5. Representasi Matrix

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "5. Representasi Matrix"

Transkripsi

1 5. Representasi Matrix Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Matrix Ketetanggaan 2. Walk Pada Graph dan Digraph 3. Matrix Insidensi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK. Kita telah mempelajari cara merepresentasikan sebuah graph atau digraph sebagai sebuah diagram yang memuat sejumlah vertex dan dihubungkan dengan edge atau arc. Representasi permasalahan dengan diagram ini sangat berguna untuk banyak situasi, terutama jika kita ingin melihat struktur graph atau digraph secara keseluruhan. Namun jika kita memiliki graph atau digraph yang memiliki ukuran besar dan kompleks, kita membutuhkan cara representasi graph atau digraph dalam bentuk lain yang lebih sesuai. Salah satu cara representasi yang mungkin dilakukan adalah dengan membuat sebuah tabel yang mengindikasikan pasangan vertex yang bertetangga, atau vertex mana yang insiden dengan suatu edge/arc. Pada metode ini kita menyajikan graph atau digraph dengan array segiempat yang disebut matrix. Pada bagian ini, kita akan membahas tentang dua matrix yang dapat merepresentasikan graph atau digraph yaitu matrix ketetanggaan dan matrix insidensi. Matrix Ketetanggaan (Adjacency Matrices) Perhatikan contoh pada Gambar 5.1. Kita memiliki graph dengan empat vertex dan kita akan merepresentasikannya dengan sebuah matrix dengan empat baris dan empat kolom. Gambar 5.1 Contoh representasi matrix ketetanggan untuk graph Angka yang muncul dalam matrix pada Gambar 5.1 mengacu pada jumlah edge yang menghubungkan vertex yang berkoresponden dengan graph sebagai berikut. 1

2 Vertex 1 dan 2 dihubungkan dengan 1 edge, sehingga angka 1 muncul pada baris 1 kolom 2, dan pada baris 2 kolom 1. Vertex 2 dan 4 dihubungkan dengan 2 edge, sehingga angka 2 muncul pada baris 2 kolom 4, dan pada baris 4 kolom 2. Vertex 1 dan 3 dihubungkan dengan 0 edge, sehingga angka 0 muncul pada baris 1 kolom 3, dan pada baris 3 kolom 1 Vertex 2 dihubungkan dengan dirinya sendiri dengan 1 edge, sehingga angka 1 muncul pada baris 2 kolom 2. Definisi 5.1 Misalkan G adalah sebuah graph dengan n vertex yang dilabeli 1,2,3,...,n. Matix ketetanggaan dari G atau A(G) adalah matrix nxn di mana entri pada baris i kolom j adalah jumlah edge yang menghubungkan vertex i dan vertex j. Latihan Tulislah matrix ketetanggaan dari graph berikut. 2. Gambar graph yang direpresentasikan oleh matrix ketetanggaan berikut. Matrix ketetanggaan dari sebuah graph adalah matrix simetris pada diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah). Untuk graph tanpa loop, diagonal utama matrix semua berisi 0. Jumlah dari semua elemen pada baris atau kolom tertentu pada matrix tersebut menyatakan derajat vertex dari baris dan kolom yang mewakilinya. 2

3 Representasi matrix untuk digraph, analog dengan representasi matrix untuk graph. Sebagai contoh perhatikan Gambar 5.2. Kita memiliki digraph dengan empat vertex yang akan direpresentasikan oleh matrix dengan empat baris dan empat kolom. Gambar 5.2 Contoh representasi matrix ketetanggan untuk digraph Angka yang muncul dalam matrix mengacu pada jumlah arc yang menghubungkan vertex yang berkoresponden dengan digraph sebagai berikut. Vertex 1 ke 2 dihubungkan dengan 1 arc, sehingga angka 1 muncul pada baris 1 kolom 2. Vertex 2 ke 4 dihubungkan dengan 2 arc, sehingga angka 2 muncul pada baris 2 kolom 4. Vertex 1 ke 4 dihubungkan dengan 1 arc, sehingga angka 1 muncul pada baris 1 kolom 4. Vertex 4 ke 1 dihubungkan dengan 0 arc, sehingga angka 0 muncul pada baris 4 kolom 1. Vertex 2 dihubungkan dengan dirinya sendiri dengan 1 arc, sehingga angka 1 muncul pada baris 2 kolom 2. Definisi 5.2 Misalkan D adalah sebuah digraph dengan n vertex yang dilabeli 1,2,3,...,n. Matix ketetanggaan dari D atau A(D) adalah matrix nxn di mana entri pada baris i kolom j adalah jumlah arc dari vertex i ke vertex j. Latihan Tulislah matrix ketetanggaan dari digraph berikut. 3

4 2. Gambar digraph yang direpresentasikan oleh matrix ketetanggaan berikut. Matrix ketetanggaan dari digraph biasanya tidak simetris pada diagonal utamanya. Jumlah entri pada sebuah baris merupakan derajat keluar dari vertex yang mewakilinya, dan jumlah entri pada sebuah kolom menunjukan derajat masuk pada vertex yang mewakilinya. Walk dalam Graph dan Digraph Kita dapat membangun walk yang ada dalam graph atau digraph dengan menggunakan matrix ketetanggan. Pada contoh berikut, kita akan fokuskan pembahasan untuk digraph. Cara dan hasil yang sama dapat diturunkan untuk walk dalam graph. Gambar 5.3 Contoh representasi matrix ketetanggan untuk digraph Pada Gambar 5.3, ditunjukan tabel yang berisi jumlah walk dengan panjang 1 antara setiap pasangan vertex pada digraph. Perhatikan contoh berikut. Jumlah walk dari a ke c dengan panjang 1 adalah 0, sehingga angka 0 muncul pada baris 1 kolom 3. Jumlah walk dari b ke a dengan panjang 1 adalah 1, sehingga angka 1 muncul pada baris 2 kolom 1. Jumlah walk dari d ke b dengan panjang 1 adalah 2, sehingga angka 2 muncul pada baris 4 kolom 2. Perhatikan bahwa suatu walk dengan panjang 1 merupakan sebuah arc pada digraph, sehingga tabel tersebut tidak lain sama dengan matrix ketetanggaan dari digraph tersebut. Selanjutnya, mari kita perhatikan walk dengan panjang 2 dan 3. Sebagai contoh, terdapat dua walk yang berbeda dengan panjang 2 dari a ke b, karena ada sebuah arc dari a ke d dan ada dua buah arc dari d ke b. Begitu juga terdapat dua walk berbeda dengan panjang 3 dari d ke d, karena ada dua arc dari d ke b, dan ada satu walk dengan panjang 2 dari b ke d, 4

5 Latihan Lengkapi tabel berikut untuk jumlah walk dengan panjang 2 dan 3 pada digraph berikut. 2. Temukan matrix A 2 dan A 3, di mana A adalah matrix ketetanggaan dari digraph tersebut. 3. Simpulkan hasil yang kamu dapatkan dari bagian 1 dan 2. Teorema 5.1 Misalkan D adalah sebuah digraph dengan n vertex yang dilabeli 1,2,3,...,n. Misalkan A adalah matrix ketetanggaan dari graph D dan k adalah bilangan integer positif. Jumlah walk dengan panjang k dari vertex i ke vertex j sama dengan entri pada baris i kolom j pada matrix A k (pangkat ke-k matrix A) Bukti Bukti teorema 5.1 dilakukan dengan induksi matematika. Langkah 1 Pernyataan untuk k=1 adalah benar, karena jumlah walk dengan panjang 1 dari vertex i ke vertex j adalah jumlah arc dari vertex i ke vertex j, dan ini sama dengan a ij yang merupakan entri pada baris i dan kolom j pada matrix ketetanggaan A. Langkah 2 Kita asumsikan bahwa k>1, dan pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan integer yang lebih kecil dari k. Kita ingin membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk semua bilangan integer k. Misalkan terdapat sebuah walk dengan panjang k dari vertex i ke vertex j. Walk ini memiliki walk dengan panjang k-1 dari vertex i ke suatu vertex r yang bertetangga dengan vertex j, diikuti dengan suatu walk dengan panjang 1 dari vertex r ke vertex j seperti ditunjukan pada Gambar5.4. Gambar 5.4 Contoh ilustrasi walk dengan panjang k 5

6 Jumlah walk dengan panjang k-1 dari vertex i ke vertex r adalah entri dari baris i kolom r dari matrik A k-1, (dinotasikan dengan a k 1 ir ). Karena jumlah walk dengan panjang 1 dari vertex r ke vertex j adalah a rj, maka, jumlah walk dengan panjang k dari vertex i ke vertex j melalui vertex r adalah a k 1 ir a rj. Sekarang, jumlah total walk dengan panjang k dari vertex i ke vertex j sama dengan, jumlah walk melalui vertex 1 + jumlah walk melalui vertex 2 +. jumlah walk melalui vertex r + + jumlah walk melalui vertex n. atau, a k 1 i1 a 1j + a k 1 i2 a 2j + + a k 1 ir a rj + + a k 1 in a nj Dengan aturan perkalian matrix, kita tahu bahwa rumus ini merupakan entri pada baris i dan kolom j pada matrix A k-1 A = A k. Pernyataan ini adalah benar untuk semua bilangan integer positif lebih kecil dari k, maka ia pun benar untuk bilangan integer k. Dengan prinsip induksi matematika, pernyataan pada teorema 5.1 tersebut adalah benar untuk setiap bilangan integer positif k. Latihan 5.4 Tuliskan matrix ketetanggaan A untuk digraph berikut, lalu hitunglah A 2, A 3, A 4! Temukan pula jumlah walk dengan panjang 1,2,3 dan 4! Apakah ada walk dengan panjang 1, 2, 3 atau 4 dari d ke b? Matrix ketetanggaan dapat pula dipakai sebagai cara untuk menentukan apakah sebuah digraph merupakan digraph yang terhubung kuat atau bukan. Kita mengetahui bahwa suatu digraph terhubung kuat jika ada path dari setiap pasang vertexnya. Sebagai contoh pada digraph sebelumnya kita memperoleh walk dengan panjang 1,2 dan 3. Kita perhatikan bahwa walk (termasuk path) dengan panjang 1, 2 dan 3 di antara dua vertex yang berbeda diberikan oleh entri matrix pada elemen non-diagonalnya. Gambar 5.5 Matrix ketetanggaan A, A 2 dan A 3 6

7 Dengan memperhatikan matrix tersebut, kita mengetahui bahwa setiap pasangan vertex dihubungkan dengan setidaknya sebuah path dengan panjang 1,2, atau 3, sehingga digraph tersebut terhubung kuat. Kita dapat mengecek ini lebih mudah dengan menyajikan sebuah matrix B yang diperoleh dengan cara menjumlahkan tiga matrix tersebut. Gambar 5.6 Matrix B penjumlahan dari A, A 2 dan A 3 Misalnya kita menotasikan b ij dengan entri untuk baris i kolom j pada matrix B, maka setiap entri b ij adalah jumlah total walk dengan panjang 1, 2 dan 3 dari vertex i ke vertex j. Semua entri non diagonalnya adalah positif, artinya setiap pasangan vertex yang berbeda dihubungkan dengan path, sehingga digraph tersebut adalah digraph yang terhubung kuat. Teorema 5.2 Misalkan D adalah digraph dengan n vertex yang dilabeli 1,2,3,.., n, misalkan A adalah matrix ketetanggaan dari matrix D, dan B adalah sebuah matrix yang didefinisikan sebagi berikut. B= A+A 2 +A A n-1 Maka D terhubung kuat jika dan hanya jika setiap entri non diagonal pada matrix B adalah positif, atau b ij >0, untuk i j. Bukti Ada dua pernyataan yang harus dibuktikan. a. Jika setiap entri non-diagonal pada B positif, maka D terhubung kuat. Misalkan D adalah digraph yang memenuhi kondisi tersebut, dan misalkan setiap entri non diagonal di B adalah positif, maka b ij >0 untuk i j, maka a k ij > 0 untuk suatu k n-1. Maka ada suatu walk dengan panjang paling besar n-1 dari vertex i ke vertex j, sehingga digraph D adalah digraph yang terhubung kuat. b. Jika digraph D terhubung kuat, maka setiap entri non-diagonal pada B adalah positif. Misalkan D adalah digraph yang terhubung kuat yang memenuhi kondisi tersebut, maka ada sebuah path dari suatu vertex ke vertex lain. Karena D memiliki n vertex, maka sebuah path memiliki panjang paling besar n-1. Oleh karena itu, a k ij > 0 untuk setidaknya satu nilai dari k n-1, dan karena itu entri pada baris i kolom j pada B adalah positif, maka b ij >0 untuk i j. 7

8 Latihan 5.5 Tentukan apakah digraph dengan matrix ketetanggaan berikut terhubung kuat. Matrix Insidensi Pada bagian ini kita akan membatasi pembahasan untuk graph dan digraph yang tidak memiliki loop. Jika matrix ketetanggaan pada graph dan digraph melibatkan ketetanggaan antar vertex, maka pada matrix insidensi kita melibatkan insidensi vertex dengan edge atau arc. Gambar 5.7 Representasi matrix insidensi untuk graph Perhatikan contoh pada Gambar 5.7. Kita memiliki graph dengan empat buah vertex yang berlabel dan enam edge yang berlabel. Perhatikan matrix insidensi yang terbentuk. Kita memiliki empat buah baris dan enam buah kolom. Setiap angka yang muncul pada matrix tersebut adalah bilangan 0 atau 1, tergantung pada vertex dan edge yang diwakilinya apakah insiden satu sama lain atau tidak. Sebagai contoh, Vertex (1) insiden dengan edge 4 sehingga angka 1 muncul pada baris ke 1 kolom 4. Vertex (2) tidak insiden dengan edge 4 sehingga angka 0 muncul pada baris ke 2 kolom 4. Definisi 5.3 Misalkan G adalah graph tanpa loop dengan n vertex yang dilabeli (1), (2),..., (n) dan m edge yang dilabeli 1,2,3,..,m. Matrix insidensi dari G atau I(G) adalah matrix berukuran nxm dimana entri pada baris i kolom j adalah sebagai berikut. 1, jika vertex i insiden dengan edge j { 0, selainnya 8

9 Latihan Tulislah matrix insidensi pada masing-masing graph berikut, 2. Gambarkan graph yang direpresentasikan oleh matrik insidensi berikut. Pada matrix insidensi sebuah graph tanpa loop, setiap kolom mengandung tepat dua buah angka 1, yang menggambarkan bahwa suatu edge menghubungkan tepat dua buah vertex. Jumlah bilangan pada sebuah baris sama dengan derajat vertex yang diwakilinya. Jika dalam matrix ketetanggaan sebuah digraph melibatkan ketetanggaan dua buah vertex, maka dalam matrix insidensi sebuah digraph, kita melibatkan insidensi vertex dengan arc. Pada matrix insidensi digraph kita harus memperhatikan apakah sebuah arc insiden dari, insiden ke atau tidak insiden dengan sebuah vertex. Gambar 5.8 Representasi matrix insidensi untuk digraph Perhatikan contoh pada Gambar 5.8. Pada digraph tersebut kita memiliki sebuah digraph dengan empat vertex berlabel dan enam arc berlabel. Pada matrix insidensi yang dihasilkan kita mempunyai sebuah matrix yang memiliki empat baris dan enam kolom. 9

10 Setiap angka yang muncul pada matrix adalah 1, -1 atau 0 tergantung pada apakah arc yang berkoresponden insiden ke, insiden dari atau tidak insiden dengan vertex tersebut. Perhatikan contoh sebagai berikut. Arc 4 insiden dari vertex (1), sehingga angka 1 muncul pada baris ke 1 kolom ke 4. Arc 5 insiden ke vertex (4), sehingga angka -1 muncul pada baris ke 4 kolom ke 5. Arc 4 tidak insiden dari vertex (2), sehingga angka 0 muncul pada baris ke 2 kolom ke 4. Definisi 5.4 Misalkan D adalah digraph tanpa loop dengan n vertex yang dilabeli (1), (2),..., (n) dan m arc yang dilabeli 1,2,3,..,m. Matrix insidensi dari D atau I(D) adalah matrix berukuran nxm di mana entri pada baris i kolom j adalah sebagai berikut. 1, jika arc j insiden dari vertex i { 1, jika arc j insiden ke vertex i 0, selainnya Latihan Tulislah matrix insidensi pada masing-masing digraph berikut. 2. Gambarkan digraph yang direpresentasikan oleh matrik insidensi berikut. Dalam matrix insidensi digraph tanpa loop, setiap kolom memiliki tepat sebuah nilai 1 dan sebuah nilai -1, yang menggambarkan bahwa sebuah arc tersebut insiden dari sebuah vertex ke vertex lain. Jumlah angka 1 pada setiap baris menggambarkan derajat keluar dari vertex yang berkoresondensi dan jumlah angka -1 pada setiap baris menggambarkan derajat masuk dari vertex tersebut. 10

11 Studi Kasus Interval Graph Interval graph adalah graph yang menggambarkan situasi yang melibatkan penyusunan suatu data dengan susunan kronologi. Pada graph ini vertex berkoresponden dengan objek yang sedang disusun, dan edge berkoresponden dengan pasangan vertex yang bertumpang tindih dengan cara tertentu. Arkeologi Pada akhir abad ke-19, para arkeolog tertarik terhadap artefak yang ditemukan pada beberapa kuburan di Mesir. Untuk menentukan usia artefak tersebut, mereka berasumsi bahwa jika dua artefak berbeda ditemukan bersama-sama dalam satu kuburan, maka periode waktu keduanya pasti bertumpang tindih. Suatu pendekatan yang menjanjikan untuk masalah ini adalah dengan merepresentasikan data ini dalam graph, di mana vertex mewakili artefak dan edge mewakili pasangan artefak yang muncul bersama-sama dalam satu kuburan. Misalkan kita memiliki enam buah artefak, dan kondisi apakah kedua artefak tersebut muncul dalam satu kuburan disajikan dalam Gambar 5.9. Pada Gambar tersebut ditunjukan bahwa kita dapat membuat matrix ketetanggaan dari situasi yang diberikan. Jika dua buah artefak muncul dalam kuburan yang sama maka kita beri nilai 1 jika tidak kita beri nilai 0. Dengan matrix ketetanggaan tersebut kita dapat membuat graphnya. Gambar 5.9 Contoh representasi matrix ketetanggaan dalam arkeologi Untuk merepresentasikan graph tersebut ke dalam bentuk kronologis, kita membangun suatu himpunan interval dengan sebuah garis yang berkoresponden dengan periode waktu munculnya artefak tersebut. Artefak diwakili dengan suatu interval dan dan pasangan artefak yang muncul bersama dalam sebuah kuburan diwakili dengan interval yang overlapping (saling bertumpang tindih) seperti ditunjukan pada Gambar Gambar 5.10 Contoh graph interval dalam arkeologi 11

12 Pada Gambar 5.10 ditunjukan bahwa vertex yang mewakili artefak a dan b bertetangga, sehingga interval keduanya bertumpang tindih. Vertex yang mewakili artefak a dan f tidak bertetangga, sehingga intervalnya tidak tumpeng tindih. Graph yang memberikan suatu gambaran interval seperti ini disebut graph interval. Latihan 5.8 Gambarlah suatu graph dan interval graph yang muncul dengan himpunan interval berikut. (1,2), (3,4), (5,6), (7,8), (1,6), (2,7), (3,8). Genetika Untuk beberapa waktu, genetika menganggap kromosom sebagai sebuah susunan linier dari suatu gen. Suatu pertanyaan muncul dalam bidang genetika yaitu apakah struktur yang benar dalam gen disusun dalam sebuah susunan yang linier. Masalah ini disebut sebagai Benzer s problem. Sayangnya struktur ini terlalu detail untuk diteliti secara langsung. Oleh karena itu untuk mengetahuinya, dipelajari perubahan pada struktur gen secara keseluruhan yang dikenal sebagai mutasi. Dalam menganalisa struktur genetik suatu bakteri yang disebut phage T4, Seymour Benzer memperlihatkan suatu mutasi yang dihasilkan saat suatu bagian dari sebuah gen hilang. Dia mempelajari mutasi di mana segmen yang hilang bertumpang tindih, dan menyajikan hasilnya dalam bentuk matrix overlap yang ditunjukan oleh Gambar Matrix berukuran 19x19 pada Gambar 5.11 adalah matrix ketetanggaan, di mana vertex mewakili mutasi dan edge mewakili pasangan mutasi dengan segmen hilang yang bertumpang tindih. Pada Gambar tersebut juga ditunjukan graph interval yang muncul dari matrix ketetangaan tersebut. Gambar 5.11 Contoh graph interval dalam genetika 12

13 Rantai Markov Rantai Markov telah dipakai dalam berbagai bidang misalnya dalam genetika, statistika, ilmu komputer dan sosiologi. Berikut diberikan contoh penggunaan rantai Markov dengan masalah seorang pemabuk yang berada di antara dua pub. Setiap menit dia memiliki satu dari tiga perilaku berikut. 1. Dia bergeser 10 meter ke pub pertama dengan peluang Dia bergeser 10 meter ke pub kedua dengan peluang Dia diam dimana dia berada dengan peluang 1 6. Prosedur seperti ini disebut sebagai suatu walk acak satu dimensi. Kita mengasumsikan bahwa dua pub tersebut dalam kondisi melenakan (menyerap), dalam arti jika sang pemabuk sampai di sana, maka dia akan tetap disana. Permasalahan tersebut ditunjukan pada Gambar Gambar 5.12 Contoh masalah rantai Markov Misalkan jarak antara dua pub adalah lima puluh meter, kita menotasikan E 1, E 2,..,E 6 sebagai posisi di mana sang pemabuk dapat berhenti. Posisi pertama E 4 dapat dijelaskan dengan vektor x = [0,0,0,1,0,0]. Peluang posisi pemabuk setelah satu menit diberikan oleh vektor [0,0, 1 2, 1 6, 1 3 ] Peluang posisi pemabuk setelah dua menit diberikan oleh vektor [0, 1 4, 1 6, 13 36, 1 9, 1 9 ]. Sebagai contoh peluang sang pemabuk berada di posisi E 4 setelah dua menit dapat dihitung sebagai berikut ( ) + ( ) + ( ) = Untuk menyajikan masalah posisi setelah k menit, kita dapat menyajikannya dengan sebuah matrix transisi. Missal p ij adalah peluang bahwa dia bergerak dari E i ke E j dalam satu menit. Peluang p ij disebut peluang transisi, dan matrix P berukuran yang 6x6 dimana entri pada baris i kolom j adalah p ij dikenal sebagai matrix transisi. Secara umum, sebuah matrix transisi adalah matrix segiempat yang setiap barisnya memuat bilangan tidak negatif yang disebut probabilitas transisi dengan jumlah 1. Peluang posisi setelah satu menit pada permasalahan di atas ditunjukan pada gambar Setelah k menit peluang tersebut ditunjukan oleh vector xp k. Bentuk ini adalah sebuah rantai Markov yang memuat matrix transisi P berukuran nxn, dan vektor barix x berukuran 1xn. Komponen ke-i dari xp k merepresentasikan peluang bahwa sang pemabuk diposisi E i setelah k menit. 13

14 Gambar 5.11 Contoh sebuah rantai Markov Pada masalah ini, jita berkonsentrasi bagaimana kita bisa beralih dari suatu status ke status lain, dan berapa lama waktu untuk mencapainya. Sebagai contoh, pada permasalah di atas, sang pemabuk dapat bergerak dari E 4 ke E 1 dalam tiga menit dan dari E 4 ke E 6 dalam dua menit. Namun sang pemabuk tidak akan bisa bergerak dari posisi E 1 ke E 4 karena asumsi kita bahwa kedua pub bersifat menyerap. Pada masalah ini, perhatian utama kita adalah pada probabilitas p ij, saat ia tidak bernilai 0. Kita dapat merepresentasikan situasi ini ke dalam digraph, di mana vertex mewakili status dan arc menunjukan ke mana kita dapat bergerak dari satu status ke status yang lain dalam satu menit. Matrix ketetanggaan dari masalah rantai Markov diperoleh dengan mengganti semua nilai tidak nol dari entri dalam matrix transisi P dengan angka 1. Jika setiap status E i direpresentasikan oleh vertex v i, maka kita mendapat digraph yang berasosiasi dengan matrix transisinya. Matrix ketetanggaan dan digraph yang diperoleh untuk masalah tersebut ditunjukan pada Gambar Gambar 5.12 Contoh representasi digraph untuk rantai Markov Pada masalah ini, kita dapat bergerak dari status E i ke ststus E j dalam sebuah rantai Markov jika dan hanya jika terdapat sebuah path dari v i ke v j dalam digraph yang berasosiasi dengannya. Waktu minimal yang dibutuhkan untuk melakukannya adalah panjang path terpendek yang ada. Sebuah rantai Markov di mana kita dapat bergerak dari satu status ke status lainnya disebut rantai Markov irreducible (tidak tereduksi). Rantai Markov irreducible jika hanya jika digraph yang berasosiasi dengannya terhubung kuat. Rantai Markov yang dicontohkan di atas tidak irreducible. Sebagai contoh, tidak ada path dari v 1 ke vertex lainnya. Latihan Misalkan dalam masalah pemabuk di atas, pub 1 menolaknya, segera setelah ia sampai kesana. Tulislah matrix transisi yang dihasilkan dan digraph yang berasosiasi dengannya. Tentukan apakah rantai Markov yang dihasilkan irreducible. 2. Bagaimana jawaban pada pertanyaan bagian 1, jika kedua pub menolak sang pemabuk? 14

9. Algoritma Path. Oleh : Ade Nurhopipah

9. Algoritma Path. Oleh : Ade Nurhopipah 9. Algoritma Path Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Algoritma Fleury 2. Algoritma Shortest Path 3. Studi Kasus Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications. Springer: UK.

Lebih terperinci

4. Digraph. Oleh : Ade Nurhopipah

4. Digraph. Oleh : Ade Nurhopipah 4. Digraph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Digraph dan Subdigraph 2. Derajat Titik Pada Digraph 3. Path dan Cycle Pada Digraph 4. Digraph Euler dan Digraph Hamilton Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson,

Lebih terperinci

7. Counting Trees. Oleh : Ade Nurhopipah. Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK.

7. Counting Trees. Oleh : Ade Nurhopipah. Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J Graph and Applications. Springer: UK. 7. Counting Trees Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Menghitung Labelled Tree 2. Menghitung Binary Tree 3. Menghitung Chemical Tree Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.

Lebih terperinci

12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex

12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex 12. Pewarnaan dan Dekomposisi Vertex Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Pewarnaan Vertex 2. Algoritma Pewarnaan Vertex 3. Vertex Dekomposisi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph

Lebih terperinci

2. Terminologi Graph

2. Terminologi Graph 2. Terminologi Graph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph dan Subgraph 2. Derajat Titik 3. Path dan Cycle 4. Graph Regular dan Graph Bipartit Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph

Lebih terperinci

1. Pengantar Teori Graph

1. Pengantar Teori Graph 1. Pengantar Teori Graph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph, Digraph dan Network 2. Klasifikasi Masalah 3. Pencarian Solusi Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.

Lebih terperinci

3. Graph Euler dan Graph Hamilton

3. Graph Euler dan Graph Hamilton 3. Graph Euler dan Graph Hamilton Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Masalah Exploring dan Travelling 2. Graph Euler 3. Graph Hamilton Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications.

Lebih terperinci

8. Algoritma Greedy. Oleh : Ade Nurhopipah

8. Algoritma Greedy. Oleh : Ade Nurhopipah 8. Algoritma Greedy Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Minimum Connector Problem 2. Travelling Salesman Problem Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications. Springer: UK.

Lebih terperinci

10. Path dan Konektivitas

10. Path dan Konektivitas 10. Path dan Konektivitas Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph dan Digraph Terhubung 2. Teorema Menger 3. Analog Teorema Manger 4. Studi Kasus Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004.

Lebih terperinci

BAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf

BAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf

Lebih terperinci

BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF

BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF Pada bagian ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan

II. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan 4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan

Lebih terperinci

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,

Lebih terperinci

BAB 2 DIGRAPH. Representasi dari sebuah digraph D dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 2.1. Representasi dari digraph dengan 5 buah verteks.

BAB 2 DIGRAPH. Representasi dari sebuah digraph D dapat dilihat pada contoh berikut. Contoh 2.1. Representasi dari digraph dengan 5 buah verteks. BAB 2 DIGRAPH Pada bab ini akan dijelaskan teori-teori dasar tentang digraph yang meliputi definisi dua cycle, primitifitas dari digraph, eksponen, dan lokal eksponen. Dengan demikian, akan mempermudah

Lebih terperinci

11. Planaritas. Oleh : Ade Nurhopipah. Gambar 11.1 Masalah Utilitas

11. Planaritas. Oleh : Ade Nurhopipah. Gambar 11.1 Masalah Utilitas 11. Planaritas Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph Planar 2. Rumus Euler 3. Metode Cycle untuk Test Planaritas 4. Teorema Kuratowski 5. Dualitas Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004.

Lebih terperinci

BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF

BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitifitas,

Lebih terperinci

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan

Lebih terperinci

BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang

BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang dilakukan. 2.1. Konsep Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu:

BAB 2 LANDASAN TEORI. Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu: BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pembagian Ilmu Statistik Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu: 1. Statistik Parametrik Statistik parametrik adalah ilmu statistik yang digunakan untuk

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf

Lebih terperinci

= himpunan tidak-kosong dan berhingga dari simpul-simpul (vertices) = himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul

= himpunan tidak-kosong dan berhingga dari simpul-simpul (vertices) = himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul Struktur Data Graf 1. PENDAHULUAN Dalam bidang matematika dan ilmu komputer, teori graf mempelajari tentang graf yaitu struktur yang menggambarkan relasi antar objek dari sebuah koleksi objek. Definisi

Lebih terperinci

VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT

VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang

Lebih terperinci

DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR GAMBAR BAB 1. PENDAHULUAN 1

DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR GAMBAR BAB 1. PENDAHULUAN 1 DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv v vi viii BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang Penelitian 1 1.2. Perumusan Masalah 3 1.3.

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graph Sebelum sampai pada pendefenisian masalah lintasan terpendek, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan

Lebih terperinci

2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D.

2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D. BAB 2 DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF Pada Bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan

Lebih terperinci

Representasi Graph dan Beberapa Graph Khusus

Representasi Graph dan Beberapa Graph Khusus Modul 2 Representasi Graph dan Beberapa Graph Khusus Prof. Dr. Didi Suryadi, M.Ed. Dr. Nanang Priatna, M.Pd. W PENDAHULUAN alaupun representasi graph secara piktorial merupakan hal yang sangat menarik

Lebih terperinci

SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK

SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK Faktor Exacta 10 (2): 154-161, 2017 SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK NONI SELVIA noni.selvia@gmail.com Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik,Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian

BAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci

Lebih terperinci

Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E

Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan

Lebih terperinci

Pertemuan 12. Teori Graf

Pertemuan 12. Teori Graf Pertemuan 2 Teori Graf Derajat Definisi Misalkan adalah titik dalam suatu Graf G. Derajat titik (simbol d()) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat

Lebih terperinci

9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES

9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota

Lebih terperinci

Part II SPL Homogen Matriks

Part II SPL Homogen Matriks Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a

Lebih terperinci

COURSE NOTE : Graph Theory. By : Syaiful Hamzah Nasution

COURSE NOTE : Graph Theory. By : Syaiful Hamzah Nasution COURSE NOTE : Graph Theory. By : Syaiful Hamzah Nasution Representasi Matriks untuk Graph. Defini Matriks Keterhubungan Misalkan G adalah graph dengan label titik 1, 2, 3,..., n, Matriks keterhubungan

Lebih terperinci

Dasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013

Dasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN 18 BAB III METODE PENELITIAN Pada bab ini akan dikemukakan metode-metode yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Metode-metode pada bab ini yaitu metode Value at Risk dengan pendekatan distribusi normal

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan

II. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya

Lebih terperinci

Struktur dan Organisasi Data 2 G R A P H

Struktur dan Organisasi Data 2 G R A P H G R A P H Graf adalah : Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik) Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk

Lebih terperinci

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -

Lebih terperinci

Pertemuan 11 GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH

Pertemuan 11 GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH Pertemuan 11 GRAPH, MATRIK PENYAJIAN GRAPH GRAPH Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan

Lebih terperinci

DEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).

DEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Peluang Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak.

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 4 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Kemacetan Kemacetan adalah situasi atau keadaan tersendatnya atau bahkan terhentinya lalu lintas yang disebabkan oleh banyaknya jumlah kendaraan melebihi kapasitas

Lebih terperinci

MA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun

MA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi

Lebih terperinci

MATRIKS Nuryanto, ST., MT.

MATRIKS Nuryanto, ST., MT. MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Terminologi graf Tereminologi termasuk istilah yang berkaitan dengan graf. Di bawah ini akan dijelaskan beberapa definisi yang sering dipakai terminologi. 2.1.1 Graf Definisi

Lebih terperinci

KARAKTERISASI ALJABAR PADA GRAF BIPARTIT. Soleha, Dian W. Setyawati Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

KARAKTERISASI ALJABAR PADA GRAF BIPARTIT. Soleha, Dian W. Setyawati Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya KARAKTERISASI ALJABAR PADA GRAF BIPARTIT Soleha, Dian W. Setyawati Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya ABSTRAK. Pada artikel ini dibahas penggunaan teknik aljabar linier untuk mempelajari graf

Lebih terperinci

6. Struktur Tree. Pokok Bahasan : Sumber : Oleh : Ade Nurhopipah. 1. Properties of Trees 2. Spanning Trees 3. Rooted Trees

6. Struktur Tree. Pokok Bahasan : Sumber : Oleh : Ade Nurhopipah. 1. Properties of Trees 2. Spanning Trees 3. Rooted Trees 6. Struktur Tree Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Properties of Trees 2. Spanning Trees 3. Rooted Trees Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph and Applications. Springer: UK. Tree

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Graf G didefenisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul

Lebih terperinci

CRITICAL PATH. Menggunakan Graph berbobot dan mempunya arah dari Critical Path: simpul asal : 1 simpul tujuan : 5. Graph G. Alternatif

CRITICAL PATH. Menggunakan Graph berbobot dan mempunya arah dari Critical Path: simpul asal : 1 simpul tujuan : 5. Graph G. Alternatif CRITICAL PATH Menggunakan Graph berbobot dan mempunya arah dari Critical Path: simpul asal : 1 simpul tujuan : 5 Graph G Path Bobot Alternatif 1 4 5 16 1 2 5 15 1 2 3 5 24 1 4 3 5 19 1 2 3 4 5 29 1 4 3

Lebih terperinci

Relasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).

Relasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul

Lebih terperinci

MATEMATIKA DISKRIT RELASI

MATEMATIKA DISKRIT RELASI MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh

Lebih terperinci

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V). GRAF GRAF Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya

Lebih terperinci

Teori Dasar Graf (Lanjutan)

Teori Dasar Graf (Lanjutan) Teori Dasar Graf (Lanjutan) MATRIKS DAN GRAF Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. Matriks-matriks yang dapat menyajikan

Lebih terperinci

Graf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017

Graf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G=(V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices

Lebih terperinci

Teori Dasar Graf (Lanjutan)

Teori Dasar Graf (Lanjutan) Teori Dasar Graf (Lanjutan) ATRIKS DAN GRAF Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. atriks-matriks yang dapat menyajikan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. real. T dinamakan himpunan indeks dari proses atau ruang parameter yang

II. TINJAUAN PUSTAKA. real. T dinamakan himpunan indeks dari proses atau ruang parameter yang II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Stokastik Stokastik proses = { ( ), } adalah kumpulan dari variabel acak yang didefinisikan pada ruang peluang (Ω, ς, P) yang nilai-nilainya pada bilangan real. T dinamakan

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf

Lebih terperinci

Kode, GSR, dan Operasi Pada

Kode, GSR, dan Operasi Pada BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan

Lebih terperinci

SPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT

SPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT SPECTRUM DETOUR GRAF n-partisi KOMPLIT Desy Norma Puspita Dewi Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail:phyta_3@yahoo.co.id ABSTRAK Matriks detour dari graf G adalah matriks yang elemen

Lebih terperinci

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) } Pertemuan 9 Relasi Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex

Lebih terperinci

2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik

2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: Suatu Graf G adalah suatu pasangan himpunan

Lebih terperinci

Pada catatan kuliah ini akan dibahas tentang konsep digraph (graph berarah) yang merupakan konsep penting dalam kuliah teori graph

Pada catatan kuliah ini akan dibahas tentang konsep digraph (graph berarah) yang merupakan konsep penting dalam kuliah teori graph COURSE NOTE : DIGRAPH Pada catatan kuliah ini akan dibahas tentang konsep digraph (graph berarah) yang merupakan konsep penting dalam kuliah teori graph Definisi Digraph Suatu digraph (graph berarah) adalah

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab kajian pustaka berikut ini akan dibahas beberapa materi yang meliputi

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab kajian pustaka berikut ini akan dibahas beberapa materi yang meliputi BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab kajian pustaka berikut ini akan dibahas beberapa materi yang meliputi graf, permasalahan optimasi, model matematika dari objek wisata di Yogyakarta, dan algoritma genetika

Lebih terperinci

ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS Maria Ulfa Subiono 2 dan Mahmud Yunus 3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 23 e-mail: ulfawsrejo@yahoo.com subiono28@matematika.its.ac.id

Lebih terperinci

03-Pemecahan Persamaan Linier (2)

03-Pemecahan Persamaan Linier (2) -Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS

Lebih terperinci

Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks

Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b

Lebih terperinci

Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika

Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

Lebih terperinci

PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN n GANJIL, n 3

PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN n GANJIL, n 3 Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 34 40 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini

II. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep

Lebih terperinci

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

Lebih terperinci

LIPATAN GRAF DAN KAITANNYA DENGAN MATRIKS INSIDENSI PADA BEBERAPA GRAF

LIPATAN GRAF DAN KAITANNYA DENGAN MATRIKS INSIDENSI PADA BEBERAPA GRAF LIPATAN GRAF DAN KAITANNYA DENGAN MATRIKS INSIDENSI PADA BEBERAPA GRAF Septian Adhi Pratama 1, Lucia Ratnasari 2, Widowati 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H.

Lebih terperinci

Studi dan Implementasi Struktur Data Graf

Studi dan Implementasi Struktur Data Graf Studi dan Implementasi Struktur Data Graf Fajar Dwi Anggara Program Studi Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung email: if15039@students.if.itb.ac.id

Lebih terperinci

Konsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi

Konsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi GRPH 1 Konsep Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi 2 Contoh Graph agan alir pengambilan mata kuliah 3 Contoh Graph Peta 4 5 Dasar-dasar Graph Suatu graph

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graph 2.1.1 Definisi Graph Menurut Dasgupta dkk (2008), graph merupakan himpunan tak kosong titik-titik yang disebut vertex (juga disebut dengan node) dan himpunan garis-garis

Lebih terperinci

Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks

Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan

Lebih terperinci

Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf

Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf Rahadian Dimas Prayudha - 13509009 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.

BAB 1 PENDAHULUAN. demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab II ini menjelaskan tentang teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu sistem persamaan linear sistem persamaan linear kompleks dekomposisi Doolittle

Lebih terperinci

BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL. Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang

BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL. Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL 2.1 Masalah Model Optimisasi Kombinatorial Masalah optimisasi merupakan suatu proses pencarian varibel bebas yang memenuhi kondisi atau batasan yang disebut kendala dari

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Sebelum beralih kepada permasalahan line digraph, dalam bab ini

BAB II LANDASAN TEORI. Sebelum beralih kepada permasalahan line digraph, dalam bab ini BAB II LANDASAN TEORI Sebelum beralih kepada permasalahan line digraph, dalam bab ini akan dibahas mengenai teori dasar dan definisi yang berhubungan dengan line digraph yang akan digunakan pada Bab III.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan diuraikan teori-teori dasar yang dijadikan sebagai landasan dalam penulisan tugas akhir ini. 2.1 Ilmu Bioinformatika Bioinformatika merupakan kajian yang mengkombinasikan

Lebih terperinci

Pemanfaatan Directed Acyclic Graph untuk Merepresentasikan Hubungan Antar Data dalam Basis Data

Pemanfaatan Directed Acyclic Graph untuk Merepresentasikan Hubungan Antar Data dalam Basis Data Pemanfaatan Directed Acyclic Graph untuk Merepresentasikan Hubungan Antar Data dalam Basis Data Winson Waisakurnia (13512071) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan

BAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan

Lebih terperinci

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3 Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung

Lebih terperinci

1 Array dan Tipe Data Bentukan

1 Array dan Tipe Data Bentukan 1 Array dan Tipe Data Bentukan Overview Dalam dunia nyata, struktur data yang dihadapi sangat beragam dan penggunaan variabel dengan tipe data dasar memiliki keterbatasan pada banyaknya nilai yang dapat

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Korelasi adalah studi yang membahas tentang derajat hubungan antara dua variabel atau lebih. Korelasi merupakan salah satu teknik analisis statistika yang banyak digunakan

Lebih terperinci

BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA. Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang

BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA. Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang bertujuan untuk mereduksi dimensi data dengan membentuk kombinasi linear

Lebih terperinci