BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Transkripsi

1 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini dijelaskan metode Adams Bashforth-Moulton multiplikatif (M) orde empat beserta penerapannya. Metode tersebut memuat metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat dan metode Adams Moulton multiplikatif orde empat. Selanjutnya metode M orde empat dan metode Adams Bashforth-Moulton () orde empat digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah nilai awal PDBM orde satu. Nilai permulaan untuk kedua metode tersebut diperoleh dengan metode Runge-Kutta orde empat yang dinyatakan pada persamaan Metode Adams Bashforth Multiplikatif Orde Empat Metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal PDBM orde satu di, dengan ukuran langkah,,, dan, dikonstruksi berdasarkan hasil integrasi multiplikatif fungsi dan dalam interval, sehingga Fungsi pada persamaan tidak diketahui, dan fungsi bernilai positif serta diasumsikan kontinu pada. Karena metode yang dikonstruksi berorde empat, digunakan formula pembagian mundur Newton derajat tiga yang dinyatakan pada persamaan, untuk menginterpolasi di empat titik yang terurut dan berjarak sama,. Formula tersebut dinotasikan dan dinyatakan dengan 17

2 untuk dan. Berdasarkan persamaan, eror yang dihasilkan eksponensial interpolasi pembagian mundur Newton dinotasikan dan dinyatakan sebagai dengan dan. Berdasarkan persamaan, hubungan antara fungsi dan terhadap adalah Berdasarkan persamaan menjadi, integrasi multiplikatif fungsi pada persamaan Hasil integrasi multiplikatif fungsi pada ruas kiri persamaan diperoleh dengan aturan turunan multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan dan integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan, sehingga Fungsi pada persamaan dinyatakan dengan Berdasarkan persamaan, fungsi dinyatakan dengan 18

3 Fungsi dan pada persamaan dan kemudian dinyatakan sebagai fungsi dari variabel yaitu dan untuk, sehingga Karena dan bernilai positif untuk, serta dan terintegral pada, menurut sifat integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan, berlaku Hasil integrasi fungsi pada persamaan dan kemudian disubstitusikan ke persamaan, sehingga Integrasi multiplikatif terhadap fungsi pada persamaan dilakukan dengan terlebih dahulu menyatakan sebagai dengan dan adalah fungsi dari variabel yang bersesuaian dengan ruas kanan persamaan. Fungsi pada persamaan kemudian digunakan pada ruas kanan persamaan, sehingga Karena fungsi bernilai positif pada, serta dan terintegral pada, menurut sifat 3 integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan, berlaku 19

4 Karena,, dan terintegral pada, menurut sifat 1 dan 2 integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan, berlaku Dengan demikian persamaan menjadi Hasil integrasi fungsi pada ruas kanan persamaan Misal untuk fungsi, hasil integrasi fungsinya adalah ditentukan satu per satu. Hasil integrasi fungsi,, dan pada ruas kanan persamaan diperoleh dengan cara yang sama seperti hasil integrasi fungsi pada persamaan, sehingga persamaan menjadi 20

5 Hasil integrasi fungsi pada persamaan persamaan, sehingga kemudian disubstitusikan ke Berdasarkan persamaan dikonstruksi metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat untuk mendekati penyelesaian eksak masalah nilai awal di, yang dinyatakan dengan Notasi dan pada persamaan berturut-turut adalah nilai penyelesaian pendekatan di dan. Metode tersebut dapat digunakan dengan syarat diberikan nilai permulaan. Orde metode Adams Bashforth multiplikatif ditentukan menurut derajat formula pembagian mundur eksponensial Newton pada persamaan. Menurut Burden dan Faires [7], eror terpotong lokal metode numerik untuk penyelesaian persamaan diferensial adalah eror yang dinyatakan sebagai besaran dimana penyelesaian eksak gagal dipenuhi oleh penyelesaian pendekatannya, pada suatu langkah tertentu. Berdasarkan persamaan, ditentukan eror terpotong lokal metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat di. Eror tersebut dinotasikan dan dinyatakan dengan 21

6 Karena bernilai positif, Kurpinar dan Gurefe [9] memberikan asumsi pada dalam dengan. Hasil integrasi multiplikatif terhadap fungsi pada ruas kanan persamaan adalah untuk Metode Adams Moulton Multiplikatif Orde Empat Metode Adams Moulton multiplikatif orde empat yang digunakan untuk menyelesaikan PDBM orde satu di, dengan ukuran langkah,,, dan, dikonstruksi berdasarkan hasil integrasi multiplikatif fungsi dan dalam interval, sehingga Fungsi pada persamaan tidak diketahui, dan fungsi bernilai positif dan diasumsikan kontinu pada. Karena metode yang dikonstruksi berorde empat, digunakan formula pembagian mundur Newton derajat tiga untuk menginterpolasi di empat titik yang terurut dan berjarak sama,. Formula tersebut dinotasikan dan dinyatakan dengan untuk dan. Berdasarkan persamaan eror yang dihasilkan dari eksponensial interpolasi pembagian mundur Newton dinotasikan dan dinyatakan sebagai 22

7 dengan dan. Berdasarkan persamaan, hubungan antara fungsi dan terhadap fungsi adalah Berdasarkan persamaan, persamaan menjadi Hasil integrasi multiplikatif fungsi pada ruas kiri persamaan diperoleh dengan cara yang sama seperti hasil integrasi pada persamaan Fungsi pada persamaan dinyatakan dengan Berdasarkan persamaan, fungsi dinyatakan dengan Fungsi dan pada persamaan dan kemudian dinyatakan sebagai fungsi dari variabel yaitu dan untuk, sehingga Fungsi dan pada ruas kanan persamaan bernilai positif untuk, serta dan terintegral pada. Menurut sifat integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan, berlaku 23

8 Persamaan kemudian disubstitusikan ke persamaan, sehingga Integrasi multiplikatif fungsi pada ruas kanan persamaan dilakukan dengan terlebih dahulu menyatakan sebagai dengan dan adalah fungsi dari variabel yang bersesuaian dengan ruas kanan persamaan. Bentuk pada persamaan digunakan pada persamaan, sehingga Fungsi pada persamaan bernilai positif pada, serta dan terintegral pada. Menurut sifat 3 integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan, persamaan menjadi Fungsi,, dan terintegral pada, sehingga menurut sifat 1 dan 2 integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan, berlaku 24

9 Dengan demikian persamaan menjadi Hasil integrasi tiap fungsi pada ruas kanan persamaan satu. Misal untuk fungsi, hasil integrasinya adalah ditentukan satu per Hasil integrasi multiplikatif fungsi,, dan pada ruas kanan persamaan diperoleh dengan cara yang sama seperti hasil integrasi fungsi pada persamaan, sehingga Hasil integrasi multiplikatif fungsi pada persamaan kemudian disubstitusikan ke persamaan, sehingga Berdasarkan persamaan dikonstruksi metode Adams Moulton multiplikatif orde empat untuk mendekati penyelesaian eksak masalah nilai awal di, yang dinyatakan dengan 25

10 Metode tersebut dapat digunakan dengan syarat diberikan nilai permulaan. Orde metode Adams Moulton multiplikatif ditentukan menurut derajat formula pembagian mundur eksponensial Newton pada persamaan. Berdasarkan persamaan ditentukan eror terpotong lokal metode Adams Moulton multiplikatif orde empat di dan dinyatakan dengan. Eror tersebut dinotasikan Karena fungsi bernilai positif, Kurpinar dan Gurefe [9] memberikan asumsi pada dalam dengan, sehingga untuk Metode Adams Bashforth-Moulton Multiplikatif Orde Empat Metode M orde empat memuat metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat yang dinyatakan pada persamaan sebagai metode prediktor dan metode Adams Moulton multiplikatif orde empat yang dinyatakan pada persamaan sebagai metode korektor. Metode M orde empat yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal di, dengan nilai permulaan dinyatakan sebagai 26

11 Metode M orde empat dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem masalah nilai awal PDBM orde satu dengan menyatakan metode pada persamaan menjadi Notasi dan dinyatakan sebagai dengan dan Penerapan Metode Adams Bashforth-Moulton Multiplikatif Orde Empat Untuk Penyelesaian PDBM Orde Satu Dalam subbab ini metode M orde empat dan metode orde empat digunakan untuk menyelesaikan empat contoh masalah nilai awal PDBM orde satu. Perhitungan kedua metode tersebut menggunakan algoritma yang ditampilkan pada lampiran dan diselesaikan dengan bantuan software Mathematica 7. 27

12 Contoh Dari Boyce dan DiPrima [6] diberikan suatu contoh PDB orde satu. Suatu tangki berisi air 200 liter, dimasukan larutan garam berkonsentrasi pon/liter dengan laju 360 liter/jam, kemudian teraduk dengan alat pengaduk otomatis hingga merata. Campuran dialirkan ke luar tangki melalui pipa, dengan laju yang sama dengan laju masuknya larutan garam ke dalam tangki. Jumlah garam pada proses tersebut dinotasikan, sebagai fungsi dari variabel yang menunjukkan waktu. Laju perubahan jumlah garam dalam tangki dinyatakan sebagai masalah nilai awal PDB orde satu Ditentukan penyelesaian masalah nilai awal di menggunakan metode orde empat dan metode M orde empat, serta dibandingkan akurasi hasilnya. Untuk itu, masalah nilai awal dinyatakan ke bentuk masalah nilai awal PDBM orde satu Akurasi hasil penyelesaian kedua metode tersebut dibandingkan berdasarkan eror yang dirumuskan pada persamaan. Digunakan ukuran langkah yang bervariasi, yaitu 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, dan Hasil perhitungannya ditampilkan pada Gambar 4.1, Tabel 4.1, dan Tabel 4.2. Kedua tabel tersebut ditampilkan pada lampiran, sementara penyelesaian eksaknya adalah Berdasarkan Tabel 4.1, Tabel 4.2, dan Gambar 4.1 diketahui bahwa nilai eror yang dihasilkan kedua metode tersebut mengecil dengan diperkecilnya nilai. Selain itu, untuk yang sama, eror yang dihasilkan metode M orde empat lebih kecil dibandingkan eror yang dihasilkan metode orde empat di sebagian besar titik, yang bersesuaian dengan nilai tersebut. Oleh karena itu dengan banyak langkah yang sama, akurasi hasil metode M orde empat lebih baik dibandingkan metode orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal di titik tersebut. 28

13 M M M M M Gambar 4.1. Plot Nilai Eror Penyelesaian Masalah Nilai Awal di, Menggunakan Metode Orde Empat dan Metode M Orde Empat dengan Variasi Contoh Dari Burden dan Faires [7], diberikan suatu contoh masalah nilai awal PDB orde satu

14 M M M M M Gambar 4.2. Plot Nilai Eror Penyelesaian Masalah Nilai Awal di Menggunakan Metode Orde Empat dan Metode M Orde Empat dengan Variasi Ditentukan penyelesaian masalah nilai awal menggunakan metode orde empat dan metode M orde empat, serta di

15 dibandingkan akurasi hasilnya. Untuk itu, masalah nilai awal ke bentuk masalah nilai awal PDBM orde satu dinyatakan Akurasi hasil kedua metode tersebut dibandingkan berdasarkan eror yang dirumuskan pada persamaan. Digunakan nilai yang bervariasi, yaitu,,,, dan. Hasil perhitungannya ditampilkan pada Gambar 4.3, Tabel 4.5, dan Tabel 4.6. Kedua tabel tersebut ditampilkan pada lampiran, sementara penyelesaian eksaknya adalah Berdasarkan Tabel 4.3, Tabel 4.4, dan Gambar 4.2 diketahui bahwa nilai eror yang diperoleh kedua metode tersebut mendekati nol dengan diperkecilnya. Selain itu, untuk yang sama, eror yang dihasilkan metode M orde empat lebih besar dibandingkan eror yang dihasilkan metode orde empat di sebagian besar titik, yang bersesuaian dengan nilai tersebut. Oleh karena itu dengan banyak langkah yang sama, akurasi hasil metode orde empat lebih baik dibandingkan metode M orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal di titik tersebut. Contoh Dari Chapra dan Canale [8] diberikan suatu contoh masalah nilai awal PDB orde satu. Sejumlah radio-aktif kontaminan termuat dalam reaktor kimia tertutup dan diukur berdasarkan konsentrasinya. Konsentrasi kontaminan tersebut berubah seiring berubahnya waktu, dengan laju yang proporsional terhadap konsentrasinya. Laju perubahan konsentrasi kontaminan tersebut dinyatakan sebagai masalah nilai awal Notasi pada persamaan menunjukkan waktu dalam satuan hari, menunjukkan konsentrasi kontaminan pada waktu, dan menunjukkan konstanta positif dalam satuan hari. Ditentukan penyelesaian masalah nilai awal di menggunakan metode orde empat dan metode M orde 31

16 empat, serta dibandingkan akurasi hasilnya. Untuk itu, masalah nilai awal dinyatakan ke bentuk masalah nilai awal PDBM orde satu M M M M Gambar 4.3. Plot Nilai Eror Penyelesaian Masalah Nilai Awal di Menggunakan Metode Orde Empat dan Metode M Orde Empat dengan Variasi Akurasi hasil penyelesaian kedua metode tersebut dibandingkan berdasarkan eror yang dirumuskan pada persamaan. Digunakan hari, serta yaitu 0.1, 0.05, 0.025, dan Hasil perhitungannya ditampilkan pada Gambar 4.3, Tabel 4.5, dan Tabel 4.6. Tabel tersebut ditampilkan pada lampiran, sementara penyelesaian eksaknya adalah Berdasarkan Tabel 4.5, Tabel 4.6, dan Gambar 4.3 diketahui bahwa nilai eror yang dihasilkan kedua metode tersebut mengecil dengan diperkecilnya. Selain itu, untuk yang sama, eror yang dihasilkan metode M orde empat lebih

17 kecil dibandingkan eror yang dihasilkan metode orde empat di sebagian besar titik, yang bersesuaian dengan nilai tersebut. Oleh karena itu dengan banyak langkah yang sama, akurasi hasil metode M orde empat lebih baik dibandingkan metode orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal di titik tersebut. Contoh Dari Agarwal [1], diberikan suatu contoh sistem masalah nilai awal PDB orde satu. Agarwal [1] memperkenalkan suatu model matematika yang mendeskripsikan interaksi antara pertumbuhan sel tumor dan virus oncolytic, untuk memodelkan proses terapi tumor menggunakan virus tersebut. Terapi tumor dengan virus oncolytic mempertimbangkan dua jenis sel tumor, yaitu sel tumor yang tidak terinfeksi virus dan sel tumor yang terinfeksi virus. Jumlah populasi dua jenis sel tumor tersebut berturut-turut dinyatakan dan, sebagai fungsi dari variabel waktu. Asumsi dasar model ini adalah virus masuk ke dalam sel tumor, kemudian melakukan replikasi, menginfeksi, dan merusak sel tumor. Sel tumor yang telah terinfeksi, menginfeksi sel tumor yang lain. Berdasarkan asumsi tersebut, model yang diperkenalkan Agarwal [1] adalah Notasi, dan pada sistem persamaan adalah parameter model. Agarwal [1] melakukan simulasi numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan syarat awal dan per sel, serta dengan menggunakan 33

18 parameter yang secara hipotetis sesuai dan memenuhi kondisi kestabilan sistem, yaitu, dan. Tabel 4.7. Pendekatan Jumlah Sel Tumor Terinfeksi Virus Oncolytic Menggunakan Metode Orde Empat dan Metode M Orde Empat dengan Variasi Pendekatan di Pendekatan di No M M 1 20/ / / / / / / / / / / / / / / / Dalam penelitian ini digunakan metode orde empat dan metode M orde empat untuk menyelesaikan sistem persamaan di, dengan nilai parameter model yang sama seperti pada Agarwal [1]. Hasil penyelesaian menggunakan kedua metode tersebut kemudian dibandingkan. Digunakan nilai yang bervariasi, untuk mengetahui perbandingan hasil kedua metode tersebut dalam mendekati penyelesaian sistem persamaan, ketika diberikan nilai eror tertentu. Untuk itu, sistem persamaan dinyatakan ke bentuk sistem masalah nilai awal PDBM orde satu 34

19 Hasil perhitungan metode orde empat dan metode M orde empat ditampilkan pada Tabel 4.7 dan Gambar 4.4. Berdasarkan Tabel 4.7, penyelesaian sistem persamaan untuk di = 300 dan = 400 menuju suatu nilai pendekatan tertentu ketika diperkecil atau diperbesar. Hal serupa tampak pada Gambar 4.4, dimana penyelesaian pendekatan untuk di beberapa titik dalam interval mendekati bentuk kurva tertentu, ketika diperkecil. Karena penyelesaian eksak sistem persamaan tidak diketahui, digunakan eror yang dirumuskan pada persamaan untuk membandingkan hasil perhitungan kedua metode tersebut. Penyelesaian sistem persamaan untuk di = 300 menuju nilai Dengan diberikan eror yang tidak lebih dari, banyak langkah yang diperlukan metode M orde empat untuk mendekati nilai adalah sekitar 8160 langkah, lebih sedikit dibandingkan metode orde empat yang membutuhkan sekitar 9180 langkah. Dengan diberikan eror yang tidak lebih dari, banyak langkah yang diperlukan metode M orde empat untuk mendekati nilai adalah sekitar 8790 langkah, lebih sedikit dibandingkan metode orde empat yang membutuhkan sekitar 9180 langkah. Penyelesaian sistem persamaan untuk di menuju nilai Dengan diberikan eror yang tidak lebih dari, banyak langkah yang diperlukan metode M orde empat untuk mendekati nilai adalah sekitar langkah, lebih sedikit dibandingkan metode orde empat yang membutuhkan sekitar langkah. Dengan eror yang tidak lebih dari, banyak langkah yang diperlukan metode M orde empat untuk 35

20 mendekati nilai adalah sekitar langkah, lebih sedikit dibandingkan metode orde empat yang membutuhkan sekitar langkah. Gambar 4.4. Pendekatan Jumlah Sel Tumor Terinfeksi Virus Oncolytic Terhadap Waktu Menggunakan Metode Orde Empat dan Metode M Orde Empat dengan Variasi Berdasarkan Gambar 4.4 diketahui bahwa penyelesaian sistem persamaan untuk di menggunakan metode M orde empat dengan, berbeda dibandingkan nilai penyelesaian menggunakan metode orde empat dengan yang sama. Nilai tersebut tidak jauh berbeda dibandingkan nilai penyelesaian menggunakan metode orde empat dengan. Artinya, nilai pendekatan menggunakan metode M orde empat dengan, mendekati nilai pendekatan di titik yang sama menggunakan metode orde empat dengan. Berdasarkan Tabel 4.7 dan Gambar 4.4 diketahui bahwa penyelesaian sistem persamaan untuk di = 300 dan = 400, maupun di beberapa titik dalam interval, menggunakan metode orde empat dan metode M orde empat, menuju nilai tertentu ketika diperkecil. Dengan diberikan nilai eror tertentu, metode M orde empat lebih efisien mendekati penyelesaian pendekatannya dibandingkan metode orde empat, karena banyak langkah yang diperlukan lebih sedikit. 36

21 4.5. Perbandingan Hasil Perhitungan Metode Orde Empat dan Metode M Orde Empat pada Contoh PDBM Orde Satu Berdasarkan hasil perhitungan metode orde empat dan metode M orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh 4.4.1, Contoh 4.4.2, Contoh 4.4.3, dan Contoh disimpulkan beberapa hal berikut. Nilai eror yang diperoleh kedua metode dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh 4.4.1, Contoh 4.4.2, dan Contoh mendekati nol dengan diperkecilnya. Sementara, penyelesaian pendekatan masalah nilai awal pada Contoh mendekati nilai tertentu dengan diperkecilnya. Dengan diberikan nilai eror tertentu, metode M orde empat lebih efisien mendekati penyelesaian pendekatan masalah nilai awal pada Contoh dibandingkan metode orde empat, karena banyak langkah yang diperlukan lebih sedikit. Dengan banyak langkah yang sama, metode M orde empat memberikan akurasi hasil yang lebih baik dibandingkan metode orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh dan Contoh Kedua contoh masalah nilai awal tersebut memiliki penyelesaian eksak yang nilainya dipengaruhi oleh bentuk eksponensial dari variabel bebasnya. Namun dengan banyak langkah yang sama, metode M orde empat tidak memberikan akurasi hasil yang lebih baik dibandingkan metode orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh Masalah nilai awal pada Contoh memiliki penyelesaian eksak yang nilainya kurang dipengaruhi oleh bentuk eksponensial, tetapi dipengaruhi oleh bentuk polinomial dari variabel bebasnya. Berdasarkan hal tersebut, disimpulkan bahwa akurasi dan efisiensi hasil yang diperoleh metode M orde empat lebih baik dibandingkan metode orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal PDBM tertentu, seperti pada masalah nilai awal PDBM yang penyelesaiannya berupa fungsi eksponensial. 37