PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP A. ISIAN SINGKAT SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 011 BIDANG STUDI MATEMATIKA WAKTU : 150 MENIT 1. Jia x adalah jumlah 99 bilaga gajil terecil yag lebih besar dari 011 da y adalah jumlah 99 bilaga geap terecil yag lebih besar dari 6, maa x + y =... Asumsi I : 99 bilaga yag dimasud boleh sama. Misala x adalah jumlah 99 bilaga gajil terecil yag lebih besar dari 011, maa x = 99. 01= 19987 Misala y adalah jumlah 99 bilaga geap terecil yag lebih besar dari 6, maa y = 99. 8= 79 Nilai x + y = 19987 + 79 = 00079 Asumsi II : 99 bilaga yag dimasud berbeda. Misala x adalah jumlah 99 bilaga gajil terecil yag lebih besar dari 011, maa x = 01 + 015 + 017 +.. + U 99 merupaa deret aritmetia dega a = 01 da b = S = ½.( a + ( 1)b) x = S 99 = ½.99( 01 + 98 ) x = S 99 = ½. 99. 4 x = S 99 = 08989 Misala y adalah jumlah 99 bilaga geap terecil yag lebih besar dari 6, maa x = 8 + 10 + 1 +.. + U 99 merupaa deret aritmetia dega a = 8 da b = y = S 99 = ½.99( 8 + 98 ) y = S 99 = ½. 99. 1 y = S 99 = 10494 x + y = 08989 + 10494 = 1948 Catata : Peulis lebih memilih asumsi II e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL 1
. Jia f adalah fugsi sehigga f(xy)= f(x y) da f(6) =1, maa f( ) f(4) =. f(xy)= f(x y) Dietahui f(6) =1 f(6) = f(.) =f( )= 1, maa f(1) = 1 f() = f(.1) =f( 1)=f(1)=1 f() = f(.1) = f( 1) = f() = 1 f(4) = f(4.1) = f(4 1) = f() = 1 Selajutya f( ) = f(( 1)) = f( ( 1)) = f() = 1 Jadi f( ) f(4) = 1 1 = 0. Jia bilaga bulat x da y dibagi 4, maa bersisa. Jia bilaga x y dibagi 4, maa bersisa.. x dibagi 4 bersisa maa x = 4m + y dibagi 4 bersisa maa y = 4 + Sehigga : x y = 4m + (4 + ) x y = 4m + 1 9 x y = 4m 1 6 x y = 4(m ) 6 x y = 4(m + ) 6 x y = 4(m ) + 8 6 x y = 4(m ) + Ii berarti x y dibagi 4 bersisa 4. Perhatia gambar beriut. Suatu ligara berjari-jari satua berpusat di A. Suatu persegi memilii titi sudut di A da satu titi sudut yag lai di ligara. Di dalam persegi tersebut terdapat ligara yag meyiggug eempat sisi persegi. Di dalam ligara terdapat persegi yag eempat titi sudutya berada di ligara tersebut. Di dalam persegi ii terdapat ligara yag meyiggug eempat sisi persegi. Luas daerah yag diarsir sama dega... Gambar ita batasi seperluya da ita buat titi da garis batu yag diperlua sbb: e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL
G D F I B A C AB = r (ligara besar berpusat A) = AO = OG = 1 Pada segitiga AGO berlau Teorema Pythagoras sehigga AG = E AO + OG AG = 1 +1 AG = Selajutya OC = OD = OP = ½ AG = ½ Pada segitiga CDO berlau Teorema Pythagoras sehigga CD =OC CD =(½ ) CD = 1 CD = 1 Beriutya ita peroleh OE = OQ = ½CD OE = ½ Luas arsira = L persegi AHBG L ligara (r = OC) + L persegi CDIJ L ligara (r = OE) Luas arsira = AG π. OC + CD π. OE Luas arsira = ( ) π. (½ ) + 1 π. (½) Luas arsira = ½π + 1 ¼π Luas arsira = ( π ) satua luas 4 5. Baya bilaga digit (aga) yag terdiri dari aga-aga 0,,,5,7,8 yag lebih dari 4 da urag dari 780 adalah.. Q P O J H Kita aa meghitug bayaya bilaga digit (aga) yag terdiri dari aga-aga 0,,,5,7,8 yag lebih dari 4 da urag dari 780. Asumsia bilaga yag dimasud boleh megguaa aga berulag. e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL
Utu aga ratusa Aga puluha Aga satua Baya bilaga {5,7,8} {0,,,5,7,8} 6 x 6 = 18 Utu aga ratusa atau 5 Aga ratusa Aga puluha Aga satua Baya bilaga {,5} {0,,,5,7,8} {0,,,5,7,8} 6 6 x 6 x 6 = 7 Utu aga ratusa 7 Aga puluha Aga satua Baya bilaga {0,,,5,7} {0,,,5,7,8} 5 6 5 x 6 = 0 Jadi bayaya bilaga seluruhya 18 + 7 + 0 = 10 bilaga 6. Dietahui Budi adalah siswa lai-lai da Wati adalah seorag siswa perempua. Saat ii merea dudu di elas IX pada suatu seolah. Merea mecatat baya siswa elas IX di seolah merea. Wati mecatat, /0 dari total siswa di elas IX adalah lai-lai, sedaga meurut catata Budi, 1/7 dari total siswa dielas IX selai diriya adalah lai-lai. Baya siswa lai-lai elas IX di seolah merea adalah Misala x adalah baya seluruh siswa, da p adalah baya siswa lai-lai di elas IX. dari total siswa dielas IX adalah lai-lai 0 x = p 0 Meurut Budi 7 1 dari total siswa dielas IX selai diriya adalah lai-lai 1 (x 1) = p 1 7 1 (x 1) + 1= p 7 1 x = (x 1) + 1 0 7 Kedua ruas dialia 140 diperoleh : 1x = 0(x 1) + 140 1x = 0x 0 + 140 x = 10 p = 0 x = 0. 10 = 18 Jadi bayaya siswa lai-lai di elas tersebut adalah 18 e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL 4
7. Dietahui luas persegi ABCD adalah 5 m. Jia E, F, da G masig-masig adalah titi tegah AB, AD, da CD seperti pada gambar beriut, maa luas trapesium BHFE adalah... m. D G C F H A E B Perhatia gambar di bawah: Luas persegi ABCD = 5 m Maa pajag sisi persegi = 5 m Karea E, F, da G masig-masig adalah titi tegah AB, AD, da CD maa gambar dapat ita legapi sebagai beriut: D,5 G C,5 H F I 5,5 A,5 E, 5 B Gambarlah titi I yag merupaa titi tegah BD. Selajutya tari garis GI // AD, da garis FI // DC. Perhatia bahwa DGIF berupa persegi sehigga DHF siu-siu Luas Trapesium BHFE = L ABD L AEF L DHF Luas Trapesium BHFE = ½ AB AD ½ AE AF ¼ L.DGIF Luas Trapesium BHFE = 1 5 5 1 5 5 4 1 5 5 5 5 5 Luas Trapesium BHFE = 8 16 00 50 5 15 Luas Trapesium BHFE = = = 7.815 16 16 Jadi Luas Trapesium BHFE adalah 7,815 m e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL 5
8. Tiga bilaga a, b, da c dipilih sehigga etia setiap bilaga ditambaha e rata-rata dua bilaga laiya maa berturut-turut hasilya adalah 80,90, da 100. Rata-rata dari a, b, da c adalah... a + 1 ( b + c) = 80 a + b + c = 160 (1) b + 1 ( a + c) = 90 b + a + c = 180 () c + 1 ( a + b) = 100 c + a + b = 00 () Kedua ruas persamaa (1) + () + () meghasila : 4a + 4b + 4c = 540 4(a + b + c) = 540 a + b + c = 15 Rata-rata a, b, c adalah 1 1 a + b + c) = 1.15 =.15 = 45 ( 9. Sebuah bilaga bulat x diambil secara aca dari { x 5 x 10, x bilaga bulat }. Peluag bahwa x adalah peyelesaia pertidasamaa x x adalah. Sebuah bilaga bulat x diambil secara aca dari { x 5 x 10, x bilaga bulat } Bayaya seluruh emugia x adalah 16 Selajutya ita cari bayaya peyelesaia bulat dari x x sbb: x x x x 4 x x 4 0 (x 4)(x + 1) 0 1 x 4.. (1) Disampig itu syarat lai x x > 0 juga harus dipeuhi sehigga x(x ) > 0 x< 0 atau x >..() Irisa atara (1) da () adalah 1< x < 0 atau < x < 4 Utu x bilaga bulat maa yag memeuhi adalah 1, 0,, 4. Artiya ada 4 peyelesaia bulat Jadi ilai peluag yag dimasud adalah 4/16 = ¼ 10. Misala adalah suatu bilaga asli da x adalah bilaga riil positif. Jia x + = 0, maa ilai x x + 1 4 sama dega... e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL 6
x PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 011 + x = 0 x + x = 0 ( x ) + ( x ) Misala : 1 a + a 1 = 0 x = a, maa = 0 a = a Kedua ruas diuadrata diperoleh 9a = 4 8a + 4a 4a 17a + 4 = 0 (4a 1)(a 4) = 0 4a = 1 atau a = 4 a = ¼ atau a = 4 1 x = 4 atau x = 4 Selajutya ita laua pegujia e persamaaa: 1 ( x ) + ( x ) 1 = 0 ( x ) + x = 0 1 1 utu x = 1 4, maa ( ) + = 0(Memeuhi) 4 4 utu x = 4, maa (4) + 4 0 (Tida memeuhi) Jadi ilai = = = 4 1 1 1 1 x + + 4 4 4 B. SOAL URAIAN 1. Saat ii umur Agus da umur Fauza urag dari 100 tahu. Jia umur Agus da umur Fauza ditulis secara beruruta, maa diperoleh suatu bilaga empat digit (aga) yag merupaa uadrat sempura. Dua puluh tiga tahu emudia, jia umur merea ditulis dega cara yag sama, maa diperoleh bilaga empat digit lai yag juga merupaa uadrat sempura. Jia umur merea diasumsia merupaa bilaga bulat positif, berapaah umur merea saat ii? Kejadia saat ii : Misala: umur Agus = [pq] < 100, da umur Fauza = [rs] < 100,dega [pq] = 10p + q, da [rs] = 10r + s Jia umur eduaya ditulis secara beruruta diperoleh bilaga 4 digit yag merupaa uadrat sempura. Atau dapat ditulis sbb: e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL 7
[pqrs] = x, sehigga 1000p + 100q + 10r + s = x.(1) Yag terjadi tahu emudia : umur Agus = 10(p+)+ (q+) < 100, da umur Fauza = 10(r+)+ (s+) < 100 Jia umur eduaya ditulis secara beruruta maa diperoleh bilaga 4 digit lai yag juga merupaa uadrat sempura, sehigga: 1000(p+) + 100(q + ) + 10(r + ) + (s + ) = y 1000p + 000 + 100q + 00 + 10r + 0 + s + = y 1000p + 100q + 10r + s + = y () Jia edua ruas persamaa () diuragi persamaa (1) diperoleh : y x = (y + x)(y x) = 101 Karea 101 da relatif prima maa ilai x dapat dicari sbb: y + x = 101 y x = x = 78 x = 9 [pqrs] = [x ] = [9 ] = [151] umur Agus = [pq] = [15] da umur Fauza = [rs] = [1] Jadi umur merea saat ii adalah 15 tahu da 1 tahu.. Pada sebuah segiempat ABCD, sudut ABC da sudut DAC adalah sudut siu-siu. Jia elilig segi empat ABCD adalah 64 cm, elilig ABC adalah 4 cm, da elilig ACD adalah 60 cm, berapaah luas segiempat ABCD? p B q A t C s r D Kelilig ABCD = 64 p + q + r + s = 64.(1) Kelilig ABC = 4 p + q + t = 4..() Kelilig ACD = 60 r + s + t = 60...() Kedua ruas persamaa () + () (1) meghasila: t = 4 + 60 64 e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL 8
t = 10 p + q + t = 4 p + q + 10 = 4 p + q = 14 (4) Pada segitiga ABC berlau teorema Pythagoras: p + q = t p + q = 10..(5) Dari persamaa (4) da (5), maa diperoleh ilai p = 6 da q = 8 r + s + t = 60 r + s + 10 = 60 r + s = 50 (6) Pada segitiga ACD berlau teorema Pythagoras: s + t = r s + 10 = r..(7) Dari persamaa (6) da (7), maa diperoleh ilai s = 4 da r = 6 Luas segiempat ABCD = L. ABC + L. ACD Luas segiempat ABCD = ½.p.q + ½.s.t Luas segiempat ABCD = ½.6.8 + ½.4.10 Luas segiempat ABCD = 4 + 10 = 144 Jadi luas segiempat ABCD adalah 144 cm. Dietahui bil.bulat positif memilii sifat-sifat beriut. membagi, membagi +1, 4 membagi +, 5 membagi +, 6 membagi +4, 7 membagi +5, 8 membagi +6. Bilaga bulat positif pertama yag memilii sifat-sifat ii adalah. Tetua bilaga bulat positif e-5 yag memeuhi sifat-sifat diatas. Berdasar iformasi pada soal maa dapat ditulisa sbb: = a + 1 = b = b 1 = (b 1) + 1 = (b 1) + = p + + = 4c = 4c = 4(c 1) + 4 = 4(c 1) + = 4q + + = 5d = 5d = 5(d 1) + 5 = 5(d 1) + = 5r + + 4 = 6e = 6e 4 = 6(e 1) + 6 4 = 6(e 1) + = 6s + + 5 = 7f = 7f 5 = 7(f 1) + 7 5 = 7(f 1) + = 7t + + 6 = 8g = 8g 6 = 8(g 1) + 8 6 = 8(g 1) + = 8u + Bilaga bulat positif pertama yag memilii sifat-sifat ii adalah. Selajutya dapat diyataa sbb: = KPK (,, 4, 5, 6, 7, 8) + = 840 +, dega = 0,1,,,. Bilaga bulat positif pertama adalah = diperoleh utu = 0. Bilaga bulat positif edua adalah = 840 1 + = 840+ = 84, diperoleh utu = 1.. Bilaga bulat positif elima adalah = 840 4 + = 60+ = 6, diperoleh utu = 4 Jadi Bilaga bulat positif elima yag bersifat seperti tersebut adalah 6. e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL 9
4. Tiga garis lurus l 1, l, da l mempuyai gradie berturut-turut, 4, da 5. Ketiga garis tersebut memotog sumbu -Y dititi yag sama. Jia jumlah absis titi potog masig-masig garis dega 47 sumbu -X adalah, tetua persamaa garis l1 60 l 1 bergradie melalui (r,0) da (0,), sehigga = r = r l bergradie 4 melalui (q,0) da (0,), sehigga = 4 q = q 4 l bergradie 5 melalui (p,0) da (0,), sehigga = 5 r = p 5 y l l l 1 p q r x 47 Karea jumlah absis titi potog masig-masig garis dega sumbu -X adalah,maa 60 p 47 + q + r = 60 + + 4 0 15 + 60 60 47 47 = 60 60 47 = 5 60 1 + 60 = 47 60 = 1 Sehigga persamaa garis l 1 bergradie melalui (0,) = (0, 1) adalah : y y 1 = m (x x 1 ) y ( 1) = (x 0) y + 1 = x y = x 1 5. Data ahir suatu ompetisi yag diiuti oleh tiga tim sepabola, masig-masig tim salig berhadapa, ditulisa pada beriut. Tim Meag Kalah Seri Gol (Memasua-Kemasua) Elag 1 0 1 5 Garuda 1 0 1 4 Merpati 0 0 7 Berapaah sor pertadiga atara Tim Garuda melawa Tim Merpati? e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL 10
Perhatia diagram sor da tabel di bawah Elag seri x x Garuda meag a b meag c d Merpati Tim Meag Kalah Seri Gol(Memasua- Kemasua) Elag 1 0 1 5- Garuda 1 0 1 4- Merpati 0 0-7 Elag da Garuda bertadig seri da eduaya meag atas Merpati. Total Elag da Garuda memasua gol 5 + 4 = 9. Sedaga total Merpati emasua gol dari Elag da Garuda adalah 7. Artiya selisih gol terjadi saat Elag da Garuda bertadig seri atau dega sor 1-1. Pada tabel dietahui jumlah Gol (Memasua-Kemasua) Garuda 4. Karea 1 gol memasua e Elag maa sisaya (4 1 = gol) pasti memasua e Merpati. Disampig itu Garuda juga emasua 1 gol dari Elag, maa sisaya emasua ( 1= gol) dari Merpati. Jadi sor ahir Garuda melawa Merpati adalah. e-mail: oiciwa71@yahoo.co.id HAL 11