2 PECAHAN. Kata-Kata Kunci: jenis pecahan pengurangan pecahan bentuk pecahan perkalian pecahan penjumlahan pecahan pembagian pecahan

Transkripsi

1 PECAHAN Sebuah gelas jika terkena getaran dapat pecah berkeping-keping. Bagian pecahannya lebih kecil daripada ketika gelas masih utuh. Menurut kalian, samakah jumlah seluruh pecahan gelas dengan satu gelas utuh? Sumber: Jendela Iptek, 00 Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan pecahan: biasa, campuran, desimal, persen, dan permil; dapat mengubah bentuk pecahan ke bentuk pecahan yang lain; dapat menyelesaikan operasi hitung tambah, kurang, kali, dan bagi bilangan pecahan; dapat menggunakan sifat-sifat operasi hitung tambah, kurang, kali atau bagi dengan melibatkan pecahan serta mengaitkannya dalam kejadian sehari-hari. Kata-Kata Kunci: jenis pecahan pengurangan pecahan bentuk pecahan perkalian pecahan penjumlahan pecahan pembagian pecahan

2 (Berpikir kritis). Letakkan pecahan,, dan pada garis bilangan.. Tentukan dua pecahan yang senilai dengan.. Nyatakan bilangan dan 6 dengan faktorisasi prima, kemudian tentukan KPK dan FPB-ny Gambar. (a) (b) (c) (d) Gambar. Di tingkat sekolah dasar kalian telah mempelajari mengenai bilangan pecahan. Pada bagian ini, kita akan mengulangi dan memperdalam kembali materi tersebut. Pada bab sebelumnya kalian juga telah mempelajari mengenai bilangan bulat, sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat serta KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebih. Pelajari kembali materi tersebut agar kalian dapat memahami materi pada bab ini dengan baik. Pahamilah konsep materi ini dengan baik, karena akan sangat bermanfaat untuk mempelajari konsep aljabar dalam bentuk pecahan. Hal ini akan kalian temui pada bab selanjutny A. BILANGAN PECAHAN. Pengertian Bilangan Pecahan Ibu mempunyai 0 buah jeruk yang akan dibagikan pada orang anak. Adi memperoleh buah jeruk, Fitri memperoleh buah jeruk, dan Ketut memperoleh 0 buah jeruk. Adapun sisanya disimpan oleh Ibu. Dalam hal ini, Adi memperoleh bagian jeruk, 0 Fitri memperoleh 0 bagian jeruk, dan Ketut memperoleh 0 0 bagian jeruk. Apakah menurutmu sisa yang disimpan oleh Ibu 0 bagian jeruk? 0 Bilangan-bilangan,,, dan yang merupakan banyak buah jeruk dibandingkan jumlah keseluruhan buah jeruk disebut bilangan pecahan. Bilangan-bilangan pecahan sering disebut sebagai pecahan saj Pada pecahan-pecahan tersebut, angkaangka,, 0, dan disebut pembilang, sedangkan angka 0 disebut penyebut. Dari uraian di atas, dapat dikatakan bahwa pecahan merupakan bagian dari keseluruhan. Sekarang perhatikan Gambar. di samping. Luas daerah arsiran pada Gambar. (a) menunjukkan pecahan. Luas daerah arsiran pada Gambar. (b) menunjukkan pecahan. Adapun luas daerah arsiran pada Gambar. (c) dan 6 (d) berturut-turut menunjukkan pecahan dan. 0 Matematika Konsep dan Aplikasinya

3 Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p, dengan p, q bilangan bulat dan q 0. Bilangan p disebut q pembilang dan bilangan q disebut penyebut.. Pecahan Senilai Perhatikan Gambar. di samping. Luas daerah yang diarsir pada Gambar. (a) menunjukkan dari luas lingkaran. Luas daerah yang diarsir pada Gambar. (b) menunjukkan 8 dari luas lingkaran. Luas daerah yang diarsir (a) pada Gambar. (c) menunjukkan dari luas lingkaran. Dari ketiga gambar tersebut, tampak bahwa daerah yang diarsir memiliki luas yang sam Hal ini berarti. 8 Selanjutnya, pecahan-pecahan,, dan dikatakan sebagai 8 pecahan-pecahan senilai. (b) Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sam Untuk memperoleh pecahan yang senilai, pelajari uraian berikut. : 6 6 6: : 9 9 9: : : : : Pecahan-pecahan,,,, dan di atas mempu- 6 9 nyai nilai yang sama, sehingga dapat ditulis. 6 9 (c) Gambar. (Menumbuhkan kreativitas) Dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama, tentukan lima pecahan yang senilai dengan. Pecahan

4 Dari uraian di atas, tampak bahwa untuk memperoleh pecahan-pecahan yang senilai dapat dilakukan dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sam Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Jika diketahui pecahan p q dengan p, q 0 maka berlaku p p a atau p p:b, di mana a, b konstanta positif bukan q q a q q:b nol. Tentukan dua pecahan yang senilai dengan pecahan berikut Jadi, dua pecahan yang senilai dengan adalah 0 dan : : 8 8: : Jadi, dua pecahan yang senilai dengan 8 adalah dan.. Menyederhanakan Pecahan Kalian telah mengetahui cara menentukan pecahan senilai, yaitu dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama, kecuali nol (0). Matematika Konsep dan Aplikasinya

5 Sekarang, perhatikan cara menemukan pecahan-pecahan senilai berikut. : : : : 6 6 : 8 : 6 6 : 6 6 : Pecahan pada pengerjaan di atas tidak dapat dibagi lagi (Berpikir kritis) Temukan bentuk paling sederhana dari 6 pecahan. 8 dengan bilangan lain selain nol. Dalam hal ini, pecahan merupakan bentuk paling sederhana dari. 6 Untuk memperoleh bentuk paling sederhana, pecahan 6 harus dibagi dengan bilangan. Coba cek apakah adalah FPB dari bilangan dan 6? p Suatu pecahan, q 0 dapat disederhanakan dengan cara q membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPBny Hal ini dapat ditulis sebagai berikut. p Dalam menyederhanakan sebarang pecahan, q 0, berlaku q p p : a, di mana a Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) q q : a dari p dan q. Nyatakan pecahan 8 dalam bentuk pecahan paling sederhan FPB dari 8 dan adalah :9 :9 Jadi, bentuk pecahan paling sederhana dari 8 adalah. Pecahan

6 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Nyatakan bentuk pecahan yang ditunjukkan oleh daerah yang diarsir pada gambar berikut. c.. Nyatakan pecahan berikut dalam bentuk gambar e. 7 8 c. 9 f Sebutkan dua pecahan yang senilai dengan pecahan berikut. c Nyatakan pecahan-pecahan berikut dalam bentuk yang paling sederhan 0 c Menyatakan Hubungan Antara Dua Pecahan Perhatikan Gambar. di samping. Luas daerah arsiran pada Gambar. (a) menunjukkan dari luas keseluruhan. Adapun luas daerah arsiran pada Gambar (a) (b) Gambar.. (b) menunjukkan dari luas keseluruhan. Tampak bahwa luas arsiran pada Gambar. (b) lebih besar dari luas arsiran pada Gambar. (a) atau dapat ditulis atau. Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa untuk menyatakan hubungan dua pecahan, bandingkan pembilangnya, jika penyebut kedua pecahan sam Adapun jika penyebut kedua pecahan berbeda, untuk membandingkan pecahan tersebut, samakan terlebih dahulu penyebut kedua pecahan (dengan menentukan KPK dari penyebut kedua pecahan), kemudian bandingkan pembilangny Matematika Konsep dan Aplikasinya

7 Berilah tanda > atau < untuk setiap pernyataan berikut sehingga menjadi pernyataan yang benar (KPK dari dan adalah ) Karena maka atau (KPK dari 9 dan adalah 6) Karena maka atau Coba cek penyelesaian pada contoh di atas dengan menggunakan gambar. Apakah hasilnya sama?. Menentukan Letak Pecahan pada Garis Bilangan Pada bab sebelumnya kalian telah mempelajari letak bilangan bulat pada garis bilangan. Coba kalian ingat kembali garis bilangan pada bilangan bulat. 0 Gambar. Pada garis bilangan, bilangan pecahan terletak di antara dua bilangan bulat. Sebagai contoh, jika pada garis bilangan di atas, jarak antara dua bilangan bulat yang berdekatan kalian bagi dua maka garis bilangannya menjadi 0 Gambar.6 Adapun untuk letak pecahan yang lain, dapat kalian tentukan dengan membagi jarak antara dua bilangan bulat menurut besarnya penyebut. Pada garis bilangan, pecahan yang lebih besar berada di sebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada di sebelah kiri. (Berpikir kritis) Diskusikan dengan teman sebangkumu. Manakah yang lebih besar, pecahan atau? Mengapa? Jelaskan jawabanmu dengan menggunakan garis bilangan. Pecahan

8 Perhatikan Gambar.6. Pada garis bilangan di atas, tampak terdapat pecahan negatif. Pecahan negatif adalah pecahan yang nilainya lebih kecil daripada nol. Pecahan negatif menggunakan tanda negatif, misalnya,,, dan. Coba, letakkan pecahan,,, dan pada garis bilangan.. Susunlah pecahan,, dan dalam urutan naik, kemudian tentukan letaknya pada garis bilangan. Penyebut kedua pecahan belum sama, sehingga kita samakan dulu penyebutny 6 6 KPK dari,, dan adalah Jadi, urutan naik pecahan,, dan adalah,,. Letak pada garis bilangan sebagai berikut Gambar Buatlah garis bilangan pecahan. Kemudian, bandingkan pecahan berikut dengan memberi tanda < atau >. dan dan 0 Gambar.8 Karena terletak di sebelah kanan, maka. 0 Gambar.9 Karena terletak di sebelah kiri, maka. 6 Matematika Konsep dan Aplikasinya

9 6. Menentukan Pecahan yang Nilainya di Antara Dua Pecahan Misalkan, kita mempunyai pecahan dan. 6 6 Menurutmu, apakah ada bilangan pecahan yang terletak di antara pecahan dan? 6 6 Untuk menjawabnya, perhatikan bahwa = 6 dan. Kita peroleh bahwa. Jadi, pecahan 6 yang terletak di antara dan adalah. 6 6 Coba cek hal ini dengan menggambarnya pada garis bilangan. Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan tersebut. (Menumbuhkan kreativitas) Tentukan buah pecahan yang terletak di antara dan 7. Kemudian, ujilah jawabanmu dengan meletakkan pecahan dan pada garis 7 bilangan. Untuk menentukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan, langkah-langkahnya sebagai berikut. Samakan penyebut dari kedua pecahan. Kemudian, tentukan nilai pecahan yang terletak di antara kedua pecahan tersebut. Ubahlah lagi penyebutnya, jika belum diperoleh pecahan yang dimaksu Begitu seterusny Tentukan sebuah pecahan yang terletak di antara dan. 9 0 Karena belum diperoleh pecahan yang dimaksud maka masing-masing penyebutnya diperbesar lagi sehingga diperoleh Di antara pecahan dan terdapat pecahan Jadi, pecahan yang terletak di antara dan 9 adalah 0. Pecahan 7

10 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 7. Berilah tanda <, >, atau = sehingga,,,, 8 9 pernyataan berikut menjadi benar.. Sisipkan tepat tiga pecahan di antara 7... c.... pecahan berikut Susunlah pecahan berikut dalam urutan turun, kemudian tentukan letaknya pada garis bilangan.,, 8,,, 8 c.,, 6 9, 7,, 0 6. Urutkan pecahan-pecahan berikut dari yang terkecil.,, 7,, 6 c.,, 8 6,,. Urutkan pecahan-pecahan berikut dari yang terbesar.,, c. 7 8,, 6 dan 8 dan 9 c. dan dan Bandingkan pecahan-pecahan berikut dengan memberi tanda < atau >.... c Tentukan sebuah pecahan yang terletak di antara kedua pecahan berikut. dan c. dan 7 7 dan 6 dan 8 8 B. PERBANDINGAN DAN BENTUK-BENTUK PECAHAN. Pecahan sebagai Perbandingan Bagian dari Keseluruhan Telah kalian ketahui bahwa pecahan merupakan bagian dari keseluruhan. Apabila terdapat dua besaran yang dibandingkan, pecahan dikatakan sebagai perbandingan bagian dari keseluruhan. Perhatikan contoh berikut. 8 Matematika Konsep dan Aplikasinya

11 Seorang anak memiliki kelereng, yang terdiri atas kelereng warna merah, kelereng warna hijau, dan kelereng warna biru. Tentukan perbandingan kelereng warna merah terhadap hijau. Tentukan perbandingan kelereng warna merah terhadap biru. c. Tentukan perbandingan kelereng warna hijau terhadap biru. Perbandingan kelereng warna merah terhadap hijau adalah : atau :. Perbandingan kelereng warna merah terhadap biru adalah :. c. Perbandingan kelereng warna hijau terhadap biru adalah :.. Menyatakan Bilangan Bulat dalam Bentuk Pecahan Perhatikan garis bilangan berikut Gambar Dari Gambar.0 tersebut diperoleh Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentuk p pecahan, di mana p merupakan kelipatan dari q, q 0. q Pecahan 9

12 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Nyatakan perbandingan berikut ke bentuk paling sederhan : 66 c. km : m : 80, kg : kw. Uang saku Dono sebesar Rp.000,00. Sebanyak bagian dari uang tersebut dibelikan alat tulis. Berapa sisa uang saku Dono sekarang?. Tulislah bilangan bulat dari pecahanpecahan berikut c. 06. Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Pecahan Campuran dan Sebaliknya Ibu memiliki buah apel yang akan dibagikan kepada orang anaknya dengan sama besar. Bagian apel yang akan diperoleh tiap anak adalah satu apel dan setengah apel. Hal ini dapat dinyatakan sebagai : atau. Bentuk pecahan merupakan Gambar. bentuk pecahan campuran. Pecahan campuran terdiri atas bilangan bulat dan bilangan pecahan.. Nyatakan pecahan berikut ke dalam pecahan campuran. 7 6 Cara 8 Hasilnya, : = 8 sisa 8 Cara Matematika Konsep dan Aplikasinya

13 Cara Hasilnya, 7 : 6 = sisa Cara Ubahlah pecahan campuran berikut ke bentuk pecahan bias 9 7 Cara Cara Cara Cara Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. q Bentuk pecahan campuran p dengan r 0 dapat dinyatakan r dalam bentuk pecahan biasa Catatan: prq. r q q pr q prq p p r r r r r. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal dan Sebaliknya Coba kalian ingat kembali mengenai nilai tempat pada bilangan pecahan desimal. Perhatikan nilai tempat pada bilangan,67 berikut. Pecahan

14 , 6 7 (Menumbuhkan kreativitas) Carilah artikel mengenai penggunaan bilangan desimal dalam kehidupan sehari-hari. Bacalah koran, tabloid, buku-buku iptek, atau carilah di internet. Sajikan dalam sebuah laporan dan kumpulkan pada gurumu. perseribuan, nilainya atau 0, perseratusan, nilainya 7 atau 0,07 00 persepuluhan, nilainya 6 atau 0,6 0 satuan, nilainya puluhan, nilainya 0 ratusan, nilainya 00 Jika ditulis dalam bentuk panjang, diperoleh, ,6 0,07 0, Apabila suatu pecahan biasa atau campuran akan diubah atau dinyatakan ke dalam bentuk pecahan desimal, maka dapat dilakukan dengan cara mengubah penyebutnya menjadi 0, 00,.000, 0.000, dan seterusny Dapat pula dengan cara membagi pembilang dengan penyebutny Sebaliknya, untuk mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa/campuran dapat kalian lakukan dengan menguraikan bentuk panjangnya terlebih dahulu.. Ubahlah pecahan berikut ke dalam bentuk pecahan desimal. Cara ,7 Jadi, 0,7. Cara 0, 7, Matematika Konsep dan Aplikasinya

15 Cara 8,8 0 Cara,8, Nyatakan bilanganbilangan berikut menjadi pecahan biasa/ campuran yang paling sederhan,8 0,6 8, Cara Cara 6 6 0,6 0 0, : : 6 00 Perhatikan bentuk desimal,... Bentuk desimal seperti,... disebut bentuk desimal berulang. Untuk mengubah bentuk desimal berulang seperti di atas ke bentuk pecahan biasa dapat dilakukan dengan cara berikut. Pecahan

16 (Menumbuhkan inovasi) Diskusikan dengan temanmu. Tuliskan contoh bentuk pecahan desimal berulang. Lalu, ubahlah ke bentuk pecahan bias Jika perlu, gunakan kalkulator untuk membantu pekerjaanmu. Misalkan x =,... maka 0x =,... 0 x =,... x =,... 9 x = x = 9 x = 7 Jadi,,... = 7.. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen dan Sebaliknya (Menumbuhkan kreativitas) Bacalah koran, tabloid, internet, atau sumber lainny Temukan penggunaan persen dalam kehidupan sehari-hari. Ceritakan temuanmu di depan kelas. Dapatkah kalian mengubah bentuk dan ke bentuk perseratus? Bentuk pecahan perseratus seperti di atas disebut bentuk persen atau ditulis %, sehingga 0 0% dan 7 7% Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat dilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 00. Jika hal itu sulit dikerjakan maka dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan 00%. Adapun untuk mengubah bentuk persen ke bentuk pecahan biasa/campuran, ubahlah menjadi perseratus, kemudian sederhanakanlah.. Nyatakan pecahanpecahan berikut dalam bentuk persen , 8 8, 87, 87,% % 00 Matematika Konsep dan Aplikasinya

17 . Nyatakan bentuk persen berikut menjadi bentuk pecahan biasa/ campuran. % 0% % 00 : 00: 8 0 0% 00 0 : 0 00 : Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Permil dan Sebaliknya Pecahan dalam bentuk perseribu disebut permil atau ditulis. Bentuk pecahan 7 dikatakan 7 permil dan ditulis Dalam mengubah bentuk pecahan ke bentuk permil dapat dilakukan dengan mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut.000. Jika hal ini sulit dikerjakan maka dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan semula dengan.000. (Menumbuhkan kreativitas) Temukan penggunaan permil dalam kehidupan sehari-hari. Carilah di koran, internet, atau buku referensi lainnya untuk mendukung kegiatanmu. Hasilnya, kemukakan secara singkat di depan kelas.. Nyatakan pecahanpecahan berikut dalam bentuk permil Nyatakan bentuk permil berikut menjadi pecahan biasa/campuran., 90,,.000, : : Pecahan

18 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Nyatakan pecahan-pecahan berikut ke bentuk pecahan campuran. 8 c Tuliskan pecahan campuran berikut ke bentuk pecahan bias c Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pecahan desimal dengan pendekatan sampai satu tempat desimal. 9 e. % c. 0 f. 66. Nyatakan pecahan-pecahan desimal berikut ke bentuk pecahan bias 0, c.,666...,,.... Tuliskan bentuk persen berikut ke dalam bentuk pecahan biasa/campuran yang paling sederhan % c. 0% % % 6. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk persen. 8 c. 8 0, Ubahlah pecahan-pecahan berikut ke bentuk permil. 0,08 c., Bedu mempunyai uang sebesar Rp0.000,00. Jumlah uang Tika dan Adang 70% dari uang Bedu, sedangkan uang Tika diketahui dari uang Adang. Berapakah besarnya masing-masing uang Tika dan Adang? C. OPERASI HITUNG PECAHAN. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan bilangan bulat Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan pecahan dengan bilangan bulat, ubahlah bilangan bulat itu ke dalam bentuk pecahan dengan penyebut sama dengan penyebut pecahan itu. Kemudian, jumlahkan atau kurangkan pembilangnya 6 Matematika Konsep dan Aplikasinya

19 sebagaimana pada bilangan bulat. Jika pecahan tersebut berbentuk pecahan campuran, jumlahkan atau kurangkan bilangan bulat dengan bagian bilangan bulat pada pecahan campuran. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut... Diketahui jumlah dua bilangan pecahan adalah. Tentukan salah satu bilangan tersebut. Petunjuk: Soal di atas memiliki beberapa alternatif jawaban.. 7. Cara Cara 9 () 9 ( ) Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan pecahan Dalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutny Kemudian, baru dijumlahkan atau dikurangkan pembilangny Tentukan hasilny. 7.. KPK dari dan 7 adalah, sehingga diperoleh Pecahan 7

20 . Cara Cara (Berpikir kritis) Diskusikan dengan temanmu. Pada pengurangan bilangan bulat, tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif. Coba cek apakah hal ini juga berlaku pada pengurangan bilangan pecahan. Berikan contoh dan buatlah kesimpulanny Kemukakan hasilnya di depan kelas. c. Sifat-sifat pada penjumlahan dan pengurangan pecahan Coba kalian ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan bilangan bulat. Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c maka berlaku ) sifat tertutup: a + b = c; ) sifat komutatif: a + b = b + a; ) sifat asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c); ) bilangan (0) adalah unsur identitas pada penjumlahan: a + 0 = 0 + a = a; ) invers dari a adalah a dan invers dari a adalah a, sedemikian sehingga a + ( a) = ( a) + a = 0. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada penjumlahan bilangan pecahan, artinya sifat-sifat tersebut berlaku jika a, b, dan c bilangan pecahan. Coba buktikan hal ini dengan mendiskusikan bersama temanmu. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Tentukan hasil penjumlahan pecahan berikut dalam bentuk paling sederhan f. g. 6 c. e. h. i. j Matematika Konsep dan Aplikasinya

21 . Tentukan hasil pengurangan pecahan berikut dalam bentuk paling sederhan 6 f. ( ) g. 0 7 c. e. 7 h. 6 i. 8 j. 7. Perkalian Pecahan Perkalian pecahan dengan pecahan Untuk mengetahui cara menentukan hasil perkalian pada pecahan, perhatikan Gambar. di samping. Pada Gambar. tampak bahwa luas daerah yang diarsir menunjukkan pecahan bagian dari luas keseluruhan. 8 Di lain pihak, daerah yang diarsir menunjukkan perkalian. Jadi, dapat dikatakan bahwa luas daerah yang diarsir 8 sama dengan perkalian pecahan. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Gambar. Untuk mengalikan dua pecahan p q dan r s dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan p r p r penyebut atau dapat ditulis dengan q, s 0. q s q s Tentukan hasil perkalian pecahan berikut dalam bentuk paling sederhan : : Pecahan 9

22 : 0 : (Menumbuhkan inovasi) Diskusikan dengan temanmu. Coba cek bahwa sifatsifat operasi hitung perkalian bilangan bulat di samping juga berlaku pada perkalian bilangan pecahan, dengan memisalkan a =, b =, dan c =. Sifat-sifat perkalian pada pecahan Ingat kembali sifat-sifat yang berlaku pada perkalian bilangan bulat berikut. Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c berlaku ) sifat tertutup: a b = c; ) sifat komutatif: a b = b a; ) sifat asosiatif: (a b) c = a (b c); ) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan: a (b + c) = (a b) + (a c); ) sifat distributif perkalian terhadap pengurangan: a (b c) = (a b) (a c); 6) a = a = a; bilangan adalah unsur identitas pada perkalian. Sifat-sifat ini juga berlaku pada perkalian bilangan pecahan. c. Invers pada perkalian Perhatikan perkalian bilangan berikut. 8 8 Pada perkalian-perkalian bilangan di atas, adalah invers perkalian (kebalikan) dari. Sebaliknya, adalah invers perkalian (kebalikan) dari. 60 Matematika Konsep dan Aplikasinya

23 Dari uraian tersebut dapat dikatakan bahwa hasil kali suatu bilangan dengan invers (kebalikan) bilangan itu sama dengan. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Invers perkalian dari pecahan p q adalah q p perkalian dari q p adalah p q. atau invers Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannya maka hasilnya sama dengan. Bedakan pengertian lawan dan invers suatu bilangan pecahan. Lawan dari pecahan p q adalah p q. Invers dari pecahan p q adalah q p. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan berikut dalam bentuk yang paling g. sederhan 6 h i. 6 j. 7 7 c. 9. Tentukan invers perkalian bilangan-bilangan berikut. 6 e. 7 6 e. f. 9 c. f. 9. Pembagian Pecahan Kalian telah mempelajari bahwa operasi pembagian pada bilangan bulat merupakan invers (kebalikan) dari perkalian. Hal ini juga berlaku pada pembagian bilangan pecahan. Pecahan 6

24 (Berpikir kritis) Diskusikan dengan temanmu. Buktikan bahwa pada operasi pembagian pecahan tidak berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Buktikan pula pada operasi pembagian pecahan berlaku sifat tertutup. Perhatikan uraian berikut. 7 : : Dengan mengamati uraian di atas, secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk sebarang pecahan p q dan r dengan q 0, r 0, s p r p s s 0 berlaku : q s q r di mana s merupakan kebalikan r r (invers) dari. s Tentukan hasil pembagian bilangan berikut ini.. : 8. 7 : 8. : : : : Perpangkatan Pecahan Bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat positif Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahas perpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat positif. Di kelas IX nanti kalian akan mempelajari perpangkatan pada pecahan dengan pangkat bilangan bulat negatif dan nol. Pada bab sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa pada bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif berlaku n a a a.. a, untuk setiap bilangan bulat n faktor 6 Matematika Konsep dan Aplikasinya

25 Dengan kata lain, perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sam Definisi tersebut juga berlaku pada bilangan pecahan berpangkat. Perhatikan uraian berikut. 8 n... n faktor Dari uraian di atas, secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat p dan q dengan q 0 dan m bilangan bulat positif berlaku m p p p p... q q q q m faktor Dalam hal ini, bilangan pecahan p q disebut bilangan pokok. Tentukan hasil operasi perpangkatan pecahan berikut. ( ) ( ) Pecahan 6

26 (Berpikir kritis) Diskusikan dengan temanmu. Dengan mengamati pembuktian pada sifat-sifat bilangan bulat berpangkat di halaman 8 9, tunjukkan berlakunya sifat-sifat perpangkatan pada bilangan pecahan berpangkat bilangan bulat positif di samping. Sifat-sifat bilangan pecahan berpangkat Coba kalian ingat kembali sifat-sifat pada bilangan bulat berpangkat bilangan bulat positif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada bilangan pecahan berpangkat sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan q 0 dan m, n bilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut. m m p p m q q p p p q q q m n m n m n m n p p p : q q q n p p q q m m n Tentukan nilai perpangkatan berikut.. :... : Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Pecahan Coba ingat kembali aturan-aturan yang berlaku pada operasi hitung campuran bilangan bulat berikut. 6 Matematika Konsep dan Aplikasinya

27 Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan ( ) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu. c. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan ( ), artinya operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan ( ). Aturan tersebut juga berlaku pada operasi hitung campuran pada bilangan pecahan. Sederhanakanlah bentukbentuk berikut () Pecahan 6

28 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Tentukan hasil pembagian bilangan berikut. c. : : e. : f. 9 : 8 6 : 6 7 : 7 9. Tentukan hasil pembagian bilangan berikut. : : 6 e. : 7 : c. : f. :. Tentukan hasil perpangkatan berikut. 7 : 8 6. Operasi Hitung pada Pecahan Desimal Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal dilakukan pada masing-masing nilai tempat dengan cara bersusun. Urutkan angka-angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan, dan seterusnya dalam satu kolom. e. 8 c. f.. Tentukan nilai p dan q dari persamaanpersamaan berikut. 8 p = 6 6 = 6 p q c.. 9 = p + q 9 p q. Diketahui a =, b =, dan c =. Tentukan nilai dari b c; (b c) a; abc; e. b c; c. ab ac; f. ab : c. Hitunglah hasil operasi hitung berikut.. 8,6 +,7.,6 6,68 + 8,. 8,6,7 0,89 +.,6 6,68 7,68 8, +,89 66 Matematika Konsep dan Aplikasinya

29 Perkalian pecahan desimal Untuk menentukan hasil perkalian bilangan desimal, perhatikan contoh berikut. Hitunglah hasil perkalian berikut.., 7,6. 0,7,. Cara ,7,6, Cara, 7, , ( angka di belakang koma) ( angka di belakang koma) ( + = angka di belakang koma). Cara 7 0,7, , Cara 0,7 ( angka di belakang koma), 0 ++ ( angka di belakang koma) 6 008,86 ( + = angka di belakang koma) Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Hasil kali bilangan desimal dengan bilangan desimal diperoleh dengan cara mengalikan bilangan tersebut seperti mengalikan bilangan bulat. Banyak desimal hasil kali bilangan-bilangan desimal diperoleh dengan menjumlahkan banyak tempat desimal dari pengalipengaliny Hasil perkalian bilangan desimal dengan 0, 00,.000, dan seterusnya diperoleh dengan cara menggeser tanda koma ke kanan sebanyak angka nol bilangan pengali. Pecahan 67

30 c. Pembagian pecahan desimal Perhatikan contoh berikut. Hitunglah hasilny. 0,96 :,6., :,8 Hasil pembagian bilangan desimal dengan 0, 00,.000, dan seterusnya diperoleh dengan cara menggeser tanda koma ke kiri sebanyak angka nol dari bilangan pembagi.. Cara Cara ,96 0,96 :,6 : 0,96 :,6 00 0, , , ,6 6 0,6 0. Cara Cara 8,, :,8 :, :,8 00 0,8 0, ,8 00.0,.800, 80 Dari contoh di atas, diskusikan dengan temanmu cara menentukan hasil bagi dua bilangan desimal. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Selesaikanlah operasi hitung berikut.. Selesaikanlah operasi hitung berikut. 0,7 + 0,8 +,,, +,6 0, c. 9,,0 +,9, + 6,,87 :0,0. Tentukan hasilny, 0, c.,6, c. 0,, 6,, 0, 0,7. Hitunglah hasilny 0,8 :, c.,086 : 0, 0,9 : 0,0 8 6, :, 7, :, 68 Matematika Konsep dan Aplikasinya

31 D. PEMBULATAN DAN BENTUK BAKU PECAHAN. Pembulatan Pecahan Perhatikan aturan pembulatan pecahan desimal berikut ini. Apabila angka yang akan dibulatkan lebih besar atau sama dengan, maka dibulatkan ke atas (angka di depannya atau di sebelah kirinya ditambah dengan ). Apabila angka yang akan dibulatkan kurang dari, maka angka tersebut dihilangkan dan angka di depannya (di sebelah kirinya) tetap. Diketahui harga bensin pada bulan Maret 008 adalah Rp.00,00/liter. Apabila seorang pengendara motor membeli di sebuah pompa bensin sebesar Rp0.000,00, maka pada skala penunjuk satuan (liter) akan menunjukkan angka berapa? Berapa hasilnya jika angka tersebut dibulatkan sampai satuan liter terdekat? Bandingkan hasilnya dengan temanmu. Bulatkan pecahan desimal berikut sampai dua tempat desimal. 0,79 6,6 c.,79 0,79 = 0,79 (angka < dihilangkan) 6,6 = 6, (angka 6 >, maka angka dibulatkan ke atas) c.,79 =,7 (angka 9 >, maka angka dibulatkan ke atas) Untuk menghindari kesalahan dalam pembulatan, jangan membulatkan bilangan dari hasil pembulatan sebelumny Perhatikan contoh berikut.,67 =,6 (benar, pembulatan sampai tempat desimal) =,6 (salah, seharusnya pembulatan dilakukan dari bilangan semula),67 =,6 (pembulatan sampai tempat desimal). Menaksir Hasil Operasi Hitung Pecahan Pada Bab, kalian telah mempelajari cara menaksir hasil perkalian dan pembagian pada bilangan bulat. Hal tersebut juga berlaku untuk menaksir hasil perkalian dan pembagian pada bilangan desimal. Perhatikan contoh berikut. Untuk membulatkan bilangan sampai satu tempat desimal, perhatikan angka desimal yang ke-. Adapun untuk membulatkan bilangan sampai dua tempat desimal, perhatikan angka desimal yang ke-, begitu seterusny Pecahan 69

32 Taksirlah hasil operasi pada bilangan pecahan berikut.,,6,0, c. 8,76 :,,9 : 6,,,6 = 9,0, = c. 8,76 :, 8 : = 7,9 : 6, : 6 = (Menumbuhkan kreativitas) Diskusikan dengan temanmu. Seperti kalian ketahui matematika selalu berhubungan dengan ilmu atau bidang lain. Misalnya dalam ilmu fisika atau biologi yang mempelajari mengenai jarak antara bumi dan matahari atau ukuran dari sebuah sel. Carilah data-data yang berkaitan dengan ilmu fisika atau biologi yang penulisannya menggunakan bentuk baku. Carilah di buku, media massa, atau di internet untuk mendukung kegiatanmu.. Bentuk Baku Pecahan Dalam bidang ilmu pengetahuan alam, sering kali kalian menemukan bilangan-bilangan yang bernilai sangat besar maupun sangat kecil. Hal ini terkadang membuat kalian mengalami kesulitan dalam membaca ataupun menulisny Misalnya sebagai berikut. Panjang jari-jari neutron kira-kira 0, m. Jumlah molekul dalam 8 gram air adalah Untuk mengatasi kesulitan tersebut, ada cara yang lebih singkat dan lebih mudah, yaitu dengan menggunakan notasi ilmiah yang sering disebut penulisan bentuk baku. Dalam penulisan bentuk baku, digunakan aturan-aturan seperti pada perpangkatan bilangan. Perhatikan perpangkatan pada bilangan pokok 0 berikut ini. 0 = 0 0 = 0 0 = 00 0 = = = = = 0 = 0 = dan seterusny 70 Matematika Konsep dan Aplikasinya

33 Jika dituliskan dalam bentuk baku maka diperoleh panjang jari-jari neutron = 0, m =,7 0 m; jumlah molekul dalam 8 gram air = = 6,0 0. Secara umum, ada dua aturan penulisan bentuk baku suatu bilangan, yaitu bilangan antara 0 sampai dengan dan bilangan yang lebih dari 0 sebagai berikut. Bentuk baku bilangan lebih dari 0 dinyatakan dengan a 0 n dengan a < 0 dan n bilangan asli. Bentuk baku bilangan antara 0 sampai dengan dinyatakan dengan a 0 n dengan a < 0 dan n bilangan asli.. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku c. 0,08 0,00. Nyatakan bilanganbilangan berikut dalam bentuk desimal.,7 0, = 6, =, c. =,9 0 8 (pembulatan sampai tempat desimal) 8 0, ,8 00,8,80 0, 0,00 000, 0, 0,7 0 =, = 7.00,6 0 =,6.000 =.60 Pecahan 7

34 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Bulatkan bilangan berikut sampai satu tempat desimal.,8 c.,76,6,. Bulatkan bilangan berikut sampai dua tempat desimal. 0,6 c.,876 0,0,6. Nyatakan pecahan berikut sebagai pecahan desimal, kemudian bulatkan sampai dua tempat desimal. c e. f Taksirlah hasil operasi bilangan berikut ini.,6 7,8,8, c. 89,6 :,87 6,86 : 6,. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku dengan pembulatan seperti tertulis dalam kurung ( tempat desimal) ( tempat desimal) c. 0,007 ( tempat desimal) 0,0000 ( tempat desimal) 6. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk bilangan bulat atau desimal.,7 0 c.,86 0 9,6 0,9 0 E. MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI- HARI YANG BERKAITAN DENGAN PECAHAN Pak Togar seorang karyawan di sebuah perusahaan. Setiap bulan ia menerima gaji Rp80.000,00. Dari gaji tersebut bagian digunakan untuk kebutuhan rumah tangga, bagian untuk membayar pajak, Upah seluruhnya adalah bagian, sehingga bagian yang ditabung bagian 60 0 bagian bagian 60 bagian dari gaji seluruhny 60 7 Matematika Konsep dan Aplikasinya

35 bagian untuk biaya pendidikan anak, dan sisanya ditabung. Berapa bagiankah uang Pak Togar yang ditabung? Berapa rupiahkah bagian masing-masing kebutuhan? Bagian masing-masing kebutuhan sebagai berikut. Kebutuhan rumah tangga Rp80.000,00 Rp80.000,00 Membayar pajak Rp80.000,00 Rp68.000,00 Biaya pendidikan anak Rp80.000,00 Rp0.000,00 Sisa uang yang ditabung Rp80.000,00 60 Rp8.000,00 Suatu negara membuat sebuah kebijakan ekonomi yang berisi bahwa harga-harga yang naik sebesar 0% akan diturunkan sebesar 8 %. Bagaimanakah kondisi harga barang mula-mula 7 dengan harga sekarang? Berikan pendapatmu dan buatlah suatu kesimpulan. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. Pada penerimaan siswa baru di sebuah SMP swasta terdapat pendaftar dan hanya 7% yang memenuhi kriteria penerimaan. Dari calon siswa yang memenuhi kriteria tersebut hanya bagian yang diterim Berapa jumlah siswa baru yang memenuhi kriteria penerimaan? Berapa persen siswa baru yang diterima di SMP tersebut?. Beti memiliki uang sebesar Rp00.000,00. Jumlah uang Toni dan Intan 80% dari uang Beti, sedangkan uang Toni diketahui dari uang Intan. 7 Berapakah besar masing-masing uang Toni dan Intan? Pecahan 7

36 . Ayah mempunyai uang Rp70.000,00. Kemudian 8 dari uang tersebut dibagikan kepada ketiga anaknya yang 9 masing-masing memperoleh bagian,, dan dari uang yang dibagikan. Tentukan jumlah uang yang diteri ma masing-masing anak.. Seorang pengusaha meminjam modal Rp ,00 di bank dengan bunga tunggal sebesar %. Jika ia meminjam dalam jangka waktu tahun, tentukan besarnya pinjaman yang harus dikembalikan tiap bulan. p. Pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai, q dengan p, q bilangan bulat dan q 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut.. Pecahan merupakan bilangan yang menggambarkan bagian dari keseluruhan.. Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang bernilai sam. Pecahan senilai diperoleh dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sam p. Suatu pecahan, q q 0 dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan faktor persekutuan terbesarny 6. Jika penyebut kedua pecahan berbeda, untuk membandingkan pecahan tersebut, nyatakan menjadi pecahan yang senilai, kemudian bandingkan pembilangny 7. Pada garis bilangan, pecahan yang lebih besar berada di sebelah kanan, sedangkan pecahan yang lebih kecil berada di sebelah kiri. 8. Di antara dua pecahan yang berbeda selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan tersebut. 9. Setiap bilangan bulat p, q dapat dinyatakan dalam bentuk p pecahan, di mana p merupakan kelipatan dari q, q 0. q 7 Matematika Konsep dan Aplikasinya

37 q 0. Bentuk pecahan campuran p dengan r 0 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa. r p r q r. Untuk mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen dapat dilakukan dengan cara mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 00. Jika hal itu sulit dilakukan maka dapat dilakukan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan 00%.. Untuk menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan, samakan penyebut kedua pecahan tersebut, yaitu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian baru dijumlahkan atau dikurangkan pembilangny. Untuk menentukan hasil perkalian dua pecahan dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.. Invers perkalian dari pecahan p q adalah q p atau invers perkalian dari q p adalah p q.. Suatu bilangan jika dikalikan dengan invers perkaliannya hasilnya sama dengan. 6. Untuk sebarang pecahan p q dan r s dengan q 0, r 0, s 0 berlaku p : r p s. q s q r 7. Untuk sebarang bilangan bulat p dan p, q 0 dan m bilangan p p p p bulat positif berlaku.... q q q q m m faktor Bilangan pecahan p q disebut sebagai bilangan pokok. 8. Untuk sebarang bilangan bulat p, q dengan q 0 dan m, n bilangan bulat positif berlaku sifat-sifat berikut. p q m p q m m m n mn p p p q q q Pecahan 7

38 m n mn p p p c. : q q q m p p q q n mn 9. Penjumlahan dan pengurangan pecahan desimal dilakukan pada masing-masing nilai tempat dengan cara bersusun. Urutkan angka-angka ratusan, puluhan, satuan, persepuluhan, perseratusan dan seterusnya dalam satu kolom. 0. Hasil kali bilangan desimal dengan bilangan desimal diperoleh dengan cara mengalikan bilangan tersebut seperti mengalikan bilangan bulat. Banyak desimal hasil kali bilangan-bilangan desimal diperoleh dengan menjumlahkan banyak tempat desimal dari pengali-pengaliny. Bentuk baku bilangan lebih dari 0 dinyatakan dengan a 0 n dengan a < 0 dan n bilangan asli.. Bentuk baku bilangan antara 0 sampai dengan dinyatakan dengan a 0 n dengan a < 0 dan n bilangan asli. Setelah mempelajari mengenai Pecahan, materi manakah yang menarik bagimu? Mengapa? Kemukakan pendapatmu di depan kelas. Kerjakan di buku tugasmu. A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.. 8 c. 9 Daerah arsiran pada gambar di atas menunjukkan pecahan Matematika Konsep dan Aplikasinya

39 . Di antara pecahan berikut yang senilai dengan pecahan 8 adalah c Bentuk sederhana dari 86 9 adalah... c.. Tiga buah pecahan yang terletak di antara 8 dan c. 6 7,, dan ,, dan 6,, dan 6 6 6,, dan adalah.... Pernyataan di bawah ini benar, kecuali... 0, % c. invers dari 8 adalah 8 0% 6. Hasil dari adalah c Hasil dari : adalah... 0 c Nilai dari, + 8,76, adalah...,8 c. 8,8 8,8 8,8 9. Hasil dari 7 c = Bentuk baku dari 0,0006 adalah...,6 0 c.,6 0,6 0,6 0 Pecahan 77

40 B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.. Tulislah pecahan yang sesuai dengan daerah yang diarsir pada gambar berikut. Kemudian masing-masing nyatakan dalam bentuk desimal dan persen.. Selesaikan operasi hitung berikut. : 6 c. : Selesaikan operasi hitung berikut. 0,7 +, 0,6 6,,8 +, c. 8, 0, 9,6 : 0,. Ubahlah pecahan berikut dalam bentuk desimal, kemudian bulatkan sampai tiga tempat desimal. 9 9 c. 7. Tulislah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku dengan pembulatan sampai satu tempat desimal ,00000 c , Matematika Konsep dan Aplikasinya