BAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Teori tersebut mencakup pengertian dari digraph, contoh digraph, dan aplikasi digraph pada analisis siklus kehidupan. 2.1 Graph Berarah (Digraph) Suatu graph berarah (digraph) D adalah himpunan berhingga tak kosong V bersama suatu himpunan A yang terdiri dari pasangan berurut dengan unsur di V. Sehingga berdasarkan uraian di atas suatu digraph D terdiri dari dua himpunan yaitu: 1. Himpunan berhingga tak kosong V. Unsur dari V disebut verteks dari D. 2. Himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut dari unsur-unsur di V. Unsur dari A disebut arc dari D (Chartrand dan Lesniak, 1986 ). Digraph D dengan himpunan verteks V dan himpunan arc A dinotasikan dengan D(V,A). Andaikan v i dan v j adalah dua verteks di D. Suatu arc v i,v j atau juga dapat dinotasikan dengan v i v j adalah suatu arc di D yang menghubungkan v i dan v j. Contoh 1 : Himpunan verteks V = {v 1,v 2,v 3,v 4 } bersama dengan himpunan arc A = {v 1 v 2,v 1 v 4,v 2 v 3,v 3 v 4,v 3 v 1,v 4 v 2 } adalah suatu digraph dengan 4 verteks dan 6 arc, dinotasikan dengan D(4, 6).

2 9 Suatu digraph biasanya direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks pada digraph tersebut direpresentasikan sebagai suatu titik atau lingkaran kecil dan setiap arc (v i v j ) yang terdapat dalam digraph itu direpresentasikan sebagai suatu garis berarah dari v i ke v j. Representasi grafis digraph pada contoh 1 diperlihatkan seperti gambar (2.1) dibawah ini. v 1 v 4 v 2 v 3 Gambar 2.1 : Graph D(4, 6) Suatu representasi lain dari suatu digraph D dapat dituliskan dalam bentuk matriks adjacency sebagai berikut: a ij = { 1, jika terdapat arc dari verteks j ke i 0 jika sebaliknya maka untuk digraph pada gambar (2.1) di atas memiliki representasi matriks sebagai berikut: Suatu digraph berbobot adalah suatu pasangan (V,w) dimana V adalah suatu himpunan berhingga verteks-verteks dan w adalah suatu fungsi yang memetakan setiap pasangan verteks (x, y) ke nilai integer positif atau tak berhingga ( ). Fungsi w disebut fungsi bobot dan nilainya dapat diinterpretasikan sebagai suatu harga, jarak, atau waktu, dan lain sebagainya dalam bentuk fungsi sebagai berikut w : V (D) R. Digraph berbobot memiliki representasi matriks sebagai berikut:

3 10 ke verteks dari verteks w 11 w w 1n w 21 w w 2n w n1 w n2... w nn Andaikan u, v V. Suatu walk dari u ke v dinotasikan dengan (u, v). Suatu walk dari u ke v disingkat sebagai uv-walk atau l uv (untuk selanjutnya dipakai notasi (l uv )). Suatu walk dari u ke v yang panjangnya m adalah suatu barisan arc dalam bentuk (u = v 0,v 1 ), (v 1,v 2 ),..., (v m 2,v m 1 ), (v m 1,v m = v) (Chartrand dan Lesniak, 1986 ). Walk di atas juga dapat direpsentasikan sebagai berikut u = v 0 v 1 v 2 v m 1 v m = v (Chartrand dan Lesniak, 1986). Suatu path p uv adalah suatu l uv tanpa ada perulangan verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir dan panjangnya dinotasikan dengan l(p uv ). Suatu cycle adalah path dengan verteks awal sama dengan verteks akhir atau dengan perkataan lain cycle adalah path tertutup. Selain beberapa istilah yang telah ditunjukkan di atas, masih ada beberapa istilah lain yang berkaitan dengan digraph yang akan dijelaskan pada bagian-bagian berikut Nilai Eigen (Eigenvalue). Misalkan A adalah suatu matriks n n. Suatu skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor tak nol x sehingga Ax = λx Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam bentuk (A λi)x =0. (2.1) Jadi λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika persamaan (2.1) memiliki suatu penyelesaian nontrivial. Himpunan penyelesaian terhadap Universitas persamaan Sumatera (2.1) Utara

4 11 adalah N(A λi)x yang merupakan ruang bagian dari R n. Jadi, jika λ adalah nilai eigen dari A, maka N(A λi) {0} dan sembarang vektor tak nol dalam N(A λi) adalah vektor eigen milik λ. Ruang bagian N(A λi) dinamakan ruang eigen yang berhubungan dengan nilai eigen λ. Persamaan (2.1) akan mempunyai penyelesaian nontrivial jika dan hanya jika A λi singular, atau secara ekuivalen det(a λi) =0. (2.2) Jika determinan pada persamaan (2.2) diuraikan, akan kita dapatkan suatu polinom berderajat n dalam peubah λ. p(λ) =det(a λi). (2.3) Polinom ini disebut polinom karakteristik (characteristic polynomial) dan persamaan (2.3) disebut persamaan karakteristik (characteristic equation) untuk matriks A. Akar dari polinom karakteristik adalah nilai eigen dari A (Horn dan Johnson, 1985 ) Pohon (Tree). Definisi. Pohon adalah suatu graph terhubung yang tidak memiliki sirkuit. Proposisi. Anggap G adalah suatu graph. Pernyataan berikut ekuivalen. (1). G adalah tree. (2). G terhubung dan tak memuat cycle. (3). Diantara dua verteks sebarang di G pasti ada suatu path. Bukti: (1) (2): Karena suatu cycle adalah suatu sirkuit, pernyataan (1) berakibat ke pernyataan (2). (2) (3): Jika ada dua path berbeda P 1, P 2 dari beberapa verteks v ke verteks lain, w, kemudian walk tertutup v ke v diperoleh dengan mengikuti Universitas verteks-verteks Sumatera Utara

5 12 dari P 1 dan kemudian P 2 pada order yang berlawanan akan memuat sebuah cycle, kontradiksi dengan (2). (3) (1): Karena ada suatu path antara dua verteks sebarang di G, pastilah G terhubung. Selanjutnya, G tidak memuat sirkuit. Sebaliknya, itu akan memuat sebuah cycle dan sebuah cycle akan menentukan dua path antara dua verteks sebarang pada graph tersebut. Implikasi-implikasi yang terbentuk adalah (1) (2) (3) (1) memberikan keekuivalenan antara (1), (2), dan (3), (Goodaire dan Parmenter, 1998). Pohon yang terdiri atas satu verteks disebut pohon yang menyusut atau pohon yang mengalami degenerasi atau pohon yang trivial Pohon Perentang (Spanning Tree). Definisi. Suatu edge e E G adalah suatu bridge dari graph G jika G e memiliki komponen terhubung yang lebih banyak dari G, yaitu jika c(g e) > c(g). Definisi. Suatu (spanning tree) dari suatu graph G terhubung adalah suatu subgraph yang merupakan suatu tree dan memuat semua verteks di G (Goodaire dan Parmenter, 1998). Teorema 2.1 Setiap graph terhubung memiliki suatu spanning tree, oleh karena itu suatu spanning graph adalah tree. Bukti: Anggap H G adalah suatu spanning subgraph terhubung minimal, ada suatu spanning subgraph terhubung dari G sedemikian hingga H e tidak terhubung untuk setiap e E H. Subgraph yang demikian diperoleh dari G dengan menghapus nonbridges seperti pada langkah berikut: (a.) Anggap H 0 = G.

6 13 (b.) Untuk i 0 anggap H i+1 = H i e i, dimana e i bukanlah suatu bridge, H i+1 adalah suatu spanning subgraph dari H i dan sekaligus dari G. (c.) H = H k jika hanya bridges yang tetap ada. Berdasarkan pernyataan yang menyatakan bahwa suatu graph terhubung adalah tree jika dan hanya jika semua edges adalah bridges, maka H adalah suatu tree (Harju, 2007). Suatu edge dalam suatu spanning tree disebut cabang (branch) sedangkan edge yang tidak terdapat pada spanning tree tersebut tapi terdapat pada graph semula disebut tali hubung (chord). Graph yang tidak terdapat pada pohon perentang disebut cotree. Pada graph terhubung dengan m buah sisi dan n buah verteks terdapat n 1 buah cabang dan m n+1 buah tali. Himpunan tali hubung dengan verteks yang bersisian dengannya disebut komplemen pohon. Untuk graph terhubung G dengan n buah verteks dan m buah sisi, kita dapat menghitung jumlah cabang dan tali hubungnya (chord) dengan rumus sebagai berikut: jumlah cabang = n 1 jumlah tali hubung (chord) =m n +1 Jumlah cabang pada pohon perentang dari sebuah graph G disebut rank graph G, dan jumlah tali hubung (chord) pada graph G disebut nullity graph G. Dapat dilihat bahwa rank + nullity = jumlah sisi graph G (Goodaire dan Parmenter, 1998) Gabungan Graph (Union) dan Join Graph. Ada banyak cara untuk mengkombinasikan graph-graph hingga menghasilkan suatu graph baru. Berikut akan diberikan beberapa operasi biner yang didefinisikan pada graph, sebelumnya asumsikan G 1 dan G 2 adalah dua graph yang himpunan verteksnya disjoint.

7 14 Gabungan (Union) G = G 1 G 2 memiliki V (G) = V (G 1 ) V (G 2 ) dan E(G) =E(G 1 ) E(G 2 ), jika suatu graph G terdiri dari n 2. Join G = G 1 + G 2 memiliki V (G) = V (G 1 ) V (G 2 ) dan E(G) = E(G 1 ) E(G 2 ) {uv u V (G 1 ) dan v V (G 2 )} (Chartrand dan Lesniak, 1986). 2.2 Digraph Terhubung Suatu digraph dikatakan terhubung jika untuk setiap sebarang dua verteksnya terhubung oleh suatu arc. Dalam tulisan ini yang dibicarakan adalah digraph terhubung kuat mengingat matriks proyeksi populasi adalah suatu matriks nonnegatif dan diasumsikan bahwa matriks proyeksi populasi tersebut irreducible (Adams, 2008). Definisi Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu uv walk dan vu walk. Berikut akan diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph tidak terhubung kuat beserta matriks adjacency-nya. v 1 v 2 v 7 v 3 v 6 v 4.. v 5 (a) Gambar 2.2 : (a) Digraph terhubung kuat v 1 v 2 v 7 v 3 v 6 v 4 v 5 (b) (b) Digraph tidak terhubung kuat A = B =

8 15 A adalah matriks untuk digraph terhubung kuat sedangkan B adalah matriks untuk digraph tidak terhubung kuat. Definisi Matriks A berorder n disebut reducible jika dengan permutasi yang simultan pada barisnya kita memperoleh suatu matriks berbentuk ( ) A1 O A 21 A 2 dimana A 1 dan A 2 adalah matriks bujur sangkar berorder paling tidak 1. Jika A tidak reducible maka A disebut irreducible. Matriks berorder satu adalah matriks irreducible. Teorema 2.2 Diketahui A suatu matriks berorder n. A disebut irreducible jika dan hanya jika digraph D tersebut terhubung kuat. Bukti : Pertama asumsikan bahwa A reducible. Selanjutnya himpunan verteks V dari D dapat dibagi menjadi dua himpunan tak kosong V 1 dan V 2 sedemikian hingga tidak ada arc dari suatu verteks di V 1 ke suatu verteks di V 2. Jika a adalah suatu verteks di V 1 dan b adalah suatu verteks di V 2 tidak ada walk yang menghubungkan dari a ke b. Oleh karena itu D bukanlah suatu digraph terhubung kuat. Sekarang asumsikan bahwa D tidak terhubung kuat. Kemudian ada verteksverteks berbeda a dan b di D dimana tidak ada walk yang menghubungkan dari a ke b. Anggap W 1 terdiri dari b dan semua verteks D yang darinya terdapat walk yang menghubungkan ke b, dan anggap W 2 terdiri dari a dan semua verteks yang menujunya terdapat walk yang menghubungkan dari a. Himpunan W 1 dan W 2 tak kosong dan disjoint. Anggap W 3 adalah himpunan yang setiap verteksnya tidak berada di W 1 maupun di W 2. Secara simultan permutasikan baris-baris A sedemikian hingga baris-baris tersebut berhubungan ke verteks-verteks di W 2

9 16 pertama kali diikuti oleh hubungan lainnya ke verteks-verteks di W 3 : W 2 W 3 W 1 W 2 X 11 X 12 X 13 W 3 X 21 X 22 X 23 W 1 X 31 X 32 X 33 Karena tidak ada walk yang menghubungkan dari a ke b maka tak ada arc dari suatu verteks di W 2 ke suatu verteks di W 1. Juga tak ada arc dari suatu verteks c di W 3 ke suatu verteks di W 1, karena arc yang demikian berimplikasi bahwa c berada di W 1. Oleh karena itu X 13 = O dan X 23 = O, dan A reducible (Brualdy dan Ryser, 1991). 2.3 Digraph Siklus Kehidupan Siklus kehidupan adalah suatu rangkaian aktivitas secara alami yang dialami oleh individu-individu dalam populasi berkaitan dengan perubahan-perubahan tahaptahap dalam kehidupan. Verteks-verteks pada digraph menggambarkan tahaptahap pada kehidupan, garis penghubung (disebut arc) dari verteks j ke verteks i mengindikasikan bahwa suatu individu pada tahap j diwaktu t dapat mengkontribusi individu ke tahap i pada waktu t +1. Dalam suatu siklus kehidupan pasti ditemukan beberapa hal yang memiliki pengaruh terhadap perkembangan suatu populasi. Pengaruh-pengaruh itu antara lain berkenaan dengan masalah kelahiran, kematian, kemampuan bertahan hidup hingga kepunahan. Pengaruh-pengaruh yang telah diuraikan di atas merupakan suatu bentuk bagian dari demografi yang dapat digunakan untuk menghitung kontribusi terpisah dari tipe-tipe sejarah kehidupan yang berbeda dari pertumbuhan populasi. Secara matematis, semua hal di atas dapat digambarkan dalam suatu representasi grafis berupa graph berarah (digraph) dan berbobot, w : V (D) R. Suatu siklus kehidupan merupakan objek yang diskrit, sehingga siklus kehidupan dapat direpresentasikan dalam suatu bentuk digraph yaitu digraph siklus kehidupan sebagaimana yang ditunjukkan pada gambar (2.3) berikut Universitas ini: Sumatera Utara

10 17 S F R Gambar 2.3 : Gambar digraph siklus kehidupan Campanula americana. Ada tiga tahap yang dilewati yaitu S = biji-biji yang dormant, R = pembungaan, F = individu yang sudah berbunga. Digraph siklus kehidupan akan memiliki suatu representasi matriks. Matriksmatriks tersebut selanjutnya akan disebut dengan matriks proyeksi populasi, matriks sensitivitas dan matriks elastisitas. Matriks-matriks ini selanjutnya akan dipartisi hingga akhirnya apabila diubah kembali ke dalam representasi digraph menghasilkan cycle-cycle yang bermakna. 2.4 Matriks Model Populasi Matriks model populasi dapat mengklasifikasikan siklus kehidupan baik menggunakan usia atau tahap-tahap dalam kehidupan yang dilaluinya. Model pengklasifikasian berdasarkan usia menyatakan dinamika populasi dengan membagi variabel usia yang kontinu menjadi stadium-stadium usia yang diskrit, masing-masing dalam rentang yang sama. Model pengklasifikasian berdasarkan tahapan yang dilaluinya biasanya lebih fleksibel, dan memungkinkan analisis untuk pola siklus kehidupan yang lebih kompleks. Tahap-tahap tersebut mungkin menggambarkan status sosial (seperti keturunan dengan kemapanan), tahapan-tahapan yang terus berkembang atau lokasi-lokasi yang renggang (seperti daerah dengan kualitas tinggi dengan daerah kualitas rendah). Transisi-transisi antar tahap-tahap tersebut dikembangkan oleh laju vital yang menggambarkan proses-proses seperti pertumbuhan, fertilitas, kemampuan bertahan hidup bahkan peluang menjadi suatu yang menghasilkan keturunan atau memperoleh suatu daerah dengan kualitas tinggi. Berikut diberikan matriks-matriks yang berkaitan dengan gambar 1.1 yang menggambarkan posisi setiap arc-nya yang merupakan matriks model populasi.

11 Matriks Transisi Matriks Elastisitas Pada model matriks yang didasarkan pada tahap yang dilaluinya (stage based matrix model), ukuran suatu populasi dihitung dari waktu t ke waktu t + 1 dengan mengalikan suatu matriks A dengan suatu vektor n (dalam hal ini n adalah populasi mula-mula) dengan persamaan n(t +1)=A n(t). (2.4) Matriks model populasi adalah suatu tipe matriks transisi untuk proses Markov. Eigenvalue λ pada matriks proyeksi populasi merupakan istilah untuk laju pertumbuhan dalam populasi, yaitu eigenvalue yang diperoleh setelah tahapan-tahapan yang dilalui mencapai kestabilan dimana nilai λ tetap dari satu waktu ke waktu berikutnya setelah sebelumnya dilakukan proses menghitung λ secara berulangulang. Setiap entri pada matriks transisi berkaitan dengan matriks Leslie yang biasanya menggunakan parameter usia untuk mengklasifikasikan individu serta berdasarkan kelamin untuk model demografiknya sedangkan matriks elastisitas biasanya dinyatakan dalam persentasi. Pada analisis siklus kehidupan, matriks elastisitas dapat dianggap sebagai suatu jumlah konservatif yang alurnya melewati digraph siklus kehidupan (bobot pada setiap arc-nya). [ F1 F 2 ] F 3 P P 2 P 3 Matriks Leslie F x = kesuburan spesifik berdasarkan usia pada tahap x

12 19 P x = peluang bertahan hidup spesifik berdasarkan usia pada tahap x Matriks Sensitivitas dan Matriks Elastisitas. Matriks elastisitas merupakan matriks yang tersusun dari elemen-elemen yang menggambarkan sensitivitas proporsional dari λ yang berkaitan dengan elemenelemen pada matriks proyeksi populasi. Matriks transisi menyatakan peluang perpindahan tahap-tahap dalam siklus kehidupan dari satu tahap ke tahap berikutnya atau menyatakan parameter-parameter siklus kehidupan seperti tingkat kemampuan untuk bertahan hidup, laju pertumbuhan dan laju kelahiran individuindividu. Perubahan-perubahan kecil yang terjadi pada elemen-elemen matriks transisi tersebut akan berpengaruh terhadap λ. Untuk mengetahui seberapa jauh perubahan-perubahan itu berpengaruh dilakukan analisis sensitivitas (dalam hal ini matriks diubah ke dalam matriks sensitivitas) dengan persamaan: s ij = v iw j <wv> (2.5) dimana, s ij = entri pada matriks sensitivitas. w = right eigenvector (vektor dimana tahap yang dilalui telah stabil). v = left eigenvector (vektor nilsi reproduktif). v i = elemen ke i dari vektor nilai reproduktif. w j = elemen ke j dari vektor dimana tahap yang dilalui telah stabil. <wv>= vektor produk w dan v. Sensitivitas proporsional disebut sebagai nilai elastisitas. Analisis elastisitas mengestimasi pengaruh dari suatu perubahan proporsional pada laju vital pertumbuhan populasi. Hubungan antara s dan e adalah (Caswell, 2001): dimana, e ij = entri pada matriks elastisitas. e ij = a ij λ s ij. (2.6) a ij = entri pada matriks model populasi.

13 20 Elastisitas total (jumlah elemen-elemen di matriks elastisitas) adalah 1, atau 100% (Sun dan Wang, 2007). Sebagai tambahan, elastisitas diamati pada setiap tahap adalah: n e ij = j=1 n e ji i...n. (2.7) j=1 Dengan perkataan lain, matriks elastisitas memenuhi sifat flow conservation (Sun dan Wang, 2007). Dalam analisis siklus kehidupan, elastisitas dapat dipandang sebagai suatu jumlah konservatif yang mengalir melalui digraph siklus kehidupan. Ketika populasi yang digambarkan oleh digraph siklus kehidupan itu didekomposisi menjadi siklus-siklus yang menggambarkan alur kehidupan yang diikuti oleh organismeorganisme individu yang berbeda, elastisitas total dari setiap siklus kehidupan menggambarkan sensitivitas proporsional dari laju pertumbuhan populasi λ ke alur kehidupan partikular. Dengan perkataan lain, elastisitas dapat digunakan untuk menggambarkan kontribusi relatif dari alur hidup alternatif ke variasi-variasi dalam laju pertumbuhan populasi (Sun dan Wang, 2007). 2.5 Loop Analysis Suatu model demografik terdiri dari tahapan-tahapan dan transisi-transisi antar tahap-tahap tersebut yang menggambarkan nasib suatu individu dalam istilahistilah yang biasa disebut dengan pertumbuhan, kemampuan bertahan hidup, reproduksi dalam suatu interval waktu yang berturut-turut. Tahap-tahap dan transisi-transisi masing-masing digambarkan dalam verteks dan arc pada digraph siklus kehidupan. Suatu demografik digraph siklus kehidupan menyatakan bahwa transisi-transisi adalah peluang suatu individu berpindah secara tak langsung dari satu tahap ke tahap berikutnya (Wardle, 1998). Analisis loop mengkombinasikan antara elemen-elemen matriks dan analisis graph. Loop diturunkan langsung dari struktur atau hubungan-hubungan antar verteks dalam digraph. Suatu interpretasi secara biologi mengenai Universitas loop Sumatera menya- Utara

14 21 takan bahwa loop-loop tersebut menahan arah yang sama sebagai aliran individuindvidu dari satu tahap ke tahap berikutnya melalui siklus kehidupan. Analisis loop merupakan suatu tipe analisis sensitivitas untuk suatu model demografik (Wardle, 1998). Elastisitas atau sensitivitas proporsional (de Kroon et.al, 1986) dihitung dari matriks elemen transisi dan nilai-nilai elastisitas tersebut nantinya akan menjadi bobot pada arc suatu digraph siklus kehidupan. Jumlah elastisitas untuk suatu transisi yang masuk ke suatu verteks sama dengan jumlah elastisitas suatu transisi yang meninggalkan suatu verteks. Kekekalan elastisitas pada suatu verteks ini berimplikasi bahwa elastisitas-elastisitas menggambarkan aliran dalam suatu jumlah yang tetap pada suatu digraph. Akan tetapi, pada kenyataannya individu-individu dalam suatu siklus kehidupan tidak kekal, beberapa dari individu-individu tersebut mungkin mati dan meninggalkan sistem tersebut. Oleh karena itu, karena elastisitas-elastisitas menggambarkan kontribusi elemen-elemen matriks yang terpisah untuk menigkatkan laju pertumbuhan populasi, elastisitas-elastisitas tersebut harus melakukan hal yang demikian sehingga melalui efek-efek individu akhirnya melengkapi siklus kehidupan (Wardle, 1998). Sebagai akibat dari kekekalan elastisitas pada suatu verteks, setiap loop memiliki suatu elastisitas karakteristik yang didefinisikan sebagai elastisitas-elastisitas elemen-elemen transisi yang tunggal ke loop tersebut. Selanjutnya, setiap elemen matriks elastisitas adalah jumlah elastisitas-elastisitas karakteristik yang terdiri dari elemen-elemen tersebut. Terakhir, elastisitas loop adalah jumlah elastisitas-elastisitas karakteristik pada setiap langkah dalam loop (ekuivalen dengan elastisitas karakteristik dikali dengan jumlah langkah dalam loop). Untuk proses ini, elastisitas loop dijumlahkan dan berjumlah 100% (van Groenendael et.al, 1994). Oleh karena itu, elastisitas total dapat didekomposisi menjadi sekumpulan elastisitas-elastisitas loop yang menggambarkan path-path yang diikuti oleh individu-individu pada populasi (Wardle, 1998).

15 22 Metode umum dari analisis loop demografik ditemukan oleh van Groenendael et.al (1994) yang melibatkan empat langkah sebagai berikut: 1. Bentuk suatu digraph siklus kehidupan dan matriks proyeksi populasi. 2. Hitung nilai elastisitas dari matriks berdasarkan persamaan (2.6). 3. Dekomposisi digraph siklus kehidupan menjadi loop-loop yang tak bercabang sedemikian hingga semua transisi termasuk setidaknya satu kali ke beberapa loop (van Groenendael et.al, 1994). Elastisitas karakteristik loop sama dengan elastisitas elemen-elemen yang tunggal ke loop tersebut. 4. Elastisitas loop diperoleh dengan mengalikan elastisitas karakteristiknya dengan jumlah elemen-elemen transisi yang terdapat di loop. Jumlah total elastisitas loop sama dengan 1 (Wardle, 1998) Menentukan Banyaknya Loop. Jumlah loop pada suatu digraph siklus kehidupan ekuivalen dengan nulitas L, L = b n + c b = Jumlah arc pada digraph; n = Jumlah verteks; c = Komponen (suatu subset digraph terhubung yang memuat jumlah maksimal arc). Untuk demografik digraph siklus kehidupan nilai c selalu 1 karena setiap tahap suatu siklus kehidupan dapat dicapai dari setidaknya i tahap lainnya Menentukan Sekumpulan Loop-Loop Independen dalam Suatu Digraph Siklus Kehidupan. Langkah pertama yang dilakukan adalah mengidentifikasi suatu tree dari digraph. Karena ada suatu path tunggal antara sebarang dua verteks pada suatu tree, panambahan suatu chord (edge pada cotree) ke tree menghasilkan suatu loop yang termuat dalam digraph yang dihasilkan. Oleh karena itu, suatu loop adalah hasil dari tree ditambah dengan sebuah chord dari cotree yang bersesuaian. Selanjutnya, setiap chord pada cotree mendefinisikan sebuah loop Universitas dengansumatera suatu cara Utara

16 23 yang tunggal. Jumlah loop akan berhubungan dengan jumlah chord pada cotree (Wardle, 1998) Menghitung Elastisitas Loop. Nilai elastisitas adalah bobot-bobot di arc dalam digraph, dan elastisitas pada chord mendefinisikan elastisitas karakteristik dari loop. Karena sifat kekekalan elastisitas pada suatu verteks menyatakan bahwa peluang yang memasuki suatu verteks sama dengan elastisitas yang meninggalkan verteks tersebut. Oleh karena itu, elastisitas karakteristik juga mendefinisikan elastisitas semua arc dalam loop (Wardle, 1998). 2.6 Dekomposisi Loop Anggap A adalah suatu matriks proyeksi populasi berorder n. Untuk menghindari terjadinya kasus trivial atau kasus terdegenerasi, asumsikan n 2. Matriks tersebut merupakan matriks nonnegatif dan akan diasumsikan juga bahwa matriks tersebut tidak tereduksi, meskipun tidak selalu primitif. Laju pertumbuhan populasi berhingga λ adalah eigenvalue real dominan dari A. Eigenvalue real dominan adalah nilai eigen λ 1 yang memenuhi λ 1 > λ i untuk i =2, 3,.., n. Suatu benda yang berhubungan dengan A adalah suatu digraph siklus kehidupan berorder n, yang setiap verteksnya berhubungan dengan kelas-kelas usia atau tahapan dalam suatu kehidupan populasi dan arc nya berhubungan dengan transisi dari satu kelas ke kelas berikutnya. Anggap 1, 2, 3,..., n sebagai verteks-verteks di D, ada suatu arc (i, j) yang berarah dari verteks i ke verteks j jika dan hanya jika a j,i > 0. Anggap E(D) sebagai himpunan arc dengan m = E(D). Karena A tak tereduksi, maka A terhubung kuat (Adams, 2008). Suatu loop di D dengan panjang k adalah suatu barisan tak kosong (i 1,i 2 ), (i 2,i 3 ),..., (i k,i l ) dari arc-arc dimana verteks-verteks i 1,i 2,...i k berbeda. Anggap L(D) ={L 1,L 2,..., L l } sebagai himpunan semua loop di D dengan l = L(D) dan anggap l i sebagai panjang dari loop L i dengan i =1, 2,..., l. Definisikan suatu dekomposisi loop di D sebagai suatu fungsi g : L(D) R yang Universitas memberi Sumatera tanda ke Utara

17 24 setiap loop L k suatu bilangan nonnegatif g(l k ) yang memenuhi e j,i = g(l k ) L k (i,j) untuk setiap (i, j) E(D). Bilangan g(l k ) adalah karakteristik elastisitas dari L k yaitu l k g(l k ). Oleh karena itu elastisitas karakteristik tersebut bisa saja bernilai 0 (Adams, 2008).