5. INTERPOLASI PENDAHULUAN Bentuk umum persamaan polinomial orde n adalah: f() = a + a. + a. +.. + a n. n Untuk n+ titik data, hanya terdapat satu polinomial orde n atau kurang yang melalui semua titik. orde orde orde menghubungkan titik menghubungkan titik menghubungkan 4 titik Gambar 5. INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON Bentuk umum interpolasi polinomial orde n adalah: f n ()=b +b.(- )+b.(- ).(- )+...+b n.(- ).(- ) (- n- ) (5.) Persamaan interpolasi polinomial Newton orde, ditulis dalam bentuk, f () = b + b.(- ) (5.) Berdasarkan titik data yang ada, kemudian dihitung koefisien b dan b. Koefisien b dihitung dari pers. (5.) dengan memasukkan nilai =, f( ) = b + b.( - ) b = f( ) (5.) Pers. (5.) disubstitusikan ke pers. (5.) dan kemudian dimasukkan nilai =, maka diperoleh b, f( ) = f( ) + b.( - ) f() f() b = (5.4) Persamaan interpolasi polinomial Newton orde, ditulis dalam bentuk, f () = b + b.(- ) + b.(- ).(- ) (5.5) Berdasarkan titik data yang ada, kemudian dihitung koefisien b, b dan b. Koefisien b dihitung dari pers. (5.5) dengan memasukkan nilai =, f( ) = b + b.( - ) + b.( - ).( - ) b = f( ) (5.6) Pers. (5.6) disubstitusikan ke pers. (5.5) dan kemudian dimasukkan nilai =, maka diperoleh b, f( ) = f( ) + b.( - ) + b.( - ).( - ) Ferianto Raharjo Analisa Numerik Interpolasi
b = f() f() (5.7) Pers. (5.6) dan (5.7) disubstitusikan ke pers. (5.5) dan kemudian dimasukkan nilai =, maka diperoleh b, f() f() f( ) = f( ) +.( - ) + b.( - ).( - ) atau b = f() f() f() f().( ( ).( ) b = f() f() f() f() ) (5.8) Persamaan interpolasi polinomial Newton orde n, ditulis dalam bentuk, f n ()=b +b.(- )+b.(- ).(- )+...+b n.(- ).(- ) (- n- ) (5.9) Seperti yang dilakukan dengan orde dan, titik-titik data dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien b, b, b,.. dan b n. Untuk interpolasi polinomial orde n, diperlukan n+ titik data,,,.., n. Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, persamaan berikut digunakan untuk mengevaluasi koefisien, b = f( ) b = f[, ] b = f[,, ] (5.) M b n = f[ n, n-,..,, ] dengan evaluasi fungsi berkurung ([..]) adalah pembagian beda hingga. Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien-koefisien pada pers. (5.), yang kemudian disubstitusikan ke dalam pers. (5.9) untuk mendapatkan interpolasi polinomial Newton. Pembagian beda hingga yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang lebih rendah, seperti pada tabel 5.. Tabel 5.. Bentuk grafis pembagian beda hingga i i f( i ) Satu Dua Tiga f( ) f[, ] f[,, ] f[,,, ] f( ) f[, ] f[,, ] f( ) f[, ] f( ) Ferianto Raharjo Analisa Numerik Interpolasi
Contoh 5.: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton orde, hitunglah nilai ln =,69478 dan ln 6=,79759469. Nilai eksak ln 4 =,86946 i i f( ) Satu,69478,74657 6,79759469 f (4) =,69478 +,74657.(-) =,4454,86946,4454 % =,8%,86946 Contoh 5.: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton orde, hitunglah nilai ln =,69478, ln =,98689 dan ln 6 =,79759469. Nilai eksak ln 4 =,86946 i i f( i ) Satu Dua,69478,454659 -,464,98689,496 6,79759469 f (4) =,69478 +,454659.(-),464.(-).(-) =,4686974,86946,4686974 % = -,%,86946 Contoh 5.: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton orde, hitunglah nilai ln =,69478, ln =,98689, ln 5 =,69479 dan ln 6 =,79759469. Nilai eksak ln 4 =,86946 i i f( i ) Satu Dua Tiga,69478,454659 -,574,644,98689,5548 -,4675 5,69479,8557 6,79759469 Ferianto Raharjo Analisa Numerik Interpolasi
f (4) =,69478 +,454659.(-),574.(-).(-) +,644.(-).(-).(-5) =,95694,86946,95694 % = -,5%,86946 Contoh 5.4: Misalkan anda memenangkan suatu undian, dan kepada anda diberikan pilihan untuk menerima Rp., sekarang atau Rp. 7., setiap tahun selama 5 tahun. Hubungan antara nilai sekarang (P) dan sederetan pembayaran tahunan (A) diberikan oleh informasi berikut dari tabel bunga. Tingkat Suku Bunga (%) A/P (n = 5 tahun) 5,98,48 5,785,458 di mana A/P adalah perbandingan pembayaran tahunan terhadap keuntungan sekarang. Jadi bila tingkat suku bunga 5%, pembayaran 5 tahunan (A) yang ekivalen dengan pembayaran sekarang (P) Rp., dihitung sebagai: A = (A/P).P =,98.(Rp.,) = Rp. 596.64, Gunakan interpolasi polinomial Newton orde untuk menentukan tingkat suku bunga, di mana menerima Rp., sekerang menjadi keputusan yang lebih baik. A = (A/P).P (Rp. 7.) = (A/P).(Rp.,) (A/P) =,5 i i f( i ) Satu Dua Tiga,98 5 8,657796-7,964979 4,64888,48,44854-56,9778,785 5 9,988897,458 f (,5) = 5 + 8,657796.(-,98) 7,964979.(-,98).(-,48) + 4,64888. (-,98).(-,48).(-,785) =,65468% Ferianto Raharjo Analisa Numerik Interpolasi 4
INTERPOLASI POLINOMIAL LAGRANGE Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan interpolasi polinomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Interpolasi polinomial Lagrange orde f () = f( ) + (- ).f[, ] (5.) Pembagian beda hingga yang ada pada pers. (5.) mempunyai bentuk, f() f() f[, ] = atau f[, ] = f() f() + Substitusi pers. (5.) ke dalam pers. (5.) memberikan hasil, f () = f( ) +.f( ) +.f( ) (5.) Dengan mengelompokkan suku di ruas kanan, maka persamaan di atas menjadi, f () = +.f( ) +.f( ) atau f () =.f( ) +.f( ) (5.) Pers. (5.) dikenal sebagai interpolasi polinomial Lagrange orde. Interpolasi polinomial Lagrange orde Dengan prosedur yang sama, untuk interpolasi polinomial Lagrange orde akan didapat: f ()=.f( )+.f( )+ Interpolasi polinomial Lagrange orde n Secara umum bentuk interpolasi Lagrange orde n adalah: dengan n.f( ) (5.4) f n () = L i ().f(i) (5.5) i= n L i () = j= i j i j j (5.6) di mana simbol merupakan perkalian. Dengan pers. (5.5) dan (5.6) dapat dihitung interpolasi Lagrange orde yang lebih tinggi. Misalnya untuk interpolasi Lagrange orde, persamaannya adalah: Ferianto Raharjo Analisa Numerik Interpolasi 5
dengan f () = L i ().f(i) = L ().f( )+L ().f( )+L ().f( )+L ().f( ) i= L () = L () = L () = L () = Contoh 5.5: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange orde, hitunglah nilai ln =,69478 dan ln 6=,79759469. Nilai eksak ln 4 =,86946 = f( ) =,69478 = 6 f( ) =,79759469 6 f (4) =.,69478 +.,79759469 6 6 =,4455,86946,4455 % =,8%,86946 Contoh 5.6: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange orde, hitunglah nilai ln =,69478, ln =,98689 dan ln 6 =,79759469. Nilai eksak ln 4 =,86946 = f( ) =,69478 = f( ) =,98689 = 6 f( ) =,79759469 6 6 f (4) =.,69478+.,98689 6 6 +.,79759469 6 6 =,468697,86946,4686974 % = -,%,86946 Ferianto Raharjo Analisa Numerik Interpolasi 6
Contoh 5.7: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange orde, hitunglah nilai ln =,69478, ln =,98689, ln 5 =,69479 dan ln 6 =,79759469. Nilai eksak ln 4 =,86946 = f( ) =,69478 = f( ) =,98689 = 5 f( ) =,69479 = 6 f( ) =,79759469 L (4) = L (4) = L (4) = L (4) = 5 6 5 6 5 6 5 6 6 5 5 5 6 5 6 6 6 5 = -,66666667 =,666666667 =.666666667 = -,66666667 f (4) = (-,66666667).,69478 +,666666667.,98689 +.666666667.,69479 + (-,66666667).,79759469 =,9569,86946,9569 % = -,5%,86946 Ferianto Raharjo Analisa Numerik Interpolasi 7