BAB VI BILANGAN REAL

BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul pertanyaan, dapatkah kita memperluas sistem bilangan bulat agar pembagian selalu mempunyai penyelesaian, kecuali pembaginya adalah nol? Dalam proses perluasan sistem ini, kita permasalahkan penyelesaian 1 : a = x, a > 1, atau berapakah x supava ax = 1? Tidak ada bilangan bulat x sehingga ax = 1 bukan? Penyelesaian persamaan itu ditunjukkan sebagai, sehingga a( ) = 1. Bilangan dinamakan invers perkalian bilangan a. Hanya ada satu bilangan bulat yang tidak mempunyai invers perkalian yaitu nol. Mengapa? Seperti di atas juga dapat dipemasalahkan penyelesaian 3 : 11 = x. Berapakah x agar 11.x = 3. Misalkan kita dapat menemukan bilangan baru sehingga 11. = 3. Secara umum, = a akan mempunyai penyelesaian, b 0. Bilangan baru ini dinamakan bilangan rasional. Selanjutnya, ternyata dalam sistem bilangan rasional, bilangan-bilangan tertentu tidak mempunyai akar pangkat dua atau akar pangkat tiga. Misalkan persamaan x 2 = 2 tidak mempunyai penyelesaian dalam sistem bilangan rasional sebab tidak ada bilangan rasional yang jika dikalikan dengan diri sendini sama dengan 2. Dengan demikian, diperlukan untuk memperluas sistem bilangan rasional ke sistem bilangan baru yang disebut sistem bilangan real. A. Bilangan Rasional Pada waktu Anda masih duduk di Sekolah Dasar, Anda sudah dikenalkan lambang bilangan sebagai pecahan. Sesungguhnya pecahan digunakan untuk menyatakan 126

1. Suatu pembagian 2. Suatu bagian dari 3. Suatu elemen dari sistem matematika. Misalnya kita akan melakukan pembagian 3 : 4. Jelas bahwa pembagian ini tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan bulat. Sekarang, kita akan mendefinisikan bilangan baru, yang dinyatakan oleh pecahan demikian sehingga 4. = 3. Secara umum, a : b dengan b 0 mempunyai jawab yang dinyatakan oleh atau demikian sehingga b. = a. Pecahan juga menyatakana suatu bagian dari, misalnya berarti empat dari lima bagian yang sama. Perhatikan gambar 4.1. Gambar 6.1 Jika dibandingkan bagian daerah yang diarsir terhadap daerah seluruhnya, gambar 4.1.a menunjukkan gambar 4.1.b menunjukkan dan gambar 4.1.c menunjukkan. Pengertian yang sama akan ditunjukkan dengan ruas-ruas garis yang sama pada garis bilangan, kemudian dibagi menjadi empat ruas garis yang sama. Masing-masing ruas garis itu menyatakan satu bagian dari empat bagian yang sama, ditunjukkan. Berikutnya,. Perhatikan gambar 4.2! 127

Gambar 6.2 Dengan demikian dalam membicarakan konsep pecahan dengan menggunakan garis bilangan, setiap satuan interval dibagi menjadi ke dalam ruas-ruas garis yang sama. Sebagai contoh, membagi setiap satuan dibagi menjadi tiga ruas garis yang sama seperti pada gambar 4.3. Gambar 6.3 Secara umum, pecahan dapat dinyatakan pada garis bilangan. Penyebut pecahan, yaitu b, menyatakan banyaknya bagian dari pembagian satu satuan, dan b 0. Pembilang pecahan a, menyatakan banyaknya bagian yang dimaksudkan. Selanjutnya, perhatikan gambar 4.4. Pada gambar 4.4, suatu persegi panjang dibagi. menjadi 4 bagian yang sama, 8 bagian yang sama, dan 16 bagian yang sama. Jika bagian daerah yang diarsir dibandingkan terhadap daerah seluruhnya, maka menunjukkan 1 bagian dari 4 bagian yang sama (dinyatakan ) atau 2 bagian dari 8 bagian yang sama (dinyatakan ), atau 4 bagian dan 16 bagian yang sama (dinyatakan ) Perhatikan bahwa, dan masing-masing menyatakan daerah yang diarsir yang sama. 128

Gambar 6.4 Dengan cara yang sama, perhatikan titik-titik garis bilangan pada gambar 4.5. Suatu titik pada garis bilangan dinyatakan oleh macam- macam pecahan berbeda yang tak terhingga. Sebagai contoh, dan, semuanya menyatakan titik atau bilangan yang sama. Pecahan-pecahan yang menyatakan bilangan yang sama pada garis bilangan disebut pecahan yang ekuivalen. Tanda (lambang) ekuivalen kadang-kadang dinyatakan oleh, tetapi sering menggunakan tanda =, misalnya = =. Gambar 6.5 Konsep di atas didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Bilangan pecahan adalah bilangan yang lambangnya terdiri dari pasangan berurutan bilangan bulat a dan b (dengan b 0) yang merupakan penyelesaian pesamaan bx = a, ditulis atau a : b. Contoh 1: 129

3 : 11 dapat ditulis sebagai, yang berarti 11. = 3 Contoh 2 : -4 : 7 dapat ditulis sebagai yang berarti 7.( ) = -4 Selanjutnya perhatikan 6 : 3 dapat ditulis, tetapi 6 : 3 = 2. Juga, 2 = -4 : -2, dan -4 : -2 dapat ditulis. Jadi = menyatakan bilangan yang sama. Definisi : Pecahan dan, b 0 dan d 0 adalah ekuivalen jika hanya Contoh 2 : jika ad = bc. sebab 2.14 = 7.4 sebab 1.12 = 3.4 Himpunan pecahan yang ekuivalen disebut kelas pecahan ekuivalen. Kelas pecahan ekuivalen dari adalah : Kelas pecahan ekuivalen dari adalah Kelas pecahan ekuivalen dari 0 adalah Dari uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa himpunan semua pecahan dapat dipisahkan menjadi kelas-kelas pecahan yang ekuivalen. Teorema Dasar Pecahan Untuk sembarang pecahan, dengan b 0, dan sembarang bilangan bulat c, c 0, berlaku : Bukti: Gunakan definisi pecahan-pecahan ekuivalen. Kerjakan sebagai latihan. 130

Definisi : Pecahan, dengan b > 0 merupakan pecahan sederhana, jika faktor persekutuan terbesar dan a dan b adalah 1. adalah pecahan sederhana, sebab FPB (3, 7) = 1 Contoh 2 : bukan pecahan sederhana, sebab FPB (4, 8) = 4 1. Definisi : Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dilambangkan dengan untuk a dan b bilangan bulat dan b 0. Bilangan rasional dapat juga dinyatakan dalam lambang desimal, sebagai pasangan terurut (a, b) atau sebagai perbandingan a : b, tetapi sangat sering dinyatakan sebagai pecahan. Contoh : Pecahan menyatakan hilangan rasiona1 Seperti halnya bilangan asli, bilangan cacah dan bilangan bulat, bilangan rasional juga merupakan konsep abstrak dalam matematika. Lambang bilangan yang digunakan untuk menyatakan bilangan rasional adalah sebarang pecahan dan kelas ekuivalennya. Perhatikan kernbali gambar 4.5. Gambar tersebut menyatakan pecahan-pacahan dalam kelas-kelas ekuivalen yang ditunjukkan oleh sebuah titik pada garis bilangan. Hal ini merupakan titik yang dikaitkan dengan bilangan rasional. Menurut definisi, jika bilangan pecah (dengan b 0) adalah bilangan yang merupakan penyelesaian persamaan bx = a, maka bilangan rasional adalah penyelesaian persamaan bxn = a. Definisi : Dua bilangan rasional sama jika dan hanya jika keduanya dinyatakan oleh pecahan-pecahan dari suatu kelas-kelas ekuivalen yang sama. Con toh : Jika menyatakan bilangan rasonal a, dan menyatakan bilangan rasional b, maka a = b jika dan hanya jika = 1. Operasi pada Bilangan Rasional 131

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional Telah dipelajari, pada penjumlahan bilangan bulat 2 + 3 = 5. Sekarang akan dicari penjumlahan bilangan rasional. didapat bahwa Perhatikan gambar 4.6 berikut. Gambar 6.6 Secara umum didefinisikan penjumlahan bilangan rasional, untuk dan bilangan-bilangan rasional. Selanjutnya untuk penjumlahan bilangan rasional yang dinyatakan oleh pecahan yang mempunyai penyebut sama tetapi bukan 1. Misalkan akan dicari jumlah Gambar 6.7 Perhatikan gambar 4.7. Secara umum, untuk dan bilangan rasional. 132

Selanjutnya akan dibicarakan penjumlahan bilangan rasional yang dinyatakan oleh pecahan-pecahan dengan penyebut tidak sama. Misalkan akan dicari jumlah dan. Telah diketahui bahwa dan =, sehingga. Secara umum, didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Jika dan, bilanganbilangan rasional dengan b 0 dan d 0, maka Contoh 2: Sampai sekarang telah dipelajari sistem bilangan cacah dan sistem bilangan bulat. Bilangan bulat mempunyai semua sifat yang dimiliki bilangan cacah ditambah satu sifat tentang penjumlahan yaitu : setiap bilangan bulat, mempunyai invers penjumlahan tunggal. Demikian pula bilangan rasional mempunyai semua sifat bilangan bulat ditambab sifat, bahwa bilangan rasional, kecuali (atau 0) mempunyai invers perkalian. Elemen identitas penjumahan bilangan rasional, dapat ditulis sebagai, karena, untuk setiap bilangan rasional. Karena maka selalu digunakan untuk menyatakan elemen identitas penjumlahan. Untuk setiap bilangan rasional ada invers penjumlahan - karena + - = 0 Selanjutnya perhatikan berikut ini. Dengan cara yang sama, 133

Jadi -( ), dan adalah invers penjumiahan dari. Apakah -( ), dan menyatakan bilangan rasional yang sama? Seianjutnya, untuk operasi penjumlahan bilangan rasional bersifat tertutup, komutatif, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers penjumiahan. Definisi : Penyebut persekutuan terkecil pecahan-pecahan adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan-pecahan itu. Penyebut persekutuan terkecil pecahan digunakan untuk menyamakan penyebut pecahan dalam rangka untuk menjumlahkan bilangan rasionai yang dilambangkan oleh pecahan itu. = = Contoh 2 : = Definisi : Untuk dan bilangan-bilangan rasional. Pengurangan bilangan rasional dari (ditulis - ) adalah bilangan rasional jika dan hanya jika = + Con toh 2 : Definisi : Pecahan tidak Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya. 134

Pecahan Sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dan penyebutnya. Ubahlah. ke pecahan tidak sejati Perhatikan bahwa disebut Pecahan campuran. Contoh 2 : Ubahlah ke pecahan campuran. b. Perkalian dan Pembagian Bilangan Rasional Sudah diketahui bahwa pada perkalian bilangan bulat, 3 x 4 = 12. Sekarang, akan didefinisikan perkalian bilangan rasional. Telah diketahui : Jawab dari adalah bilangan rasiona1 yang dapat diperoleh dengan mengalikan pembilang-pembilangnya dan penyebut-penyebutnya. Selanjutnya akan dicari. Untuk menggambarkan dapat diilustrasikan dengan membagi suatu luasan menjadi 21 bagian yang sama. Arsirlah 2 dari 3 bagian yang sama, kemudian arsirlah 4 dari 7 bagian yang sama yang lain. Dengan pengamatan terlihat dua bagian yang terarsir dua kali, yang menggambarkan Perhatikan gambar 4.8! 135

Gambar 6.8 Perhatikan bahwa dan dapat diperoleh dengan mengalikan pembilangpembilangnya dan penyebut-penyebutnya. Misalkan bilangan. rasional dipikirkan sebagai penyelesaian dari persamaan 3x = 5. Jadi, 3. = 5 atau. Berarti bahwa, definisi perkalian nanti untuk. harus demikian sehingga mempunyai jawab. Salah satu bilangan rasional yang sama dengan adalah. Hal ini dapat diperoleh dengan mengalikan pembilangpembilang dan penyebut-penyebut dan -. Konsep-konsep tersebut menunjukkan alasan definisi perkalian bilangan rasional berikut. Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional maka Contoh 2 : Con oh 3: Sekarang, carilah : Menurut definisi Secara umum untuk setiap bilangan rasional. 136

Selanjutnya, sebagai latihan, buktikan bahwa operasi perkalian bilangan rasional tertutup, komutatif, assosiatif, distributif terhadap penjumlahan, ada elemen identitas, dan ada elemen invers. Teorema Untuk. ) dan bilangan-bilangan rasional 1) Jika = ) maka. =. 2) Sifat konselasi perkalian Jika - =. dengan, maka = Bukti : Untuk bukti. 1) sebagai berikut : = Diketahui ad = bc (ad)(ef) = (bc)(ef) [a(de)]fn = b[(ce)f] [a(ed)]f = b[(ce)f] (ae)(df) = (bf)(ce) Mengapa? Mengapa? Mengapa? Mengapa? Mengapa? Mengapa?. =. Mengapa? Teorema Untuk.,,, bilangan-bilangan rasional Jika = dan = maka. =. Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional, dengan 0, maka : adalah bilangan rasional jika dan hanya jika =. 137

Contoh 2 : Contoh 3 : Definisi : Pembagian sebagai perkalian. Jika ada, maka : =., adalah invers perkalian atau kebalikan dari. Contoh 2 : 2. Sifat-sifat Bilangan Rasional Untuk setiap bilangan rasional,,,, dan berlaku sifat-sifat berikut mi. 1) Tertutup, untuk operasi penjumlahan dan perkalian + adalah bilangan rasional, adalah bilangan rasional 2) Komutatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian + = +. =. 3) Asosiatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian ( + ) + = + ( + ) (. ). =. (. ) 4) Distributif, perkalian untuk penjumlahan. ( + ) =. +. 5) Ada elemen identitas penjumlahan dan perkalian 138

Ada bilanganrasional tunggal, sehingga : + = + = Ada bilangan rasional tunggal, sehingga. =. = 6) Ada elemen invers penjurniahan dan perkalian Untuk setiap ada invers penjumlahan,, sehingga + = + = Untuk setiap 0 ada invers perkalian, sehingga. =. = 7) Perkalian dengan nol. = Selanjutnya himpunan semua bilangan rasional, dari dua operasi, penjumlahan, dan perkalian, dengan sifat-sifat tersebut, membentuk suatu sistem bilangan rasional. LATIHAN Kerjakan tugas berikut sebagai latihan! 1. Tulis tujuh pecahan yang ekuivalen dengan pecahan berikut: a) b) c) 2. Tulislah rnasing-inasing pecahan berikut dalam bentuk paling sederhana a) b) 3. Tulislah masing-masing tujuh anggota himpunan yang ditentukan, jika a dan b bilangan-bilangan cacah dan b 0. a) {x x = dan a + b = 9} b) {x x = dan a + b < 11} c) {x x = dan a - b = 0} d) {x x = dan a b = 4} e) (x x = dan a + b < 5} 139

4. Carilah pecahan yang ekuivalen dengan. sehingga hasil kali pembilang dan penyebutnya 224. 5. a) Jika a = c, apakah =? Mengapa? b) Jika b = d, apakah. =? Mengapa? c) Jika = dan b = d, apakah c = a? Mengapa? 3. Urutan Bilangan Rasiorial Pada garis bilangan, bilangan rasional kurang dari jika terletak di sebelah kiri. Perhatikan garis bilangan pada gambar 4.9. kurang dari karena terletak di sebelah kiri. Gambar 6.9 Kita dapat mendefinisikan kurang dari untuk bilangan rasional sehingga konsisten dengan definisi untuk bilangan cacah dan bilangan bulat : Definisi : <, jika dan hanya jika ada bilangan rasional positip sehingga + = Selanjutnya, perhatikan bahwa jika diketahui dan bilanganbilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut positip, dapatkah dibuktikan bahwa < jika dan hanya jika ad < bc? Sekarang, misalkan <. Dengan menggunakan definisi, maka ada bilangan rasional > 0 sehingga = + Kedua harus ditambah dengan maka, maka : + = ( + ) + = + ( + ) Mengapa? 140

= ( + ) + Mengapa? Jadi + = > 0 atau > 0 Karena d dan b keduanya positip, db > 0. Dengan demikian bc - ad > 0 atau ad < bc. Dari uraian di atas, maka didapat definisi baru untuk kurang dari pada bilangan rasional. Definisi : Jika dan bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut yang positip, maka < jika dan hanya jika ad < bc. karena 3.7 < 8.4 Contoh 2 : karena -2.2 < 3.1 Contoh 3 : karena -8.3 < 5.-2 a. Sifat Trikotomi Bilangan Rasional Jika dan bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut positip, maka terdapat tepat satu di antara berikut yang benar. < = > b. Sifat Kesamaan Bilangan Rasional Misalkan, dan bilangan-bilangan rasional sehingga = dengan, maka 1) + = + 2). =. c. Sifat Ketidaksamaan Bilangan Rasional Misalkan, dan bilangan-bilangan rasional sehingga < dengan, maka 141

3) + < + 4). <., jika > 0 5). >., jika < 0 Bagi yang berminat dapat membuktikan sifat-sifat kesamaan dan ketidaksamaan bilangan rasional di atas., maka Contoh 2 : Contoh 3 : d. Sifat Transitif Ketidaksamaan Bilangan Rasional Misalkan, dan adalah bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut- penyebut positip. Jika < dan < maka < Selanjutnya pada bilangan rasional ada sifat: Jika dan adalah dua bilangan rasional yang berbeda, maka selalu ada bilangan rasional lain di antara dan. Kenyataan ini menunjukkan bahwa di antara dua bilangan rasional, ada bilangan rasional ketiga. Di antara bilangan rasional pertama dan ketiga ada bilangan rasional lain. Demikian juga di antara bilangan rasional ketiga dan kedua. Proses ini dapat diteruskan tak terhingga. Sehingga dapat disimpulkan bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat tak terhingga banyaknya bilangan rasional. Bukti bahwa di antara tiap dua bilangan rasional ada bilangan rasional yang ketiga akan dibuktikan sebagai berikut. Akan ditunjukkan ada bilangan rasional di antara dan. <, b > 0 dan d > 0 142

Maka : ad < bc (ad)d < (bc)d Mengapa? (ad)d + (bc)d < (bc)d + (bc)d Mengapa? (ad + bc)d < 2 bcd Mengapa? (ad + bc)d < 2 bcd Mengapa? (ad + bc)d < (2 bd)c Mengapa? Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa < Terbukti didapat bilangan yang terletak di antara dan. LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Diketahui dan adalah bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut positip. Buktikan bahwa jika ad < bc, maka < 2. Diketahui, dan bilangan-bilangan rasional dengan =. Buktikan : a) + = + 6). = + 3.Diketahui, dan bilangan-bilangan rasional dengan <. Buktikan a) + < + b). < +, jika > 0 c) + > +, jika < 0 4.Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut bila variabel dalam himpunan bilangan rasional a) + (-2) < 7 b) 143

B. Pecahan Desimal Pecahan desimal diperkenalkan oleh Simon Stevin pada abad ke-16. Dalam bukunya The Tenth, yang dipublikasikan tahun 1585, dia menunjukkan bagaimana cara menulis pecahan desimal dan bagimana menghitungnya. Notasi Stevin untuk pecahan desimal 5,3476 adalah 5 0 3 1 4 2 7 3 6 4. Stevin tidak menggunakan titik atau koma desimal untuk memisahkan bilangan yang bulat dan pecahan. Akhirnya, di Inggris menggunakan titik desimal, 5.3476, dan di beberapa negara Eropa juga di Indonesia menggunakan koma desimal, 5,3476. Koma desimal diletakkan setelah angka satuan ; di sebelah kanan koma desimal berturut-turut diletakkan angka yang menyataka persepuluhan, perseratusan, perseribuan dan seterusnya. Contoh 2 : a) b) c) a) b) c) Selanjutnya, coptoh berikut ini menunjukkan hubungan antara pecahan dan pecahan desimal. Contoh 2: Contoh 3: = = Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal mudah dilakukan bila pecahan itu mempunyai penyebut perpangkatan 10. Tetapi bagaimanakah kalau 144

tidak demikián? Misal,. Dapakah diubah menjadi. pecahan lain yang penyebutnya perpangkatan 10. Demikian juga, Tidak mungkin bukan? Jika penyebutnya merupakan perpangkatan 2 atau 5 pecahan dapat diubah menjadi pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan 10. Maka dan itu pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan 10, 2, atau 5 ini dapat ditulis sebagai pecahan desimal. atau Contoh 2 : atau = 1. Artmetika Desimal Berikut mi. akan dibicarakan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan dalam pecahan desimal. Contoh : Jumlahkan 0,354 + 0,23 Jawab : Cara pertama : 0,354 = dan 0,23 = Cara kedua : -------------------------------------------- + 145

= 0,584 Dalam cara kedua di atas, dike1ompokkan koefisien persepuluhan, peseratusan, dan perseribuan kemudian masing-masing dijumlahkan. Sekarang perhatikan contoh berikut. --------- ------- + 0,584 Contoh 2 : Carilah 5,673 + 566,65 Jawab : 5,673 566,65 ------------- + 572, 323 Perhatikan bahwa dapat dilakukan penjumlahan seperti di atas karena algoritma berikut. Algoritma di atas tentu saja juga dapat diterapkan untuk melakukan lebih dari dua penjumlahan. 146

Contoh 3 : pengurangan. 15,275 237,56 4,2 75,008 ------------ + 332,043 Dengan cara yang sama, algoritma di atas dapat diterapkan untuk Contoh 2 : 23, 15 1,274 ------------ - 21,876 Sekarang akan dikalikan dua bilangan decimal : Contoh 2: Contoh 3: 147

Perhatikan bahwa dari contoh-contoh di atas, dapat dikemukakan bahwa jika mengalikan bilangan-bilangan yang masing-masing mempunyai r dan s tempat pecahan desimal, maka hasil kalinya mempunyai r + s tempat pecahan desimal. Contoh: 56,7 (1 tempat pecahan decimal) 0,637 (3 tempat pecahan desimal) --------- x 3969 1701 3402 ------------- x 36,1179 (4 tempat pecahan desimal) Perkalian di atas dapat dilakukan karena algoritma berikut : Selanjutnya, akan dilakukan pembagian 5,38 : 2. Atau 148

Sebarang pembagian pecahan desimal dapat diubah ke pembagian yang pembaginya merupakan bilangan bulat. Bagilah 1668,728 : 2,3 Jawab : 168,728 : 2,43 ditulis Karena teorema dasar pecahan, maka Contoh 2 : Carilah 0,24383 : 0,37 Jawab : Digunakan teorema dasar pecahan. 149

Dan contoh-contoh di atas, secara umum, dapat dinyatakan jika pembaginya mempunyai r tempat pecahan desimal, maka supaya pembaginya merupakan bilangan bulat, koma desimal pada bilangan yang dibagi dipindah sebanyak r tempat ke arah kanan. Jadi 168,728 : 2,3 hasilnya akan sama dengan 1687,28 : 23. Perhatikan, 15,6 : 0,26 hasilnya akan sama dengan 1560 : 26. Mengapa? 2. Pecahan Desimal Berulang Pada bagian ini akan dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan rasional sebagai pecahan desimal. Ubahlah menjadi pecahan desimal. a) b) c) Jawab : 150

Perhatikan pada contoh (a) sisanya adalah 0. Pecahan desimal yang demikian disebut pecahan desimal berakhir. Jika pembagian (a) dilanjutkan, akan diperoleh 0,187500000 Oleh karena itu pecahan desimal berakhir dapat juga ditulis sebagai pecahan desimal tak berakhir. Pada contoh (b) dan (c) sisa pembagian nol tidak akan diperoleh. Pecahan desimal demikian disebut tak berakhir. Pecahan desimal ini mempunyai sifat yang menarik. Pada contoh (b) angka 6 berulang terus, sedang pada contoh (c) angka 18 berulang terus. Pecahan desimal demikian disebut pecahan desimal berulang. Contoh di atas dapat ditulis, = 0,6666... = 0,6, dan 0,18 Contoh 2 : Contoh 3 : Contoh 4: = 0,2222222... = 0,2 = 0,135135135... = 0,135 = 0,384615384615... = 0,384615 Dalam contoh-contoh di atas dibicarakan bagaimana menyatakan bilangan rasional positip sebagai pecahan desimal. Tentu saja hal ini dapat diperluas untuk bilangan rasional negatip. Selanjutnya, apakah sebaliknya merupakan pernyataan benar? Dengan kata lain, apakah setiap pecahan desimal yang angka-angkanya berulang teratur merupakan bilangan rasional? Perhatikan contoh berikut. Ubahlah 0,037 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional. Jawab : atau Misalkan N = 0,037. Karena ada tiga angka yang berulang teratur. N kita kalikan dengan 1000. 1000 N = 37,037037 N = 0,037037 ------------------------------ - 999 N = 37 151

N = Sebagai latihan, cek kembali dengan mengubah ke desimal. Contoh 2 : Ubahlah 0,00253 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional. Jawab : N = 0,00253 1000 N = 2,53253253 N = 0,00253253 ------------------------------- - 999 N = 2,53 N = Cek kembali dengan mengubah ke desimal. Contoh 3 : Ubahlah 8,5853 menjadi pecahan yang menyatakan bilangan rasional. Jawab : N = N = 8,585 100 N = 858,535353 N = 8,585353. ----------------------------- 99 N = 849,95 Cek kembali dengan mengubah ke desimal. Selanjutnya, perlu dicatat bahwa setiap pecahan desimal berakhir dapat ditulis sebagai pecahan desimal berulang. Kurangilah angka terakhir dengan satu, kemudian tulis 9 berulang teratur. Contoh 4 : 1) 57,6 = 57,59 2) 0,037 = 0,036 3) Cek kembali apakah 2 = 1,9 Jawab : N = 1,999 152

10 N = 19,999 N = 1,999 ------------------ - 9 N = 18 N = Jadi. 2 = 1,9 Dan uraian di atas, dapat dikemukakan bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan pecahan desimal berakhir atau pecahan decimal dengan angkaangka yang berulang teratur; sebaliknya, setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal angka-angkanya berulang teratur adalah bilangan rasional. LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Hitunglah a) 567,274-9,5657 b) 0,053 + 5,9874 c) 7,523. 0,0097 d) 2466,411 : 3,53 2. Tuliskan lambang desimalnya. a) b) c) 3. Yang mana dari tugas nomor 2 tersebut yang merupakan pecahan desimal berakhir? 4. Tuliskan lambang pecahannya. a) 15,037 b) 0,035 c) 0,7 5. Tunjukkan bahwa a) 9,379 adalah 9,38 b) 6,9 adalah 7 C. Bilangan Irasional dan Bilangan Real Telah dibicarakan, bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal berulang teratur. Sebaliknya setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal, yang angkaangkanya berulang tératur adalah bilangan rasional. Selanjutnya bilangan yang jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal tidak akan berakhir dan tidak berulang maka bilangan itu merupakan bilangan irasional. Misalkan, 153

0,37337333733337333337... adalah bilangan irasional, sebab angka-angkanya tidak berakhir dan tidak berulang teratur. Bilangan π merupakan contoh bilangan irasional. π bukan atau 3,1416, tatapi π adalah bilangan yang lambang desimalnya tidak berakhir dan tidak berulang. Pendekatan untuk π sampai. 20 angka desimal adalah : 3,14159265358979323846. Pada mulanya orang Yunani kuno menghabiskan waktu lama untuk membahas apakah ada bilangan selain bilangan rasional. Kenyataannya, dalam beberapa tahun, kelompok matematikawan dan Pythagoras menyatakan dengan tegas bahwa tidak ada bilangan yang tidak rasional. Tetapi pada suatu hari mereka mulai bertanya : Berapakah panjang sisi sebuah bujur sangkar yang luasnya 2? Tentu saja, jika panjang sisinya x, maka x. x = 2. Bilangan apakah yang dikalikan diri sendiri sama dengan 2? (atau berapakah akar pangkat dua dari 2, dinyatakan ). Akhirnya dibuktikan bahwa Contoh : Buktikan tidak rasional. bilangan irasional. Jawab : Diasumsikan rasional dan kemudian ditunjukkan bahwa akan terjadi kontradiksi. Sehingga irasional. Andaikan rasional. Maka dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat sedemikian hingga a dan b relatif prima. Jika =, maka ( ) 2 = 2 dan a 2 = 2b 2 Karena 2b 2 bilangan bulat genap, maka a 2 adalah genap, demikian pula a. Mengapa? Karena a genap, maka a dapat ditulis sebagai a = 2c, c bilangan bulat. Didapat a 2 = 4c 2. Padahal a 2 = 2b 2, maka b 2 = 2c 2, sehingga b 2 genap, akibatnya b genap. 154

Karena a dan b keduanya genap, tentu mempunyai faktor persekutuan 2. Maka didapat keadaan yang kontradiksi. dengan pengandaian. Sehingga pengandaian bilangan rasional tidak benar. Jadi irasional. Selanjutnya, dapat dibuktikan bahwa akar pangkat dua dari semua bilangan bulat positip kecuali bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16,... ) adalah bilangan irasional. Karena akar pangkat dua dan banyak bilangan rasional adalah bukan rasional, maka berikut mi akan dibicarakan pendekatan desimal dan bilangan akar pangkat dua. Salah satu algoritma untuk menentukan pendekatan desimal dan bilangan akar pangkat dua adalah metode rata-rata yang langkah-langkahnya sebagai berikut. a) Tentukan estimasi nilai pendekatan itu. b) Tentukan hasil bagi bilangan yang diakar dengan bilangan estimasinya, dengan banyak angka desimal sebanyak yang dikehendaki. c) Tentukan nilai ratarata dan bilangan estimasi dan hasil bagi. Nilai ratarata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari. d) Untuk mendapat nilai pendekatan lebih teliti, gunakan nilai rata-rata yang diperoleh sebagai estimasi. Ulangi prosesnya seperti langkah (b) dan (c). Lanjutkan sampai diperoleh ketelitian yang dikehendaki. Tentukan nilai pendekatan Jawab: Karena (1,4) 2 = 1,96, kita pilih 1,4 sebagai estimasi 2 : 1,4 = 1,42857 = 1,414285 Ulangilah proses di atas, dipilih 1,414285 sebagai estimasi. 1,414285 sebagai estimasi 2 : 1,414285 = 414142 = = 1,4141135 Jadi. 1,4142 adalah nilai pendekatan teliti sampai 4 tempat desimal. 155

Contoh 2: Tentukan nilal pendekatan Jawab: Karena (30) 2 = 900, dipilih 30 sebagai estimasi. = 31,283666 = 30,641833 938,51 : 30,64183.3 = 30,628389 = 30,635111 Jadi. 30,6351 adalah nilai. pendekatan teliti sampai 4 tempat desimal. Dan pembicaraan di atas, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau berulang. Sedang bilangan irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan sebagai desimal tidak berakhir dan tidak berulang. Gabungan dan kedua himpunan bilangan tersebut dinamakan himpunan bilangan real atau nyata. Telah dibicarakan bahwa bilangan rasional dapat ditunjukkan dengan titik pada garis bilangan. Demikian juga telah dibicarakan bahwa untuk sembarang dua bilangan rasional yang berbeda, terdapat bilangan rasional di antara keduanya. Kelihatannya bilangan rasional di seluruh titik pada garis bilangan. Hal mi tidak benar. Perhatikan gambar 6.10 berikut, bilangan irasional juga dapat ditunjukkan dengan titik pada garis bilangan. Gambar 6.10 156

Gambar di atas menunjukkan cara meletakkan dan ( ) 2 pada garis bilangan. Dan gambar bujur sangkar yang sisinya satu satuan, maka panjang diagonalnya =. Dengan pusat 0 dapat dibuat lingkaran dengan jari-jari, sehingga letak dan - dapat ditentukan pada garis bilangan. Cambar 4.11 berikut ini menyatakan cara menempatkan + dan. Gambar 6.11 Apakah + rasional? Andaikan + bilangan rasional, maka dapat ditulis sebesar + = dan b bulat, b 0. Karena bilangan rasional tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan, maka bilangan rasional, akibatnya juga rasional. Terjadilah kontradiksi. Akibatnya + bilangan irasonal. Bagi yang berminat dapat membuktikan secara umum, bahwa jumlah bilangan rasional dan irasional adalah irasional. Demikian pula dapat dibuktikan bahwa hasil kali bilangan rasional yang bukan nol dan bilangan irasional adalah irasional. Tunjukkan 7. irasional Jawab : Andaikan 7. rasional, maka dapat ditulis sebagai : 157

7 = (7 ) = ( ) rasional, maka rasional. Terjadilah kontradiksi, maka pengandaian tidak benar. Yang benar 7 irasional. Contoh 2 : Tunjukkan irasional. Jawab : = Karena ( ) irasional, jadi irasional. Misalkan, garis bilangan dibagi lagi menjadi sepuluh segmen garis di antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,4 sebagai. pendekatan, dan dapat dicek kembali dengan mengkuadratkan 1,4. Kemudian dibagi menjadi seratus segmen garis di antara dua bilangan bulat. Beri tanda 1,41 sebagai pendekatan. Cek kembali dengan mengkuadratkan 1,41. Demikian seterusnya sehingga diperoleh bilangan rasional 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,41423 sebagai nilai pendekatan. Hal ini membeni petunjuk secara intuitif bahwa bilangan real bersifat padat (dense), artinya di antara dua bilangan real selalu ada bilangan real lain, bagaimanapun dekatnya terhadap yang lain. Akhirnya dapat dikemukakan bahwa setiap titik pada garis bilangan menunjukkan bilangan real dan setiap bilangan real dapat ditunjukkan dengan titik pada garis bilangan. Karakteristik ini dikatakan bahwa sistem bilangan real adalah lengkap. Sistem bilangan rasional tidak lengkap karena ada titik pada garis bilangan tidak menyatakan bilangan rasional. Berikut ini dikemukakan beberapa sifat bilangan real. Karena bilangan real merupakan perluasan dari bilangan rasional, maka semua sifat dalam sistem bilangan rasional harus dipenuhi dalam system bilangan real. Sifat-sifat dalam sistem bilangan real sebagai berikut : 158

1) Tertutup dalam operasi penjumlahan. 2) Tertutup dalam operasi pengurangan. 3) Tertutup dalam operasi. perkalian. 4) Tertutup dalam operasi pembagian, kecuali pembagian oleh nol. 5) Memenuhi sifat komutatif dan asosiatif untuk penjumlahàn dan perkalian. 6) Memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. 7) Terdapat unsur identitas penjumlahan. 8) Terdapat unsur identitas perkalian. 9) Untuk setiap bilangan real terdapat invers penjumlahannya. 10) Untuk setiap bilangan real yang bukan 0 terdapat invers perkaliannya. 11) Transitif urutan. Jika a < b dan b < c maka a < c. 12) Sifat Trikotomi. Untuk a dan b bilangan real, terdapat tepat satu di antara hubungan berikut a < b; a = b; a b. 13) Bilangan real bersifat padat (dense). Di antara dua bilangan real yang berbeda terdapat bilangan real lain. 14) Bilangan real bersifat lengkap. Selanjutnya akan dibicarakan perluasan sifat-sifat eksponen untuk bilangan bulat dan rasional dalam sistem bilangan real. x 2 = = = 1, sedangkan x 2. x -2 = x 2 + (-2) = x 0 = 1 Karena invers perkalian dari x 2 tunggal, maka x -2 = Demikian juga, x 1/2. X 1/2 = x 1/2 +1/2 = x 1 dan (x 1/2 ) 2 = x 1/2.2 = x 1 Tetapi. atau ( ) 2 didefinisikan sama dengan x. Dengan demikian x 1/2 = Secara umum, untuk sebarang bilangan real x dan bilangan asli n, 159

x -n =. x 0 x 1/n =, jika ada Selanjutnya, akan diperluas penggunaan rumus-rumus x m. x n = x m+n (x m ) n = x mn (xy) m = x m. y m ( ) m = Jawab : Tentukan nilai dari a) 7-2 dan b) 9-1/9 Contoh 2 : Tulis dalam bentuk paling sederhana. a) b) Jawab : a) = b) = 3 3 3 3 3 160

LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan! 1. Tentukan bilangan-bilangan berikut termasuk rasional atau tidak rasional. a) + 5 b) c) d) 2. keduanya irasional. Mengapa? a) Apakah hasil kalinya merupakan bilangan rasional? b) Apakah hasil baginya merupakan bilangan rasinal? c) Apakah jumlahnya merupakan bilangan rasional? d) Jelaskan masing-masing jawabnya! 3. Tentukan nilai pendekatannya sampai 4 tempat desimal. a) b) c) d) e) / 563,48 4. Diketahui R = {bilangan real}, B = {bilangan bulat}, C = {bilangan cacah}, Q = {bilangan rasional}, I = {bilangan irasional}. Tentukan pernyataan-pernyataan berikut benar atau salah. a) B Ϲ Q b) Q C R c) Q C d) B Q = Q 5. a) Tentukan bilangan cacah terbesar yang lebih kecil dari 9 b) Tentukan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 9. c) Tentukan bilangan rasional terbesar yang lebih kecil dari 9. d) Tentukan bilangan irasional terbesar yang lebih kecil dari 9. e) Tentukan bilangan real terbesar yang lebih kecil dari 9. 6. Tunjukkan dengan contoh. a) Hasil kali bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. b) Hasil bagi bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. c) Jumlah bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. 161

d) Selisih bilangan-bilangan irasional mungkin rasional atau mungkin irasional. 7. Sederhanakan : 162