II. LANDAAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teoremateorema ag medukug utuk pembahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorema tersebut dtulska sebaga berkut.. Teorema Proeks Teorema proeks merupaka prsp dasar dalam peelesaa masalah optmsas. ebelum ke Teorema proeks terlebh dahulu aka dperkealka kosep ortogoaltas. Defs.. (Lueberger 969) Dalam suatu ruag pre-hlbert X vektor X dkataka ortogoal jka < >= dotaska dega. uatu vektor dkataka ortogoal dega hmpua dotaska jka s utuk setap s. Lemma berkut meujukka bahwa Teorema Phtagorea dalam geometr bdag merupaka akbat dar kosep ortogoaltas.
Lemma.. salka X suatu ruag Hlbert da X. Jka maka Bukt : = =. elajuta aka dbahas suatu masalah optmsas ag berhubuga dega Teorema proeks. salka X suatu ruag Pre-Hlbert dberka suatu vektor X da ruag baga dar X maka aka dtetuka vektor m ag terdekat ke atu vektor ag memmalka m. Jka berada d maka peelesaaa trval atu vektor sedr. ecara umum ada empat perataa petg dalam peelesaa masalah tersebut atu :. Adakah vektor m ag memmalka m?. Apakah peelesaaa tuggal? 3. Kods apa ag harus dpeuh agar ada peelesaa optmal? 4. Bagamaa meetuka peelesaa optmal? 5. Berapa la galata? 5
Perataa omor da 3 aka djawab dega Teorema proeks. Ada dua vers Teorema proeks satu vers pada ruag Pre-Hlbert da satu vers ag la pada ruag Hlbert dega hpotess da kesmpula ag lebh kuat. Defs.. (Lueberger 969) ebuah vektor W damaka kombas lear dar v v v r jka W dapat dataka dalam betuk W = k v + k v + + k r v r d maa k k k r adalah skalar salka v v v r adalah vektor - vektor dalam ruag vektor. Vektor vektor v v v r damaka ruag vektor V jka setap v dalam Vv merupaka kombas lear dar v v v r salka = {v v v r } adalah hmpua vektor vektor dalam ruag vektor V. dsebut bebas lear jka k v + k v + + k r v r = mempua tepat satu peelesaa k = k = k r =. dsebut tdak bebas lear jka k v + k v + + k r v r = mempua peelesaa la sela k = k = k r =. Jka V adalah sebuah sebarag ruag vektor da = {v v v r } adalah hmpua terhgga dar vektor vektor dalam V maka d sebut sebuah bass dar V jka : a. bebas lear ; da b. pembagu V. 6
Teorema.. (Teorema Proeks d Ruag pre-hlbert) salka X suatu ruag Pre-Hlbert suatu ruag baga dar X da sebarag vektor d X. Jka ada vektor m sedemka hgga mo m m maka m tuggal. arat perlu da cukup m suatu vektor mmal tuggal d adalah vektor selsh m ortogoal terhadap. Bukt : Aka d tujukka jka m adalah vektor mmal maka m ortogoal terhadap. Adaka kods sebalka terdapat m ag tdak ortogoal terhadap m. Tapa megurag keumuma bukt dmsalka m da < m m> =. Ddefska vektor m sebaga m = m + m maka m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m 7
I berart m dega m = m + m sehgga m m berart m buka vektor mmal. Jad m vektor mmal maka m ortogoal terhadap atau ( m ) m m. Dega demka jka m tdak ortogoal terhadap maka m buka vektor mmal. elajuta aka dtujukka jka vektor m ortogoal terhadap dambl sebarag m berdasarka Teorema Phtagorea : m m m m m m m sehgga m m utuk m m. Dalam dmes tga teorema proeks dapat dataka sebaga berkut : Ruag baga adalah bdag ag melalu ttk asal da d ruag dmes tga X. Jka ada vektor mmal m maka m tuggal da vektor selsh m tegak lurus terhadap bdag sepert dgambarka dalam gambar d bawah : ( m ) Gambar. 8
Teorema d atas belum mejam keberadaa vektor mmal tetap jka ada vektor mmal m maka m tuggal da vektor selsh m ortogoal terhadap ruag baga. Dega hpotess ag lebh kuat ddapatka kesmpula ag lebh kuat atu terjama keberadaa vektor mmal. Hal dataka dalam teorema berkut. Teorema..3 (Teorema Proeks Klask) salka H ruag Hlbert da ruag baga tertutup dar H maka utuk sebarag vektor H terdapat tuggal vektor m sedemka hgga mo m m. arat perlu da cukup m suatu vektor mmal tuggal adalah vektor selsh m ortogoal terhadap ruag baga. Bukt : Ketuggala da ortogoaltasa telah dbuktka sehgga tggal membuktka keberadaa vektor mmal. Jka da m = maka bukt selesa. salka da ddefska f m aka dtetuka m dega m m. salka {m } suatu barsa vektor dalam da m. eurut hukum jajara gejag (parallelogram) ( mj ) ( m ) ( mj ) ( m ) mj m 9
dega meusu kembal persamaa d atas ddapatka : j m m = mj m - 4 m m j utuk setap j. Da vektor m m j berada d. Karea ruag baga ler sehgga dar defs m m j da ddapatka : m j m m m 4 j karea m aka m j m j. Dega demka {m } adalah barsa Cauch da karea ruag baga tertutup dar ruag legkap maka barsa {m } mempua lmt m d dalam. Dega kekotua orm maka m. Jad dalam peulsa Teorema proeks klask mejam keberadaa da ketuggala peelesaa optmal serta kods ag harus dpeuh agar keberadaa vektor mmal ada peelesaa optmala peelesaa optmala sedr belum dapat dtetuka.
elajuta Teorema proeks d atas aka dtetapka utuk membagu sfat struktural tambaha dar suatu ruag Hlbert atara la adalah dalam sebarag ruag baga tertutup dar ruag Hlbert sebarag vektor dapat dtuls sebaga jumlaha dua vektor satu vektor d ruag baga tertutup da vektor ag la ortogoal terhadapa. Defs..3 (Lueberger 969) salka suatu hmpua baga dar ruag Pre-Hlbert. Hmpua semua vektor ag ortogoal terhadap dsebut kompleme ortogoal dar da dotaska dega. Teorema..4 salka da T hmpua baga dar ruag Hlbert da meataka kompleme ortogoal dar da T maka : T berturut-turut. adalah ruag baga tertutup. 3. Jka T maka T 4. = Bukt :. Hmpua merupaka ruag baga. Ruag tertutup karea jka { } suatu barsa koverge dar kataka ; Kekotua perkala
dalam meataka = < s> < s> utuk semua s sehgga.. Dambl. Hal berart utuk semua. ehgga dperoleh z. Utuk setap z Jad utuk z termasuk z =.. 3. Ambl T. Oleh karea tu maka utuk semua T. Karea T maka z utuk setap z. Dega kata la. 4. ( ) = Harus dbuktka : (a) ( ) (b) ( ) Bukt : (a) Jka maka ( ). (b ) Karea maka ( ). Defs..4 (Lueberger 969) Ruag vektor X dkataka jumlaha lagsug dar ruag baga da N jka setap vektor X dapat dtuls secara tuggal dalam betuk = m + dega m da N dotaska dega X = N.
Teorema..5 Jka ruag baga lear tertutup dar suatu ruag Hlbert H maka H = da = Bukt : salka H. Karea ruag baga tertutup maka meurut Teorema proeks ada vektor tuggal m sedemka hgga m m utuk semua m da = m. Dega demka = m + dega m da. Jad merupaka jumlaha dar m da. Utuk membuktka ketuggalaa msalka = m + dega m da maka : = (m + ) (m + ) = m m + tetap m m da ortogoal sehgga meurut teorema phtagorea m m. Hal meataka m = m da =. Jad utuk setap vektor d H dapat dataka dega tuggal sebaga jumlaha dar suatu vektor d da suatu vektor d. Utuk membuktka = tggal meujukka. Dambl da aka dtujukka. eurut baga teorema 3
= m + dega m da karea da m. aka m atu. Tetap sehgga ag meataka = sehgga - m da. Terbukt =. Dalam dmes dua baga pertama teorema d atas dapat dataka sebaga berkut. Jka H suatu bdag da m suatu gars lurus ag melalu ttk asal maka utuk setap H dapat dataka dega tuggal sebaga = + z dega da z. Hal dapat dgambarka sebaga berkut z Gambar. Gambar d atas jka ruag baga tetutup dar H maka H =. salka ruag baga tertutup dar suatu ruag Hlbert H da vektor d H. Vektor m dega m dsebut proeks ortogoal pada. Jad sampa ds keberadaa da ketuggala peelesaa optmal masalah optmsas sudah terjawab amu peelesaa optmala sedr belum dtetuka. Ada dua cara utuk meetuka peelesaa optmal atu dega meelesaka persamaa ormal da dega atura ortogoalsas Gram- 4
chmdt bersama deret Fourer. Pada peelta aka dbcaraka dega meelesaka persamaa ormal da matrks Gram. Defs..5 (Lueberger 969) salka... bass dar. Dberka sebarag vektor H da aka dcar vektor m d ag terdekat ke. Jka vektor m dataka dalam sukusuku dalam vektor sebaga : m o = aka masalah tersebut ekuvale dega meemuka skalar =... ag memmalka.... eurut teorema proeks vektor mmal tuggal m adalah proeks ortogoal pada atau vektor selsh m ortogoal terhadap setap vektor. Dega demka :... utuk =.... Atau < > - < > - < > -...- < > = < > - < > - < > -...- < > = < > - < > - < > -...- < > = 5
Atau < > + < > +...+ < > = < > < > + < > +...+ < > = < > < > + < > +...+ < > = < > Persamaa dalam koefse sebaak kal dkeal sebaga persamaa ormal utuk masalah mmalsas. atrks ag berhubuga dega vektor... atu : G = G(... ) =......... dsebut matrks Gram dar 3.... atrks adalah trapose dar matrks koefse ormal. Teorema..6 Determa Gram g = g(. ) jka da haa jka. bebas lear. 6
Bukt : Perataa tersebut ekuvale dega perataa vektor vektor. bergatug lear jka da haa jka g = g(. ) =. salka bergatug ler berart terdapat ag tdak sama dega ol sedemka sehgga. Karea barsa-barsa pada determa Gram bergatug pada maka determaa ol. salka g = g(. ) =. aka ada kebergatuga ler d atara barsa-barsaa sehgga terdapat kostata I ag tdak semuaa ol sedemka hgga j utuk semua j. Dega demka atau. ehgga da vektor j. bergatug ler. Walaupu persamaa ormal tdak memlk peelesaa tuggal jka bergatug ler tetap selalu ada palg sedkt satu peelesaa. Jka g = maka selalu dhaslka peelesaa ag tdak tuggal buka peelesaa ag tdak kosste. Teorema berkut meataka jarak mmum suatu vektor ke ruag baga dapat dcar dega determa matrks Gram. 7
Teorema..7 salka.. bebas lear da jarak mmum vektor ke ruag baga ag dbagu oleh atu : m... maka g(... ) g(... ) Bukt : eurut defs eurut teorema proeks - ortogoal terhadap sehgga secara khusus karea maka : < - > = sehgga... atau... persamaa bersama persamaa ormal memberka + persamaa ler dalam + varabel.... Dega atura Cramer ddapatka 8
9 )... ( )... (........................ g g. Fugs Trgoometr Kesamaa-kesamaa trgoometr. Kesamaa gajl-geap s( ) = s cos( ) = cos ta( ) = ta. Kesamaa ko fugs s π = cos cos π = s ta π = cot 3. Kesamaa Phtagoras s + cos = + ta = sec + cot = csc
4. Kesamaa peambaha s( + ) = s cos + cos s cos( + ) = cos cos s s ta( + ) = ta + ta ta ta 5. Kesamaa sudut gada s = s cos cos = cos s = cos = s 6. Kesamaa setegah sudut s = cos = cos +cos 7. Kesamaa jumlah s + s = s + cos + cos = cos + cos cos 8. Kesamaa hasl kal s s = cos + cos( ) cos cos = cos + + cos( ) cos cos = cos + + cos( )