BAB 2 DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF Pada Bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan dengan permasalahan dalam penelitian ini seperti keterhubungan, primitifitas, eksponen dan eksponen titik masuk dari digraf dan digraf dwi-warna. 2.1 Definisi Pada subbab ini akan diberikan definisi tentang digraf dan digraf dwi-warna serta notasi-notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1.1 Digraf Graf adalah himpunan tak kosong dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis. Jika garis yang menghubungkan titik-titik tersebut diberikan arah, maka disebut sebagai digraf, dan dinotasikan sebagai D. Dengan kata lain, sebuah digraf D terdiri dari dua himpunan, yaitu : 1. Himpunan titik yang dinotasikan dengan V = {v 1, v 2, v 3,, v n } dengan i adalah bilangan bulat positif dan v i adalah elemen dari himpunan V, n(v ) 0. 2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D. Jika diberikan notasi E = (v 1, v 3 ) berarti terdapat sebuah arc dari titik v 1 ke v 3 atau dapat dituliskan dengan notasi v 1 v 3. Contoh 2.1.1 Himpunan titik V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan arc E = {(v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 3, v 4 ), (v 3, v 1 ), (v 4, v 3 )} adalah sebuah digraf dengan 4 titik dan 5 arc, dan dinotasikan dengan D(4, 5). D dapat direpresentasikan seperti berikut. 4
5 Gambar 2.1 Digraf Andaikan suatu digraf D dengan n titik, dengan u dan v adalah titik di D. Suatu walk dengan panjang m dari u dan v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk v 0 v 1 v 2 v m dengan m 0, v 0 = u dan v m = v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup dan jika u v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path adalah walk dengan titik yang tidak berulang, tetapi titik awal dan titik akhir boleh berulang yang disebut path tertutup. Suatu path tertutup u v disebut dengan cycle dan cycle dengan panjang 1 disebut loop. Berikut penjelasan berdasarkan Gambar 2.1 1. Barisan arc v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 v 4 disebut walk dari v 1 ke v 4 2. Barisan arc v 1 v 2 v 3 v 4 disebut path dari v 1 ke v 4 3. Barisan arc v 1 v 2 v 3 v 1 disebut path tertutup atau cycle 2.1.2 Digraf Dwi-warna Digraf dengan arc yang diwarnai dengan merah atau biru, namun tidak keduanya pada satu arc sekaligus disebut digraf dwi-warna, dinotasikan dengan D (2) (Fornasini dan Valcher, 1997). Sebuah arc merah dari titik u ke titik v akan dinotasikan dengan u r v dan arc biru dari titik u ke titik v dinotasikan dengan u b v. Contoh 2.1.2 Himpunan titik V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } dan himpunan arc merah A = {(v 2, v 3 ), (v 3, v 1 ), (v 4, v 3 )} dan himpunan arc biru B = {(v!, v 2 ), (v 3, v 4 )} adalah sebuah digraf dengan 4 titik dan 5 arc, dan dinotasikan dengan D(4, 5). D dapat direpresentasikan seperti berikut.
6 Gambar 2.2 Digraf Dwi-warna Sebuah (s, t)-walk pada digraf dwi-warna D (2) adalah sebuah walk yang terdiri dari s buah arc merah dan t buah arc biru. Andaikan sebuah walk w, dengan r(w) dan b(w) masing-masing adalah banyak arc merah dan arc biru pada walk w, maka dapat dinotasikan sebagai l(w) = r(w) + b(w) atau dapat direpresentasikan r(w) dalam bentuk vektor, yaitu. b(w) Suatu path adalah walk dengan titik yang tidak berulang, tetapi titik awal dan titik akhir boleh berulang yang disebut path tertutup. Suatu path tertutup u v disebut dengan cycle dan cycle dengan panjang 1 disebut loop, dengan komposisi 1 0 atau. 0 1 Berikut adalah penjelasan berdasarkan Gambar 2.2. b r r 1. v 1 v 2 v 3 v 1 3 komposisi. 2 b v 2 r v 3 b v 4 adalah walk dari v 1 ke v 4 dengan 2. v 1 b v 2 r v 3 b v 4 adalah path dari v 1 ke v 4 dengan komposisi 3. v 1 b v 2 r v 3 r v 1 adalah path tertutup atau cycle dengan komposisi 1 2. 2 1. 2.2 Matriks Adjacency Sebuah digraf D atau digraf D (2) dapat direpresentasikan dalam (0,1)-matriks,
7 yaitu matriks yang elemennya adalah 0 atau 1, yang disebut sebagai matriks adjacency. 2.2.1 Matriks Adjacency Digraf Sebuah matriks adjacency dari digraf dengan n-titik adalah matriks berordo n A(D) = a ij dengan 1 jikaterdapatarcdariv i kev j, a ij = 0 sebaliknya. Contoh 2.2.1 Berikut ini adalah representasi digraf yang terdiri dari 6 titik dan 8 arc. Dari digraf berikut dapat dibentuk sebuah matriks adjacency dengan memperhatikan arc yang menghubungkan titik-titik pada digraf tersebut. Gambar 2.3 Digraf dengan 6 titik dan 8 arc Matriks adjacency dari digraf di atas adalah sebagai berikut. 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 A(D) = 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2.2.2 Matriks Adjacency Digraf Dwi-warna Matriks adjacency dari sebuah digraf dwi-warna dengan n-titik dibagi menjadi
8 dua, yaitu matriks adjacency berorde n untuk arc merah R = r ij dan matriks adjacency untuk arc biru B = b ij dengan ketentuan sebagai berikut. 1, jikaterdapatarcmerahdariv i kev j R = r ij = 0, jikasebaliknya. dan 1, jikaterdapatarcbirudariv i kev j B = b ij = 0, jikasebaliknya. Contoh 2.2.2 Berikut adalah digraf dwi-warna yang terdiri dari 6 titik dengan 6 arc merah dan 2 arc biru. Gambar 2.4 Digraf dwi-warna dengan 6 titik dan 8 arc Matriks adjacency dari digraf dwi-warna di atas adalah sebagai berikut. 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 R = dan B = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
9 2.3 Primitifitas Pada subbab ini akan dibahas mengenai digraf dan digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitifitasnya. 2.3.1 Digraf Primitif Sebuah digraf D terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik (v i, v j ) di D terdapat walk berarah (directed walk) dari v i ke v j dan dari v j ke v i. Digraf D primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif m dimana ada sebuah walk dengan panjang m dari setiap pasang titik di D. Contoh 2.3.1 Berikut adalah contoh digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat. (a) (b) Gambar 2.5 Digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.5(a) menunjukkan digraf terhubung kuat karena terdapat walk dari tiap pasang titik di digraf D, dan Gambar 2.5(b) menunjukkan digraf tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari v 3 ke v 4. Digraf D yang terhubung kuat dikatakan primitif, jika terdapat suatu bilangan bulat positif m sedemikian hingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat suatu walk dengan panjang m. Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraf terhubung kuat, maka setiap titik v di D terletak pada cycle. Bukti Ambil sebarang titik v di digraf D dan sebarang arc dari titik u ke v di D. Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari titil u ke v dan path dari v ke u di D. Oleh definisi, path tertutup adalah suatu cycle, dan v adalah sebarang
10 titik di D, maka setiap titik v di D pasti terletak pada suatu cycle. 2.3.2 Digraf Dwi-warna Primitif Sebuah digraf dwi-warna D (2) adalah terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v di D (2) terdapat walk dari titik u ke titik v dan walk dari titik v ke titik u tanpa memperhatikan warna setiap arc yang dilalui. Berikut adalah contoh digraf dwi-warna D (2) terhubung kuat dan digraf dwi-warna D (2) tidak terhubung kuat. Contoh 2.3.2 Representasi dari digraf dwi-warna terhubung kuat (a) (b) Gambar 2.6 Digraf dwi-warna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.6 memperlihatkan bahwa (a) adalah digraf dwi-warna D (2) terhubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik yang lain dan (b) adalah digraf dwi-warna D (2) yang tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v 1 ke v 2. Sebuah digraf dwi-warna terhubung kuat D (2) disebut primitif jika terdapat bilangan tak negatif s dan t sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D (2) terdapat (s, t)-walk dari u ke v. Andaikan C = {C 1, C 2,..., C t } adalah himpunan semua cycle yang terdapat di D (2) dan didefinisikan M sebagai matriks cycle dari D (2) orde 2 t dengan setiap kolom ke-i dari M merupakan komposisi dari cycle-cycle C i, i = 1, 2,..., t seperti berikut r(c 1 ) r(c 2 ) r(c t ) M =. b(c 1 ) b(c 2 ) b(c t ) Sebuah digraf dwi-warna D (2) adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 2 dari M adalah ±1 (Fonarsini dan
11 Valcher, 1997). Lemma 2.3.2 Andaikan D (2) adalah digraf dwi-warna terhubung kuat dengan paling sedikit satu arc setiap warna. Misalkan M adalah matriks cycle dari D (2). Digraf D (2) adalah primitif jika dan hanya jika content dari matriks M adalah 1. Contoh 2.3.3 Representasi digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitif Gambar 2.7 Digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitif. Digraf dwi-warna D (2) pada Gambar 2.7 adalah terhubung kuat yang terdiri dari b b r r r b b 3 cycle v 1 v 7 v 6 v 5 v 4 v 3 v 2 v 1 dengan komposisi, dan 4 b r r b b 2 cycle v 1 v 5 v 4 v 3 v 2 v 1 dengan komposisi dan maka matriks 3 3 2 cycle dari D (2) adalah M = dengan det (M) = 1. Oleh karena det (M) 4 3 = 1, maka digraf dwi-warna terhubung kuat D (2) adalah primitif. 2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraf Dwi-warna Berikut ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan hubungannya dengan Digraf dwi-warna D (2). 2.4.1 Matriks Tak Negatif Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri a ij dari A adalah bilangan bulat tak negatif, sebaliknya jika setiap entri a ij dari matriks A adalah
12 bilangan bulat positif maka matriks tersebut disebut matriks positif. Perhatikan dua buah matriks berikut ini. 0 1 1 A = 2 0 3 5 7 0, matriks tak negatif; B = 9 3 1 5 7 2 6 1 1, matriks positif. 2.4.2 Eksponen Digraf Eksponen dari sebuah digraf D merupakan bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(d). Proposisi 2.4.2 A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D. Entri a k ij dari A k menyatakan banyak walk dari v i ke v j dengan panjang k di digraf D. Bukti. Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari titik v i ke v j di digraf D. Ini mengakibatkan jika k = 1, maka setiap entri a 1 ij dari A 1 menyatakan walk dari titik v i ke v j dengan panjang 1. Andaikan setiap entri a (k) ij dari A k menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j yang panjangnya k di D, untuk k 1. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa a (k+1) ij adalah banyaknya walk dari v i ke v j dengan panjang k+1 di D dengan k 1. Perhatikan setiap walk dari titik v i ke v j di D dengan panjang k + 1 yang terdiri dari walk v i ke v l dengan panjang k untuk l = 1, 2,..., n, dan dilanjutkan dengan arc dari titik v i ke v j, sehingga a (k) il a ij menyatakan walk dengan panjang k + 1 dari titik v i ke v j di D untuk k = 1, 2,..., n. Jika tidak terdapat walk yang panjangnya k dari titik v i ke v j di D, maka a (k) il = 0 sehingga a (k) il a ij = 0. Hal ini berakibat tidak terdapat walk yang panjangnya k +1 dari titik v i ke v j melalui titik v l di D sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari titik v i ke v j di D adalah a (k) i1 a 1j + a (k) i2 a 2j +... + a (k) in a nj = n i=1 a k ila lj
13 karena A k+1 = A k A maka a (k) ij = n a k il a lj i=1 Sehingga a (k+1) ij adalah benar menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke titik v j yang panjangnya k + 1 di D. Berikut adalah contoh menentukan eksponen suatu digraf dengan menggunakan proposisi 2.1. Contoh 2.4.2 Perhatikan Gambar 2.5(a). Matriks adjacency dari digraf pada Gambar 2.5(a) adalah sebagai berikut 0 1 1 0 A = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 Berdasarkan Proposisi 2.4.2, banyaknya walk dari titik v i ke titik v j dengan panjang k dinyatakan oleh entri a k ij dari matriks A k yang semuanya positif. Eksponen dari digraf D adalah bilangan positif terkecil k yang mengakibatkan matriks A k positif. Perhatikan matriks berikut. 0 1 1 0 a. Untuk k = 1; diperoleh A 1 = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari titik 1 ke titik 4, titik 2 ke titik 3, titik 3 ke titik 2, titik 4 ke titik 3 dan titik 3 ke titik 4. 1 0 0 1 b. Untuk k = 2; diperoleh A 2 = 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk
14 dengan panjang 2 dari titik 1 ke titik 2, titik 1 ke titik 3, titik 2 ke titik 3, titik 2 ke titik 4, titik 3 ke titik 4, dan titik 4 ke titik 1. 1 1 1 0 c. Untuk k = 3; diperoleh A 3 = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 3 dari titik 1 ke titik 4, titik 2 ke titik 4, titik 3 ke titik 1, titik 3 ke titik 2, titik 4 ke titik 2 dan titik 4 ke titik 3. 1 1 1 1 d. Untuk k = 4; diperoleh A 4 = 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 4 dari titik 2 ke titik 3, dan titik 3 ke titik 4. 2 1 1 1 e. Untuk k = 5; diperoleh A 5 = 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 5 dari titik 2 ke titik 4. 2 2 2 1 f. Untuk k = 6; diperoleh A 6 = 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 Karena terdapat walk dengan panjang 6 dari tiap pasang titik yang ada di D, maka eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2 adalah exp(d) = 6. 2.4.3 Eksponen Digraf Dwi-warna Pada digraf dwi-warna D (2), eksponen dari D (2) didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil s + t dari semua bilangan bulat tak negatif s dan t yang ada
15 sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D (2) terdapat sebuah (s, t)-walk dari u ke v yang terdiri dari s-arc merah dan t-arc biru. Eksponen dari digraf dwiwarna D (2) dinotasikan oleh exp(d (2) ). Andaikan A dan B adalah matiks tak negatif orde m. Untuk bilangan tak negatif s dan t, didefinisikan (s, t)-hurwitz product, (A, B) (s,t) dari A dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian A sebanyak s kali dan B sebanyak t kali. Sebagai contoh, (A, B) (1,0) = A, (A, B) (0,1) = B, (A, B) (1,1) = AB+BA dan (A, B) (2,2) = A 2 B 2 +ABAB+AB 2 A+BABA+B 2 A 2. Lemma 2.4.3 Jika (R,B) adalah matriks adjacency dari digraf dwi-warna D (2), maka entri (i, j) dari (R, B) (s,t) adalah jumlah (s, t)-walk dari titik u ke v di D (2). Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (s+t) dan (s+t+1), jika s = 0 maka t = 1 atau jika s = 1 maka t = 0. Jika s = 0 maka entri (i,j) dari (R, B) (0,1) = B 0 adalah walk dengan komposisi di D (2). Dengan cara yang sama, jika s = 1 1 dan t = 0 maka (R, B) (1,0) = R adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk 1 dengan komposisi di D (2). 0 Anggap Lemma 2.4.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif s dan t dengan s + t s + t, akan diperlihatkan untuk s + t + 1 juga benar dengan catatan sebagai berikut (R, B) (s+1,t) = R(R, B) (s,t) + B(R, B) (s+1,t 1) dengan induksi matematika entri (i, j) pada R(R, B) (s,t) adalah walk dari v i ke v j yang dimulai dengan arc merah diikuti oleh sebuah (s, t)-walk dan entri (i, j) pada B(R, B) (s+1,t 1) adalah jumlah walk dari v i ke v j yang dimulai dengan sebuah arc biru dan diikuti oleh sebuah (s + 1, t 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari (R, B) (s+1,t) adalah jumlah (s + 1, t)-walk dari i ke j. Perhatikan contoh berikut. Contoh 2.4.3 Reprensentasi D (2) dengan 4 titik, 3 arc merah dan 2 arc biru
16 Gambar 2.8 Digraf dwi-warna dengan 4 titik dan 5 arc Matriks adjacency merah dan biru dari Gambar 2.8 adalah 0 1 1 0 R = 1 0 0 0 dan B = 0 0 0 1 1 0 0 0 Berdasarkan Lemma 2.4.3, banyaknya walk dari titik i ke titik j dengan panjang s + t adalah entri (i, j) dari (R, B) (s,t) yang semuanya bernilai positif, dan (s + t) terkecil dari yang demikian adalah eksponen dari matriks (R, B) (s,t). Perhatikan matriks (R, B) (s,t) berikut Untuk s + t = 1, maka 0 1 0 0 1. (R, B) (1,0) = R = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2. (R, B) (0,1) = B = 0 0 0 1 Untuk s + t = 2, maka 1. (R, B) (2,0) = R 2 = 0 1 0 0 0 1 0 0
17 2. (R, B) (0,2) = B 2 = 1 0 0 1 3. (R, B) (1,1) = RB + BR = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 dan seterusnya hingga diperoleh untuk s + t = 12, yaitu Untuk s + t = 12, maka 1. (R, B) (12,0) = R 12 = 2. (R, B) (11,1) = R(R, B) (10,1) + BR 11 = 3. (R, B) (10,2) = R(R, B) (9,2) + B(R, B) (10,1) = 4. (R, B) (9,3) = R(R, B) (8,3) + B(R, B) (9,2) = 1 2 0 0 5. (R, B) (8,4) = R(R, B) (7,4) + B(R, B) (8,3) = 4 5 0 1 4 5 0 1
18 10 5 4 6 6. (R, B) (7,5) = R(R, B) (6,5) + B(R, B) (7,4) = 6 4 1 3 5 1 6 4 5 1 6 4 Karena terdapat walk dengan panjang 12 dari tiap pasang titik pada digraf dwi-warna D (2), maka eksponen dari digraf dwi-warna D (2) pada Gambar 2.8 adalah exp(d 2 ) = 12, dengan komposisi 7 5 yang terdiri 7 arc merah dan 5 arc biru. 2.5 Eksponen Titik Masuk Digraf dan Digraf Dwi-warna Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi eksponen titik masuk digraf D dan eksponen titik masuk digraf dwi-warna D (2) serta contoh bagaimana menentukan eksponen titik masuk dari digraf D dan digraf dwi-warna D (2). 2.5.1 Eksponen Titik Masuk Digraf Misalkan D adalah sebuah digraf primitif atas n titik v 1, v 2,..., v n. Untuk sebarang v i di D, i = 1, 2,..., n, eksponen titik v i yang dinotasikan dengan expin D (v i ) adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang k dari setiap titik di ke titik v i di D, dan himpunan eksponen exp D (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap titik v j di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu titik di X ke v j dengan panjang p. Andaikan D adalah digraf primitif orde n. Jika titik-titik di D adalah (v 1, v 2,..., v n ) sedemikian hingga exp D (v 1 ) exp D (v 2 ) exp D (v n ) maka exp D (v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, dinotasikan exp D (v k ) (Brualdi dan Liu, 1990). Contoh 2.5.1 Perhatikan Gambar 2.5(a).
19 Matriks adjacency dari digraf pada Gambar 2.5(a) adalah sebagai berikut 0 1 1 0 A = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 Berdasarkan Proposisi 2.4, eksponen titik dari D diperoleh dengan melihat entri a ij dari A k, dengan entri pada kolom ke-i harus bernilai positif. Perhatikan matriks A k berikut 1 1 1 1 a. Untuk k = 4; diperoleh A 4 = 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 Karena kolom pertama bernilai positif, maka expin D (v 1 ) = 4 2 1 1 1 b. Untuk k = 5; diperoleh A 5 = 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Kolom kedua dan kolom ketiga bernilai positif, maka expin D (v 2 ) = expin D (v 3 ) = 5. 2 2 2 1 c. Untuk k = 6; diperoleh A 6 = 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 Kolom keempat bernilai postif, maka expin D (v 4 ) = 6. Dengan demikian eksponen titik digraf pada Gambar 2.5(a), expin D (v 1 ) = 4, expin D (v 2 ) = expin D (v 3 ) = 5, dan expin D (v 4 ) = 6. 2.5.2 Eksponen Titik Masuk Digraf Dwi-warna Misalkan D (2) adalah digraf dwi-warna dengan V (D (2) ) adalah himpunan semua titik di D (2), yaitu V (D (2) = {v 1, v 2,, v n }. Untuk sebarang titik v k V (D (2), maka eksponen titik v k di D (2) yang dinotasikan sebagai expin D (2)(v k ) adalah bilangan bulat positif terkecil r + b sedemikian hingga terdapat sebuah (r, b)-walk
20 dari setiap titik di D (2) ke titik v k. Andaikan D (2) adalah digraf dwi-warna primitif orde n. Jika titik-titik di D (2) adalah (v 1, v 2,..., v n ) sedemikian hingga expin D (2)(v 1 ) expin D (2)(v 2 ) expin D (2)(v k ) maka exp D (2)(v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen titik ke-k dari digraf dwi-warna D (2) (Gao dan Shao, 2009). Untuk mencari eksponen titik digraf dwi-warna primitif D (2), dapat dilakukan dengan operasi (s, t)-matriks Hurwitz Product R dan B yang dapat didefinisikan secara rekurensif. Untuk bilangan bulat tak negatif terkecil s dan t, jika k adalah adalah titik di D (2), maka semua entri pada kolom ke-k dari matriks tersebut bernilai positif. Contoh 2.5.2 Perhatikan kembali digraf dwi-warna primitif pada Contoh 2.4.3. Berikut akan dicari eksponen titik masuk dari masing-masing titik pada digraf dwi-warna D (2) pada Gambar 2.8 dengan melihat entri (i, j) dari (R, B) (s,t) pada kolom ke-i bernilai positif. Menggunakan Contoh 2.4.3 telah diperoleh matriksmatriks (R, B) (s,t), maka 2 1 0 1 a. Untuk s+t = 5 dengan (R, B) (3,2) = R(R, B) (2,2) +B(R, B) (3,1) = 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 Karena semua entri pada kolom pertama dengan (R, B) (3,2) bernilai positif, maka expin(v 1 ) = 5 yang terdiri dari 3-arc merah dan 2-arc biru. 1 2 0 0 b. Untuk s+t = 6 dengan (R, B) (4,2) = R(R, B) (3,2) +B(R, B) (4,1) = 0 1 0 0 2 1 0 1 2 1 0 1 Karena semua entri pada kolom kedua dengan (R, B) (4,2) bernilai positif, maka expin(v 2 ) = 6 yang terdiri dari 4-arc merah dan 2-arc biru.
21 1 0 2 1 c. Untuk s+t = 6 dengan (R, B) (3,3) = R(R, B) (2,3) +B(R, B) (3,2) = 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 Karena semua entri pada kolom ketiga dengan (R, B) (3,3) bernilai positif, maka expin(v 3 ) = 6 yang terdiri dari 3-arc merah dan 3-arc biru. 3 1 1 2 d. Untuk s+t = 7 dengan (R, B) (4,3) = R(R, B) (4,3) +B(R, B) (4,2) = 2 1 0 1 1 0 2 1 1 0 2 1 Karena semua entri pada kolom keempat dengan (R, B) (4,3) bernilai positif, maka expin(v 4 ) = 7 yang terdiri dari 4-arc merah dan 3-arc biru. 2.6 Sistem Persamaan Diophantine Persamaan diophantine adalah suatu persamaan dalam bentuk a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b (1) dengan solusi dari persamaan tersebut adalah bilangan bulat untuk semua bilangan bulat a 1, a 2,..., a n, b. Andaikan bahwa n 1 dan koefisien-koefisien a 1, a 2,..., a n tak semuanya nol. Teorema 2.6.1 Persamaan (1) adalah punya solusi bulat jika dan hanya jika gcd(a 1, a 2,..., a n ) membagi b. Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophantine dalam n variabel yang sama dengan m dan n adalah bilangan bulat positif seperti berikut a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. (2) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m
22 Sistem persamaan diophantine pada persamaan (2) dapat juga dituliskan sebagai sebuah persamaan matriks Ax = b, dimana a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n......, x = x 1 x 2., b = b 1 b 2.. a m1 a m2 a mn x n b m Kolom-kolom dari matriks A adalah koefisien-koefisien dari variabel x 1, x 2,..., x n pada persamaan (2). Teorema 2.6.2 Sistem persamaan diophantine Ax = b dari persamaan (2) memiliki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 2 dari A adalah ±1. 2.7 Formula Eksponen Titik Masuk Digraf Dwi-warna Pada bagian akan dibahas cara menentukan batas bawah dan batas atas eksponen titik digraf dwi-warna primitif yang memuat dua cycle sebagaimana yang ditawarkan oleh Suwilo (2011). Terlebih dahulu akan dibahas mengenai teknik untuk menentukan batas bawah eksponen titik digraf dwi-warna primitif. Lemma 2.7.1 Andaikan D (2) adalah digraf dwi-warna primitif yang memuat dua r(c 1 ) b(c 2 ) cycle dengan matriks cycle M =. Misalkan v k adalah sembarang b(c 1 ) r(c 2 ) titik di D (2) dan terdapat sebuah (s, t)-walk dari setiap titik v j di D (2) ke titik v k s g g r(p de-ngan = M, maka M 1 j,k ) untuk sembarang bilangan bulat tak negatif g, h, dan untuk suatu path p (j,k) dari v j ke v k t h h b(p j,k ). Bukti Untuk sembarang 1 j n, misalkan p jk adalah path dari titik v j ke titik v k. D (2) memuat dua cycle sehingga setiap walk di D (2) dapat dituliskan seperti berikut.
23 s t = M x 1 x 2 + r(p j,k ) b(p j,k ) (3) dengan x 1, x 2 0. Karena D (2) primitif, maka M invertible. Menggunakan s g = M dan persamaan (3) diperoleh persamaan berikut t h s x 1 r(p j,k ) M = M + t x 2 b(p j,k ) x 1 s r(p j,k ) M = M x 2 t b(p j,k ) x 1 s = M 1 r(p j,k ) 0 t b(p j,k ) x 2 s r(p sehingga M 1 j,k ) dan Lemma (2.7.1) terbukti. t b(p j,k ) Dari pembuktian Lemma 2.7.1, maka diperoleh teorema berikut. Teorema 2.7.1 Andaikan D (2) adalah digraf dwi-warna primitif yang terdiri dari cycle C 1 dan C 2. Misalkan v k adalah titik di D (2). Untuk sembarang titik v i dan v j di D (2), didefinisikan g k = b(c 2 )r(p j,k ) r(c 2 )b(p j,k ) dan h k = r(c 1 )b(p j,k ) s g k b(c 1 )r(p j,k ). Maka M, sehingga expin(v k ) l(c 1 )g k + l(c 2 )h k. t h k Bukti. Andaikan bahwa eksponen titik masuk v k dicapai oleh (s, t)-walk dengan = M dan diperoleh persamaan berikut s g t h g M 1 r(p j,k ) b(c 2 )r(p j,k ) r(c 2 )b(p j,k ) = (4) h b(p j,k ) r(c 1 )b(p j,k ) b(c 1 )r(p j,k ) untuk sembarang path p j,k dari titik v j ke titik v k. Jika untuk sembarang titik v j, j = 1, 2,..., n diperoleh nilai b(c 2 )r(p j,k ) r(c 2 )b(p j,k )
24 0, maka didefinisikan g k = b(c 2 )r(p j,k ) r(c 2 )b(p j,k ) 0 (5) dan jika untuk sembarang titik v i, dimana i = 1, 2,..., n diperoleh nilai r(c 1 )b(p i,k ) b(c 1 )r(p i,k ) 0, maka didefinisikan h k = r(c 1 )b(p i,k ) b(c 1 )r(p i,k ) 0 (6) sehingga g g k dan h h k. Oleh Lemma (2.6.1) diperoleh s t = M g h M g k h k (7) sehingga expin(v k ) = s + t (r(c 1 ) + b(c 1 ))g k + (r(c 2 ) + b(c 2 ))h k = l(c 1 )g k + l(c 2 )h k. Proposisi berikut dapat digunakan untuk menentukan batas bawah eksponen titik masuk digraf dwi-warna primitif dari sebuah titik yang ditentukan, misalkan titik v. Didefinisikan bahwa d(v k, v) adalah panjang walk terpendek dari v k ke v. Proposisi 2.7.1 Asumsikan D (2) adalah digraf dwi-warna primitif atas n titik. Mi-salkan v adalah sebuah titik di D (2) dengan expin(v). Untuk sembarang titik v k, k = 1, 2,..., n di D (2), expin(v k ) expin(v) + d(v k, v). Bukti. Untuk setiap k = 1, 2,..., n misalkan p v,k adalah (r(p v,k ), b(p v,k ))-path dari v ke titik v k dengan panjang d(v, v k ). Karena eksponen titik masuk v adalah expin(v), maka terdapat (s, t)-walk dengan panjang expin(v) = s + t dari setiap titik v j, j = 1, 2,..., n ke titik v. Ini menunjukkan bahwa setiap titik v k di D (2) terdapat suatu (s + r(p v,k ), t + b(p v,k ))-walk dari setiap titik v ke setiap titik v k. Walk tersebut ber-awal dari v menuju v k melalui (r(p v,k), b(p v,k ))-path dan kemudian menuju v j melalui suatu (s, t)-walk dari v j ke v. Oleh karena itu diperoleh expin(v k ) expin(v) + d(v, v k ) Proposisi berikut digunakan untuk menentukan batas atas eksponen titik
25 masuk digraf dwi-warna yang memuat dua cycle. Proposisi 2.7.2 Andaikan D (2) adalah digraf dwi-warna yang terdiri atas cycle C 1 dan C 2. Misalkan v k adalah titik di D (2) yang terdapat pada cycle C 1 dan cycle C 2. Jika untuk setiap i = 1, 2,..., n dan sembarang bilangan bulat positif s dan t, terdapat path p i,k dari v i ke v k sehingga sistem persamaan r(p i,k ) s Mx + = (8) b(p i,k ) t punya solusi bilangan bulat tak negatif, maka expin(v k ) s + t. Bukti. Misalkan bahwa solusi dari sistem persamaan (8) adalah x = (x 1, x 2 ) T. Karena D (2) primitif, maka matriks cycle M invertible, sehingga x 1 dan x 2 tidak dapat nol kedua-duanya. Karena x 1, x 2 0 dan kedua cycle C 1 dan C 2 memuat titik v k, maka terdapat tiga kemungkinan berikut. Jika x 1 > 0 dan x 2 > 0, maka walk dari titik v i ke titik v k akan bergerak sebanyak x 1 kali mengelilingi cycle C 1 dan bergerak sebanyak x 2 kali mengelilingi cycle C 2 dan kembali lagi ke titik v i, kemudian terus bergerak menuju titik v k di sepanjang path p i,k adalah sebuah (s, t)-walk dari v i ke v k. Jika x 1 = 0 dan x 2 > 0, maka walk dari titik v i ke titik v k akan bergerak sebanyak x 2 kali mengelilingi cycle C 2 dan kembali lagi ke titik v i, kemudian terus bergerak menuju titik v k di sepanjang path p i,k adalah sebuah (s, t)-walk dari v i ke v k. Jika x 1 > 0 dan x 2 = 0, maka walk dari titik v i ke titik v k akan bergerak sebanyak x 1 kali mengelilingi cycle C 1 dan kembali lagi ke titik v i, kemudian terus bergerak menuju titik v k di sepanjang path p i,k adalah sebuah (s, t)-walk dari v i ke v k. Dengan demikian, untuk setiap titik v i, i = 1, 2,..., n terdapat sebuah (s, t)-walk dari v i ke v k, sehingga expin(v k ) s + t.