MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 7 Transformasi Linear
Sub Pokok Bahasan Definisi Transformasi Linear Matriks Transformasi Kernel dan Jangkauan Aplikasi Transformasi Linear Grafika Komputer Penyederhanaan Model Matematika dan lain-lain 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Transformasi Linear Misalkan V dan W adalah ruang vektor T: V W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap a, b V dan α R T a + b T a + T b T αa αt(a) Jika V W maka T dinamakan operasi linear Contoh : Tunjukan bahwa T: R 2 R 3, dimana T x x y y x y Merupakan transformasi linear 3 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab: Ambil unsur sembarang R (contoh α) dan 2 unsur sembarang di R 2, Misalkan u u u, v v 2 v 2 Akan ditunjukan bahwa T u + v T u + T(v) T u + v T u u 2 + v v 2 (u + v ) (u 2 + v 2 ) (u + v ) (u 2 + v 2 ) Terbukti bahwa T u + v T u + T(v) u + v u 2 v 2 u v u 2 + v 2 u u 2 u u 2 + v v 2 v v 2 u u 2 + v v 2 u v u 2 + v 2 T u + T(v) 4 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Akan ditunjukan bahwa T αu α T u T αu T α u u 2 T Terbukti bahwa T αu α T u αu αu 2 αt u α(u u 2 ) (α)( u ) αu 2 αu αu 2 (αu ) αu 2 α u u 2 u u 2 Jadi, T merupakan transformasi linear 5 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 2: Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M 2 2 ke R yang didefinisikan oleh T A det(a), untuk setiap A M 2 2. Apakah T merupakan Transformasi Linear? Jawab: Misalkan A a a 2 a 2 a 22 M 2 2 Maka untuk setiap α R berlaku αa αa 2 det αa det αa 2 αa 22 α 2 a a 22 a 2 a 2 α 2 det(a) Perhatikan bahwa det αa α det(a) Jadi T bukan transformasi linear 6 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 3: Diketahui T: P2 (Polinom orde 2) R 2, dimana T a + bx + cx 2 a b a c a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan T( + x + x 2 ) Jawab: a. Ambil unsur sembarang R (contoh α) dan 2 unsur sembarang di P2, Misalkan u u + u 2 x + u 3 x 2, v v + v 2 x + v 3 x 2 Akan ditunjukan bahwa T u + v T u + T(v) T u + v T u + u 2 x + u 3 x 2 + v + v 2 x + v 3 x 2 T (u +v ) + u 2 + v 2 x + (u 3 +v 3 )x 2 (u +v ) u 2 + v 2 (u +v ) (u 3 +v 3 ) 7 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
(u +v ) u 2 + v 2 (u +v ) (u 3 +v 3 ) u + v u 2 v 2 u + v u 3 v 3 u u 2 + v v 2 u u 3 + v v 3 u u 2 u u + v v 2 3 v v 3 T u + u 2 x + u 3 x 2 + T v + v 2 x + v 3 x 2 T u + T(v) Akan ditunjukan bahwa T αu α T u T αu T(α u + u 2 x + u 3 x 2 ) T αu + αu 2 x + αu 3 x 2 αu αu 2 αu αu 3 α(u u 2 ) α(u u 3 ) α u u 2 u u 3 α T u + u 2 x + u 3 x 2 α T u 8 4/5/27 Jadi, T merupakan Transformasi Linear MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
b. T + x + x 2 Suatu Transformasi Linear T: V W dapat direpresentasikan dalam bentuk: T u Au Untuk setiap u V (A dinamakan matriks Transformasi dari T) Contoh 4: Misalkan, suatu transformasi linear T: R 2 R 3 didefinisikan oleh: T x x y y x y 9 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab: Perhatikan bahwa T x x y y x y Jadi matriks transformasi untuk T: R 2 R 3 adalah A x y Secara umum, jika T: R n R m merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah m n 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Misalkan B {v, v 2 } basis bagi ruang vektor V dan T: R 2 R 3 merupakan transformasi linear dimana T v i u i untuk setiap i, 2 Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara: Tulis: Sehingga Jadi T v Av u T v 2 Av 2 u 2 A 3 2 v v 2 2 2 u u 2 2 2 A u u 2 v v 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 5: Misalkan Jika v, v 2, v 3 adalah basis bagi R 3. T: R 3 P Transformasi linear didefinisikan T v i setiap i,2,3. p x; p 2 ; p 3 2x Tentukan: Tentukan hasil transformasi dari T 2 Av i p i untuk 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab: Definisikan: p x B ; p 2 B ; p 3 2x B 2 Karena Maka Atau A Av i p i A 2 i 2 3 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Invers matriks dicari dengan OBE: b + b 2 b + b 3 ~ Sehingga A 2 b 2 + b 3 ~ 2 2 Jadi matriks transformasi T adalah 2 2 4 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
T Sementara itu, A 2 2 2 2 Ingat bahwa Jadi T 2 B 2 + x + x 5 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 6: Diketahui basis dari polinom orde dua adalah + x, x + x 2, + x x 2 Jika T: P 2 R 3 adalah transformasi linear dimana T + x 2 ; T x + x 2 2 ; T + x x 2 2 Tentukan T x + x 2 Gunakan konsep membangun ruang 6 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab: Perhatikan bahwa Himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2 Maka polinom tersebut ditulis menjadi x + x 2 k + x + k 2 x + x 2 + k 3 + x x 2 Dengan menyederhakan persamaan diatas, didapat SPL sebagai berikut k + k 3 ቐk k 2 + k 3 k 2 k 3 Dengan solusi k, k 2 2, dan k 3 7 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Atau Jadi kombinasi linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk: x + x 2 + x + 2 x + x 2 + + x x 2 T x + x 2 T + x + 2 x + x 2 + + x x 2 Karena T merupakan Transformasi linear maka T x + x 2 T + x + 2T x + x 2 + T + x x 2 2 + 2 2 + 2 4 5 8 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Kernel dan Jangkauan Misalkan T: V W merupakan transformasi linear. Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W dinamakan KERNEL T notasi ker(t) atau Contoh 7: ker T u v T u } Transformasi linear T: P 2 R 2 T a + bx + cx 2 a b a c Perhatikan bahwa T + x + x 2 Maka + x + x 2 ker(t) Sementara itu, + 2x + x 2 ker T Karena T + 2x + x 2 9 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel T. Teorema : Jika T V W adalah transformasi linear maka ker T merupakan subruang dari V Bukti : Ambil a, b ker T sembarang dan α R. Karena setiap a ker T artinyna setiap a V sehingga T a, Maka ker T V 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
2. Perhatikan bahwa ker T. Artinya setiap T A oleh karena itu ker T {} 3. Karena a, b ker T dan ker T V Ingat bahwa V merupakan ruang vektor, sehingga berlaku a + b V akibatnya T a + b T a + T b + Jadi a + b ker(t) 4. a ker T dan a V Karena V adalah ruang vektor, maka untuk setiap α R berlaku: T α റa αt റa α Jadi α റa ker(t) Dengan demikian, terbukti bahwa Jika T: V W adalah transformasi linear maka ker(t) merupakan subruang dari ruang vektor V 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
ker T subruang? Basis ker T? 22 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 8: Diketahui transformasi linear T: R 3 P 2 dengan a T b c a + b + 2a c x + 2a + b + c x 2 Tentukan basis dan dimensi ker(t) dan R(T) (R(T) adalah jangkauan dari T) Jawab: Perhatikan bahwa: a T b a + b + 2a c x + 2a + b + c x 2 c Ini memberikan a + b 2b c 2a + b + c 23 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Sehingga T a b c a + b 2b c 2a + b + c 2 2 Jadi matriks transformasi bagi T adalah A 2 2 Dengan melakukan OBE pada matriks yang telah diperbesar maka didapat 2 ~ ~ 2 Jadi (,,) adalah satu-satunya anggota dari ker(t). Sehingga, basis ker T dan nulitasnya adalah nol 24 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR a b c
Perhatikan hasil OBE, maka basis ruang kolom dari matriks A adalah 2, 2, oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah: { + 2x 2, + 2x + x 2, x + x 2 } sehingga rank(dimensi basis R t )3 25 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh 9: Jawab: Diketahui transformasi linear T: R 4 R 3 didefinisikan oleh: a b a + b T c c 2d d a b + c 2d Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya T a b c d a + b c 2d a b + c 2d 2 2 a b c d 26 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jadi A Basis ker(t) dan Nulitasnya? 2 2 ker(t) adalah ruang solusi dari T റv A റv a റv b c d R 4 Dengan OBE A 2 ~ ~ 2 2 27 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
ker T ruang solusi dari A റv Yaitu a b c d a b c d s + 2 t; s, t Jadi basis ker T adalah, 2 nulitas Dimensi dari ker T 2 28 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
LATIHAN Suatu Transformasi T: R 3 R 2 didefinisikan oleh a T b a 2b c a + c Periksa apakat T merupakan transformasi linear Jika suatu transformasi T: P P 2 diberikan oleh T 2 + x 4 x x 2 dan T + 3x 7 + 2x 2x 2 Tentukan T[3 x] Suatu transformasi linear, T: R 2 R 3. T 3 2 dan T 3 5 2 a. Tentukan matriks transformasi dari T b. Tentukan hasil transformasi T 3 c. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T 29 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
THANK YOU