Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu. Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus Komponen bilangan real dapat digambarkan sebagai berikut : Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus
Pendahuluan Himpunan bilangan real adalah sekumpulan bilangan yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. [ Purcell] Himpunan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m m,n bilangan bulat, dengan n 0. n Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus Pendahuluan Kita lihat sebuah segitiga siku-siku : merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga, tetapi bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi bilangan bulat. Jadi bilangan tersebut adalah bilangan irrasional. Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 5 Pendahuluan Contoh bilangan irrasional yang lain adalah, 5, π dan lain-lain. Secara geometri, sistem bilangan real digambarkan pada suatu garis bilangan. Dari garis bilangan tersebut, muncul suatu yang dinamakan interval. Interval yaitu suatu himpunan bagian dari R yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Definisi interval, notasi dan gambarnya adalah sebagai berikut : Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 6
Pendahuluan Definisi Notasi < a (,a) { } { a } (,a] { < } ( a,b) a < b { } [ a,b] a b { > b } ( b, ) { b } [ b, ) { R} (, ) Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 7 Pendahuluan Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y Ketransitifan Jika < y dan y < z maka < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan < y maka z < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka z > yz Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 8 Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A( ) D( ) < B( ) E( ) dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0 Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus
Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Cara menyelesaikan pertidaksamaan :. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ), dengan cara : < 0 Q( ) Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 0 Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P() dan Q() diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 5 + 5 + 6 8 8 8 Hp = [,8] 8 Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus
< 6 8 8 < Hp =, < Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 5 < 0 ( + )( ) < 0 Titik Pemecah (TP) : = dan = ++ -- ++ Hp =, Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 6 7 + 6 6 7 dan 6 7 + 6 + 7 6 + dan 7 6 + 6 0 dan 0 0 0 dan 0 0 0 dan 0 Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 5 5
0 Hp =, [ 0, ) 0 0 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 0 0, Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 6 5. < + < 0 + ( ) ( + ) ( + )( ) ( + )( ) TP : -,, < 0 < 0 -- ++ -- ++ -,, Hp = ( ) Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 7 6. + + + 0 + ( + )( + ) ( ) ( )( + ) + + 0 ( )( + ) 0 Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 8 6
Untuk pembilang + + mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP :,- Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. Hp = -- ++ -- - (, ) (, ) Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak ( ) didefinisikan sebagai jarak dari titik pusat pada garis bilangan, selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak : =, 0, < 0 Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 0 Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak: 5 = a, a 0 a a a, a 0 a atau a y = y y 6. Ketaksamaan segitiga + y + y y y y Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 7
Contoh :. 5 < Kita bisa menggunakan sifat ke-. < 5 < 5 < < + 5 < < 8 < <, Hp = ( ) Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus. 5 < Kita bisa juga menggunakan sifat ke-, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. ( 5) < 0 + 5 < 0 + 6 < 0 0 + 8 < 0 ( )( ) < 0 TP :, ++ Hp = (,) -- ++ Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus pake definisi. + + 5 Kita bisa menggunakan sifat ( + ) ( + 5) + + 6 + 0 + 5 8 6 0 + 7 + 0 Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 8
Jika digambar pada garis bilangan : ++ -- - ++ Hp =, (, ] Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 5. + 7 + 7 atau + 7 5 atau 0 atau 8 Hp = 0,, 8 [ ) ( ] -8-0 Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 6 5. + Kita definisikan dahulu : = < + + = < Jadi kita mempunyai interval : I II III,,, ( ) [ ) [ ) - Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 7
I. Untuk interval < atau (, ) + ( ) ( ) 6 + + 7 atau, Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 8 Jadi Hp =, (, ) - Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (, ) sehingga Hp = (, ) Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus II. Untuk interval + ( ) ( + ) 6 5 7 7 7 7 atau, < atau [,) Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 0 0
7 Jadi Hp =, [, ) - 7 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7, 7 sehingga Hp =, Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus III. Untuk interval atau [, ) + ( ) ( + ) 6 7 5 5 atau 5, Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 5 Jadi Hp =, [, ) 5 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga, 5 Hp =, Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus
Hp = Hp Hp Hp 7 5 Hp =, ( ),, Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus - 7 5-7 5-7 5 Jadi Hp = 7 5,, Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 5 Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + + + + + + + 5 + + 5 6 + Jumat, 0 September 006 MA Kalkulus 6