7. Transformasi Fourier
|
|
- Teguh Santoso
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi ransformasi Fourier Pada bab sebelumnya kita telah melihat bahwa setiap fungsi f L 1 ([0, 1] L ([0, 1] dapat dinyatakan sebagai deret Fourier f(x = n Z c n e πinx = n Z ( 1 0 f(ye πiny dy e πinx. Hal yang serupa juga berlaku di L 1 ([, ] L ([, ]. Misalkan f L1 ([, ] L ([, ]. Maka, g(x = f( (x 1 L1 ([0, 1] L ([0, 1], dan karenanya f( (x 1 = g(x = = = n= n= n= ( 1 ( 1 ( 1 g(ye πiny dy e πinx 0 / / / / Dengan substitusi peubah sekali lagi kita peroleh g ( t + 1 e πin( t + 1 dte πinx f(te πint/ dt e πin(x 1. (1 ( 1 f(x = n= / / f(ye πiny/ dy e πinx/. Bentuk ini mengingatkan kita akan jumlah iemann atas suatu partisi dengan lebar 1, yakni ( / f(ye πiξny dy e πiξnx ξ n, n= / dengan ξ n = n dan ξ n = 1. Berdasarkan hal ini, dengan mengambil, kita boleh menduga bahwa untuk f yang cukup bagus akan berlaku f(x = ( f(ye πiξy dy e πiξx dξ. ( Semua ini memotivasi kita untuk mendefinisikan transformasi Fourier sebagai berikut.
2 34 Hendra Gunawan 7.1 ransformasi Fourier dan inversnya Definisi Misalkan f L 1 (, yakni f 1 = f(x dx <. ransformasi Fourier dari f, yang kita tuliskan sebagai f, didefinisikan oleh f(ξ = f(xe πiξx dx, ξ. Seperti halnya dalam pembahasan deret Fourier, pertanyaan kita adalah bagaimana kita dapat memperoleh f kembali dari f. Kesamaan ( menyarankan kita untuk mendefinisikan invers transformasi Fourier dari g, yang dituliskan sebagai ǧ, sebagai ǧ(x = g(ξe πixξ dξ, x. eorema inversi Fourier, yang akan kita bahas nanti, menyatakan bahwa ( fˇ(x = f(x, h.d.m. asalkan f dan f terintegralkan. Sebelum sampai ke sana, kita mulai dengan teorema berikut ini. eorema 7.1. Jika f L 1 (, maka f kontinu pada. Bukti. Untuk setiap ξ dan h, sehingga f(ξ + h f(ξ = f(ξ + h f(ξ e πiξx (e πihx 1f(x dx, e πihx 1 f(x dx. Integran di ruas kanan didominasi oleh f(x dan menuju 0 apabila h 0. Jadi, menurut teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue, ruas kanan mestilah menuju 0 apabila h 0, dan akibatnya ruas kiri juga menuju 0 apabila h 0. eorema Jika f L 1 (, maka f terbatas pada. Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap ξ berlaku f(ξ e πiξx f(x dx = Jadi f terbatas pada, dengan f f 1. eorema (iemann-lebesgue Jika f L 1 (, maka f(x dx = f 1. lim f(ξ = 0 h.d.m. ξ
3 Bukti. Mengingat f(ξ = peroleh sehingga Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi 35 f(ξ = f(ξ ( f(ξ = f(ξ f(xe πiξ(x+ 1 ξ dx = f(x 1 ξ e πiξx dx, kita ( f(x f ( x 1 e πiξx dx, ξ f(x f ( x 1 dx. ξ Karena f L 1 (, maka (menurut kekontinuan dalam norma di L 1 ( lihat Hewitt & Stromberg, eorema 13.4 ruas kanan menuju 0 apabila ξ. Dengan demikian ruas kiri pun mestilah menuju 0 apabila ξ. Akibat ransformasi Fourier memetakan L 1 ( ke C 0 (. Catatan. C 0 ( adalah ruang fungsi kontinu dan terbatas pada dengan limit nol di ±. Contoh Jika f(x = e πx, maka f(ξ = e πξ. πiξ sin πξ Contoh χ [0,1 (ξ = e πξ. 7. Konvolusi erkait erat dengan transformasi Fourier adalah operasi konvolusi yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 7..1 Untuk f, g L 1 (, kita definisikan konvolusi f g sebagai berikut f g(x = f(yg(x ydy, x. Konvolusi bersifat seperti perkalian pada L 1 (, yakni (i komutatif: f g = g f; (ii distributif (karena kelinearan integral: f (g + h = f g + f h (f + g h = f h + g h λ(f g = (λf g = f (λg dan (iii asosiatif (karena teorema Fubini: (f g h = f (g h.
4 36 Hendra Gunawan Jadi L 1 ( merupakan suatu aljabar komutatif terhadap konvolusi. Lebih jauh, teorema di bawah ini mengatakan bahwa L 1 ( merupakan aljabar Banach terhadap konvolusi. eorema 7.. Jika f, g L 1 (, maka f g L 1 ( dan f g 1 f 1 g 1. Bukti. Latihan. Selanjutnya kita mempunyai teorema berikut. eorema 7..3 Jika f, g L 1 (, maka (f g = fĝ. Bukti. Gunakan definisi dan teorema Fubini. Berdasarkan teorema ini kita dapat mengamati bahwa L 1 ( tidak mempunyai identitas terhadap konvolusi. Jika terdapat e L 1 ( sedemikian sehingga e f = f f L 1 (, maka haruslah ê f = f h.d.m. f L 1 (. Namun ini mengakibatkan ê(ξ = 1 h.d.m., bertentangan dengan eorema Walaupun demikian, kita mempunyai identitas hampiran, seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut. eorema 7..4 Misalkan φ 0 dan φ(x dx = 1. Untuk setiap ɛ > 0, definisikan φ ɛ (x = 1 ɛ φ( x ɛ. Maka, untuk setiap f L 1 (, kita mempunyai φ ɛ f f 1 0, ɛ 0. Bukti. Lihat Hewitt & Stromberg, eorema eorema inversi Fourier dan kesamaan Plancherel eorema (eorema inversi Fourier Misalkan f L 1 ( sedemikian sehingga f L 1 (. Maka, f(x = f(ξe πiξx dξ, h.d.m. yakni, f = ( fˇh.d.m. Bukti. Misalkan φ(x = e πx. Maka, φ(x dx = 1, sehingga menurut eorema 7..4, φ ɛ f f dalam norma di L 1 ( apabila ɛ 0. Selanjutnya kita akan menunjukkan bahwa φ ɛ f juga konvergen ke ( fˇtitik demi titik.
5 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi 37 Ambil x sebarang dan sebut g ɛ (ξ = e πiξx πɛ ξ. Maka, Jadi (lihat Soal 3, φ ɛ f(x = ĝ ɛ (y = φ ɛ (x y. f(ye πixy πɛ y dy. Jika ɛ 0, maka e πɛ y 1, dan karenanya f(ye πixy πɛ y f(ye πixy (titik demi titik. Di samping itu, untuk setiap ɛ > 0 kita mempunyai f(ye πixy πɛ y = f(y e πɛ y f(y. Karena f L 1 (, maka menurut teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue φ ɛ f(x f(ye πixy dy = ( fˇ(x. Jadi kita peroleh φ ɛ f f dalam norma di L 1 ( dan pada saat yang sama φ ɛ f ( fˇtitik demi titik. Kita simpulkan bahwa ( fˇ= f hampir di mana-mana. Akibat 7.3. Jika f, g L 1 ( dan f = ĝ h.d.m., maka f = g h.d.m. Bukti. Jika f = ĝ h.d.m., maka f ĝ = 0 h.d.m., sehingga menurut teorema inversi Fourier f(x g(x = ( f(ξ ĝ(ξe πiξx dξ = 0, h.d.m. Catatan. Akibat 7.3. mengatakan bahwa merupakan pemetaan yang bersifat 1-1 atau injektif h.d.m. Jika deret Fourier memenuhi kesamaan Parseval, maka transformasi Fourier memenuhi kesamaan Plancherel, yakni eorema (Kesamaan Plancherel Jika f L 1 ( L (, maka f L ( dan f = f. Bukti. Lihat udin, eorema Lebih umum daripada itu, kita mempunyai eorema (Kesamaan Plancherel Jika f, g L 1 ( L (, maka f, g = f, ĝ. Bukti. Gunakan eorema
6 38 Hendra Gunawan 7.4 Soal-soal πiξ sin πξ 1. unjukkan bahwa χ [0,1 (ξ = e πξ.. Hitung χ [, ](ξ ( > Diketahui f(x = sin πx πx. entukan f(ξ. 4. unjukkan jika f(x = e πx, maka f(ξ = e πξ. (Petunjuk. Integralkan fungsi kompleks f(z = e πz sepanjang lintasan tertutup γ = [, ] + [, + iξ] + [ + iξ, + iξ] + [ + iξ, ], dan ambil. Ingat e πx dx = Buktikan jika f, g L 1 (, maka f(xg(x dx = f(xĝ(x dx. 6. Buktikan bahwa untuk setiap f dan g L 1 ([0, 1] berlaku (a f g = g f; (b (f g h = f (g h. 7. Misalkan χ = χ [0,1. entukan = χ χ. 8. Buktikan eorema Buktikan eorema Buktikan eorema
7 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi ransformasi Fourier di L ( dan eorema Sampling Shannon 8.1 ransformasi Fourier di L ( L (, yang dilengkapi dengan hasilkali dalam f, g = f(xg(x dx, merupakan ruang Hilbert. Karena L ( bukan himpunan bagian dari L 1 (, definisi transformasi Fourier tidak langsung berlaku di L (. Namun demikian, dengan menggunakan fakta bahwa L 1 ( L ( padat di L (, transformasi Fourier dari fungsi f L ( dapat didefinisikan sebagai limit dari suatu barisan f n (dalam norma di L (, dengan f n L 1 ( L ( dan f n f (n dalam norma di L (. Semua ini dapat dilakukan sebagaimana dijamin oleh teorema berikut: eorema Misalkan f L (. Untuk n N, definisikan f n = χ [ n,n] f, yakni f n (x = { f(x, jika x n, 0, jika x > n. Maka, f n L 1 ( L ( dan f n L (, untuk setiap n N. Lebih jauh, f n f (n dalam norma di L ( dan ( f n konvergen (dalam norma di L ( ke suatu fungsi di L (. Bukti. Menurut ketaksamaan Holder, untuk setiap n N, kita mempunyai n f n (x dx = f(x dx n [ n n ] 1 [ n ] 1 f(x dx dx n f (n 1 <. ( Jadi, f n L 1 (. Kemudian mengingat f n (x f(x, kita peroleh pula f n L (. Dengan demikian, f n L 1 ( L ( dan, menurut Plancherel, f n L (. Perhatikan bahwa f n (x f(x (n titik demi titik. Berdasarkan teorema kekonvergenan monoton, lim n f n (x dx = yakni, f n f (n dalam norma di L (. f(x dx,
8 40 Hendra Gunawan Selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa ( f n konvergen (dalam norma di L ( ke suatu fungsi di L (. Mengingat L ( lengkap, cukup kita tunjukkan bahwa f m f n 0 (m, n. Namun f m f n adalah transformasi Fourier dari f m f n L 1 ( L (. Karena itu, menurut Plancherel, f m f n = f m f n = m n apabila m, n. Ini mengakhiri pembuktian. f(x dx + n m f(x dx 0, Definisi 8.1. Misalkan f L (. Kita definisikan transformasi Fourier dari f sebagai f = lim f n n (dalam norma di L (, di mana f n = χ [ n,n] f, n N. Catatan. Jika f L ( dan f n = χ [ n,n] f, n N, maka definisi di atas mengatakan bahwa lim f f n = 0. Mengingat f didefinisikan hanya sebagai anggota L (, n f(x hanya terdefinisi hampir di mana-mana. Selanjutnya, jika f L 1 ( L (, maka sekarang kita mempunyai dua definisi untuk f. Namun, kedua definisi ini konsisten karena limit dalam norma di L ( mestilah sama dengan limit titik demi titiknya. Sekali lagi kita jumpai kesamaan Plancherel. eorema (Kesamaan Plancherel Jika f L (, maka f = f ; yakni, transformasi Fourier merupakan suatu isometri pada L (. Bukti. Latihan. eorema merupakan kasus khusus dari eorema di bawah ini. eorema (Kesamaan Plancherel Jika f, g L (, maka f, ĝ = f, g. Bukti. Latihan. eorema (eorema inversi Fourier Jika f L (, maka n n Bukti. Lihat udin, hal eorema sampling Shannon f(ξe πiξx dξ f(x 0 (n. Kita telah mempelajari bagaimana sebuah fungsi dapat direkonstruksi dari barisan koefisien Fourier-nya. C. Shannon (1949 mengamati bahwa dalam hal khusus,
9 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi 41 sebuah fungsi bahkan dapat direkonstruksi dari titik-titik sampel-nya, dengan menggunakan keluarga fungsi sinc (sinc x = sin x x. Persisnya, kita mempunyai teorema berikut. eorema 8..1 (eorema sampling Shannon Jika f L ( dan supp f [, ], maka f(x = f ( k sin π( x k π( x k k Z dalam norma di L (. Bukti. Mengingat f L 1 ([, ] L ([, ], kita dapat menguraikan f sebagai deret Fourier f(ξ = k Z c k e πikξ/, ξ [, ], dengan c k = 1 f(ξe πikξ/ dξ = 1 f(ξe πikξ/ dξ = 1 f( k. Menggunakan teorema inversi Fourier sekali lagi, kita peroleh f(x = = = 1 = 1 = k Z k Z k Z k Z f(ξe πixξ dξ = f(ξe πixξ dξ 1 f( k e πikξ/ e πixξ dξ f ( k e πi(x k ξ dξ f ( k e πi(x k ξ ] πi(x k f ( k di mana deret konvergen dalam norma di L (. sin π( x k, (3 π( x k Catatan. Himpunan bilangan {f ( k }k Z disebut sampel. eorema di atas mengatakan bahwa f dapat direkonstruksi dari sampel tersebut dengan menggunakan keluarga fungsi { sin π( x k } π( x k. Hal ini tidaklah mengejutkan, karena s k Z k(x := sin π( x k π( x k, yang merupakan invers dari ŝ k (ξ = χ [, ](ξe πikξ/, membentuk
10 4 Hendra Gunawan basis ortonormal untuk {f L ( supp f [, ]}. Berdasarkan fakta ini dan kesamaan Parseval, kita peroleh f = k Z f, s k s k = k Z f, ŝ k s k = k Z f( k sk. 8.3 Penggunaan dalam persamaan diferensial ransformasi Fourier sering digunakan dalam menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Sebagai contoh, tinjau masalah Dirichlet pada setengah bidang bagian atas: u x + u t = 0 dengan syarat awal u(x, 0 = f(x, x, t > 0. Lakukan transformasi Fourier dalam peubah x, yakni û(ξ, t = u(x, te πiξx dx. Maka sehingga masalahnya menjadi: ( u b x = (πiξ û ( u b t = û t, û t = (πξ û dengan syarat awal Dari sini kita peroleh û(ξ, 0 = f(ξ. û(ξ, t = C 1 (ξe πξt + C (ξe πξt, dengan Jika kita ambil dan C 1 (ξ = C 1 (ξ + C (ξ = f(ξ. { C (ξ = { f(ξ, jika ξ 0 0, jika ξ < 0, 0, jika ξ 0 f(ξ, jika ξ < 0,
11 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi 43 maka kita peroleh û(ξ, t = f(ξe π ξ t. Jadi, menurut teorema inversi Fourier, u(x, t = (ûˇ(x, t = ( π t f( e ˇ(x. 8.4 Soal latihan 1. Buktikan eorema Buktikan eorema
12. Teorema Inversi Fourier dan Transformasi Fourier di L 2 (R)
1. Teorema Inversi Fourier dan Transformasi Fourier di L (R) 1.1 Teorema Inversi Fourier Dari hasil hitung-hitungan kasar di awal bagian ke-10, kita ingin membuktikan bahwa, dalam kondisi tertentu, kita
Lebih terperinci13. Aplikasi Transformasi Fourier
13. plikasi ransformasi Fourier Misal adalah operator linear pada fungsi yang terdefinisi pada R dengan sifat: jika [f(x] = g(x, maka [f(x + s] = g(x + s untuk setiap s R. Maka, fungsi f(x = e ax (a C
Lebih terperinciFourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part I
Fourier Analysis & Its Applications in PDEs Hendra Gunawan http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA WIDE 2010 5-6 August
Lebih terperinci10. Transformasi Fourier
10. Transformasi Fourier Dalam beberapa bab ke depan, kita akan membahas transformasi Fourier, sifatsifatnya, dan aplikasinya. Seperti halnya pada pembahasan deret Fourier, pendekatan yang diambil dalam
Lebih terperinci11. Konvolusi. Misalkan f dan g fungsi yang terdefinisi pada R. Konvolusi dari f dan g adalah fungsi f g yang didefinisikan sebagai.
11. Konvolusi Operasi konvolusi yang akan kita bahas di sini sebetulnya pernah kita jumpai pada pembahasan deret Fourier (ketika membuktikan kekonvergenan jumlah parsialnya). Operasi konvolusi merupakan
Lebih terperinciFourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Fourier Analysis & Its Applications in PDEs Hendra Gunawan http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA WIDE 2010 5-6 August
Lebih terperinci17. Transformasi Wavelet Kontinu dan Frame
17. Transformasi Wavelet Kontinu dan Frame Pada 16 kita mempelajari basis ortonormal {e 2πimx g(x n)} dengan g = χ [,1). Transformasi f f(x)g(x n)e 2πimx dx, m, n Z, dikenal sebagai transformasi Fourier
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinci16. Analisis Multi Resolusi
16. Analisis Multi esolusi Esensi dari basis ortonormal yang dibangun oleh sebuah wavelet adalah sifat multi resolusi-nya, sehingga kita dapat menganalisis suatu signal pada berbagai frekuensi di suatu
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci9. Teori Aproksimasi
44 Hendra Gunawan 9 Teori Aproksimasi Mulai bab ini tema kita adalah aproksimasi fungsi dan interpolasi Diberikan sebuah fungsi f, baik secara utuh ataupun hanya beberapilai di titik-titik tertentu saja,
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinciAnalisis Fourier dan Wavelet
0 Hendra Gunawan Analisis Fourier dan Wavelet Hendra Gunawan KK Analisis & Geometri FMIPA-ITB Bandung, 2017 Analisis Fourier dan Wavelet 1 Daftar Isi Kata Pengantar 5 0 Pendahuluan 7 0.1 Notasi dan istilah,
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciHendra Gunawan. KK Analisis & Geometri FMIPA-ITB. Bandung, Maret 2001 [Edisi Revisi II: Mei 2014]
Analisis Fourier dan Wavelet 1 Catatan Kuliah Analisis Fourier dan Wavelet Oleh Hendra Gunawan KK Analisis & Geometri FMIPA-ITB Bandung, Maret 2001 [Edisi Revisi II: Mei 2014] 1 2 Hendra Gunawan Daftar
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi
8 Hendra Gunawan 4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert
BAB 2 RUANG HILBERT Pokok pembicaraan kita dalam tugas akhir ini berpangkal pada teori ruang Hilbert. Untuk itu di bab ini akan diberikan definisi ruang Hilbert dan ciri-cirinya, separabilitas ruang Hilbert,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciPDP linear orde 2 Agus Yodi Gunawan
PDP linear orde 2 Agus Yodi Gunawan Pada bagian ini akan dipelajari tiga jenis persamaan diferensial parsial (PDP) linear orde dua yang biasa dijumpai pada masalah-masalah dunia nyata, yaitu persamaan
Lebih terperinciBAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
Lebih terperinciCatatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Lebih terperinciBAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi
BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann. Sebagaimana telah diketahui, pengkonstruksian integral Riemann dilakukan dengan cara pemartisian
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinci8. Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaik di L 2 (a, b)
8. Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaik di L (a, b) 8.1 Deret Fourier yang Diperumum Jika {ϕ n } 1 adalah basis ortonormal untuk L (a, b) dan f L (a, b), maka f, ϕ n disebut koefisien Fourier
Lebih terperinci10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)
Lebih terperinciBAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN
BAB IV REDUKSI BIAS PADA PENDUGAAN 4.1. Asimtotik Orde-2 Berdasarkan hasil simulasi pada Helmers dan Mangku (2007) kasus kernel seragam, aproksimasi asimtotik orde pertama pada ragam dan bias, gagal memprediksikan
Lebih terperinci3. Kekonvergenan Deret Fourier
3. Kekonvergenan Deret Fourier Sekarang kita akan membahas kekonvergenan deret Fourier, khususnya kekonvergenan titik demi titik. Melalui Contoh 2 yang dibahas pada bab sebelumnya kita mengetahui bahwa
Lebih terperinciKeterbatasan Operator Riesz di Ruang Morrey
J. Math. and Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 3, No., May 2006, 27 40 Keterbatasan Operator Riesz di Ruang Morrey Gani Gunawan, Hendra Gunawan Departemen Matematika FMIPA ITB Abstrak Dengan menggunakan transformasi
Lebih terperinci4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi
4. Deret Fourier pada Interval Sebarang dan Aplikasi Kita telah mempelajari bagaimana menguraikan fungsi periodik dengan periode 2 yang terdefinisi pada R sebagai deret Fourier. Deret trigonometri tersebut
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) 1. Limit Fungsi Mahasiswa dapar memahami secara mendalam (deduktif) pengertian limit fungsi, definisi dan te-orema-teorema serta mampu menga-plikasikannya
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperincidari ruang vektor berdimensi hingga V (dimana I adalah suatu himpunan indeks) disebut basis bagi V jika V = span(ψ) dan vektorvektor
BAB 3 FRAME Sinyal kontinu dapat kita diskritisasi dengan menggunakan ekspansi vektor. Sifat yang paling esensial untuk melakukan hal tersebut adalah adanya operator yang menjamin bahwa ekspansi vektor
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciBAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciIII. HASIL DAN PEMBAHASAN
III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 3. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 27 Daftar
Lebih terperinci: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil
BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh
Lebih terperinciTURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
Lebih terperinciUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
Lebih terperinciDaftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,
Lebih terperinciasimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa
Lebih terperinciBab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas
Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas II.1 II.1.1 Kalkulus Dasar Teorema Gradien Misal menyatakan domain pada ruang dimensi dua dan menyatakan batas i x + j 2 2 x 2 + 2 2 elanjutnya, penentuan integral
Lebih terperinciANALISIS NUMERIK LANJUT. Hendra Gunawan, Ph.D. 2006/2007
ANALISIS NUMERIK LANJUT Hendra Gunawan, Ph.D. 2006/2007 BAB I. RUANG LINEAR Pelajari definisi dan contoh: ruang linear (hal. 1-3); subruang (hal. 3); kombinasi linear (hal. 4); bebas/bergantung linear
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
Lebih terperinciRENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional
Ming gu ke RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 56 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional T o p i k S u b T o p i k 1. Ruang Banach - Ruang metrik - Ruang vektor bernorm - Barisan di ruang
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinciMINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA
MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA VARIABEL RANDOM Misalkan (Ω, A, P) ruang probabilitas dan R = {x < x < } dan B : Borel field pada R. Andaikan X : Ω R dan untuk setiap A R, kita definisikan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Konsep ruang metrik merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika analisis. Selama bertahun-tahun, para peneliti mencoba mengembangkan konsep ruang metrik.
Lebih terperinciBAB V DUALITAS RUANG ORLICZ
BAB V DUALITAS RUANG ORLICZ Karena ketaksamaan Holder yang telah dipelajari pada bab sebelumnya, Untuk sembarang h L θ, kita dapat mendefinisikan suatu fungsional linear kontinu l h yang memetakan L θ
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinciHendra Gunawan. 25 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 25 September 2013 Kuis 1 (Kuliah yang Lalu) 1. Selesaikan pertaksamaan 2x 3 < x. 2. Diketahui i f(x) ) = x 2 sin (1/x) untuk x 0 dan f(0) = 0.
Lebih terperinciINTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
Lebih terperinci5.1 Fungsi periodik, fungsi genap, fungsi ganjil
Bab 5 DERET FOURIER Pada Bab sebelumnya kita telah membahas deret Taylor. Syarat fungsi agar dapat diekspansi ke dalam deret Taylor adalah fungsi tersebut harus terdiferensial pada setiap tingkat. Untuk
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ilmu Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang berperan penting dalam berbagai bidang. Salah satu cabang ilmu matematika yang banyak diperbincangkan
Lebih terperinciAnalisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada awalnya deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier pada tahun 1807 untuk memecahkan model masalah persamaan panas pada suatu lempeng logam (Fourier, 1878).
Lebih terperinciHendra Gunawan. 16 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciMACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka
MACLAURIN S SERIES Ghifari Eka Taylor Series Sebelum membahas mengenai Maclaurin s series alangkah lebih baiknya apabila kita mengetahui terlebih dahulu mengenai Taylor series. Misalkan terdapat fungsi
Lebih terperinciMETODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ]
METODE GARIS SINGGUNG DALAM MENENTUKAN HAMPIRAN INTEGRAL TENTU SUATU FUNGSI PADA SELANG TERTUTUP [, ] Zulfaneti dan Rahimullaily* Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumbar Abstract: There is
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan dan aritmetika dari Sistem Bilangan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 26 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
9 BAB 3 REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL DAN GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciNughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,
Lebih terperinci