TUGAS ATA KULIAH TEORI RING LANJUT ODUL NOETHER Da Aresta Yuwagsh (/364/PPA/03489) Sebelumya, telah dketahu bahwa sebaga rg dega eleme satua memeuh sfat rata ak utuk deal-deal d. Apabla dpadag sebaga modul, maka setap deal d dapat dpadag dega submodul dar. Dega demka sfat rata ak juga berlaku pada submodul-submodul d. Hal lah yag melatarbelakag pedefsa sfat rata ak utuk suatu R modul yag selajutya melatarbelakag muculya defs modul Noether. Dalam keseluruha tugas, yag dmaksud dega R modul adalah modul kr atas rg dega eleme satua R. Defs.. Dberka R rg dega eleme satua da R modul. odul dkataka memeuh sfat rata ak (ACC) utuk submodul apabla utuk setap rata ak submodul-submodul dar yatu N N N3, terdapat blaga bulat postf sedemka hgga memeuh N N utuk setap. Selajutya, berkut dberka defs dar modul Noether beserta dega cotoh modul Noether. Defs.. odul dsebut modul Noether apabla memeuh sfat rata ak (ACC) utuk submodul.
Cotoh.3. a) sebaga modul merupaka modul Noether. b) Setap rg pembaga (dvso rg) yag dpadag sebaga modul merupaka modul Noether, karea submodul dar suatu rg pembaga hayalah 0 da drya sedr. c) Rg polomal atas blaga bulat x apabla dpadag sebaga modul buka merupaka modul Noether, karea terdapat rata ak submodul-submodul d x yatu x x x yag tdak stasoer. Sama halya dalam koleks deal-deal dar suatu rg yag tak kosog, dalam koleks submodul-submodul dar suatu modul yag tak kosog juga dapat dtemuka eleme maksmal. Defs.4. odul dkataka memeuh kods maksmal pada submodul apabla utuk setap koleks submodul-submodul dar yag tdak kosog memuat suatu submodul yag maksmal, yatu submodul yag tdak termuat d dalam submodul la dalam koleks submodul-submodul dar. Selajutya, berkut dberka teorema yag meyataka ekuvales sfat-sfat dar modul Noether, sama halya dega teorema ekuvales sfat-sfat dar rg Noether. Teorema.5. Dberka R rg dega eleme satua da R modul. Peryataaperyataa berkut ekuvale. a) merupaka modul Noether. b) memeuh kods maksmal. c) Setap submodul d dbagu secara hgga. Bukt. a b. Dketahu bahwa merupaka modul Noether. Berart memeuh sfat rata ak (ACC) utuk submodul. Dambl sebarag koleks submodul-submodul dar, yatu dega. Dambl sebarag J, maka J merupaka submodul yag maksmal d dalam atau terdapat J sedemka hgga J J. Apabla J
merupaka submodul yag maksmal, maka terbukt. Namu, apabla J buka merupaka submodul yag maksmal maka J merupaka submodul yag maksmal d dalam atau terdapat J3 sedemka hgga J J3. Proses dteruska hgga dperoleh suatu submodul yag maksmal d dalam. Oleh karea dketahu memeuh sfat rata ak (ACC) utuk submodul, maka proses pegulaga tersebut aka berhet pada suatu lagkah berhgga, msalka lagkah ke-. Dega demka, dperoleh J merupaka submodul maksmal d dalam. Jad terbukt bahwa modul memeuh kods maksmal. b c. Dketahu bahwa modul memeuh kods maksmal. Aka dbuktka bahwa setap submodul d dbagu secara hgga. Dambl sebarag submodul N d. Dbetuk koleks submodul-submodul d N yag dbagu secara hgga, msal hmpua H A A submodul d N yag dbagu secara hgga. Jelas bahwa H karea 0 H. eurut yag dketahu, maka H memlk eleme maksmal, msalka A. Aka dtujukka bahwa N A. Jelas bahwa A N, sehgga tggal dtujukka bahwa N A. Dambl sebarag x N, maka A x merupaka submodul d N da dbagu secara hgga. Akbatya dperoleh A x H. Karea dketahu bahwa A merupaka eleme maksmal d dalam H, maka haruslah A x A. Dega demka dperoleh bahwa x A sehgga x A. Karea pegambla eleme x N sebarag, maka dperoleh N A. Jad terbukt bahwa submodul d dbagu secara hgga. N A. Dega demka, terbukt bahwa setap c a. Dketahu bahwa setap submodul d dbagu secara hgga. Aka dtujukka bahwa merupaka modul Noether. Berart aka dtujukka bahwa modul memeuh sfat rata ak (ACC) utuk submodul. Dambl sebarag rata ak submodul-submodul d, yatu 3. Dperoleh bahwa merupaka submodul d. Karea dketahu bahwa setap submodul d dbagu secara hgga, maka dbagu secara hgga. Dega demka, dega m, m,, m utuk suatu m m m,,,. Selajutya, utuk setap,,,
dperoleh bahwa m maks,,,, sehgga j k k k, maka dperoleh m utuk suatu k. Selajutya, dplh k k utuk setap,,,. Akbatya j dperoleh m, m,, m j, sehgga memeuh m, m,, m j. Dega demka, terbukt bahwa j utuk suatu j. Jad terdapat j sedemka hgga memeuh l j, utuk setap blaga bulat postf l j. Dega demka terbukt bahwa modul memeuh sfat rata ak (ACC) utuk submodul. Jad terbukt bahwa merupaka modul Noether. Sepert halya dalam rg, berkut dberka suatu teorema yag mejelaska bahwa bayaga homomorfsma dar suatu modul Noether merupaka modul Noether. Teorema.6. Dberka da N masg-masg merupaka R modul, serta epmorfsma modul : N. Jka merupaka modul Noether maka N juga merupaka modul Noether. Bukt. Dambl sebarag rata ak submodul-submodul d N, yatu N N N3. Karea merupaka homomorfsma maka dperoleh bahwa N N N 3 merupaka rata ak submodul-submodul d. Karea dketahu modul Noether, maka terdapat sedemka hgga memeuh N N utuk setap,,. Aka dtujukka bahwa N N utuk setap,,. Dambl sebarag,,3, da x N. Karea merupaka epmorfsma maka terdapat y sedemka hgga memeuh sehgga y x. Akbatya dperoleh y N N, x N. Dega demka, dperoleh N N. Jad terbukt bahwa N N utuk setap,,. Dega demka, terbukt bahwa N merupaka modul Noether. Berkut dberka suatu teorema yag mejelaska keterkata atara barsa eksak pedek suatu modul dega modul Noether. Dalam pembukta teorema dguaka teorema sebelumya.
Teorema.7. Dberka barsa eksak pedek modul 0 f g L N 0. odul merupaka modul Noether jka da haya jka N da L juga merupaka modul Noether. Bukt.. Dketahu modul Noether, berart modul memeuh sfat rata ak utuk submodul. Karea f merupaka homomorfsma modul, maka d. Oleh karea setap submodul d f L merupaka submodul f L merupaka submodul d, maka f L juga memeuh sfat rata ak utuk submodul. Karea f merupaka moomorfsma maka dperoleh L f L. Dega demka, dperoleh bahwa L memeuh sfat rata ak utuk submodul. Jad terbukt bahwa L merupaka modul Noether. Selajutya, karea g merupaka epmorfsma da modul Noether, maka berdasarka Teorema.6 terbukt bahwa N merupaka modul Noether.. Dketahu bahwa N da L merupaka modul Noether. Aka dbuktka bahwa modul Noether. Dbetuk rata ak submodul-submodul d yatu 3. Karea f da g homomorfsma, maka dperoleh f f f 3 merupaka rata ak submodul-submodul d L da g g g 3 merupaka rata ak submodul-submodul d N. Karea N da L merupaka modul Noether maka terdapat g g sedemka hgga memeuh f f da, utuk setap. Aka dtujukka bahwa. Jelas bahwa, tggal dtujukka. Dambl sebarag x y sedemka hgga memeuh g x g y, maka terdapat. Karea g merupaka homomorfsma, maka dperoleh g x y 0 sehgga dperoleh x y Ker g Ker g Im f, maka dperoleh x y Im f memeuh f z x y. Karea. Berart terdapat z L sehgga. Selajutya, karea maka dperoleh y sehgga. Akbatya, dperoleh z f f f z x y dperoleh f z. Padahal dketahu f z x y. Dega demka da y, sehgga dperoleh
x. Jad terbukt bahwa. Dega demka dperoleh. Jad terbukt bahwa tedapat blaga sedemka hgga memeuh utuk setap. Dega demka, terbukt bahwa merupaka modul Noether. Selajutya, berkut dberka beberapa akbat dar Teorema.7. Akbat pertama mejelaska bahwa modul faktor dar suatu modul Noether merupaka modul Noether. Sedagka akbat kedua mejelaska bahwa hasl tambah lagsug dar sejumlah berhgga modul Noether merupaka modul Noether. Akbat.8. Dberka R modul da submodul K d. odul Noether jka da haya jka K da K juga merupaka modul Noether. Bukt. Dbetuk barsa 0 K f g 0. Jelas bahwa g: K K merupaka epmorfsma. Selajutya, ddefska pegata f : K dega f k k utuk setap k K. Jelas bahwa f merupaka moomorfsma. Akbatya dperoleh K Im f da Ker g y y 0 y y K K Im f. Jad dperoleh bahwa 0 K 0 merupaka barsa eksak pedek. K f g Selajutya, berdasarka Teorema.7 dperoleh bahwa merupaka modul Noether jka da haya jka K da K juga merupaka modul Noether. Akbat.9. Dberka,,, masg-masg merupaka R modul. Hasl tambah lagsug (drect sum) merupaka modul Noether jka da haya jka merupaka modul Noether utuk setap,,,. Bukt. Pembukta dega megguaka duks matematka. Utuk. Dbetuk barsa eksak pedek: 0 0.
Berdasarka Teorema.8 maka terbukt bahwa merupaka modul Noether jka da haya jka da merupaka modul Noether. Dasumska bahwa merupaka modul Noether jka da haya jka merupaka modul Noether utuk setap,,,. Aka dbuktka bahwa merupaka modul Noether jka da haya jka merupaka modul Noether utuk setap,,,. Dbetuk barsa eksak pedek: 0 0. Berdasarka Teorema.8 maka dperoleh bahwa merupaka modul Noether jka da haya jka da merupaka modul Noether. Karea merupaka modul Noether maka dperoleh merupaka modul Noether utuk setap,,,. Dega demka, terbukt bahwa merupaka modul Noether jka da haya jka merupaka modul Noether utuk setap,,,. Berkut dberka suatu teorema yag mejelaska syarat perlu da syarat cukup suatu edomorfsma dar modul Noether merupaka automorfsma. Teorema.0. Dberka R modul Noether da edomorfsma f Ed R. Edomorfsma f merupaka automorfsma jka da haya jka f bersfat surjektf. Bukt.. Dketahu f Ed R merupaka automorfsma, berart f merupaka somorfsma. Dega demka, f bersfat surjektf.. Dketahu f automorfsma. Karea f Ed R bersfat surjektf. Aka dtujukka bahwa f merupaka Ed R da f surjektf, maka f merupaka epmorfsma. Berart tggal dtujukka bahwa f bersfat jektf. Dperhatka rata ak submodul-
3 submodul d, yatu 0 Ker f Ker f Ker f modul Noether, maka terdapat blaga m. Dambl sebarag a maka. Karea dketahu m sedemka hgga Ker f Ker f dega a Ker f f juga merupaka epmorfsma, sehgga dperoleh Akbatya dperoleh utuk setap. Karea f epmorfsma a f b utuk suatu b. 0, sehgga b Ker f f b f f b f a dketahu Ker f Ker f maka dperoleh b Ker f. Karea, sehgga a f b 0 Dega demka dperoleh bahwa Ker f 0. Karea 0 Ker f. maka terbukt bahwa Ker f 0. Jad terbukt bahwa f bersfat jektf. Dega demka, terbukt bahwa bahwa f merupaka automorfsma. Selajutya, berkut dberka suatu teorema yag mejelaska bahwa utuk suatu edomorfsma f dar modul Noether dapat dtemuka suatu blaga bulat postf sedemka hgga rsa dar bayaga f dega kerel f sama dega ol. Teorema.. Dberka R modul da edomorfsma f Ed R. Jka merupaka modul Noether maka terdapat sedemka hgga memeuh f Ker f Im 0. Bukt. Dperhatka rata ak submodul-submodul d, yatu Ker f Ker f. Karea merupaka modul Noether, maka terdapat sedemka hgga memeuh Ker f Ker f utuk setap,,3, berart Im x f da x Ker f. Karea x Im f memeuh f y x. Karea x Ker f. Dambl sebarag x Im f Ker f, maka terdapat y sehgga maka sehgga dperoleh y Ker f. Karea Ker f Ker f y Ker f. Dega demka, dperoleh x f y 0 f x f f y f y 0.,, maka dperoleh. Dega demka, terbukt bahwa
f Ker f. Karea jelas bahwa 0 Im f Ker f Im 0 bahwa Im f Ker f 0., maka terbukt REFERENSI [] Hugerford., T.W., 974, Algebra, Sprger-Verlag, Uted States of Amerca. [] Lambek, J., 966, Lectures o Rgs ad odules, Blasdell Publshg Compay, Uted States of Amerca. [3] alk, D.S., ordeso, J.., da Se.K., 997, Fudametals Of Abstract Algebra, cgraw-hll Compaes Ic., Sgapore. [4] Wag, H.J., --, Itroducto to Commutatve Algebra, --. [5] Wsbauer, R., 99, Foudatos of odule ad Rg Theory, Gordo ad Breach Scece Publshers.