Interpolasi. Metode Numerik POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

Transkripsi

1 POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Interpolasi Metode Numerik Zulhaydar Fairozal Akbar 2017

2 TOPIK Pengenalan Interpolasi Jenis Interpolasi Interpolasi Linier Interpolasi Kuadrat Intepolasi Lagrange Interpolasi Newton 2

3 Pengenalan Teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui. Cara menentukan harga fungsi f dititik x x $, x & dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui x $, x ',, x & x x 0 x 1 x 2. x n f(x) f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ). f(x n ) 3

4 Interpolasi vs Ekstrapolasi Ekstrapolasi : prediksi terhadap titik-titik yang akan muncul dimana adanya perluasan data di luar data yg tersedia. 4

5 Jenis Interpolasi Interpolasi Linier Interpolasi Kuadrat Interpolasi Lagrange Interpolasi Newton 5

6 Interpolasi Linier y L(x) f(x) x 0 x 1 x 6

7 Interpolasi Linier Ide dasar : pada saat data dalam bentuk tabel tidak begitu bervariasi, sehingga memungkinkan untuk dilakukan pendekatan dengan menggunakan sebuah garis lurus di antara dua titik yang berdekatan. 7

8 Interpolasi Linier Menentukan titik titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus. Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P ' x ', y ' dan P + x +, y + dapat dituliskan dengan : y y ' y + y ' = x x ' x + x ' Persamaan Interpolasi Linier : y = y + y ' x + x ' x x ' + y ' 8

9 Contoh Interpolasi Linier (1) Diketahui data sebagai berikut : x ' x + x y Tentukan harga y pada x = 6. 5? 6.5? x y x = 6.5 terletak antara x = 6 dan x = 7 y ' y + y = y + y ' x + x ' x x ' + y ' y = =

10 Contoh Interpolasi (1) Alternatif 2 : x = 6.5 terletak di antara x = 1 & x = 7 y = y + y ' x + x ' x x ' + y ' y = y = y = 45 10

11 Contoh Interpolasi (1) x y Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut. Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya? Jika kita lihat persamaan fungsi sumbu y, f(x) = x +, maka untuk harga x = 6.5 di dapat y = (6.5) + = Kesalahan mutlak E = =

12 Contoh Interpolasi (1) Kesalahan mutlak (E), untuk : y = = = 25% Sedangkan untuk : y = = = 325% 12

13 Contoh Interpolasi (2) Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaran untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan. Kecepatan (mil/jam) Jarak henti (feet) Perkiraan jarak hentik yang dibutuhkan bagi sebuah kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam. 13

14 Contoh Interpolasi (2) Maka untuk mencari nilai x = 45, y = y + y ' x + x ' x x ' + y ' y = y = y = y = = feet 14

15 Interpolasi Linier Algoritma Interpolasi Linier : 1. Tentukan dua titik P ' dan P + dengan koordinatnya masing-masing (x ', y ' ) dan (x +, y + ). 2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari. 3. Hitung nilai y dengan : 4. Tampilkan nilai titik yang baru Q(x, y) y = y + y ' x + x ' x x ' + y ' 15

16 Interpolasi Linier Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga tertentu melalui garis lurus. Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dst. 16

17 Interpolasi Kuadrat Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi kuadratik, memerlukan 3 titik data. Bentuk polinomial orde ini adalah : f(x) = ax + + bx + c 17

18 Interpolasi Kuadrat y f(x) L(x) x 0 h x 1 h x x 2 18

19 Interpolasi Kuadrat Titik titik data (x $, y $ ), (x ', y ' ), (x +, y + ) + y $ =a $ +a ' x $ +a + x $ + y ' =a $ +a ' x ' +a + x ' + y + =a $ +a ' x ' +a + x + Hitung a $, a ', dan a + dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi Gauss Hitung dengan rumus interpolasi kuadratik : y = y ' x x + x x \ x ' x + x ' x \ + y + x x ' x x \ x + x ' x + x \ +y \ x x ' x x + x \ x ' x \ x + 19

20 Contoh Soal Interpolasi Kuadrat (1) Diberikan titik ln (8.0) = , ln (9.0) = , dan ln (9.5) = Tentukan nilai ln (9.2) dengan interpolasi kuadratik. Diketahui : x $ = 8.0, y $ = , x ' = 9.0, y ' = , x + = 9.5, y + = Ditanya : Nilai ln (9.2) =? Sistem persamaan yang terbentuk adalah : a $ a ' a + = a $ a ' a + = a $ a ' a + =

21 Contoh Soal Interpolasi Kuadrat (1) Perhitungan secara manual, diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss : a $ a ' a + = a $ a ' a + = a $ a ' a + = R21( 1) R31( 1) R12( 8) R32( 1.5) R31( ' $.^_ ) R13(72) R23( 17) Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan a $ = , a ' = , a + = Polinom kuadratnya adalah: p + x = a $ + a ' x + a + x + p = p =

22 Contoh Soal Interpolasi Kuadrat (1) Perhitungan menggunakan rumus interpolasi kuadratik : y = y ' x x + x x \ x ' x + x ' x \ + y + x x ' x x \ x + x ' x + x \ +y \ x x ' x x + x \ x ' x \ x + Diketahui : x ' = 8.0, y ' = , x + = 9.0, y + = , x \ = 9.5, y \ = x = 9.2, y =? y = y = =

23 Interpolasi Kuadrat Algoritma Interpolasi Kuadrat: 1. Tentukan tiga titik P ' x ',y ', P + x +, y + da P \ x \, y \. 2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari. 3. Hitung nilai y dengan rumus interpolasi kuadratik : y = y ' x x + x x \ x ' x + x ' x \ + y + x x ' x x \ x + x ' x + x \ +y \ x x ' x x + x \ x ' x \ x + 4. Tampilkan nilai x dan y 23

24 Soal Interpolasi Linier Perkiraan atau prediksi jumlah penduduk Gunungsari pada tahun 2005 berdasarkan data tabulasi berikut : Tahun Jumlah Penduduk

25 Soal Interpolasi Kuadrat Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda padat berbentuk parabola. Dengan data sebagai berikut : t (detik) Y(m) Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat t=7 detik. 25

26 Jawaban Dipunyai: x 0 = 2000, x 1 = 2010, y 0 = , y 1 = Ditanya: Prediksi jumlah penduduk gunungsaripadatahun Misalkan x = 2005 p ' x = y $ + (y ' y $ )(x x $ ) x ' x $ ( )( ) p ' 2005 = p ' 2005 = Jadi, diperkirakan jumlah penduduk gunungsaripadatahun 2005 adalah orang. 26

27 Jawaban Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah: a $ + 5,0 a ' + 25,00 a + = 2,01 a $ + 6,5 a ' + 42,25 a + = 2,443 a $ + 8,0 a ' + 64,00 a + = 2,897 Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss ,5 42, ,01 2,443 2,897 R2, R1 1 R3, R ,5 17, ,01 0,443 0,887 R2 1 1, , ,01 0, ,887 R1, R2 5 R3, R , , ,5 0, , ,021 R3 1 4,5 27

28 Jawaban , , , , ,00467 R1, R3(32,5) R2, R3(11,5) , ,235 0,00467 Diperoleh : a $ = 0,71733, a ' = 0,235, a + = 0,00467 Sehingga Polinom Kuadratnya adalah: p + x = 0, ,235x + 0,00467x + Sehingga p + 7 = 2,588 Jadi,diprediksi, pada t = 7 detik tinggi bola 2,588 m. 28

29 Interpolasi Lain Secara umum, penentuan polinomial dengan cara tersebut kurang disukai, karena mempunyai kemungkinan yang jelek terutama untuk derajat polinomial yang semakin tinggi. Terdapat beberapa metode polinom interpolasi : Polinom Lagrange Polinom Newton 29

30 Interpolasi Lain Secara umum, penentuan polinomial dengan cara tersebut kurang disukai, karena mempunyai kemungkinan yang jelek terutama untuk derajat polinomial yang semakin tinggi. Terdapat beberapa metode polinom interpolasi : Polinom Lagrange Polinom Newton 30

31 Interpolasi Lagrange Polinom berderajat satu : p ' x = y $ + (d ef d g )(hf h g ) h e f h g Dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi : (x x ' ) (x x $ ) p ' x = y $ + y x $ x ' ' x ' x $ Atau dapat dinyatakan dalam bentuk (*) p ' x = a $ L $ (x) + a ' L ' (x) Dimana : a $ = y $ a ' = y ' L $ x = (x x ' ) L x $ x ' x = (x x $ ) ' x ' x $ Persamaan * dinamakan Polinom Lagrange derajat 1. 31

32 Interpolasi Lagrange Pendekatan orde ke-1. f ' x = L $ x f x $ + L ' x f(x ' ) L $ x = x x ' x $ x ' L ' x = x x $ x ' x $ f ' x = x x ' x $ x ' f x $ + x x $ x ' x $ f(x ' ) 32

33 Interpolasi Lagrange Pendekatan orde ke-2. f + x = L $ x f x $ + L ' x f(x ' ) + L + x f(x + ) L $ x = x x ' x x + x $ x ' x $ x + i = 0 n = 2 j i L ' x = x x $ x x + L x ' x $ x ' x + x = x x $ + i = 2 x + x $ i = 1 n = 2 j i n = 2 j i x x ' x + x ' f + x = x x ' x $ x ' x x + x $ x + f x $ + x x $ x ' x $ x x + x ' x + f x ' + x x $ x + x $ x x ' x + x ' f x + 33

34 Interpolasi Lagrange Pendekatan orde ke-3. f \ x = L $ x f x $ + L ' x f(x ' ) + L + x f(x + ) +L \ x f(x \ ) f \ x = x x ' x $ x ' x x + x $ x + x x \ x $ x \ f x $ + x x $ x ' x $ x x + x ' x + x x \ x ' x \ f x ' + x x $ x + x $ x x ' x + x ' x x \ x + x \ f x + + x x $ x \ x $ x x ' x \ x ' x x + x \ x + f x \ 34

35 Interpolasi Lagrange Algoritma Interpolasi Lagrange: 1. Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui. 2. Memasukkan titik-titik yang diketahui P n = x n, y n untuk i = 1,2,3,, N 3. Tentukan x dari titik yang dicari. 4. Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange. 5. Tampilkan nilai x, y u y = p y n q (x x r) (x n x r ) nv' rtn 35

36 Contoh Interpolasi Lagrange Berapa nilai distribusi t pada α = 4%? α = 2.5% x $ = 2.5 f x $ = α = 5% x ' = 5 f x ' = α = 10% x + = 10 f x + =

37 Contoh Interpolasi Lagrange Pendekatan orde ke-1 f ' x = L $ x f x $ + L ' x f(x ' ) x $ = 2.5 f x $ = x ' = 5 f x ' = x + = 10 f x + = x = 4 f x =? f ' x = x x ' x $ x ' f x $ + x x $ x ' x $ f(x ' ) f ' x = f ' x =

38 Contoh Interpolasi Lagrange Pendekatan orde ke-2 f + x = L $ x f x $ + L ' x f(x ' ) + L + x f(x + ) x $ = 2.5 f x $ = x ' = 5 f x ' = x + = 10 f x + = x = 4 f x =? f + x = f + x =

39 Interpolasi Newton Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek: Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan. Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pada p &f' x dan p & x polinom Lagrange. Polinom Newton bisa mengatasi hal ini, dimana polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi. 39

40 Interpolasi Newton Persamaan Polinom Linier p ' x = y $ + d e fd g h y fh g x x $ Bentuk pers. Ini dapat ditulis : p ' x = a $ + a ' (x x $ ) Yang dalam hal ini a $ = y $ =f(x $ ) (1) Dan a ' = d e fd g h y fh g = z(h e)fz(h g ) h y fh g (2) Persamaan ini merupakan bentuk selisih terbagi (divided-difference) a ' = f x ', x $ 40

41 Interpolasi Newton Polinom Kuadratik p + x = a $ + a ' x x $ + a + x x $ x x ' p + x = p ' x + a + x x $ x x ' 41

42 Interpolasi Newton Jadi tahapan pembentukan polinom Newton : p ' x = p $ (x) + a ' x x $ p ' x = a $ + a ' x x $ p + x = p ' (x) + a + x x $ x x ' p + x = a $ + a ' x x $ + a + x x $ x x ' p \ x = p + (x) + a \ x x $ x x ' x x + p \ x = a $ + a ' x x $ + a + x x $ x x ' + a \ x x $ x x ' x x + 42

43 Interpolasi Newton Nilai konstanta a $, a ', a +,, a &, merupakan nilai selisih terbagi (ST), dengan nilai a $ = f(x $ ) a ' = f[x ', x $ ] a + = f[x +, x ',x $ ] a & = f[x &,x &f',, x ',x $ ] Yang dalam hal ini f x n, x r = f x n f(x r ) x n x r f x n, x r,x } = f x n,x r f(x r,x } ) x n x } f x &,x &f',, x ',x $ = f x &,x &f',, x ' f(x &f',x &f+,, x ',x $ ) x & x $ 43

44 Interpolasi Newton Tabel Selisih Terbagi i xi y i = f(x i ) ST-1 ST-2 ST-3 0 x 0 f[x 0 ] f[x 1,x 0 ] f[x 2,x 1,x 0 ] f[x 3,x 2,x 1,x 0 ] 1 x 1 f[x 1 ] f[x 2,x 1 ] f[x 3,x 2,x 1 ] 2 x 2 f[x 2 ] f[x 3,x 2 ] 3 x 3 f[x 3 ] p & x = f(x $ ) + f x ', x $ x x $ + f x +, x ', x $ x x $ x x ' + f[x &, x &f',, x ', x $ ] x x $ x x ' x x &f' 44

45 Contoh Soal Interpolasi Newton Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range [0,4] dan antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3. i x i y i = f(x i ) ST-1 ST-2 ST-3 ST-4 x x x x x

46 Contoh Soal Interpolasi Newton Cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel : f x ', x $ = f x ' f(x $ ) (x ' x $ ) = = f x +, x ' = f x + f(x ' ) (x + x ' ) = = f x +, x ', x $ = f x +, x ' f(x ', x $ ) x + x $ = ( ) =

47 Contoh Soal Interpolasi Newton Maka polinom newton derajat 1, 2, dan 3 dengan x 0 = 0 sebagai titik pertama : cos x p ' x = (x 0) cos x p + x = x (x 0)(x 1) cos x p \ x = x x 0 x (x 0)(x 1)(x 2) cos x p x = x x 0 x x 0 x 1 x (x 0)(x 1)(x 2)(x 3) 47

48 Contoh Soal Interpolasi Newton Nilai fungsi di x=2.5 dengan polinom derajat 3 adalah : cos 2.5 p \ 2.5 = (2.5 0)(2.5 1)(2.5 2) = Nilai eksak f(2.5) adalah f 2.5 = cos 2.5 = Jadi solusi hampiran mempunyai error : =

49 Soal Interpolasi Newton Diberikan pasangan nilai x 0 =1, f(x 0 )=0; x 1 =4, f(x 1 )= ; x2=6, f(x2)= ; x3=5, f(x3)= Buat tabel beda terbagi dari data tersebut Gunakan tabel beda terbagi diatas dalam menerapkan rumus interpolasi beda terbagi newton dengan x=2. 49

50 Soal Interpolasi Lagrange Dicari nilai ln(2) dengan metode interpolasi polinomial Lagrange order satu dan dua berdasar data ln(1)=0 dan data ln(6)= Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln(1) dan data ln(4)= Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, hitung pula besar error (nilai eksak ln(2) = ) 50

51 Praktikum Lagrange Cari nilai x = 0,5 ; x = 0.7 ; x = 0.9 ; x = 1, dengan polinom derajat 3. Hitung nilai error dari masing-masing x. X Y f(x) = cos x 51

52 Praktikum Newton Fungsi Awal : f(x) = cos (x) + x Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga, empat dan lima yang menghampiri f x = cos x + x dalam range [-5,-2.5] dan antar titik adalah 0.5. Lalu buat grafik polinom newton masing-masing derajat. 52