SIFAT-SIFAT OPERASI ARITMATIKA DETERMINAN DAN INVERS PADA MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Meperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Mateatika Oleh : NURSUKAISIH 0854003938 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 0
SIFAT-SIFAT OPERASI ARITMATIKA DETERMINAN DAN INVERS PADA MATRIKS INTERVAL NURSUKAISIH 0854003938 Tanggal Sig : 6 Juni 0 Tanggal Wisuda : 0 Jurusan Mateatika Fakultas Sains Teknologi Universitas Isla Negeri Sultan Syarif Kasi Riau Jl HR Soebrantas No55 Pekanbaru ABSTRAK Matriks interval adalah atriks yang eleen-eleen di dalanya berupa interval tertutup dengan atriks batas bawah atriks batas atas sebagai penyusunnya Matriks interval dala operasi aritatikanya berdasarkan pada operasi aritatika pada bilangan interval Sebagaiana pada atriks biasa atriks interval juga epunyai beberapa sifat-sifat dala operasi aritatika deterinan invers Sifat operasi aritatika yang berlaku terhadap operasi penjulahan atriks interval adalah sifat koutatif asosiatif segkan pada operasi perkalian atriks interval sifat koutatif asosiatif tidak berlaku Selanjutnya sifat distributif tidak berlaku terhadap operasi penjulahan perkalian atriks interval sifat koutatif skalar interval juga tidak berlaku pada perkalian atriks interval Menentukan deterinan pada atriks interval enggunakan etode ekspansi kofaktor langkah-langkah yang harus dilakukan adalah saa seperti atriks biasa begitu juga dengan enentukan invers pada atriks interval enggunakan adjoin langkah-langkah yang harus dilakukan juga saa seperti atriks biasa katakunci: invers atriks interval atriks interval sifat-sifat operasi aritatika atriks interval vii
KATA PENGANTAR Alhadulillahirabbil alain segala puji bagi Allah SWT karena atas rahat taufiq hidayah-nya penulis dapat enyelesaikan Tugas Akhir dengan judul SIFAT-SIFAT OPERASI ARITMATIKA DETERMINAN DAN INVERS PADA MATRIKS INTERVAL dengan baik selesai tepat pada waktunya Shalawat beserta sala selalu tercurahkan kepada Nabi Muhaad SAW udah-udahan kita seua selalu endapat syafa at-nya selalu dala lindungan Allah SWT ain Penulisan Tugas akhir ini diaksudkan untuk eenuhi salah satu syarat dala rangka enyelesaikan studi Stata (S) di Jurusan Mateatika Fakultas Sains Teknologi Universitas Isla Negeri Sultan Syarif Kasi Riau Dala penyusunan penyelesaian Tugas akhir ini penulis tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak baik langsung aupun tidak langsung Untuk itu penulis engucapkan teriakasih yang tak terhingga kepada kedua orang tua tercinta ayahanda ibunda yang tidak pernah lelah dala encurahkan kasih sayang perhatian do a dukungan untuk enyelesaikan Tugas akhir ini Selanjutnya ucapan teriakasih kepada : Bapak Prof Dr H M Nazir selaku Rektor Universitas Isla Negeri Sultan Syarif Kasi Riau Ibu Dra Hj Yenita Morena MSi selaku Dekan Fakultas Sains Teknologi Universitas Isla Negeri Sultan Syarif Kasi Riau 3 Ibu Sri Basriati MSc selaku Ketua Jurusan Mateatika Fakultas Sains Teknologi Universitas Isla Negeri Sultan Syarif Kasi Riau 4 Ibu Fitri Aryani MSc selaku Dosen Pebibing yang telah eberikan arahan otivasi ebibing penulis dengan penuh kesabarannya sehingga penulis dapat enyelesaikan skripsi ini 5 Ibu Yuslenita Muda MSc selaku penguji I yang telah banyak ebantu eberikan kritikan saran serta dukungan dala penulisan Tugas akhir ini ix
6 Bapak Wartono MSc selaku penguji II yang telah banyak ebantu endukung eberikan saran dala penulisan Tugas akhir ini 7 Seua dosen-dosen Jurusan Mateatika yang telah eberikan dukungan serta saran dala enyelesaikan Tugas akhir ini 8 Tean-tean Jurusan Mateatika angkatan 008 yang telah banyak eberi seangat eotivasi penulis untuk segera enyelesaikan penulisan skripsi ini 9 Seua pihak para sahabat yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu Dengan segala kerendahan hati penulis juga enyadari bahwa skripsi ini asih jauh dari sepurna untuk itu kritik saran yang bersifat ebangun sangat penulis harapkan Kepada seua pihak yang ebaca skripsi ini seoga dapat engabil anfaatnya Ain Pekanbaru 6 juni 0 Nursukaisih x
DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL LEMBAR PERNYATAAN LEMBAR PERSEMBAHAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR SIMBOL Halaan ii iii iv v vi vii viii ix xi xiii BAB I BAB II PENDAHULUAN Latar Belakang I- Ruusan Masalah I- 3 Tujuan Penelitian I- 4 Batasan Masalah I-3 5 Manfaat Penelitian I-3 6 Sisteatika Penulisan I-3 LANDASAN TEORI Operasi pada Matriks II- Penjulahan Pengurangan Matriks II- Perkalian Matriks dengan Skalar II- 3 Perkalian Matriks dengan Matriks II-3 Deterinan II-4 3 Invers Matriks II-6 4 Interval II-7 5 Operasi Aritatika pada Interval II-7 6 Matriks Interval II- xi
BAB III METODOLOGI PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN 4 Operasi Aritatika pada Matriks Interval IV- 4 Operasi Penjulahan pada Matriks Interval IV- 4 Sifat Koutatif Terhadap Operasi Penjulahan IV-3 4 Sifat Asosiatif Terhadap Operasi Penjulahan IV-4 4 Operasi Pengurangan pada Matriks Interval IV-8 43 Perkalian Skalar Interval dengan Matriks Interval IV-9 44 Perkalian Matriks Interval dengan Matriks Interval IV- 44 Sifat Koutatif Terhadap Perkalian IV- 44 Sifat Asosiatif Terhadap Perkalian IV-4 4 Deterinan Matriks Interval IV- 43 Invers Matriks Interval IV-9 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5 Kesipulan V- 5 Saran V- DAFTAR PUSTAKA DAFTAR RIWAYAT HIDUP xii
BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Matriks erupakan salah satu ilu yang dapat digunakan untuk enyelesaikan berbagai persoalan dala kehidupan sehari-hari Matriks juga dapat diterapkan ke berbagai ilu pengetahuan lainnya seperti dala ilu statistik fisika teknik sosial ekonoi Matriks erupakan susunan segi epat siku-siku yang tersusun dari eleen atau entri Terdapat beberapa aca atriks diantaranya atriks segitiga atas atriks diagonal atriks identitas atriks interval lain sebagainya Bentuk dari sebuah atriks sesuai dengan definisi atriks tersebut seperti atriks segitiga atas yaitu atriks yang eleen dibawah diagonal utaanya bernilai nol atriks diagonal yaitu atriks yang eleen selain diagonal utaanya bernilai nol atriks identitas yaitu atriks yang diagonal utaanya bernilai satu selain itu bernilai nol atriks bujur sangkar yaitu atriks dengan bentuk persegi karena julah baris kolo yang saa lain sebagainya (Anton H 998) Matriks interval yaitu atriks yang eleennya berupa interval yang eiliki batas atas batas bawah Matriks interval saa halnya dengan atriks biasa yang eiliki operasi aritatika untuk enyelesaikan persoalan pada atriks tersebut Operasi aritatika pada atriks interval didasarkan pada operasi aritatika dala interval Operasinya dapat berupa penjulahan pengurangan perkalian pebagian Berdasarkan operasi aritatika pada atriks interval aka akan dihasilkan beberapa sifat operasi aritatika dari atriks interval tersebut Konsep operasi aritatika pada atriks interval pada dasarnya telah banyak dibahas oleh beberapa peneliti sebelunya diantaranya adalah penelitian yang dilakukan oleh Ioana Pasca (00) yang ebahas tentang kondisi foral untuk regularitas pada atriks interval Selanjutnya penelitian yang dilakukan oleh Devi Safitri (0) yakni tentang penggunaan aljabar ax-plus dala enentukan nilai eigen vektor eigen pada atriks interval Keudian Georg Rex Jiri
Rohn (998) yang eneliti tentang syarat cukup untuk regular singular dari atriks interval Matriks interval dapat diaplikasikan dala kehidupan salah satunya adalah aplikasi ilu atriks interval dala siste jaringan antrean Salah satu penelitian atas aplikasi atriks interval telah dilakukan oleh Sri Rejeki Puri Wahyu Praesthi (00) yang ana dala penelitiannya enggunakan aljabar ax-plus dala enentukan waktu periodik dala siste antrian Berdasarkan penelitian-penelitian jurnal-jurnal di atas engenai atriks interval sehingga penulis tertarik untuk engulas sebuah jurnal yang ditulis oleh K Ganesan (007) yang berjudul Beberapa Sifat dari Matriks Interval Penelitian yang akan penulis lakukan dala engulas jurnal tersebut adalah engenai pebuktian sifat-sifat operasi aritatika pada atriks interval enentukan langkah-langkah untuk encari nilai deterinan invers pada atriks interval Berdasarkan hal tersebut aka penulis engabil judul Sifat-Sifat Operasi Aritatika Deterinan Invers pada Matriks Interval Ruusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas aka ruusan asalah pada penelitian ini adalah: Apa sajakah sifat-sifat operasi aritatika pada atriks interval? Bagaiana langkah-langkah enentukan nilai deterinan pada atriks interval? 3 Bagaiana langkah-langkah enentukan invers pada atriks interval? 3 Tujuan Penelitian Sesuai dengan ruusan asalah aka penelitian ini bertujuan untuk endapatkan atau eperoleh sifat-sifat operasi aritatika pada atriks interval enentukan langkah-langkah untuk encari nilai deterinan invers pada atriks interval I-
4 Batasan Masalah Berdasarkan pada ruusan asalah aka harus dilakukan batasan asalah agar tujuan dari penelitian ini dapat dicapai dengan baik tepat pada waktunya Perasalahan pada penelitian ini dibatasi pada: a Pebuktian sifat-sifat operasi aritatika pada atriks interval yakni dibatasi pada operasi penjulahan operasi perkalian b Menentukan langkah-langkah untuk encari deterinan atriks interval hanya enggunakan etode akspansi kofaktor c Menentukan invers atriks interval hanya enggunakan adjoin 5 Manfaat Penelitian Adapun anfaat yang bisa diperoleh dari penelitian ini adalah: Penulis apu enentukan sifat-sifat operasi aritatika pada atriks interval apu enentukan deterinan invers dari atriks interval hal lainnya yang berhubungan dengan atriks interval Sebagai sarana inforasi bagi pebaca sebagai bahan referensi bagi pihak yang ebutuhkan 6 Sisteatika Penulisan Dala penulisan skripsi ini penulis enggunakan sisteatika penulisan sebagai berikut: BAB I Pendahuluan Bab ini encakup engenai latar belakang ruusan asalah tujuan penelitian batasan asalah anfaat penelitian sisteatika penulisan BAB II Landasan Teori Bab ini ebahas tentang teori-teori yang endukung dala enyelesaikan bagian pebahasan asalah Teori-teori tersebut antara lain yaitu operasi pada atriks deterinan invers atriks interval operasi aritatika interval atriks interval I-3
BAB III BAB IV BAB V Metodologi Penelitian Bab ini berisi prosedur atau langkah-langkah untuk ebuktikan sifat-sifat operasi aritatik atriks interval langkah-langkah encari nilai deterinan pada atriks interval Analisis Dan Pebahasan Bab ini berisikan tentang pebahasan penelitian yang didukung dengan literatur yang telah ada Penutup Bab ini berisikan tentang kesipulan dari seluruh pebahasan pada bab-bab sebelunya saran yang berkaitan dengan kajian ini I-4
BAB II LANDASAN TEORI Bab II ini ebahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk enyelesaikan perasalahan yang akan dibahas pada bab selanjutnya Adapun teori-teori pendukung tersebut antara lain adalah operasi pada atriks deterinan invers atriks interval operasi aritatika pada interval atriks interval Operasi pada Matriks Matriks eiliki operasi aritatika untuk enyelesaikan persoalan pada atriks tersebut Operasi aritatika pada atriks dapat berupa penjulahan pengurangan perkalian pebagian/invers Pada bagian ini akan dijelaskan tentang operasi aritatika tersebut Penjulahan Pengurangan Matriks Definisi (Anton H 998): Jika ukurannya saa aka julah adalah sebarang dua atriks yang adalah atriks yang diperoleh dengan enabahkan bersaa-saa entri yang bersesuaian dala kedua atriks tersebut Contoh : Diketahui atriks: 4 3 6 Tentukan penjulahan Penyelesaian:! 4 7 4 4 3 5 8 6 7 3 6 3 5 8 9 3 5 4 5 8 3
Menurut Anton H (998) jika adalah sebarang atriks aka enyatakan hasil kali dari () Jika ukurannya saa aka () akan adalah dua atriks yang didefinisikan sebagai julah ( ) Contoh : Diketahui atriks: 4 4 3 6 7 Tentukan penjulahan ( )! 5 8 3 Penyelesaian: Berdasarkan definisi di atas aka: 4 ( ) () 5 7 3 ( ) 4 3 6 3 0 3 7 0 4 8 5 8 7 3 4 7 5 3 8 Perkalian Matriks dengan Skalar Definisi (Anton H 998): Jika hasil kali suatu atriks suatu skalar aka adalah atriks yang yang diperoleh dengan engalikan asing- asing entri dari oleh Contoh 3 : Diberikan atriks Penyelesaian: 4 6 Berdasarkan definisi aka: 3 skalar 5 tentukanlah! II-
5 4 3 6 0 0 30 5 5 5 5 0 0 3 Perkalian Matriks dengan Matriks Definisi 3 (Anton H 998): Jika adalah sebuah atriks aka hasil kali sebuah atriks adalah atriks adalah yang entri- entrinya ditentukan sebagai berikut Untuk encari etri dala baris kolo dari pilih baris dari atriks kolo dari atriks Kalikan entri- entri yang bersesuaian dari baris kolo secara bersaa-saa keudian julahkan hasil kali yang dihasilkan Definisi perkalian atriks ensyaratkan bahwa julah kolo pada atriks saa dengan julah baris pada atriks untuk ebentuk hasil kali Secara aljabar perkalian dua buah atriks didefinisikan sebagai berikut: Jika diketahui atriks : aka: [ ] II-3
Contoh 4 : Diketahui atriks: 8 3 7 5 Penyelesaian: Oleh karena hasilkali 4 tentukanlah hasil perkalian 6 adalah atriks 3 3 adalah 3 aka didapatkan:? adalah atriks 3 aka 8 3 7 4 5 6 () 4 48 6 4 4 8 90 50 5 00 Deterinan Subbab ini akan ebahas tentang deterinan atriks beberapa sifat yang berlaku pada deterinan Definisi 4 (Anton H 998): Misalkan deterinan dinyatakan dengan adalah atriks fungsi kita definisikan det( ) sebagai julah seua hasil kali eleenter bertanda dari Deterinan dari atriks dinotasikan dengan Sifat-sifat yang berlaku pada deterinan atriks antara lain yaitu: ) Jika sebarang atriks (0) aka det( ) 0 yang engandung satu baris bilangan II-4
) Jika adalah atriks segitiga entri pada diagonal utaa yaitu adalah sebarang atriks aka det(a) adalah hasil kali entri aka det( ) det( ) 3) Jika 4) Jika terdapat dua atau lebih baris dari atriks 5) det( ) 0 Jika 6) atriks ) det( )det( ) det( Sebuah atriks A yang berukuran berukuran aka saa aka dapat dibalik (invertible) aka det( ) 0 Terdapat beberapa etode yang dapat digunakan untuk enentukan deterinan atriks salah satunya yaitu etode ekspansi kofaktor Definisi 5 (Anton H 998): Jika A adalah atriks dinyatakan dengan aka inor entri didefinisikan enjadi deterinan subatriks yang tetap setelah baris ke- kolo ke- dicoret dari A Bilangan () dengan yang dinaakan dengan kofaktor entri Kofaktor inor eleen ± hanya berbeda dala tanya yakni Cara yang lebih baik untuk enentukan tanda yang enghubungkan dinyatakan berada pada baris ke- kolo ke- dari susunan berikut: Berdasarkan atriks tanda di atas aka didapatkan kofaktor: () aka secara ateatis deterinan atriks A dengan ordo dengan ekspansi kofaktor ditulis sebagai berikut : det( ) () atau dapat dihitung II-5
Untuk lebih jelasnya perhatikan atriks 3 3 berikut: diperoleh : Dengan enggunakan etode ekspansi kofaktor sepanjang baris pertaa aka diperoleh deterinan dari atriks det( 3 ) ( ( adalah: ) ( ) ) Invers Matriks Setelah epelajari tentang deterinan atriks tentang kofaktor selanjutnya akan dipelajari tentang invers atriks yang juga enggunakan deterinan kofaktor dala penyelesaiannya Definisi 6 (Anton H 998): Jika adalah kofaktor kofaktor aka atriks Teorea (Anton H 998): Jika Bukti: Transpos atriks ini dinaakan adjoin adj( ) adalah sebarang atriks dinaakan atriks dinyatakan dengan adalah atriks yang dapat dibalik aka adj( ) det( ) Misalkan diketahui atriks: II-6
aka adjoin atriks adj(a) adalah: Pertaa-taa akan ditunjukkan dahulu: aka: adj(a) det( ) adj(a) akan didapatkan entri dala baris ke- kolo ke- adalah: Jika () aka persaaan () adalah ekspansi kofaktor dari det( ) sepanjang baris ke- dari atriks koefisien kofaktor-kofaktor Sebaliknya jika aka koefisien- berasal dari baris-baris yang berbeda sehingga persaaan () saa dengan nol aka: det( ) 0 adj(a) 0 Oleh karena atriks dapat dikalikan dengan [ det( ) 0 0 det( ) 0 det( ) 0 det( ) () dapat dibalik aka det( ) 0 aka persaaan () adj(a)] ( ) aka: II-7
adj(a) det( ) Selanjutnya kalikan kedua ruas dengan akan enghasilkan: adj(a) det( ) aka teorea terbukti 4 Interval Menurut Ioana (00) sebuah interval { ℝ didefinisikan sebagai: } ℝ Berdasarkan definisi di atas dapat dilihat bahwa sebuah interval adalah interval tertutup terbatas yang terdiri dari dua buah anggota yaitu erupakan anggota bilangan real Diana erupakan batas bawah yang harus lebih kecil dari pada karena erupakan batas atas dari interval Contoh 5 : Diberikan bilangan interval sebagai berikut: [8 3] [4 6] [46] [7 3] Tentukanlah ana yang erupakan interval ana yang bukan interval sesuai dengan definisi! Penyelesaian: Berdasarkan definisi aka terlihat bahwa segkan erupakan interval bukan erupakan interval karena tidak eenuhi syarat sebuah interval 5 Operasi Aritatika pada Interval Operasi aritatika dala bilangan interval diantaranya yaitu operasi penjulahan pengurangan perkalian pebagian Sibol yang digunakan pada operasi aritatika interval saa seperti operasi pada bilangan riil II-8
Definisi 7 (Ganesan 007): Untuk kita definisikan sebagai: dengan: ( ) ( ) w( ) dala ӏℝ untuk { } ( ) in (3) ( ) ( ) Untuk lebih jelasnya aka berikut ini adalah ketentuan dala operasi aritatik dala interval: (i) Penjulahan: dengan: ( ) (ii) Pengurangan dengan: ( ) (iii) Perkalian dengan: ( ) ( ) (4) (5) ( ) ( ) (6) (7) (8) II-9
( ) in in ax ( ) (9) (0) Jika terdapat perkalian skalar dengan interval ( untuk dengan : ( ) () < 0 (iv) Pebagian/invers ) aka: 0 untuk () ( ) 0 (3) (4) Contoh 6 : Diberikan [] [35] 5 tentukanlah! hasil dari Penyelesaian: Sebelu elakukan perhitungan perlu dicari: ( ) () 35 4 Selanjutnya lakukan operasi aritatikanya: (i) Pertaa harus ditentukan nilai aka: (5 ) 3 () sebagai berikut: 5 [] [35] II-0
5 5 4 4 [7] 5 5 4 4 [6 ] [] [35] (ii) Sebelu dilakukan perkalian perlu ditentukan dahulu: in ()3 ()5 ()3 ()5 5 ax ()3 ()5 ()3 ()5 0 aka: 4 (5) 0 in 4 7 [59] Selanjutnya (iii) oleh karena 4 7 4 7 0 aka: [(5)3 (5)5] [55] Untuk enentukan [35] in : 53 53 5 35 3 35 in(005 0083) 005 II-
aka: 005 005 4 4 [0 03] Setelah didapatkan selanjutnya enentukan sebagai berikut: [ ][0 03] sebelunya harus ditentukan dahulu: in ()(0) ()(03) ()(0) ()(03) 03 ax ()(0) ()(03) ()(0) ()(03) 06 in (03) 06 4 4 in(045 0475) 045 aka: [ ][0 03] 045 045 4 4 [03 055] 6 Matriks Interval Penjelasan dari atriks interval sebenarnya saa seperti atriks biasa dari awal telah dijelaskan perbedaannya hanya terletak pada eleennya saja yaitu berupa interval Definisi atriks interval secara jelas adalah sebagai berikut: Definisi 8 (Rohn J 005): Jika dengan ; terbatas adalah dua buah atriks dala ℝ yang erupakan bagian dari sebuah atriks: Ini disebut atriks interval atriks Misalkan diberikan dua buah atriks adalah atriks sebagai berikut: II-
aka atriks [ [ ] [ [ ] ] ] [ [ [ ] [ dapat ditulis sebagai: dengan didefinisikan sebagai: Selanjutnya kita isalkan: dengan ] ] ] dengan aka atriks interval 0 0 0 0 Matriks identitas pada atriks interval disibolkan dengan yang Sibol 0 digunakan sebagai labang dari atriks nol segkan dala atriks interval atriks nol disibolkan dengan 0 yaitu atriks interval yang eleennya nol: [00] [00] 0 0 0 [00] [00] 0 0 didefinisikan sebagai: 0 [] [00] 0 [] [00] [] II-3
Contoh 7 : Diberikan dua buah atriks 0 6 7 5 5 3 5 7 6 interval dari atriks sebagai berikut: 9 8 7 6 susunanlah atriks 3 3! yaitu atriks Penyelesaian: Oleh karena aka berdasarkan definisi 8 atriks interval dapat disusun sebagai berikut: [5] [09] [8] [77] [36] [67] [56] [5 3] [3] 6 Nilai Tengah Jarak pada Matriks Interval Sebuah atriks interval epunyai nilai tengah dari eleen-eleen intervalnya yang dapat didefinisikan sebagai: dengan: ( ( ( ) ( ) ) ( ) ) Selanjutnya jarak dari sebuah interval atriks didefinisikan sebagai: w dengan: w( w( w( )w ) ) w( ) ) w( II-4
Ganesan (007) dala jurnalnya enyatakan bahwa: i Jika w w aka atriks interval Jika dapat dikatakan saa dapat ditulis dengan segkan w w aka atriks interval ekuivalen dapat ditulis dengan ii Jika w 0 aka atriks dapat dikatakan dapat dikatakan sebagai identitas atriks interval dapat ditulis sebagai: Jika [] [00] [] [00] [] segkan w 0 aka atriks interval dapat dikatakan ekuivalen dengan atriks identitas dapat ditulis sebagai: [] [00] [] [00] [] Proposisi (Ganesan 007): Jika (i) (ii) (iii) Pebuktian: (i) IR w w Diberikan atriks interval: Akan ditunjukkan aka: w w w w w w w! II-5
Bukti: ) ) ( ( ( ( ( ) ) ( ) ( ) ( w w w( ( w w w ) ( )w )w w( w ) ) ( ) w ( ) )w )w w( w( ) Berdasarkan pebuktian di atas aka benar bahwa: (ii) w w Diberikan atriks interval: Akan ditunjukkan w w w w! II-6
Bukti: ) ) ( ( ( ( ( ) ) ( ) ( ) ( w oleh karena: w w w w w aka: w ) ) II-7
Jadi: w ( ) w( w( )w )w w( w( w w( ) ) w( ) w( w w( w ) w )w )w w w (iii) Diberikan atriks interval: Akan ditunjukkan Bukti:! Berdasarkan pada persaaan 48 aka: aka: II-8
) ( ( ( ) ( ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) ) ( ( ) ) II-9
BAB III METODOLOGI PENELITIAN Metode yang digunakan dala penulisan tugas akhir ini penulis enggunakan etode kajian pustaka (studi literatur) yaitu penelitian yang bertujuan untuk engupulkan data inforasi dengan bantuan beracaaca ateri yang terdapat di ruang perpustakaan seperti: buku jurnal dokuentasi juga internet Adapun langkah-langkah yang dilakukan dala penelitian ini adalah sebagai berikut: Menyusun atriks interval ( ) vektor interval (x) skalar interval Mebuktikan sifat-sifat operasi aritatika pada atriks interval yaitu: a Berlaku atau tidaknya sifat koutatif terhadap operasi penjulahan b Berlaku atau tidaknya sifat asosiatif terhadap operasi penjulahan c Berlaku atau tidaknya sifat koutatif terhadap operasi perkalian d Berlaku atau tidaknya sifat asosiatif terhadap operasi perkalian e Berlaku atau tidaknya sifat distributif terhadap operasi penjulahan perkalian f Berlaku atau tidaknya sifat koutatif skalar terhadap operasi perkalian 3 Menentukan langkah-langkah untuk encari deterinan pada atriks interval dengan etode ekspansi kofaktor ebuktikan beberapa sifat deterinan atriks interval 4 Menentukan langkah-langkah untuk encari nilai invers pada atriks interval dengan etode adjoin ebuktikan beberapa sifat invers atriks interval
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5 Kesipulan Berdasarkan pebahasan pada bab IV aka dapat diabil kesipulan: Sifat operasi aritatika pada atriks biasa yang juga berlaku pada atriks interval yaitu sifat koutatif terhadap penjulahan sifat asosiatif terhadap penjulahan Sifat operasi aritatika pada atriks biasa yang tidak berlaku pada atriks interval diantaranya yaitu sifat koutatif terhadap perkalian sifat asosiatif terhadap perkalian sifat distributif ± sifat koutatif skalar x x 3 Langkah-langkah dala enentukan nilai deterinan pada atriks interval dengan etode ekspansi kofaktor saa halnya seperti pada atriks biasa perbedaannya hanya terletak pada operasi atriks interval enggunakan operasi aritatika pada interval Sifat deterinan yang berlaku pada atriks biasa ternyata tidak berlaku pada sifat deterinan atriks interval diantaranya adalah: (i) det det det (ii) det det det 4 Langkah-langkah enentukan invers pada atriks interval dengan enggunakan adjoin saa halnya seperti pada atriks biasa perbedaannya hanya terletak pada operasi atriks interval enggunakan operasi aritatika pada interval Dan salah satu sifat invers atriks interval yang dapat penulis buktikan adalah 5 Saran Tugas akhir ini ebahas tentang sifat-sifat opeasi aritatika deterinan invers pada atriks interval Bagi pebaca yang tertarik tentang atriks V-
interval ini aka disarankan untuk ebahas engebangkan lebih lanjut tentang atriks interval serta ebahas tentang aplikasi atriks interval ini karena didala tugas akhir ini hanya dibahas tentang dasar-dasar dari atriks interval V-
DAFTAR PUSTAKA Anton Howard Aljabar Linear Eleenter Jakarta : Erlangga 998 Ioana Pasca Forally Verified Conditions for Regularity of Interval Matrices 00 [Online] Available : http://halinriafr/inria-00464937/en/ diakses 3 Maret 0 K Ganesan On Soe Properties of Interval Matrices International Journal of Coputational and Matheatical Sciences Vol () halaan 9-99 007 Nirala T dkk Inverse Interval Matrix: A New Approach Applied Matheatical Sciences Vol 5(3) halaan 607 64 0 Rejeki Sri Puri Wahyu Praesthi Analisis Siste Jaringan Antrean dengan Eleen-Eleen Matriks Adjasen berupa Interval dala Aljabar ax-plus Jurusan Mateatika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopeber Surabaya 00 Rex Georg and Jiri Rohn Sufficient Conditions For Regularity And Singularity Of Interval Matrices SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications Vol 0 halaan 437-445 998 Rohn Jiri A Handbook of Results on Interval Linear Probles Czech Acadey of Sciences Prague Czech Republic European Union 005 Safitri Devi Menentukan Nilai Eigen Vektor Eigen Matriks Interval Tugas Akhir Mahasiswa UIN SUSKA RIAU 008