PEDAHULUA Laar Belakang Menduga dan meramal sae yang idak bisa diamai secara langsung dari suau kejadian ekonomi adalah ening Pemerinah melalui bank senral dan ara regulaor daa menggunakan informasi enang nilai asar, seeri nilai ukar maa uang yang diharakan ada sae yang idak bisa diamai menyangku bidang ekonomi sebagai acuan unuk membua okok kebakan dan keuusan, sebagai conoh, memuuskan kebakan moneer Perubahan nilai ukar maa uang meruakan suau kejadian yang bisa erjadi kaan saja dalam eriode waku yang anjang Dengan asumsi erubahan yang erjadi ada waku yang lalu mungkin erjadi kembali di masa mendaang, sehingga hal ini meruakan suau roses sokasik Fakor enyebab kejadian (sae) ersebu daa berkembang menuru model ranai Markov di mana sae yang akan daang hanya diengaruhi oleh sae sekarang dan bebas erhada sae yang lalu Jika enyebab kejadian idak diamai secara langsung (hidden) dan membenuk ranai Markov maka asangan kejadian dan enyebabnya daa dimodelkan dengan model Hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM) Menghilangnya ara invesor dari Indonesia selama erjadinya krisis keuangan dalam kurun waku ahun 997-999, menyisakan banyak ermasalahan idak hanya di bidang ekonomi ai juga ada sekor erdagangan dan ariwisaa Dengan kondisi oliik, sosial, dan keamanan yang sudah mulai kondusif, sanga ening sekali bagi emerinah unuk menarik ara invesor luar dan dalam negeri kembali menanamkan modal mereka di negeri ini Ramalan nilai ukar maa uang Ruiah erhada US Dollar meruakan suau informasi ening yang daa digunakan emerinah unuk menenukan kebakan di bidang ekonomi, erdagangan, dan ariwisaa Fakor uama enyebab melemahnya nilai ukar Ruiah erhada US Dollar anara lain insabilias oliik, sosial, ekonomi, dan keamanan amun kejadian-kejadian ini idak diamai secara langsung (hidden) Permasalahan yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah enggunaan model dere waku Hidden Markov dalam menggambarkan erilaku nilai ukar Ruiah erhada US Dollar Dalam dere waku Hidden Markov, kejadian yang diamai selain diamai oleh fakor enyebab kejadian, juga diengaruhi oleh kejadian sebelumnya Dalam model ini akan dicari enduga arameer yang akan memaksimumkan eluang erjadinya suau kejadian Meode Maimum Likelihood dan algorima Eecaion Maimum adalah meode yang digunakan unuk endugaan arameer ersebu Seelah endugaan arameer yang memaksimumkan eluang erjadinya suau kejadian didaakan, maka diharakan daa dilakukan suau enarikan kesimulan yang oimal dan eramalan sae Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: Memelajari dere waku Hidden Markov sau waku sebelumnya besera enduga arameernya Menggunakan dere waku Hidden Markov dalam masalah nilai ukar Ruiah erhada US Dollar LADASA TEORI Ruang Conoh, Kejadian dan Peluang Definisi (Percobaan Acak) Suau ercobaan yang daa diulang dalam keadaan yang sama di mana hasil dari ercobaan ini idak daa diebak dengan ea namun daa dikeahui semua kemungkinan hasilnya disebu ercobaan acak Definisi (Ruang Conoh dan Kejadian) Himunan dari semua kemungkinan hasil yang muncul dari suau ercobaan acak disebu ruang conoh, dinoasikan dengan Ω Suau kejadian A adalah himunan bagian dari Ω
Definisi 3 (Medan-σ ) Medan-σ adalah suau himunan F yang anggoanya adalah himunan bagian dari ruang conoh Ω sera memenuhi syara-syara sebagai beriku: a φ F Jika,, F maka U Ai F c c Jika A F maka A F b A A Definisi 4 (Ukuran Peluang) Ukuran eluang P ada (Ω,F) adalah fungsi :, yang memenuhi: a P ( φ) = P ( Ω) = P F [ ] b Jika A, A, F adalah himunan yang saling leas, yaiu Ai Aj = φ unuk seia asangan i, j di mana i j, maka P U Ai = P( Ai ) Pasangan (Ω, F, P) disebu ruang eluang Teorema (Koninu Absolu) Jika v dan µ meruakan dua ukuran eluang ada (Ω,F) Ukuran eluang v dikaakan koninu absolu erhada ukuran eluang µ jika µ A= maka va=, unuk seia A F Dinoasikan v µ [buki liha Royden, 963] Teorema (Radon ikodym) Jika P dan P meruakan dua ukuran eluang ada ( Ω,F) dan P P, maka erdaa eubah acak ak negaif sehingga P( C) = dp unuk semua C F c Dinoasikan dp dp F = [buki liha Wong dan Hajek, 985] Definisi 5 (Peluang Bersyara) Jika P ( B) > maka eluang bersyara dari kejadian A seelah dikeahui kejadian B adalah P( A B) P( A B) = P( B) Definisi 6 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian dikaakan saling bebas jika P ( A B) = P( A) P( B) Misal I adalah himunan indeks Himunan A : i I disebu saling bebas jika kejadian { } i ( ) P( I A ) = P A J i i J unuk seia himunan bagian berhingga J dari I Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 7 (Peubah Acak) Misalkan F adalah medan-σ dariω Peubah acak meruakan fungsi : Ω R ω Ω : ( ω) F unuk seia di mana { } R Peubah acak akan dinoasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari eubah acak ersebu dinoasikan dengan huruf kecil Definisi 8 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari eubah acak adalah suau fungsi F : R [,] di mana F ( ) = P( ) Definisi 9 (Peubah Acak Diskre) Peubah acak dikaakan eubah acak diskre jika nilainya hanya ada himunan,, K dari R bagian yang erhiung { } Definisi (Fungsi Keraaan Peluang) Fungsi keraaan eluang dari eubah f : R, acak diskre adalah fungsi [ ] di mana P ( ) = P( = ) Definisi (Peubah Acak Koninu) Peubah acak disebu eubah acak koninu jika fungsi sebarannya daa dinyaakan sebagai F ( ) = f ( u) du unuk suau fungsi f : R (, ) yang erinegralkan Selanjunya fungsi f = f disebu fungsi keekaan eluang (robabiliy densiy funcion) bagi
3 Definisi (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak) Fungsi sebaran bersama dua eubah acak dan Y meruakan suau fungsi [,] F : R yang didefinisikan oleh F(, y) = P(, Y y) Definisi 3 (Fungsi Sebaran dan Keekaan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Koninu) Peubah acak dan Y disebu eubah acak koninu yang menyebar bersama jika unuk seia, y R fungsi sebaran bersamanya daa dieksresikan sebagai beriku y F(, y) = f ( u, v) dudv unuk suau fungsi : [,] f R yang erinegralkan Fungsi f di aas disebu fungsi keekaan eluang bersama dari eubah acak koninu dan Y, f (, y) = F(, y) y Definisi 4 (Fungsi Keekaan Peluang Marjinal) Misalkan dan Y adalah eubah acak koninu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran F(, y ) dan fungsi keekaan eluang bersama f (, y ) Fungsi keekaan eluang marjinal dari eubah acak dan Y adalah beruru-uru f ( ) = f (, y) dy f ( y) = f (, y) d Y Definisi 5 (Fungsi Keekaan Peluang Bersyara) Misalkan dan Y eubah acak koninu dengan fungsi keekaan eluang marjinal fy ( y ) >, maka fungsi keekaan eluang bersyara dari dengan syara Y = y adalah f Y f Y (, y) ( y) = fy ( y) ilai Haraan Definisi 6 (ilai Haraan Peubah Acak Diskre) Misalkan adalah eubah acak diskre dengan fungsi keraaan eluang P ( ) = P( = ) maka nilai haraan dari adalah E = P [ ] ( ) asalkan jumlah di aas konvergen mulak [Hogg dan Craig, 995] Definisi 7 (ilai Haraan Peubah Acak Koninu) Misalkan adalah eubah acak koninu dengan fungsi keekaan eluang f () maka nilai haraan dari adalah E [ ] = f ( ) d asalkan inegralnya ada [Hogg dan Craig, 995] Definisi 8 (ilai Haraan Bersyara) Misalkan dan Y adalah eubah acak koninu dan f Y ( y) adalah fungsi keekaan eluang bersyara dari dengan syara Y = y, maka nilai haraan dari dengan syara Y = y adalah [ ] E Y = y = f ( y) d Y [Hogg dan Craig, 995] Teorema 3 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian ) Jika f koninu ada [a,b], maka fungsi g yang didefinisikan oleh g( ) = a f ( ) d a b adalah koninu ada [a,b] dan erdiferensialkan ada (a,b) dan g = f ( ) ( ) [Sewar, 998] Definisi 9 (Himunan dan Fungsi Konveks) Misalkan S R adalah himunan vekor Maka S disebu sebagai himunan konveks jika unuk semua, S dan λ [,] maka ( λ) + λ S Misalkan f meruakan fungsi dengan eubah yang erdefinisi ada himunan konveks S
4 Maka f disebu sebagai fungsi konveks jika f memenuhi ersamaan f (( λ) + λ ) ( λ) f ( ) + λ f ( ) [Osborne, 997] Teorema 4 (Fungsi Konveks) Misalkan f memiliki urunan kedua f adalah fungsi konveks jika dan hanya jika f ( ), S dan meruakan sricly conve jika f ( ) >, S [buki liha Osborne, 997] Teorema 5 (Keaksamaan Jensen) Misalkan R adalah eubah acak Ε berhingga dan g( ) adalah dengan [ ] fungsi konveks Maka Ε[ g ] g( Ε [ ] ) Ranai Markov ( ) [buki liha Weissein, 999] Definisi (Ruang Sae) Misalkan K R meruakan nilai dari barisan eubah acak, maka K disebu ruang sae Definisi (Proses Sokasik) Proses sokasik S = { S, T}, adalah suau koleksi (gugus, himunan, aau kumulan) dari eubah acak yang memeakan suau ruang conoh Ω ke suau ruang sae K Dalam hal ini diangga sebagai waku dan nilai dari eubah acak S sebagai sae (keadaan) dari roses ada waku Definisi (Ranai Markov) Suau roses sokasik S = { S, T} disebu ranai Markov jika P( S = s S = s, S = s,, S = s ) = P( S = s S = s ) Definisi 3 (Ranai Markov dengan Waku Diskre) S, =,,,, Proses sokasik { } dengan ruang sae {,,3,, }, disebu ranai Markov dengan waku diskre jika unuk seia { =,,, } berlaku P( S = j S = i, S = i,) = P( S = j S = i) = unuk semua kemungkinan nilai dari i, i, i,, i, i, j,,3,, { } Jadi unuk suau ranai Markov, sebaran bersyara dari sebarang sae saa ini S denga syara sae yang lalu S, S, S,, S dan sae kemarin S adalah bebas erhada semua sae yang lalu, dan hanya berganung ada sae kemarin Hal ini disebu sebagai sifa Markov (Markovian Proery) Proses di aas daa digambarkan sebagai -sae ranai Markov dengan eluang ransisi { } i, j=,,3,, ilai dari menyaakan eluang bahwa, jika roses ersebu berada ada sae i, maka berikunya akan beralih ke sae j Karena adalah nilai eluang dan roses ersebu harus berransisi, maka i i, j,,3,,, unuk { } ii =, unuk i {,,3,, } j= Peluang ransisi ini daa diulis dalam benuk mariks P yang disebu sebagai mariks ransisi L P = L ( ) = M M M M L dengan j menyaakan baris dan i menyaakan kolom dari mariks P Definisi 4 (Mariks Transisi) Misalkan { S,,,, } adalah ranai Markov dengan ruang sae{,,3,, } Mariks ransisi P =( ) dari eluang ransisi = P( S = j S = i) unuk i j { },,,, adalah mariks Definisi 5 (Terakses) Peluang bahwa ada waku ke-k roses berada ada sae j dengan syara sae awal adalah i dinoasikan dengan ( k ) Suau sae
5 j disebu erakses dari sae i (noasi : i j ), jika minimal ada sebuah bilangan bula k sehingga ( k) > di mana ( k) adalah eluang bahwa ada waku ke-k roses berada ada ada sae j dengan syara sae awal adalah i Definisi 6 (Berkomunikasi) Dua sae i dan j dikaakan berkomunikasi (noasi : i j ), jika sae i daa diakses dari sae j dan sae j daa diakses dari sae i Definisi 7 (Kelas Sae) Suau kelas dari sae adalah suau gugus (himunan) ak kosong C sehingga semua asangan sae yang meruakan anggoa dari C adalah berkomunikasi sau dengan yang lainnya, sera ak ada sae yang meruakan anggoa C yang berkomunikasi dengan suau sae yang bukan anggoa dari C Definisi 8 (Ranai Markov Tak Tereduksi) Ranai Markov disebu ak ereduksi jika hanya erdaa sau kelas sae (sau gugus eruu sae), yaiu jika semua sae berkomunikasi sau dengan yang lainnya Definisi 9 (Firs-PassageTime Probabiliy) f menyaakan eluang bahwa mulai dari sae i, roses berransisi unuk erama kali ke sae j, erjadi ada waku n Peluang ini disebu firs-assage ime robabiliy Jadi unuk seia n=,,3, n k f = P( = j, j unuk semua k n = ) i, j {,,,}, dan () f = unuk semua i, j {,,,} Selanjunya, unuk seia i, j {,,,}, kia definisikan f f n= = Definisi 3 (Recurren dan Transien) Sae i disebu recurren jika f =, dan disebu ransien jika f ii < ii Teorema 6 (Recurren dan Transien) Sae i adalah recurren jika n= ii = dan ransien jika n= ii < Definisi 3 (Periode, Periodik, dan Aeriodik) Suau sae i disebu memiliki eriode d jika ii = unuk semua n yang idak habis dibagi d, dan d adalah bilangan bula erbesar yang memenuhi sifa ini Dengan kaa lain, suau sae i disebu memiliki eriode d jika d adalah ersekuuan embagi erbesar (he greaes common divisor) bagi n sehingga ii > Suau sae dengan eriode sama dengan sau disebu aeriodik, sedangkan sae dengan eriode disebu eriodik Definisi 3 (Posiive Recurren dan ull Recurren) Suau sae disebu berulang osiif (osiive recurren) jika sae ersebu adalah berulang (recurren) sera berlaku : jika roses dimulai dari sae i maka nilai haraan dari waku samai roses ersebu kembali ke sae i adalah bilangan erhingga (finie) Sae recurren yang idak idak osiive recurren disebu null recurren Definisi 33 (Ergodic) Ranai Markov dengan osiive recurren dan aeriodik disebu ergodic Teorema 7 (Ranai Markov Ergodic Tak Tereduksi) Unuk ranai Markov ergodic ak ( ) ereduksi lim n ada dan nilainya ak n erganung dari i π j = lim, j n π j adalah solusi unik ak negaif dari π = π j j π = j= j [buki liha Ross, 996]
6 Definisi 34 (Vekor Peluang Seady Sae) Vekor eluang π = { π, π, π3,, π }, yang seia komonennya menyaakan bahwa roses akan beruru-uru berada ada sae,,3,, unuk n di mana P( S = j) = P( S = j S = i) P( S = i) = P( S = i) = π j disebu vekor eluang seady sae aau sebaran seady sae Karena π adalah vekor eluang, maka harus memenuhi syara bahwa semua unsurnya adalah bilangan ak negaif sera jumlah semua unsurnya adalah sama dengan sau Sebaran seady sae sering juga disebu sebaran sasioner, aau sebaran seimbang (equilibrium disribuion) dari ranai Markov yang bersangkuan Algorima Eecaion Maimizaion (EM) P, Θ adalah himunan Misalkan { } ukuran eluang yang erdefinisi ada ( Ω, F ) dan koninu absolu erhada P Misalkan Y F Fungsi Likelihood yang digunakan unuk menghiung enduga arameer berdasarkan informasi Y``adalah dp L( ) =Ε * Y dp * Penduga maksimum likelihood (MLE) didefinisikan oleh ˆ arg ma L( ) Θ Umumnya MLE suli unuk dihiung secara langsung, oleh karena iu algorima Eecaion Maimizaion (EM) memberikan suau meode aroksimasi berulang (ieraif) Langkah-langkah dalam meode ersebu adalah: Se nilai awal arameer ˆk dengan k = * * Se = ˆk dan hiung Q(, ) dengan * dp Q(, ) =Ε * log Y dp * * 3 Cari ˆ arg ma Q (, ) k+ Θ 4 Gani k dengan k+ dan ulangi langkah samai 4 hingga krieria heninya ercaai Misalkan g( ) = log Karena urunan kedua dari g( ) selalu osiif g( ) = log = >, > maka g( ) meruakan fungsi konveks Lemma Berdasarkan keaksamaan Jensen, karena g( ) = log meruakan fungsi konveks maka daa dihasilkan barisan ˆ,, yang meruakan fungsi likelihood { k } yang ak urun yaiu log L( ˆ ) log L( ˆ ) Q( ˆ, ˆ ) k+ k k+ k * Benuk Q(, ) disebu Pseudo Likelihood bersyara Buki liha Lamiran MODEL HIDDE MARKOV Model Hidden Markov erdiri aas seasang roses sokasik { S, Y } S dengan sae {,,, } adalah roses enyebab kejadian yang idak diamai secara langsung dan membenuk ranai Markov Sedangkan Y adalah roses observasinya Karakerisik roses enyebab kejadian hanya bisa diamai melalui roses observasinya Karakerisik model Hidden Markov dicirikan oleh arameer-arameernya yaiu mariks ransisi dari enyebab kejadian, sera nilai haraan dan ragam dari roses observasinya Pada saa maka roses yang diamai normal dengan nilai haraan S berada ada sae j ( j) S =, Y menyebar µ j dan ragam σ j Fungsi keraaan eluang bersyara dari Y dengan syara S = j adalah ( y µ ) j f ( y S = j; ) = e () πσ j σ j dengan j=,,, adalah vekor arameer oulasi yang memua µ, µ,, µ dan σ, σ,, σ