(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007
Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di sebuah titik c (a, b), kita tertarik untuk mengamati nilai f (x) untuk x di sekitar c. Khususnya, kita bertanya: apakah f (x) menuju suatu bilangan tertentu bila x menuju c?
Limit Kiri Misalkan f terdefinisi pada interval (a, c) dan L R. Kita katakan bahwa f menuju L bila x menuju c dari kiri, dan kita tulis atau f (x) L bila x c lim f (x) = L, apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika c δ < x < c, maka f (x) L < ɛ.
Gambar 7.1 Limit Kiri f di c
Limit Kanan Misalkan f terdefinisi pada interval (c, b) dan M R. Kita katakan bahwa f menuju M bila x menuju c dari kanan, dan kita tulis f (x) M bila x c + atau lim f (x) = M, + apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika c < x < c + δ, maka f (x) M < ɛ.
Bilangan L dan M disebut sebagai limit kiri dan limit kanan dari f di c. Nilai f (x) L (atau f (x) M ) menyatakan jarak antara f (x) dan L (atau jarak antara f (x) dan M), yang dapat kita interpretasikan sebagai kesalahan dalam menghampiri nilai L atau M dengan f (x) (atau sebaliknya menghampiri nilai f (x) dengan L atau M). Kesalahan ini dapat dibuat sekecil yang kita kehendaki dengan cara mengambil x sedekat-dekatnya ke c dari kiri atau kanan.
Contoh 1 Daftar Isi Misalkan f : R R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai { 1 x, x 1; f (x) = 2x, x > 1. Maka, lim f (x) = 0 dan lim x 1 f (x) = 2. x 1 + Perhatikan bahwa nilai f (1) terdefinisi, yakni f (1) = 0.
Limit Misalkan f terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di titik c (a, b), dan L R. Kita katakan bahwa f menuju ke L bila x menuju c, dan kita tuliskan atau f (x) L bila x c lim f (x) = L, apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < x c < δ, maka f (x) L < ɛ. Dalam hal ini, L disebut sebagai limit f di c, dan f dikatakan mempunyai limit L di c.
Gambar 7.2 Limit f di c
Perhatikan bahwa kondisi 0 < x c < δ setara dengan δ < x c < δ, x c. Jadi, 0 < x c < δ jika dan hanya jika x memenuhi salah satu dari dua pertaksamaan berikut: c δ < x < c atau c < x < c + δ. Sehubungan dengan itu, kita mempunyai proposisi berikut.
Proposisi 2 Daftar Isi lim f (x) = L jika dan hanya jika lim lim f (x) = L. + f (x) = L dan Menurut Proposisi 2, fungsi pada Contoh 1 tidak mempunyai limit di 1 karena limit kiri dan limit kanannya tidak sama.
Contoh 3 Daftar Isi Misalkan f (x) = x2 1 x 1. Fungsi ini terdefinisi pada (, 1) dan juga pada (1, ). Bila kita tinjau nilai f (x) untuk x < 1, maka kita dapatkan bahwa f (x) 2 bila x 1. Bila kita amati nilai f (x) untuk x > 1, maka kita dapatkan bahwa f (x) 2 bila x 1 +. Jadi, limit kiri dari f di c sama dengan limit kanannya, yaitu 2. Karena itu lim f (x) = 2. Perhatikan bahwa pada contoh ini, f tidak terdefinisi di 1.
Proposisi 4 (i) lim k = k (ii) lim x = c. Bukti. (i) Diberikan ɛ > 0, pilih δ > 0 sembarang. Jika 0 < x c < δ, maka k k = 0 < ɛ. Ini membuktikan bahwa lim k = k. (ii) Diberikan ɛ > 0, pilih δ = ɛ. Jika 0 < x c < δ, maka x c < δ = ɛ. Ini membuktikan bahwa lim x = c.
Soal Latihan Daftar Isi 1 Misalkan n N. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim x 1/n = 0. x 0 + 2 Misalkan f : R R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f (x) = 2x, x < 1; 1, x = 1 3 x, x > 1. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim f (x) = 2 x 1 dan lim f (x) = 2. Simpulkan bahwa lim f (x) = 2. + x 1 x 1 3 Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim px + q = pc + q. 4 Buktikan jika lim f (x) = L > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f (x) > 0 untuk c δ < x < c + δ, x c.
Dalam definisi lim f (x), nilai f di c sama sekali tidak diperhatikan. Kita hanya tertarik dengan nilai f (x) untuk x menuju c, bukan dengan nilai f di c. Jadi mungkin saja f mempunyai limit L di c sekalipun f tidak terdefinisi di titik c. Dalam hal f terdefinisi di c, dapat terjadi f (c) L.
Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f kontinu di titik c jika dan hanya jika lim f (x) = f (c). Secara intuitif, f kontinu di c berarti grafik fungsi f tidak terputus di c.
Gambar 7.3 Fungsi Kontinu di Suatu Titik
Kekontinuan Kiri dan Kekontinuan Kanan Jika f terdefinisi pada (a, c] dan lim = f (c), maka kita katakan bahwa f kontinu kiri di c. Jika f terdefinisi pada [c, b) dan lim f (x) = f (c), maka kita katakan bahwa f kontinu kanan di c. +
Contoh 5 Daftar Isi (1) Untuk setiap n N, fungsi f (x) = x 1/n kontinu kanan di 0. (2) Fungsi f (x) = px + q kontinu di setiap titik.
Teorema 6 Daftar Isi Misalkan f terdefinisi pada (a, b) kecuali mungkin di c (a, b). Maka, lim f (x) = L jika dan hanya jika, untuk setiap barisan x n di (a, b) dengan x n c (n N) dan lim x n = c, berlaku n lim f (x n) = L. n Catatan. Hasil serupa berlaku untuk limit kiri dan limit kanan. Sebagai akibat dari Teorema 6, f kontinu di c jika dan hanya jika, untuk setiap barisan x n yang konvergen ke c berlaku lim n f (x n) = f (c). Hasil serupa berlaku untuk kekontinuan kiri dan kekontinuan kanan.
Contoh 7 Daftar Isi Kekontinuan f (x) = px + q di sebarang titik c R dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan x n adalah sebarang barisan yang konvergen ke c. Maka, menurut Proposisi 5 pada Bab 3, f (x n ) = px n + q pc + q = f (c), untuk n. Menurut akibat dari Teorema 6, f kontinu di c.
Soal Latihan 1 Buktikan bahwa f (x) = x kontinu di setiap c > 0. 2 Buktikan bahwa f (x) = x kontinu di setiap titik. 3 Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan kontinu di suatu titik c (a, b). Buktikan jika f (c) > 0, maka terdapat suatu δ > 0 sehingga f (x) > 0 untuk x (c δ, c + δ).
Proposisi 8 Daftar Isi Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di c (a, b). Misalkan lim f (x) = L dan lim g(x) = M, dan λ, µ R. Maka (i) lim [λf (x) + µg(x)] = λl + µm; (ii) lim f (x)g(x) = LM; f (x) (iii) lim g(x) = L M, asalkan M 0.
Akibat Sebagai akibat dari Proposisi 8 kita peroleh: Jika f dan g kontinu di c, maka λf + µg, fg, dan f g kontinu di c. Yang terakhir tentunya menuntut g(c) 0.
Teorema 9 Daftar Isi Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiap titik dalam daerah asalnya. Bukti. Menurut Proposisi 4, f (x) = k dan g(x) = x kontinu di sebarang titik c R. Menurut Proposisi 8(ii), h(x) = x i kontinu di sebarang titik c R, untuk tiap i N. Akibatnya, menurut Proposisi 8(i), fungsi polinom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 kontinu di setiap titik c R. Untuk membuktikan kekontinuan fungsi rasional di setiap titik dalam daerah asalnya, kita perlu menggunakan Proposisi 8(iii).
Soal Latihan Daftar Isi 1 Buktikan Proposisi 8. 2 Berikan contoh fungsi f dan g sedemikian sehingga lim f (x) x 0 tidak ada, lim g(x) ada, dan lim f (x)g(x) ada. Apakah ini x 0 x 0 bertentangan dengan Proposisi 8(ii) atau 8(iii)? 3 Benar atau salah: Jika lim f (y) = M dan lim g(x) = L, y L maka lim f (g(x)) = M? 4 Kita katakan bahwa lim f (x) = + apabila, untuk setiap + M > 0 terdapat δ > 0 sehingga f (x) > M untuk c < x < c + δ. Buktikan bahwa lim x 1 = +. x 0 +