KNVERGENSI MDIFIKASI METDE PTRA - PTAK DENGAN MENGGUNAKAN KELENGKUNGAN KURVA TUGAS AKHIR Diajuka sbagai Salah Satu Sarat utuk Mmprolh Glar Sarjaa Sais pada Jurusa Matmatika lh: YUZI ANDRI SUHARYN 0800086 FAKULTAS SAINS DAN TEKNLGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 0
KNVERGENSI MDIFIKASI METDE PTRA-PTAK DENGAN MENGGUNAKAN KELENGKUNGAN KURVA YUZI ANDRI SUHARYN 0800086 Taggal Sidag : Mi 0 Priod Wisuda : Jui 0 Jurusa Matmatika Fakultas Sais da Tkologi Uivrsitas Islam Ngri Sulta Sari Kasim Riau Jl. HR. Sobratas No. Pkabaru ABSTRAK Mtod Potra-Ptak adalah salah satu mtod ag diguaka utuk mtuka akar-akar prsamaa oliir dga ord kovrgsi kubik. Kpata sbuah mtod itrasi dalam mdkati akar akar prsamaa oliir brgatug pada ord kovrgsia. Smaki tiggi ord kovrgsia maka itrasia smaki sdikit. lh kara itu, pulis mmodiikasi mtod Potra-Ptak dga mgguaka klgkuga kurva utuk migkatka ord kovrgsi. Brdasarka hasil kajia, diprolh baha modiikasi mtod Potra-Ptak dga mgguaka klgkuga kurva mghasilka sbuah prsamaa dga kovrgsi ord am. dga idks isisia sbsar,8 ag mlibatka tiga valuasi ugsi aitu,, da tiga valuasi turua,, Katakui: Klgkuga Kurva, Mtod Potra-Ptak, rd Kovrgsi vii
NVERGENE A MDIFIATIN PTRA-PTAK METHD BY USING URVATURE YUZI ANDRI SUHARYN 0800086 Dat o Fial Eam : Ma 0 Dat o Graduatio rmo : Ju 0 Dpartmt o Mathmatis Fault o Si ad Tholog Stat Islami Uivrsit o Sulta Sari Kasim Riau HR. Sobratas Strt No. Pkabaru ABSTRAT Potra-Ptak mthod is o mthod that usd to dtrmi th roots o oliar quatios ith ordr o ovrg thr. th spd o a mthod dpds o th ordr o ovrg i miimiig th umbr o itratio. Th highr th ordr o ovrg o itratio th lss. Thror, i this papr th author modiig Potra-Ptak mthod usig urvatur urv to improv th ordr o ovrg. Basd o th rsults o th stud, oud that th modiid mthod o Potra-Ptak b usig th urvatur o th urv produs a quatio ith ovrg ordr o si. Eii id is,8 ivolvig thr valuatio utios:,, ad thrdrivativ valuatio is,, Kords: Potra-Ptak mthod, urvatur, rdr o ovrg. vii
KATA PENGANTAR Sukur alhamdulillah pulis pajatka khadirat Allah SWT, ag tlah mlimpahka rahmat da hidaah-na shigga pulis dapat mlsaika tugas akhir ii tpat pada aktua. Tugas akhir ii mrupaka salah satu sarat klulusa tigkat sarjaa. Shalaat bsrta salam smoga trurahka kpada Nabi Muhammad SAW, mudah-mudaha slalu mdapat saa ata. Dalam pulisa, pusua da plsaia tugas akhir ii, pulis tlah baak mrima ptujuk, bimbiga da ashat dari brbagai pihak. Utuk itu pulis mguapaka trimakasih ag tak trhigga kpada kdua orag tua trita ibu da bapak ag slalu mmbrika do a da matri utuk mlsaika tugas akhir ii. Slajuta uapka trima kasih kpada :. Pro. Dr. H. M. Nasir slaku Rktor Uivrsitas Islam Ngri Sulta Sari Kasim Riau.. Dra. Yita Mora, M.Si. slaku Dka Fakultas Sais da Tkologi Uivrsitas Islam Ngri Sulta Sari Kasim Riau.. Ibu Sri Basriati, S.Si., M.S. slaku Ktua Jurusa Matmatika Fakultas Sais da Tkologi Uivrsitas Islam Ngri Sulta Sari Kasim Riau.. Bapak Wartoo, S.Si., M.S. slaku pmbimbig ag tlah baak mmbatu, mgarahka, mdukug, da mmbimbig pulis dalam pulisa Tugas Akhir ii.. Utuk adik-adikku, Dri Bahtiar da Nurilia Iah Asaria ag slalu mmbrika smagat. 6. Smua Pgurus FU-Assalam da adik-adik mtorig ag mmbrika smagat utuk mlsaika tugas akhir ii.. Sahabatku Matr lub : Vidi, Adi, Naar, Novi, Ali, Saihoi,u. 8. Kaga Podoka Salam : Mas Ag, Mas Bakti, Bag Yula da Wardi 9. Bapak da Ibu Dos di ligkuga FST UIN SUSKA Riau, khususa di Jurusa Matmatika. 0. Tma-tma MT Agkata 008 ag tidak bisa saa sbutka satuprsatu.
. Smua pihak ag tlah mmbri batua dari aal sampai slsai Tugas Akhir ii ag tidak bisa disbutka satu prsatu. Dalam pusua tugas akhir ii pulis tlah brusaha smaksimal mugki. Walaupu dmikia tidak trtutup kmugkia adaa ksalaha da kkuraga baik dalam pulisa maupu dalam pajia matri. Utuk itu pulis mgharapka kritik da sara dari brbagai pihak dmi ksmpuraa tugas akhir ii. Pkabaru, Mi 0 Yui Adri Suharoo
DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAAN... LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRAT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR SIMBL... DAFTAR SINGKATAN... DAFTAR LAMPIRAN... Halama ii iii iv v vi vii viii i i iii iv v vi vii BAB I BAB II PENDAHULUAN. Latar Blakag Masalah... I-. Rumusa Masalah... I-. Batasa Masalah... I-. Tujua Plitia... I-. Maaat Plitia... I-.6 Sistmatika Pulisa... I- LANDASAN TERI. rd Kovrgsi... II-. omputioal rdr o ovrg... II-. Idks Eisisi... II-. Drt Talor... II-. Mtod Nto da Kovrgsia... II-6 i
.6 Mtod Potra-Ptak da Kovrgsia... II-9. Klgkuga Kurva... II- BAB III METDLGI PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN. Modiikasi Mtod Potra-Ptak Mgguaka Klgkuga Kurva... IV-. Aalisa Kkovrga... IV-8. Simulasi Numrik... IV- BAB V PENUTUP. Ksimpula... V-. Sara... V- DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN DAFTAR RIWAYAT HIDUP ii
BAB I PENDAHULUAN. Latar Blakag Pada prsoala matmatika, srig kita tmuka masalah dalam mtuka akar-akar prsamaa oliir. Prsamaa oliir mlibatka btuk prsamaa aljabar, trasd, logaritma, trigoomtri da ampura. Mtod ag srig diguaka utuk mlsaika prsamaa oliir adalah mtod Nto dga ord kovrgsi brbtuk kuadratik. Mtod Nto srig diguaka utuk mlsaika prsama oliir kara mtod Nto pat mghampiri ilai ksak da mghasilka galat ag sagat kil, dga btuk umum ; 0. Dalam prkmbaga ilmu matmatika, mtod Nto tlah mgalami baak modiikasi, tujuaa utuk mmprpat kovrgsia. Mtod ag sudah dikmbagka aitu Mtod Potra - Ptak ag mmiliki ord kovrgsi tiga ag btuk umuma adalah: dga.. Salah satu pliti tlah mlakuka modiikasi mtod Potra-Ptak dga mgguaka pdkata, misala Ra Erati da Elham Aadga 009 mmodiikasi Potra-Ptak Mgguaka Potra gada ag mghasilka ord lima. Brdasarka apa ag dilakuka pliti trsbut, pulis trtarik utuk mgmbagka mtod Potra Ptak mgguaka klgkuga kurva.
. Rumusa Masalah Brdasarka latar blakag di atas, maka pulis mgagkat rumusa masalah Bagaimaa mtuka rd Kovgsi Modiikasi mtod Potra - Ptak dga mgguaka klgkuga kurva?. Batasa Masalah Utuk mghidari luasa pmbahasa dalam tugas akhir ii, maka pulis mgambil batasa masalah aitu : a. Prsamaa o liir dga variabl tuggal da mmiliki akar tuggal b. Simulasi umrika mgguaka Matlab.0. da Mapl. Tujua Plitia Tujua plitia ag igi diapai dalam tugas akhir ii adalah a. Mdapatka prsamaa itrasi modiikasi Potra Ptak mgguaka klgkuga kurva b. Mdapatka rd kovrgsi dari Mtod Potra-Ptak. Mdapatka Idks isisi dari Mtod Potra-Ptak d. Mdapatka Simulasi umrik da dari Mtod Potra-Ptak. Maaat Plitia Maaat plitia dari tugas akhir ii adalah sbagai brikut: a. Mambah pgtahua pulis mgai mtod Potra - Ptak dalam mtuka solusi prsamaa oliir. b. Mdapatka btuk baru modiikasi mtod Potra - Ptak mgguaka klgkuga kurva..6 Sistmatika Pulisa Sistmatika pulisa skripsi ii makup lima bab aitu : Bab I Pdahulua Bab ii brisi ttag latar blakag, prumusa masalah, batasa masalah, tujua da maaat plitia. I-
Bab II Bab III Bab IV Bab V Ladasa Tori Bab ii brisi ttag tori-tori dasar ag diguaka dalam plitia aitu: drt talor, ord kovrgsi, mtod Nto da ord kovrgsi Nto da mtod Potra-Ptak da ord kovrgsia. Mtodologi Plitia Bab ii brisi ttag mtodologi plitia ag mmbahas ttag lagkah-lagkah utuk mmuka rumusa baru dari mtod Potra - Ptak ag dimodiikasi dga klgkuga kurva. Pmbahasa Bab ii brisi ttag pmbahasa bagaimaa btuk rumusa baru dari mtod Potra - Ptak ag dimodiikasi dga klgkuga kurva srta ord kovrgsia. Slai itu dilgkapi dga simulasi umrika. Putup Bab ii brisi ttag ksimpula da sara. I-
BAB II LANDASAN TERI. rd Kovrgsi rd kovrgsi mrupaka Paramtr utuk mgukur tigkat prpata dalam plsaiaa prsamaa oliir 0. Apabila suatu mtod itrasi brord dua maka mtod itrasi ii aka kovrg sara kuadratik, da apabila mtod itrasi brord tiga maka mtod itrasi ii aka kovrg sara kubik, da strusa. Diisi ag mjlaska ttag ord kovrgsi adalah sbagai brikut : Diisi. Maths, 99. Misalka trdapat sbuah bilaga kostata 0, bilaga bulat 0 0, utuk smua 0 da p 0 maka barisa { }, dikataka kovrg k dga ord kovrgsi p, jika mmuhi kttua p. Jika p atau p maka mtod hampira mmiliki ord kovrgsi kuadratik atau kubik. Misalka pada suatu mtod ag mghasilka suatu barisa mrupaka ksalaha pada itrasi k-, maka suatu prsamaa p p,. disbut sbagai prsamaa ksalaha, sdagka ilai p pada prsamaa. mujuka ord kovrgsia. Misalka ord kovrgsi mtod to adalah Brdasarka hasil di atas diprolh baha prsamaa ksalaha mmiliki ord kovrgsi
Utuk mgaska tigkat ord kovrgsi suatu mtod itrasi, bisa kita slsaika mgguaka mtod omputioal rdr o ovrg. omputioal rdr o ovrg omputioal rdr o ovrg mrupaka paramtr utuk mtuka ord kovrgsi sara komputasi. Diisi. S.Wrakoo, 000. Misalka adalah akar utuk ugsi da adaika,, brturut-turut adalah itrasi ag dkat dga. Shigga rumus l l atau l l otoh. a. Dibrika ugsi, dga mgguaka rumus mtod Nto ttuka itrasi utuk mtuka akar tuggal ugsi trsbut dga ilai aal 0, da tolrasi 0 srta kovrgsi b. Dibrika ugsi,dga mgguaka rumus mtod Nto ttuka itrasi utuk mtuka akar gada srta kovrgsi ugsi trsbut dga ilai aal, 0 da tolrasi 0 Plsaiaa: Diktahui : Ditaa 0, : itrasi da kovrgsi dga mgguaka mtod Nto Jaab : utuk itrasi aal 0,,000000000000 0,000000000000 mari rumusa adalah l l II-
l l 0 l 0,09600666 0,06906906 l 0,06906906 0,00000000000000,8699088 Jadi hasil utuk itrasi prtama adalah,8699088. Bgitu pula utuk mari itrasi slajuta. Tabl. Hasil itrasi da mtod Nto dga akar tuggal. Itrasi 0 -,000000000000000 0,000000000000000,8699088 -.06906906 0.06906906,9900 -.009600666 0.009600666,99999 -.000008899 0.000008899.99906900 -.000000000099 0.000000000099 Tidak trdiisi -.0000000000000000 0.0000000000000000 Tidak trdiisi Tabl.. mujukka baha mtod Nto dga akar tuggal mmiliki kovrgsi kuadratik dga. Plsaia : Tabl. Hasil itrasi da mtod Nto dga akar gada Itrasi 0,00000000 0,00000000 0,99099968,0000 0,0000,000,06 0,06,000000,06008 0,06008,0008,0 0,0,0099,00668 0,00668,0008 6,008 0,008 Tidak Trdiisi,00669 0,006698 Tidak Trdiisi Tabl. mujukka baha Mtod Nto dga akar gada mmiliki kovrgsi liir II-
. Idks Eisisi Sharma J.R, 0 Idks isisi mrupaka paramtr utuk mghitug isi sbuah mtod. Rumus utuk mari idks isisi aitu: P E. dga P adalah baaka ord kovrgsi dari suatu mtod, sdagka mrupaka jumlah dari valuasi ugsi dari mtod trsbut trmasuk juga turuaa. Smaki bsar ilai idksa maka smaki isi mtod trsbut dalam mghampiri akar-akara. otoh. Ttukalah ilai idks dari mtod stroski da Nto gada Plsaia : a. Mtod stroski mmpuai tiga ugsi da, ord kovrgsia tigkat mpat aitu Maka ilai idksa E P,8 sdagka Jadi mtod stroski mmiliki isisi idks, 8 da aktu ag dibutuhka utuk mari isisi idks mtod stroski sbaak mit. b. Mtod Nto gada mmpuai mpat ugsi da, sdagka ord kovrgsia tigkat mpat aitu Maka ilai idksa E P,, II-
Jadi mtod Nto gada mmiliki isisi idks, da aktu ag dibutuhka utuk mari isisi idks mtod Nto gada adalah mit. Ksimpula : Jadi mtod stroski lbih kti dalam mlsaika prsamaa oliir kara isisi idksa lbih bsar.. Drt Talor Drt Talor adalah rprstasi ugsi matmatika sbagai jumlaha tak higga dari suku-suku ag ilaia dihitug dari turua ugsi disuatu titik. Drt Talor mrupaka drt ag brbtuk poliomial ag diguaka utuk mlsaika prsamaa oliir. Torma. Drt Talor Purll dkk, 00. Misalka mmpuai turua k -a I ag diskitar 0. Maka dapat ditulis adalah ugsi ag ada utuk stiap pada slag trbuka 0 0 0 0 0 0 0.!! Jika drt Talor pada prsamaa. dipotog pada suku k,dga sisa R maka prsamaa Talor mjadi 0 0 0 0 0! dga 0 0! R R adalah sisa atau ksalahaa diataka dga rumus. R a! da adalah titik diatara da a..6 Misalka hasil pmotoga drt Talor disbut Poliomial Talor k P maka prsamaa drt Talor mjadi P 0 0 0 0 0 0 0!! II-
+ 0! 0. da prsamaa. dapat ditulis lagi dalam btuk P R.8 Bukti : Utuk mmbuktika prsamaa.8 guaka rumus kspasi Talor utuk mgaproksimasi ugsi di skitar, dimaa :, da R h, maka prsamaa torma Talor. da btuk suku sisaa.6 dapat ditulis kmbali dalam btuk:!!! k 0 k! k h!.9 maka, k 0 k! k h. Mtod Nto da Kovrgsia.0 Mtod Nto adalah mtod ag palig trkal da palig baak diguaka dalam bidag Sais da Rkaasa. Hal ii kara mtod Nto kovrgsia palig pat. Mtod Nto brasal dari turua drt Talor ord prtama. Mtod ii srig diguaka utuk mari akar-akar prsamaa oliir. Misalka ugsi dapat dikspasi diskitar mgguaka drt Talor dga pdkata 0,jika dikspasi diskitar ord prtama, maka diprolh sampai. dga 0, kmudia disubstitusika k prsamaa dga mgambil,shigga II-6
0 utuk 0,,,. Prsamaa di atas mrupaka prsama umum dari mtod Nto. Utuk mari ord kovrgsi dari Mtod Nto dapat dislsaika mgguaka torma dibaah ii : Torma.: Misalka adalah ugsi brilai rill ag mmpuai turua prtama, kdua da ktiga pada itrval a,b. Jika mmpuai akar pada itrval a,b da 0 adalah ilai tbaka aal ag ukup dkat k, maka mtod itrasi pada prsamaa. mmuhi prsamaa rror: Bukti : da j j j! k,,, Misalka adalah akar dari, maka 0. Asumsika 0 da, da dga mgguka rumus kspasi Talor utuk mgaproksimasi ugsi di skitar kara 0 diprolh, diprolh!!... ".!!, maka dga mlakuka maipulasi aljabar pada prsamaa.! "! II-
II-8! "!. misalka! j j j,,, k, maka prsamaa. dapat ditulis kmbali mjadi. Jika utuk dilakuka kspasi Talor di skitar maka! "! "! "!!!! ".6 Apabila prsamaa. dibagi dga prsamaa.6 diprolh. Dga mgguaka kspasi drt talor, dalam btuk... u u u u Maka prsamaa. dapat diubah mjadi......
II-9.8 Slajuta prsamaa.8 substitusika k prsamaa Nto da diprolh.9 Brdasarka hasil di atas maka Nto mmiliki ord kovrgsi kuadratik..6 Mtod Potra - Ptak da rd Kovrgsia Dibrika prsamaa mtod Potra-Ptak sbagai brikut: 0,,,,... dga rd kovrgsi mtod Potra-Ptak dapat dittuka dga ara sbagai brikut : Misalka 0 da adalah akar dari ugsi trsbut, maka 0 da asumsika baha 0. Dga mgguaka kspasi talor utuk di skitar diprolh! "!.0 lh kara 0, maka dga mlakuka maipulasi aljabar pada prsamaa.0 diprolh! "!.
II-0 Sdagka utuk dapat diprolh dga mgkspasia di skitar maka! ". Kara adalah Nto da sudah dibuktika pada prsamaa.9 maka dapat ditulis. utuk itu, kmudia utuk. brdasarka kspasi drt talor dalam btuk... u u u u dga u maka 8.
II- Kmudia prsamaa. disubstitusika k prsamaa Potra-Ptak shigga diprolh : 8 lh kara maka prsamaa galat Potra diprolh Sbb :.6 Prsamaa.6 mrupaka prsamaa galat dari mtod Potra-Ptak, shigga mtod Potra-Ptak mmiliki ord kovrgsi kubik.. Klgkuga Kurva Brikut ii aka dibrika kosp ttag Klgkuga Kurva ag aka diguaka utuk mmodiikasi prsamaa Potra da Ptak. Gambar. Klgkugaa kurva
Garis siggug di P brsudut. Bila P digrakka sampai titik Q spajag busur S,maka trjadi prubaha sudut arah garis siggug sbsar. Sudut arah garis siggug di Q mjadi. Kpata prubaha sudut arah garis siggug spajag S ii mujukka ukura klgkuga kurva. Sara matmatika, ukura klgkuga dismbarag titik pada kurva dilambagka dga k kappa ag didiisika olh : d K lim s 0 s ds Graka titik pada kurva ag lbih mlgkug mujukka kpata prubaha sudut arah garis sigguga lbih bsar. Kurva ag lbih mlgkug mujukka jari-jari klgkugaa lbih kil, kara jari-jari klgkuga brbadig trbalik dga ukura klgkuga K. Jari-jari klgkuga dirumuska, dga K 0 K Utuk rumus klgkuga da jari-jari klgkuga kita prolh : K lim s 0 s d d d ds d d Atau diataka dalam adalah K d d d lim = s0 s ds d d / / / / Tada pada K mujukka baha : Bila K positi arah kurvaa mlgkug katas /kug, sdagka bila K gati arah kurvaa mlgkug kbaah. II-
Bukti: Dari pgrtia klgkuga kurva K = lim s0 s d = da ta adalah ds kmiriga garis siggug,maka diprolh : s s s Dalam kadaa lim 0 maka: lim s s0 lim s0 atau ds d d d. Slajuta, d ta d maka, ar d ta d d d d d d ar.ta d d d d d s d d ta d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d.8 II-
Brdasarka prsamaa. da.8, maka diprolh : K = lim s0 s d = ds d d K = lim = d s0 s ds ds d d K d d d / = / Da utuk mghitug jari-jari klgkuga kurvaa kita ktahui baha rumus dari jari-jari klgkuga kurva adalah K d d d d / d d d d / Sdagka pusat klgkuga sbuah titik P, pada kurva adalah pusat dari ligkara klgkuga di P. Koordiat, dari pusat klgkuga dibrika olh: / d d d d d / d ".9 da d d d / d ".0 Sdmikia shigga, utuk klgkuga kurva pada sbarag titik dapat dirumuska sbagai: R II-
II- / " " " " " "
BAB III METDLGI PENELITIAN Pulisa tugas akhir ii mgguaka mtod rsarh librar plitia kpustakaa ag brtujua mgumpulka data da iormasi ag dibutuhka dalam plitia ag brasal dari buku-buku, jural srta artikl ag brhubuga dga plitia ag aka diuraika mjadi dasar plitia. Lagkah-lagkaha adalah sbagai brikut:. Mdiisika mtod Potra ord tiga aitu: 0,,,,... dga da ord kovrgsia.. Mdiisika Klgkuga Kurva di, shigga diprolh prsamaa baru.. Msubstitusika prsamaa. pada titik,0 trhadap sumbu.. Hasil substitusi prsamaa. pada titik,0 trhadap sumbu disubstitusika kmbali trhadap ". dga. Mtuka ord kovrgsi ag dihasilka brdasarka rumusa itrasi.
6. Mmbuat bbrapa ugsi simulasi umrik mgguaka bahasa pmograma Matlab.. Mmbadigka dga hasil plitia lai, sprti mtod Nto rd kovrgsi dua, Potra rd kovrgsi tiga, Potra ag dimodiikasi rd lima. III-
BAB IV PEMBAHASAN Pada bab mpat ii aka dibahas mgai modiikasi mtod Potra-Ptak mgguaka klgkuga kurva dimaa didapat prsamaa baru, mari ord kovrgsi da mmbuat simulasi umrika srta mmbadigka dga plitia lai, sprti mtod Nto rd kovrgsia, mtod Potra- Ptak rd kovrgsia, mtod Potra-Ptak mgguaka klgkuga kurva rd kovrgsia 6, mtod Jarrat ag dimodiikasi klgkuga kurva dga ord kovrgsi dua blas da lbih jlasa aka dibahas pr sub bab sbagai brikut :. Modiikasi Mtod Potra Ptak Mgguaka Klgkuga Kurva Pada sub bab brikut aka dibahas mgai modiikasi Potra-Ptak mgguaka klgkuga kurva. Dibrika prsamaa mtod Potra-Ptak sbagai brikut,,, 0,. dga Diktahui rumus dari klgkuga kurva adalah sbagai brikut: " " ". Misalka prsamaa. dga mgguaka prhituga dasar klgkuga kurva titik, diprolh:.
V- Misalka prsamaa. mmotog sumbu di titik,0, maka diprolh. Prsamaa. dapat dijabarka mjadi. Slajuta prsamaa. dijabarka kmbali shigga didapat.6 Kmudia prsamaa.6 diaktorisasi dga aktor shigga prsamaa.6 mjadi. lh kara aproksimasia pada titik,0, maka prsamaa. mjadi
V- 0 0.8 Prsamaa.8 di atas dapat ditulis kmbali mjadi suatu prsamaa baru dga mlakuka pmidaha ruas ag tidak mgadug,shigga diprolh.9 Kmudia prsamaa.9 disdrhaaka trhadap shigga prsamaa.9 mjadi.0. Jika diruas kiri dipidahka kruas kaa maka prsamaa. mjadi. Substitusika Prsamaa Nto k variabl sblah kaa pada prsamaa. shigga didapat.
V-. Shigga, prsamaa. dapat dituliska kmbali dga btuk,. Pada prsamaa. dga mgguaka kmiriga di, da, maka diprolh.6 dga. Substitusika prsamaa. k prsamaa.6 shigga diprolh
V-.8 Dga mdrhaaka prsamaa.8 shigga diprolh.9 Substitusika prsamaa.9 k prsamaa.8 shigga diprolh.0 maka prsamaa.6 dapat ditulis kmbali dalam btuk. Jadi prsamaa. mrupaka itrasi baru dari modiikasi mtod Potra-Ptak mgguaka klgkuga kurva. ara brbda dapat dituruka dga maipulasi prsamaa.8 variabl digati dga itrasi Nto maka aka didapat 0 0. Prsamaa.8 dapat ditulis kmbali mjadi
V-6. Slajuta variabl dipidahka kruas kaa shigga diprolh. Prsamaa. dapat dijabarka mjadi..6 Slajuta dga mgguaka aproksimasi prsamaa.6 trhadap prsamaa.6 diatas,maka didapatka
V-. Slajuta prsamaa. dapat ditulis dalam btuk.8 Jadi prsamaa.8 mrupaka mtod itrasi baru dari modiikasi potra mgguaka klgkuga kurva. Jadi dapat disimpulka rumusa baru mtod Potra mgguaka klgkuga kurva adalah sbagai brikut:
V-8. Aalisa Kkovrga Pada bagia sub bab brikut aka dibahas mgai aalisa kkovrga mtod Potra ag dimodiikasi dga mgguaka klgkuga kurva, ag dituliska pada prsamaa.8. Brikut ii torma ag mmbrika prsamaa tigkat ksalaha dari prsamaa.8 ag mujukka ord kovrgsia. Torma.. Dibrika adalah ugsi brilai rill ag mmpuai turua di R R I :, utuk I itrval trbuka. Jika 0 mghampiri maka prsamaa.8 di atas mmpuai ord kovrgsi am dga prsamaa rror: 6.9 dga da! k k k, k =,,,... Bukti: Misalka adalah akar dari, maka 0. Asumsika 0 da. Pada prsamaa.6 tlah diktahui baha Slajuta 8 dga dmikia maka diprolh
V-9 8.0 maka 8 6 shigga 6 8 6 8 8. kmudia substitusika prsamaa.9 da.0 k prsamaa shigga didapatka, 8 8 8 6 6 96 8 sdmikia higga 8 6 6 96 8 8 6 6 9 68 slajuta dga ara ag sama maka diprolh 8 6 6 6 9 68 8 6 6 9 68 6 8.
Slajuta substitusika prsamaa.0,..8 shigga diprolh lh kara da. kprsamaaa 8 8 8 6. maka prsamaa.0 mjadi 6 6 6. Prsamaa.mrupaka ord kovrgsi dari modiikasi mtod Potra- Ptak mgguaka klgkuga kurva ag mghasilka ord kovrgsi am. Brdasarka disi., mtod Potra-Ptak mmpuai am ugsi,,,,, am maka ilai idksa adalah E P 6 6,8006,sdagka ord kovrgsia tigkat Jadi prsamaa ord kovrgsi dari modiikasi di atas idks isisia adalah, 8006 V-0
. Simulasi Numrik Pada sub bab ii, aka dibrika simulasi umrik dari mtod baru dari modiikasi mtod Potra-Ptak mgguaka klgkuga kurva, ag dituliska pada prsamaa.8, mgguaka sotar Matlab vrsi.0.. Dga tujua utuk mujukka kktiva prsamaa.8 dalam mghampiri akar ugsi suatu prsamaa. Fugsi-ugsi ag diguaka kami ambil dari jural A Simpl itrativ mthod ith ith-ordr ovrg b usig Potra ad Ptak s Mthod. Adalah sbagai brikut: 0,08986 si os,06809 0,60009 0,8898 9,6968696 6 0,00000000000000 Slajuta simulasi umrik dari prsamaa.8 aka dibadigka jumlah itrasia dga bbrapa mtod itrati dalam mghampiri akar prsamaa oliar. Mtod Nto ord dua diotasika sbagai NW, mtod Potra ord tiga diotasika sbagai P TR, slajuta mtod Nto gada ord mpat diotasika sbagai N G, brikuta mtod doubl Potra diotasika sbagai DPT R, da ag trakhir dari prsamaa.8 mtod Potra ag dimodiikasi mgguaka klgkuga kurva mghasilka kovrgsi ord am diotasika sbagai PTR. Brdasarka hasi prhituga komputasi atau simulasi umrik diprolh jumlah itrasi dari brbagai mtod sbagai brikut V-
Tabl. Prbadiga Jumlah Itrasi Jumlah Itrasi 0 NW PTR NG DPTR PTR 0 0,0 6 - - 6 0 9,0 6, 0, 0 6 6,0 9 0 0 6,0 8 8 Brdasarka Tabl. di atas mujukka baha mtod ag ord kovrgsia tiggi mmilik itrasi ag sdikit dibadigaka dga mtod ag ord kovrgsia rdah. Sprti mtod Potra ag dimodiikasi dga klgkuga kurva mghasilka ord am jumlah itrasia lbih sdikit dibadigka dga mtod Potra ag mmiliki ord kovrgsi tiga. Slajuta utuk mgaska tigkat ord kovrgsi suatu mtod itrasi, bisa dilakuka dga mtod omputatioal rdr o ovrg. Brikut ii adalah tabl prbadiga dari mtod Nto NW, Jho Math 99, mtod Potra PTR, Zhog LI, 0, Nto Gada NG, Sajai K Khattri da Ravi P, 00, Doubl Potra DPTR, Ra Erati, 009 da ag trakhir mtod Potra ag dimodiikasi mgguaka klgkuga kurva PTR. V-
Tabl. Prbadiga Nilai 0 NW PTR NG DPTR PTR 0,99,9,6 0, 8,,0,00,0,9 0,98 0,0 -,0,96,,96 Ttd -,99,0,6 Ttd, 0,00,89,8,,6,0,99,8,9,9 Ttd,,99,96,6,0 6,8,,99,9,89,9 Ttd 0,00,98 Ttd Ttd Ttd,00,98 Ttd Ttd Ttd 6,0,99,9,9,9,6 Ktraga : 0,0,98,9,90,08,0 Nilai Aal Ttd = Tidak Trdiisi Pada Tabl. mgambarka prbadiga ilai ord kovrgsi sara umrik. Sara umum hasil prhituga ord kovrgsi sara umrik utuk mtod itrasi ag mmiliki ord kovrgsi ag lbih tiggi sara tori mujukka ilai lbih tiggi dibadigka mtod itrasi ag mmiliki ord kovrgsi ag lbih rdah. Tabl. juga mujukka baha ord kovrgsi pada stiap mtod brbda-bda. Hal ii trjadi kara masig-masig mtod mmpuai ara ag brbda dalam mghampiri akar dari suatu prsamaa, juga dapat trjadi kara ugsi ag dibrika da ilai aal ag dibrika pada ugsi trsbut brbda. Slajuta utuk mlihat kktia prsamaa ord kovrgsia maka bisa dilihat dari idks isisi dari masig masig mtod. Brikut ii aka dijlaska idks isisi dari mtod Nto NW, mtod Potra PTR, V-
Nto Gada NG, Doubl Potra DPTR da ag trakhir mtod Potra ag dimodiikasi mgguaka klgkuga kurva PTR. Brdasarka disi., mtod Nto mmiliki idks isisi,, mtod Potra-Ptak,, mtod Nto Gada,, mtod Doubl Potra, 09, modiikasi Potra-Ptak mgguaka klgkuga Kurva idks isisi,8. Brdasarka tori idks isisi, ag mmiliki idks isisi lbih tiggi prsamaa ord kovrgsia ukup kti dalam mlsaika prsamaa oliir. Brdasarka hasil idks isisi maka modiikasi mtod Potra-Ptak mgguaka klgkuga kurva idks isisia drug lbih kil kara mmiliki 6 valuasi ugsi: valuasi ugsi da valuasi turuaa. V-
BAB V PENUTUP. Ksimpula Mtod Potra adalah salah satu mtod ag diguaka utuk mtuka akar-akar prsamaa oliiar dga kovrgsi ord tiga. Brdasarka plitia, diprolh rumusa baru dari modiikasi mtod Potra mgguaka klgkuga kurva ag mmiliki kovrgsi ord am. Rumusa baru dari modiikasi mtod Potra dapat dituliska sbagai brikut; 0,,,,..., dga, da prsamaa rrora sbagai brikut; 6 Smaki tiggi ord kovrgsi suatu mtod itrasi, smaki sdikit jumlah itrasi ag diprluka dalam mghampiri akar-akar prsamaa oliar. Hal ii dapat trlihat pada Tabl. da Tabl., mtod Potra ag dimodiikasi mgguaka klgkuga kurva sara umum mmiliki itrasi ag sdikit dalam mghampiri prsamaa oliar da mmiliki ilai ag lbih tiggi dibadigka dga mtod Nto da mtod Potra da ilai idks isisia,8006 Shigga, mtod ii lbih kti dalam mlsaika prsamaa oliir dibadigka mtod laia ag mmiliki ord kovrgsi ag lbih rdah.
. Sara Pada plitia ii pulis mmodiikasi mtod Potra ag brord tiga mgguaka klgkuga kurva. Tugas akhir ii pulis lakuka kara igi mgmbagka mtod potra ag sbluma ditliti olh Zhog LI,hgsog PENG,,Thiah ZHU, da Ju GA 0 ag tlah mmodiikasi mtod Jarrat mgguaka Klgkuga Kurva. Pada skripsi ii pulis mlakuka modiikasi mtod Potra mgguaka Klgkuga Kurva. lh sbab itu, disaraka pada pmbaa utuk mlakuka modiikasi trhadap mtod Potra mgguaka atura Trapsium da modiikasi mtod Doubl Potra dga mgguakaa Klgkuga Kurva. V-
DAFTAR PUSTAKA Aadga, E. da Eati ra, A Simpl itrativ mthod ith ith-ordr ovrg b usig Potra ad Ptak s Mthod. Mathmatial Sis. :9-00, 009 hu, hagbum, Som Improvmt o Jarrat s Mthod ith Sith-ordr ovrg. Applid Mathmatis ad omputatio. Vol. 90, halama -, 00 JR, Frak Ars & Elliot Mdlso, Kalkulus Edisi Kmpat, Erlagga, Jakarta, 00 Kim, Yog-Il, hagbu hu, Woba Kim, Som Third-rdr urvatur Basd Mthods or solvig Noliar Equatios, Studis i Noliar Sis, :-6,00. Li Zhog, PENG hsog, ZHU Tiah, da GA ju, A N Nto tp Mthod or solvig Nolir Equatio ith A Itgr rdr o ovrg.dpartmt o Mathmatis ad si, : - 8,0. Maths, Joh H., Numrial Mthods or Mathmatis Si ad Egirig, Sod Editio, Prti-Hall Itratioal,I, Uitd Stats o Amria.99. Purll, Edi J., Dal Varbrg., Stv E. Rigdo, Kalkulus Edisi Kdlapa. Jilid, Erlagga, Jakarta. 00. Wrako, S. da T.G.I. Frado, A Variat o Nto s Mthod With Alratd Third-rdr ovrg. Applid Mathmatis Lttrs. :8-9, 000. Kumar Sigth,Maoj, A Si-rdr Variat Nto s Mthod For Solvig Noliir Equatio. omputioal Mthod i Si ad Tholog, 8-9, 009.