dipelajari beberapa teori dan definisi mengenai pemodelan matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial nonlinear, model pertumbuhan populasi, model pertumbuhan populasi dua spesies pemangsamangsa, titik ekuilibrium, linearisasi dan analisis kestabilan titik ekuilibrium. Berdasarkan apa yang telah dipelajari, akan dilakukan analisa kestabilan dari model pertumbuhan populasi dua spesies pemangsa-mangsa dan disusun program untuk menunjukkan grafik dari pemodelan yang diperoleh serta menganalisis perilaku kedua populasi dalam jangka panjang. Solusi secara umum dari persamaan diferensial tersebut akan dicari menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.

53 BAB III ANALISIS KESTABILAN MODEL SISTEM DINAMIKA Model pertumbuhan logistik dinilai lebih realistis dari pada model eksponensial yang merupakan model terdahulu dikarenakan model pertumbuhan logistik mempertimbangkan aspek daya dukung alam. Pada interaksi spesies pertama ( ) dan spesies kedua ( ) di suatu ekosistem akan diterapkan beberapa kondisi tambahan seperti pemanenan pada salah satu spesies maupun keduanya. Sebelum membuat model-model matematika, ada beberapa asumsi yang perlu diperhatikan dalam pengembangan model ini. Beberapa asumsi yang diberikan oleh peneliti adalah sebagai berikut: 1. Interaksi dua spesies berada pada sistem yang tertutup. 2. Spesies pertama merupakan satu-satunya makanan dari spesies kedua. 3. Spesies pertama akan bertumbuh meski tidak ada spesies kedua. 4. Spesies kedua akan mengalami penurunan jumlah populasi jika tidak ada spesies pertama. 5. Tidak ada migrasi. 6. Hanya ada aspek pemanenan pada populasi mangsa dan pemangsa. 39

54 40 A. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada Mangsa Pada model ini, aspek pemanenan diterapkan pada populasi spesies pertama, sehingga dapat dianalisis perilaku spesies kedua ketika spesies pertama mengalami pemanenan. Dengan demikian model akan menjadi: = 1, = 1 +, dengan,,,,,, merupakan konstanta positif dan : jumlah populasi mangsa, : laju pertumbuhan populasi mangsa, : laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa, : daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa, : jumlah populasi pemangsa, : laju pertumbuhan pemangsa, : laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa, : daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa, : laju pemanenan mangsa. 1. Titik Ekuilibrium Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada mangsa dapat dimulai dengan syarat titik ekuilibrium yaitu = = 0, sehingga diperoleh:

55 = 0, 1 + = 0, atau ( + 1 ) = 0, ( + ) = 0. Dengan demikian, sistem persamaan tersebut memiliki empat titik ekuilibrium, yakni (0,0), (0, ), ( ), 0, dan ( ), ( ). 2. Konstruksi Matriks Jacobi Konstruksi matriks Jacobi dapat dilakukan dengan cara linearisasi dari sistem persamaan nonlinear: = = Dengan mensubstitusikan titik,, dan pada matriks Jacobi tersebut maka diperoleh: = 1 0 0, = 1 0, = ( 1 ) 0 + ( 1 ), = ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 ) ( 1 + ).

56 42 3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen. Nilai eigen dapat dicari ketika memenuhi det( ) = 0, di mana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel 2.1 maka kriteria kestabilannya adalah: a. Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 0 0. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: =, =. Dikarenakan < 0 < dan > maka titik tersebut merupakan titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil. Titik ekuilibrium pada merupakan titik simpul dan akan bersifat stabil asimtotik ketika <, sehingga < < 0. b. Titik ekuilibrium (0, ) dengan matriks = 0. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = (positif), = +.

57 43 1) Jika = bernilai positif, + < maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. 2) Jika = bernilai negatif, + > maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil. c. Titik ekuilibrium ( ), 0 dengan matriks = ( 1 ) 0 + ( 1 ). Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = 3( ), = + ( ). 1) Jika < maka bernilai positif dan bernilai negatif, sehingga titik tersebut berupa titik sadel dan titik ekuilibrium bersifat tak stabil. 2) Jika > dan, a) > ( 1 ) maka dan bernilai negatif, sehingga titik tersebut berupa titik simpul dan titik ekuilibrium bersifat stabil. b) < ( 1 ) maka bernilai negatif dan bernilai positif, sehingga titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. d. Titik ekuilibrium ( ), ( ) dengan matriks = ( ) ( ) ( ) ( ).

58 44 Misalkan matriks =, maka diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = ( + ) , = ( + ) ) Jika bernilai positif, maka ada beberapa kemungkinan sebagai berikut: a) Jika bernilai positif dan bernilai positif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. b) Jika bernilai positif dan bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. c) Jika bernilai negatif dan bernilai positif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. d) Jika bernilai negatif dan bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik. 2) Jika bernilai negatif dan: a) + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik. b) + bernilai posistif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil.

59 45 4. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang Bertumbuh secara Logistik Dengan Aspek Pemanenan pada Mangsa Nilai awal dan parameter yang dimasukan adalah = 4 dan = 10, = = 0.1, = - = -0.08, = = , = = 0.001, = - = , = = , = Gambar 3.1 Solusi model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa untuk nilai awal = 4 dan = 10. Dengan menggunakan program Pplane8, grafik pemangsa mangsa dapat terlihat titik ekuilibriumnya seperti pada Gambar 3.1 dan Gambar 3.2:

60 46 Gambar 3.2 Lapangan arah untuk model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada mangsa. Pada Gambar 3.2 merupakan lapangan arah yang menunjukan letak titik ekuilibrium dari model interaksi yang dibuat. Berdasarkan nilai yang telah ditentukan grafik lapangan arah menunjukan sifat-sifat dari masing-masing titik ekuilibrium. Secara umum grafik akan selalu menjauhi titik (0,0) dan menuju ke titik ekulibrium yang lain yang cenderung ke titik sekitar (70,0) ketika populasi masih di batas-batas tertentu. Pada Gambar 3.1 diperlihatkan ketika populasi dan diberi nilai awal. Populasi mangsa justru cenderung berkurang dan populasi pemangsanya cenderung naik naik.

61 47 B. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada Pemangsa Pada model ini pemangsa akan diberi aspek kompetisi dikarenakan spesies kedua sebagai pemangsa memakan makanan yang sama dan hanya ada satusatunya. Dalam model ini pada spesies pertama tidak ada pemanenan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa spesies pertama hanya bertumbuh saja. Dengan demikian model yang dibuat menjadi: = 1, = 1 +, dengan,,,,,,, > 0 dan : jumlah populasi mangsa, : laju pertumbuhan populasi mangsa, : laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa, : daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa, : jumlah populasi pemangsa, s : laju pertumbuhan pemangsa, : laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa, : daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa, : laju pemanenan pemangsa.

62 48 1. Titik Ekuilibrium Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi pemangsa-mangsa dengan aspek kompetisi pada pemangsa dapat dimulai dengan syarat titik ekuilibrium yaitu = = 0, sehingga diperoleh: 1 = 0, 1 + = 0, atau ( ) = 0, ( + 2 ) = 0. Sedemikian hingga terdapat empat titik ekuilibrium, yakni (0,0), 0, ( ), (, 0) dan ( ), ( ). 2. Konstruksi Matriks Jacobi Konstruksi matriks Jacobi dapat dilakukan dengan cara berikut dalam linearisasi dari sistem persamaan nonlinear: = = Dengan mensubstitusikan titik,, dan pada matriks Jacobi tersebut maka diperoleh: = 0 0 2,

63 49 = ( 2 + ) ( 2 + ) = ,, = ( + + ) ( + ) ( ) ( + ). 3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen. Nilai eigen dapat dicari ketika memenuhi det( ) = 0, di mana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Berdasarkan Tabel 2.1 maka kriteria kestabilannya adalah: a. Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 0 0. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: =, =. Dikarenakan < 0 < maka titik tersebut merupakan titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil.

64 50 b. Titik ekuilibrium 0, ( ) dengan matriks = ( + ) ( + ) 0 +. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = ( + ), = +. 1) Jika = ( + ) bernilai positif, > ( + ) maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. 2) Jika = ( 2 + ) bernilai negatif, < ( + ) maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium c. Titik ekuilibrium (, 0) dengan matriks = 0 + bersifat stabil.. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = (negatif), = +. 1) Jika = + bernilai positif, < maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. 2) Jika = + bernilai negatif, > maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil.

65 51 d. Titik ekuilibrium ( ), ( ) dengan matriks = ( ) ( ) ( ). ( ) Misalkan matriks =, maka diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = ( + ) , = ( + ) ) Jika bernilai positif, maka ada beberapa kemungkinan sebagai berikut: a) Jika bernilai positif dan bernilai positif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. b) Jika bernilai positif dan bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. c) Jika bernilai negatif dan bernilai positif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. d) Jika bernilai negatif dan bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik.

66 52 2) Jika bernilai negatif, maka beberapa kemungkinan yang muncul adalah: a) Jika + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik. b) Jika + bernilai posistif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil. 4. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang Bertumbuh secara Logistik dengan Pemanenan pada Pemangsa Nilai awal dan parameter yang dimasukan adalah = 4 dan = 10, = = 0.1, = = 0.08, = = , = = 0.001, = = , = = , = Gambar 3.3 Solusi model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa untuk nilai awal = 4 dan = 10.

67 53 Dengan menggunakan program Pplane8, grafik mangsa pemangsa dapat terlihat titik ekuilibriumnya seperti pada Gambar 3.3 dan Gambar 3.4: Gambar 3.4 Lapangan arah untuk model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa. Pada Gambar 3.3 dan 3.4 tidak ada perilaku yang berubah secara signifikan ketika laju pemanenan terjadi pada pemangsa saja. Hanya pertumbuhan pemangsa yang cenderung lebih lambat jika dibandingkan dengan perilaku ketika pemanenan dilakukan pada mangsa saja. Lapangan arah pada Gambar 3.4 hanya bergeser sedikit dan tidak terlalu signifikan dengan model yang sebelumnya.

68 54 C. Model Logistik Pemangsa-Mangsa dengan Aspek Pemanenan pada Mangsa dan Pemangsa Model terakhir yang dibentuk adalah model pertumbuhan logistik dengan pemanenan pada spesies pertama dan kedua. Model ini merupakan gabungan dari model sebelumnya. Sehingga analisis yang dibuat menggambarkan perilaku spesies kedua yang dipanen dan makanan mereka ( spesies pertama) juga mengalami pemanenan. Model yang diberikan sebagai berikut: = 1, = 1 +, dengan,,,,,,, > 0 dan : jumlah populasi mangsa, : laju pertumbuhan populasi mangsa, : laju pertumbuhan mangsa ketika berinteraksi dengan pemangsa, : daya dukung alam sekitar pada populasi mangsa, : jumlah populasi pemangsa, s : laju pertumbuhan pemangsa, : laju pertumbuhan pemangsa ketika berinteraksi dengan mangsa, : daya dukung alam sekitar pada populasi pemangsa, : laju pemanenan mangsa, : laju pemanenan pemangsa.

69 55 1. Titik Ekuilibrium Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi pemangsa-mangsa dengan aspek pemanenan pada mangsa dan kompetisi pada pemangsa dapat dimulai dengan syarat titik ekuilibrium yaitu = = 0, sehingga diperoleh: 1 1 = 0, = 0, atau ( + 1 ) = 0, ( + 2 ) = 0. Terdapat empat titik ekuilibrium, yakni (0,0), 0, ( ), ( ), 0, dan ( ), ( ). 2. Konstruksi Matriks Jacobi Konstruksi matriks Jacobi dapat dilakukan dengan cara berikut dalam linearisasi dari sistem persamaan nonlinear: = = Dengan mensubstitusikan titik,, dan pada matriks Jacobi tersebut maka diperoleh: = , = 2 + ( + 2 ) ( + 2 ) 0 2 ( + 2) 2,

70 56 = ( 1 ) 0 + ( 1) 2, = ( ) ( ) ( 2 1 ) ( ). 3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Berdasarkan matriks Jacobi yang telah dicari maka analisis kestabilan pada titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen. Dengan mencari det( ) = 0, di mana merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi, maka kestabilan dapat ditentukan berdasarkan Tabel 2.1, maka kriteria kestabilannya adalah: a. Titik ekuilibrium (0,0) dengan matriks = 0 0. Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: =, =. Dikarenakan < 0 <, ketika > 1 maka titik tersebut merupakan titik sadel sehingga titik ekuilibrium pada bersifat tidak stabil. < < 0 ketika < 1, sedemikian hingga titik tersebut merupakan titik simpul sehingga titik ekuilibrium pada bersifat stabil asimtotik.

71 57 b. Titik ekuilibrium 0, ( ) dengan matriks = + ( + ) 0 ( + ) 2 ( + ). Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = + ( + ), = 2 ( + ). 1) Jika = + ( + ) bernilai positif dan = 2 ( + ) bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. 2) Jika = + ( + ) bernilai negatif dan = 2 ( + ) bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimotik. c. Titik ekuilibrium ( ), 0 dengan matriks = ( ) ( 1 ). 2 Diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut : = 2 2, = + ( ).

72 58 1) Jika = 2 2 bernilai positif dan = + ( ) bernilai positif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. 2) Jika = 2 2 bernilai positif dan = + ( ) bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. 3) Jika = bernilai negatif dan = + ( ) bernilai positif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. 4) Jika = 2 2 bernilai negatif dan = + ( 1 ) 2 bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimotik. d. Titik ekuilibrium ( ), ( ) dengan matriks = ( ) ( ) ( 2 1 ) ( ). Misalkan matriks =, maka diperoleh nilai eigen ( ) sebagai berikut: = ( + ) , = ( + )

73 59 1) Jika bernilai positif, maka ada beberapa kemungkinan sebagai berikut: a) Jika bernilai positif dan bernilai positif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. b) Jika bernilai positif dan bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. c) Jika bernilai negatif dan bernilai positif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tak stabil. d) Jika bernilai negatif dan bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik simpul sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik. 2) Jika bernilai negatif, maka beberapa kemungkinan yang muncul adalah: a) Jika + bernilai negatif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik. b) Jika + bernilai posistif maka titik tersebut berupa titik sadel sehingga titik ekuilibrium bersifat tidak stabil. 4. Grafik Interaksi Pemangsa-Mangsa yang Bertumbuh Secara Logistik dengan Aspek Pemanenan pada Mangsa dan Pemangsa Nilai awal dan parameter yang dimasukan adalah = 4 dan = 10, = = 0.1, = -s = -0.08, = = , = = 0.001, = = , = b = , = 0.003, =

74 60 Gambar 3.5 Solusi model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa untuk nilai awal = 4 dan = 10. Dengan menggunakan program Pplane8, grafik mangsa pemangsa dapat terlihat titik ekuilibriumnya seperti tampak pada Gambar 3.5 dan Gambar 3.6: Gambar 3.6 Lapangan arah untuk model mangsa pemangsa dengan aspek pemanenan pada pemangsa dan mangsa.