PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR. Oleh : SABRINA INDAH MARNI

Transkripsi

1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : SABRINA INDAH MARNI FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU 2

2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) SABRINA INDAH MARNI Tanggal Sidang : 25 April 2 Tanggal Wisuda : April 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No.55 Pekanbaru ABSTRAK Tugas akhir ini membahas tentang sistem persamaan linear fuzzy dengan nilai keanggotaan segitiga. Sistem persamaan linear fuzzy dapat dibentuk dalam persamaan matriks. Sistem persamaan linear fuzzy dapat diselesaikan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD). Metode SVD merupakan suatu metode yang mendekomposisikan suatu matriks menjadi tiga komponen matriks. Berdasarkan hasil ini diperoleh bahwa solusi dari sistem persamaan linear fuzzy menggunakan metode SVD adalah solusi pendekatan terbaik karena,. Katakunci: basis ortonorma lf uzzy, Singular Value Decomposition (SVD). vii

3 KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin, puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT. atas segala limpahan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir dengan judul Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Fuzzy Menggunakan Metode Dekomposisi Nilai Singular (SVD). Penulisan tugas akhir ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam rangka menyelesaikan studi Strata (S) di UIN Suska Riau. Shalawat beserta salam selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, mudah-mudahan kita semua selalu mendapat syafa at dan dalam lindungan Allah SWT amin. Dalam penyusunan dan penyelesaian tugas akhir ini, penulis tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, baik langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih yang tak terhingga kepada kedua orang tua tercinta ayahanda dan ibunda yang tidak pernah lelah dalam mencurahkan kasih sayang, perhatian, do a, dan dukungan untuk menyelesaikan tugas akhir ini. Selanjutnya ucapan terimakasih kepada :. Bapak Prof. Dr. H. M. Nazir selaku Rektor Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau. 2. Ibu Dra. Hj. Yenita Morena, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.. Ibu Sri Basriati, M.Sc selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau. 4. Ibu Yuslenita Muda, M.Sc selaku pembimbing yang telah memberikan arahan, motivasi dan membimbing penulis dengan penuh keikhlasan dan kesabaran sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. 5. Bapak Mohammad soleh, M.Sc selaku penguji I yang telah banyak membantu, memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan tugas akhir ini. 6. Ibu Fitri Aryani, M.Sc selaku penguji II yang telah banyak membantu, mendukung dan memberikan saran dalam penulisan tugas akhir ini. ix

4 7. Semua dosen-dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan dukungan serta saran dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Dalam penyusunan tugas akhir ini penulis telah berusaha semaksimal mungkin. Walaupun demikian tidak tertutup kemungkinan adanya kesalahan dan kekurangan baik dalam penulisan maupun dalam penyajian materi. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak demi kesempurnaan tugas akhir ini. Pekanbaru, 25 April 2 Sabrina Indah Marni x

5 DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAN... LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR SIMBOL... DAFTAR GAMBAR... Halaman ii iii iv v vi vii viii ix xi xiii xiv BAB I BAB II PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah... I-.2 Rumusan Masalah... I-2. Batasan Masalah... I-2.4 Tujuan Penelitian... I-2.5 Manfaat Penulisan... I-2.6 Sistematika Penulisan... I- LANDASAN TEORI 2. Sistem Persamaan Linier... II- 2.2 Metode Singular Value Decomposition (SVD)... II-2 2. Ortogonal dan Ortonormal... II Ortogonal... II Ortonotmal... II Nilai Eigen dan Vektor Eigen... II Bilangan fuzzy... II-9 xi

6 BAB III METODOLOGI PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN 4. Sistem Persamaan Linear Fuzzy... IV- 4.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Fuzzy... IV-4 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN DAFTAR PUSTAKA DAFTAR RIWAYAT HIDUP xii

7 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sistem persamaan linier merupakan suatu materi dalam aljabar linier yang merupakan bahasan penting dalam matematika. Sistem persamaan linier dapat dibentuk sebagai persamaan matriks (Lipschutz, S, 26). Pada umumnya entri-entri atau konstanta pada sistem paersamaan linier adalah bilangan real. Beberapa tahun ini telah banyak ditemukan kasus salah satu atau seluruh entri-entri dari sistem persamaan linier adalah fuzzy. Fuzzy dapat diartikan kabur. Sistem persamaan linier ini dinamakan sistem persamaan linier fuzzy, yang mana didalam sistem persamaan linier fuzzy itu terdapat minimal dua buah persamaan linier fuzzy. Konsep fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Lotfi A. Zadeh, seorang ilmuan Amerika Serikat berkebangsaan Iran dari Universitas California di Barkeley, melalui tulisannya pada tahun 965 (Rinaldi Munir, 25). Adapun teori fuzzy dapat digunakan dalam bidang teori keputusan dan beberapa bagian dalam bidang sains. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, diantaranya Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss-Jordan, dan analisis Singular Value Decomposition (SVD). Analisis SVD merupakan suatu teknik yang melibatkan pemfaktoran ke dalam hasilkali, dengan,, adalah matriks bujur sangkar dan semua entri diluar diagonal dari matriks adalah nol. Sedangkan vektor kolom dari matriks dan adalah ortonormal. Kelebihan metode analisis SVD dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu, solusi dari sistem persamaan linear tetap dapat dicari meskipun sistem persamaan linear tersebut tidak mempunyai pemecahan, dalam hal ini solusi yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik (Ahmad, I, 2). Metode SVD telah digunakan oleh beberapa peneliti sebelumnya, salah satu diantaranya oleh Irdam Haidir Ahmad dan Lucia Ratnasari (2) yang juga menggunakan analisis SVD untuk menyelesaikan sistem persamaan linear bilangan riil. I-

8 Berdasarkan uraian di atas maka penulis tertarik untuk menggunakan SVD dalam menyelesaikan sistem persamaan linier fuzzy. Sehingga pada proposal tugas akhir ini penulis tertarik untuk melakukan penelitian dengan judul Penyelesaian Sistem persamaan Linier Fuzzy Menggunakan Metode SVD..2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka dapat dirumuskan masalah dalam penelitian ini yaitu bagaimana penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy dengan menggunakan SVD. Batasan Masalah Batasan masalah dalam penelitian ini adalah :. Matriks yang digunakan adalah matriks bujur sangkar 2. Sistem persamaan linier yang diselesaikan adalah berukuran 2 2 dan.. Sistem persamaan linier fuzzy dengan nilai keanggotaannya segitiga..4 Tujuan Penelitian Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linier fuzzy dengan menggunakan metode SVD..5 Manfaat apenelitian Manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut:. Untuk memperdalam ilmu pengetahuan tentang sistem persamaan linear fuzzy. 2. Memberikan informasi kepada pembaca bahwa analisis SVD dapat juga digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear fuzzy..6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: Bab I Pendahuluan I-2

9 Bab II Bab III Bab IV Bab V Bab ini bersisi latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan. Landasan Teori Bab ini menjelaskan tentang sistem persamaan linear, ortogonal dan basis ortonormal, nilai eigen dan vektor eigen, matriks fuzzy, dan analisis Singular Value Decomposition (SVD). Metodologi Penelitian Bab ini berisikan langkah-langkah atau prosedur dalam menyelesaikan sistem persamaan linear bilangan fuzzy dengan menggunakan analisis Singular Value Decomposition (SVD). Pembahasan Bab ini berisikan penjelasan bagaimana analisis Singular Value Decomposition (SVD) dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear bilangan fuzzy. Kesimpulan Dan Saran Berisi tentang saran dan kesimpulan dari pembahasan I-

10 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini akan membahas tentang teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang sistem persamaan linier, metode Singular Value Decomposition (SVD), ortogonal dan ortonormal, nilai eigen dan vektor eigen dan bilangan fuzzy. 2. Sistem Persamaan Linier Sistem persamaan linier adalah sekumpulan persamaan linier yang terdiri dari,,, persamaan, dengan variabel yang tidak diketahui yaitu,,, yang dapat disussun dalam bentuk standar (2.) dengan,,, adalah koefesien dari variabel,dan adalah konstanta. Huruf dengan persaan matriks adalah koefesien dari variabel yang tidak diketahui dan ekuivalen atau (2.2) dengan adalah matriks koefesien yang berukuran, adalah vektor kolom dari variabel-variabel tidak diketahui, dan adalah vektor kolom dari konstanta. Sistem persamaan linier yang mempunyai penyelesaian disebut konsisten dan sistem persamaan linier yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tidak konsisten. Sistem persamaan linier dapat mempunyai solusi tunggal, banyak solusi dan tidak ada solusi. Selanjutnya, akan diberikan contoh penyelesaian sistem persamaan linier yang terdiri dari tiga persamaan. II-

11 Contoh 2. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut ini! Penyelesaian: Sistem persamaan linier diatas dapat di selesaikan dengan menggunakan eliminasi Gauss. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier diatas, maka terlebih dahulu SPL tersebut kita ubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar. Sehingga: Dengan menambahkan 2 kali baris pertama ke baris kedua dan menambahkan kali baris pertama ke baris ke tiga akan di peroleh Dengan mengalikan baris ke dua dengan akan diperoleh Dengan menambahkan kali baris kedua ke baris pertama dan ketiga akan diperoleh Dengan mengalikan baris ketiga dengan akan diperoleh II-2

12 Dengan menambahkan kali baris ketiga ke baris pertama dan menembahkan kali baris ketiga ke baris kedua akan diperoleh 2 Jadi solusi dari sistem persamaan linier di atas adalah, dan Metode Singular Value Decomposition (SVD) Singular Value Decomposition (SVD) adalah suatu metode yang mendekomposisikan matriks menjadi tiga komponen matriks yaitu,,yang mana salah satu dari matriks tersebut entrinya merupakan nilai singular dari matriks. Berikut ini akan diberikan penjelasan tentang matriks,, dan a. Matriks adalah matriks bujursangkar dengan entri-entri kolomnya merupakan basis ortonormal. ( ) didefinisikan oleh ( Kalman, 22): Dengan,,, membentuk basis ortonormal. b. Matriks adalah matriks bujur sangkar yang semua entri diluar diagonalnya adalah bernilai, dan elemen-elemen diagonalnya adalah nilai singular dari matriks. Berikut ini akan diberikan definisi dari nilai singular. Definisi 2. (Ahmad, 2): Diketahui matriks dengan, yang mana,. Nilai eigen dari matriks adalah >. Akar nilai eigen positif dari disebut dengan nilai singular dari matriks dan dinyatakan dengan, untuk setiap. II-

13 Bentuk dari matriks : c. Matriks adalah matriks bujursangkar yang terbentuk dari vektor-vektor eigen dari, yang dinormalisasikan, yaitu: Berikut ini akan diberikan contoh penyelesaian sistem persamaan linier yang tidak konsisten menggunakan metode SVD. Contoh 2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut menggunakan metode SVD Penyelesaian: Langkah-langkah dalam penyelesaiannya adalah:. Mengubah sistem persamaan linear ke dalam bentuk persamaan matriks Mencari nilai eigen dan vektor eigen: ) Mengubah matriks menjadi matriks ) Mencari nilai-nilai eigen λ λ λ persamaan karakteristik dari λ λ + 25 adalah II-4

14 Sehingga, didapat nilai-nilai eigen dari adalah dan ) Mencari vektor-vektor eigen Untuk Didapat vektor eigen, Untuk Didapat vektor eigen,. Menyusun matriks Nilai singular dari matriks adalah.62 Matriks Ʃ yang terbentuk adalah.62 Maka, Menyusun matriks Maka, Sehingga, Menyusun matriks Maka, Sehingga, dan dan II-5

15 6. Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear,, +, Berdasarkan perhitungan tersebut diperoleh: 4,6 Karena, berarti. Hal ini menandakan sistem persamaan linier tersebut tidak konsisten, akan tetapi solusi pendekatan terbaiknya dapat dicari, yaitu:, Jadi solusi pendekatan terbaik dari sistem persamaan linier ini adalah:.58dan Ortogonal dan Ortonormal Untuk pembahasan ortogonoal dan ortonormal akan melibatkan vektor dan proyeksi, sebelum membahas ortogonal dan ortonormal terlebih dahulu akan dijelaskan tentang vektor dan proyeksi. Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang dan arah. Vektor dapat diidentifikasi sebagai:,,, Proyeksi dari vektor pada suatu vektor bukan-nol didefinisikan sebagai berikut:,.. Selanjutnya akan dijelaskan tentang ortogonal dan ortonormal. II-6

16 2.. Ortogonal Misalkan adalah ruang hasil kali dalam. Vektor-vektor, disebut ortogonal dan dikatakan ortogonal terhadap jika,. Berikut akan diberikan definisi tentang ortogonal Definisi 2.2 (Anton, H, 2): Vektor, dikatakan ortogonal jika dan hanya jika,. Contoh 2.4 Diberikan vektor-vektor sebagai berikut: 2, dan,2 Akan ditunjukkan apakah vektor ortogonal terhadap vektor v Penyelesaian:,, ()(2) Karena,, maka vektor ortogonal terhadap vektor 2..2 Basis Ortonormal Berikut akan diberikan teorema basis ortonormal. Teorema 2. (Anton, H, 2): Jika,,, adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam, dan adalah sebarang vektor dalam, maka, +, + +, Bukti: Karena,,, adalah basis, maka vektor dapat dinyatakan dalam bentuk selanjutnya akan ditunjukkan bahwa, untuk, 2,,. Untuk setiap vektor dalam diperoleh, + + +, +, + +, II-7

17 Karena,,, adalah himpunan ortonormal maka diperoleh, dan,, jika. Maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi, Contoh 2.5 Akan ditunjukkan bahwa vektor-vektor di bawah ini merupakan basis ortonormal, dan, Penyelesaian:, + +,,., + Karena, dan, maka himpunan vektor, ortonormal. 2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2. (Sutojo, T, 2): Jika adalah matriks, maka vektor tak nol di dalam dinamakan vektor eigen dari jika adalah kelipatan skalar dari, yaitu:, untuk suatu skalar. Skalar disebut nilai eigen dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan. II-8

18 Untuk mencari nilai eigen matriks yang berukuran maka kita menuliskannya kembali sebagai berikut: atau I dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika I Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik. mencari nilai eigen berarti menghitung determinan tersebut sehingga diperoleh nilai-nilai. Contoh 2.6 Tentukan nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks 4 Penyelesaian: Berikut ini akan ditunjukkan langkah langkah untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen:. mencari nilai-nilai eigen det det Persamaan karakteristik dari adalah Sehingga didapat nilai-nilai eigen dari matriks adalah: 2.26 dan mencari vektor-vektor eigen a. untuk 2.26 didapat vektor eigennya adalah.89 b. untuk 2.26 didapat vektor eigennya adalah.9 sehingga vektor vektor eigen dari matriks adalah.89 dan.9 II-9

19 2.5 Bilangan Fuzzy Fuzzy dapat diartikan kabur atau semu. Himpunan fuzzy pertama kali dibahas oleh Lotfi A. Zadeh 965. Himpunan fuzzy merupakan kumpulan dari entri-entri dengan suatu rangkaian tingkat keanggotaan. Himpunan ini dicirikan dengan fungsi keanggotaan yang menegaskan suatu tingkatan ( grade) keanggotaan yang bernilai dan, dari penjelasan tersebut dapat dikatakan bahwa nilai keanggotaan pada fuzzy terletak pada interval [,]. Definisi 2.4 (Widodo, 29) Misalkan adalah suatu himpunan semesta, kemudian himpunan bagian fuzzy dari adalah himpunan bagian dari yang keanggotaannya didefinisikan melalui fungsi keanggotaan sebagai berikut:, Berdasarkan definisi tersebut maka himpunan dalam himpunan semesta, ditulis dalam bentuk:, ( ) dengan, ( ) menyatakan elemen yang mempunyai derajat keanggotaan, pada penulisan ini menggunakan fungsi keanggotaan segitiga. Fungsi keanggotaan segitiga ditandai dengan tiga parameter yang akan menentukan koordinat dari tiga sudut. Persamaan untuk fungsi keanggotaan segitiga ini sebagai berikut: ( ),,,, ( ) ( ), (2.), Kurva yang dibentuk oleh fungsi keanggotaan segitiga merupakan gabungan antara dua garis linear, untuk lebih jelas berikut adalah grafik fungsi keanggotaan segitiga: a b c Gambar 2. Grafik Fungsi Keanggotaan Segitiga,,,. II-

20 Menurut Beta Norita (28) menjelaskan tentang definisi bilangan fuzzy di dalam sebagai pasangan fungsi, yang memenuhi sifat sebagai berikut:. Fungsi monoton naik, terbatas dan kontinu kiri pada [,] 2. Fungsi monoton turun, terbatas dan kontinu kanan pada,. ( ) ( ) untuk setiap dalam,. Himpunan bilangan-bilangan fuzzy dinyatakan dengan F, untuk setiap bilangan fuzzy ditulis dalam bentuk parameter,. Menurut P. Mansouri dan B. Asady (2) operasi aljabar bilangan fuzzy untuk setiap, dan, dan bilangan riil didefinisikan sebagai berikut:. + ( +, + ) 2. jika dan hanya jika dan., untuk 4., untuk < II-

21 BAB III METODOLOGI PENELITIAN Adapun metode penelitian yang penulis gunakan adalah metode studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut:. Menentukan sistem persamaan linier fuzzy dengan persamaan dan variabel. 2. Mengubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks. Mengubah matriks kedalam bentuk matriks yang berukuran 2 2 dengan entri entri rersebut ditentukan berdasarkan ketentuan berikut: ) Jika, maka,, dan, 2) Jika, < maka,, dan, ) Entri yang lainnya 4. Mengalikan matriks dengan matriks sehingga menghasilkan matriks baru. 5. Menentukan nilai eigen dari matriks. 6. Mendekomposisikan matriks menjadi tiga komponen matriks,dengan matriks dan adalah matriks bujur sangkar yang vektor kolomnya adalah ortogonal,sedangkan matriks adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diagonalnya terdiri dari nilai-nilai singular dari matriks. 7. Mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaan linier fuzzy III-

22 berikut: Untuk lebih jelas, langkah-langkah ini disampaikan dalam bentuk flow chart.. Flow Chart Menentukan sistem persamaan linier fuzzy dengan variabel persamaan dan Mengubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks Mengubah matriks kedalam bentuk matriks yang berukuran 2 2 dengan entri entri rersebut ditentukan berdasarkan ketentuan Perkalian matriks dengan matriks sehingga menghasilkan matriks baru. Menentukan nilai eigen dari matriks Mendekomposisikan matriks menjadi tiga komponen matriks,dengan matriks dan adalah matriks bujur sangkar yang vektor kolomnya adalah ortogonal,sedangkan matriks adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diagonalnya terdiri dari nilai-nilai singular dari matriks Mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaan linier fuzzy Gambar.. Flow Chart Langkah-Langkah Penyelesaian Sistem Persaman Linear Fuzzy Menggunakan Metode SVD III-2

23 BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL Pada bab ini akan di jeleskan cara penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy menggunakan metode SVD yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya. 4. Sistem Persamaan Linier Fuzzy Sistem persamaan linier fuzzy adalah sistem persamaan linier yang berparameter fuzzy yang berada pada interval tertentu. Bentuk umum dari sistem persamaan linier fuzzy adalah sebagai berikut: (4.) Sistem persamaan linier fuzzy dapat dijelasan sebagai berikut: Dengan adalah konstanta dan variabel yang belum diketahui dan adalah fuzzy. Persamaan (4.) dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut:, ( ), ( ), ( ), ( ) dan, ( ), ( ), ( ), ( ) (4.2) dengan matriks koefesien, untuk,,2,,, adalah vektor bilangan fuzzy berukuran dengan,,, dan IV-

24 , untuk,2,,, adalah vektor bilangan fuzzy yang berukuran. Langkah awal yang dilakukan untuk mencari solusi dari sistem persaan linier fuzzy adalah mengubah matriks koefisien yang berukuran menjadi matriks yang berukuran 2 2 yang diasumsikan menjadi matriks. Untuk mengubah matriks menjadi matriks yang berukuran 2 2 dengan ketentuan berikut: a) Jika, maka,, dan, b) Jika, < maka,, dan, (4.) c) Entri yang lainnya Definisi 4. (T. Allahviranloo, 28) Vektor bilangan fuzzy,,, dengan diberikan, untuk,2,, dan, disebut penyelesaian dari sistem persamaan linier fuzzy jika: Menurut M. Matinfar (28) sistem persamaan linier fuzzy baru dapat dijelaskan sebagai berikut: + + +, + +, + + +, + +, (4.4), + +, +, + +,, + +, +, + +, Persamaan 4.2 dapat ditulis sebagai berikut: IV-2

25 atau: dengan:, dan Definisi 4.2 ( M. Matinfar dkk, 28) terdapat,, adalah solusi dari dengan bilangan fuzzy,, adalah: min,,, () maks,,, () Solusi fuzzy disebut solusi fuzzy kuatt (strong fuzzy solution) jika,, maka jika terdapat salah satu yang tidak sama maka adalah solusi fuzzy lemah (weak fuzzy solution). Berikut akan diberikan contoh mengubah sistem persamaan linier fuzzy ke bentuk matriks koefisien yang berukuran, kemudian matriks akan diubah menjadi matriks yang berukuran 2 2 sehingga didapatkan persamaan linier fuzzy yang baru. Contoh 4.: Diberikan sistem persamaan linear fuzzy + Ubahlah sistem persamaan linier diatas kebentuk persamaan fuzzy yang baru! Penyelesaian : Berdasarkan persamaan diatas diperoleh matriks A, yaitu : IV-

26 2 2 4 Matriks dapat diubah menjadi matriks berdasarkan persamaan 4.. Dengan,,, sehingga diperoleh persamaan yang baru sebagai berikut : Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk persamaan matriks baru sebagai berikut: Maka dengan melakukan operasi perkalian terhadap persamaan matriks diperoleh persamaan linier fuzzy baru yaitu: Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Fuzzy Menggunakan Metode SVD Metode SVD adalah metode yang mendekomposisikan matriks menjadi tiga matriks yaitu matriks, dan. Berikut ini akan dijelaskan penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy menggunakan metode SVD. Langkah- langkah yang dilakukan dalam menyelesaiakan sistem persamaan linier fuzzy menggunakan metode SVD adalah sebagai berikut:. Mengubah sistem persamaan linier fuzzy kebentuk matriks yang berkoefisien yang berukuran kedalam bentuk persamaan 4.. Selanjutnya mengubah matriks mnjadi matriks yang berukuran 2 2 berdasarkan ketentuan (4.). IV-4

27 2. Selanjutnya transposkan matriks, kemudian mengoperasikan sehingga kita dapatkan lagi matriks yang baru.. Dengan menggunakan metode SVD untuk menyelesaikan matriks, maka akan didapatkan matriks, dan. Dengan matriks dan adalah matriks yang masing-masing vektor dari matriks tersebut adalah otonormal. Berikut akan diberikan teorema SVD: Teorema. : Dengan, I I 4. Pada penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy akan didapatkan bahwa proy,, maka sistem persamaan linier fuzzy tidak konsisten, dalam hal ini yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik. Solusi pendekatan terbaik tersebut adalah vektor sehingga, dengan di dalam, dan adalah vektor yang terdekat dengan. Solusi pendekatan terbaik diberikan oleh persamaan (4.5), yaitu:, (4.5) disebut sebagai solusi pendekatan terbaik, artinya jika, maka adalah vektor di yang terdekat dengan. Selanjutnya, akan diberikan contoh penyelesaian sistem persamaan linear fuzzy dengan menggunakan metode SVD. Contoh 4.2 Diberikan sistem persamaan fuzzy sebagai berikut: 7 + 2, 2 + (9 + 4, 27 4 ) Tentukanlah solusi dari persamaan berikut dengan menggunakan metode SVD! Penyelesaian: IV-5

28 Sistem persamaan diatas dapat dibentuk kedalam persamaan (4.) sehingga: 7 + 2, , 27 4,, ( ), ( ), dan 7 + 2, , 27 4 Sistem persamaan ini mempunyai parameter fuzzy, karena itu matriks yang mempunyai koefisien yang berukuran diubah menjadi matriks koefisien baru yang berukuran 2 2 yang di asumsikan dengan matriks. Entri-entri pada matriks dapat ditentukan berdasarkan rumus ( 4. ) sebagai berikut:., maka,, dan, Nilai untuk, 2,,2 dengan 2 adalah sebagai berikut: Sehingga:, dan, dan, dan 2. Jika, < maka,, dan, Sehingga:, dan. bernilai nol untuk entri-entri yang lainnya. Karena pada contoh ini matriks baru diasumsikan sebagai matriks, sehingga,,. Berdasarkan entri-entri yang didapat maka akan diperoleh persamaan baru sebagai berikut: IV-6

29 Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk persamaan matriks baru sebagai berikut: Dengan,,, Maka dengan melakukan operasi perkalian terhadap persamaan matriks diperoleh persamaan linier fuzzy baru yaitu: Penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy yang baru ini dapat dilakukan dengan metose SVD, yakni mendekomposisikan matriks komponen matriks dengan cara sebagai berikut: kedalam tiga. Mengubah sistem persamaan linear fuzzy ke dalam bentuk persamaan matriks Mencari nilai eigen dan vektor eigen a. Mengubah matriks menjadi matriks IV-7

30 2 2 b. Mencari nilai-nilai eigen Sehingga, λ Persamaan karakteristik dari adalah Sehingga, didapat nilai-nilai eigen dari adalah,.5279,.4,.472 dan.6569 c. Mencari vektor-vektor eigen ) Untuk.5279 Vektor eigen untuk.5279, yaitu: ) Untuk.4 Vektor eigen.4, yaitu: ) Untuk.472 Vektor eigen.472, yaitu: ) Untuk Vektor eigen.6569, yaitu: IV-8

31 Mendekomposisikan matriks menjadi tiga komponen yaitu matriks, dan a. Menyusun matriks Nilai singular dari matriks adalah: matriks singular yang terbentuk adalah:.26 b. Menyusun matriks Maka, IV-9

32 Sehingga, Berikut ini akan ditunjukkan bahwa matriks adalah ortonormal: a) Bahwa matriks yang terdiri dari vektor kolom,, dan adalah ortogonal. Terbukti dengan,,,,,,,,,,, b) Bahwa norom dari vektor kolom matriks adalah satu. Terbukti dengan, IV-

33 c. Menyusun matriks, Maka, Sehingga didapatkan matriks sebagai berikut: IV-

34 Sehingga SVD dari matriks adalah: Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linier fuzzy proy,,, +, +, +,, +, +, +, r IV-2

35 r r r. 2.2r r Berdasarkan hasil perhitungan di atas diperoleh: (,, atau , ,. 2.2, ( 7 + 2, 9 + 4, 2, 27 4 ). Karena (, maka sistem persamaan linier ini tidak konsisten, akan tetapi solusi pendekatan terbaik dari sistem persamaan linier fuzzy ini dapat dicari, yaitu:,, +, +, +,, +, +, +, IV-

36 r r r r r r r.9.27r Jadi penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy diperoleh sebagai berikut:, , ,.5 +.5, Berdasarkan definisi 4.2 solusi dari sistem persamaan linier fuzzy adalah : min,,, min , , 9., maks,,, maks , , 9., min,,, min.5 +.5, , 4., IV-4

37 maks,,,.5.5, , 4., Berdasarkan penjabaran solusi sistem persamaan linier fuzzy maka diperoleh, , ,.5 +.5, Maka diperoleh bahwa dan, dengan demikian penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy ini adalah kuat. Berdasarkan persamaan (2.) maka sistem persamaan linier fuzzy ini dapat dinyatakan dengan bilangan fuzzy segitiga sebagai berikut: 2.5, 9., 6.5, (.5, 4., 4.5) Grafik untuk sistem persamaan linier fuzzy ini dapat digambarkan sebagai berikut: Gambar. Grafik Funfsi Keanggotaan Segitiga dari dan Berdasarkan hasil dari penyelesaian diperoleh bahwa solusi sistem persamaan linier fuzzy ini kuat karena dan. Serta solusi pendekatan terbaik dari sistem persamaan linear fuzzy ini adalah, , dan,.5 +.5, IV-5

38 Contoh 4. Diberikan sistem persamaan fuzzy sebagai berikut: , (2 +, + 4 ) Tentukanlah solusi dari persamaan berikut dengan menggunakan metode SVD! Penyelesaian: Sistem persamaan diatas dapat dibentuk kedalam persamaan (4.) sehingga: , , ,, ( ), ( ), dan 8 + 6, , + 4 Sistem persamaan ini mempunyai parameter fuzzy, karena itu matriks yang mempunyai koefisien yang berukuran diubah menjadi matriks koefisien baru yang berukuran 2 2 pada matriks yang di asumsikan dengan matriks. Entri-entri dapat ditentukan berdasarkan rumus ( 4. ) sebagai berikut:., maka,, dan, Nilai untuk, 2,,2 dengan 2 adalah sebagai berikut: 6, 6 dan 6 6, 6 dan 6 2. Jika, < maka,, dan, 5, 5 dan 5 5, 5 dan 5. bernilai nol untuk entri-entri yang lainnya. Karena pada contoh ini matriks baru diasumsikan sebagai matriks, sehingga,,. Berdasarkan entri-entri yang didapat maka akan diperoleh persamaan baru sebagai berikut: IV-6

39 Matriks dengan: dapat diubah menjadi bentuk persamaan matriks baru sebagai berikut: ,, Maka dengan melakukan operasi perkalian terhadap persamaan matriks diperoleh persamaan linier fuzzy baru yaitu: Penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy yang baru ini dapat dilakukan dengan metose SVD, yakni mendekomposisikan matriks matriks dengan cara sebagai berikut: kedalam tiga komponen. Mengubah sistem persamaan linear kompleks ke dalam bentuk persamaan matriks Mencari nilai eigen dan vektor eigen a. Mengubah matriks menjadi matriks IV-7

40 b. Mencari nilai-nilai eigen Sehingga, , Persamaan karakteristik dari adalah Sehingga, didapat nilai-nilai eigen dari adalah 2,, 2 dan c. Mencari vektor-vektor eigen ) Untuk 2 Vektor eigen untuk 2, yaitu: ) Untuk Vektor eigen, yaitu: ) Untuk 2 Vektor eigen 2, yaitu: IV-8

41 4) Untuk λ Vektor eigen, yaitu: Mendekomposisikan matriks menjadi tiga komponen matriks a. Menyusun matriks Nilai singular dari matriks 2 2 adalah: matriks singular yang terbentuk adalah: b. Menyusun matriks Maka IV-9

42 Sehingga, Berikut ini akan ditunjukkan bahwa matriks adalah ortonormal: a) Bahwa matriks yang terdiri dari vektor kolom,, dan adalah ortogonal. Terbukti dengan,,,,,,,,,,, b) Bahwa norom dari vektor kolom matriks adalah satu. Terbukti dengan, IV-2

43 c. Menyusun matriks, Maka, IV-2

44 Sehingga, Sehingga SVD dari matriks adalah: Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linier fuzzy proy,,, +, +, +,, +, +, +, r r r IV-22

45 r r r r r Berdasarkan hasil perhitungan di atas diperoleh: (,, atau r, r, r, (8 + 6, 2 +, 26 2, + 4 ) Karena (, maka sistem persamaan linier ini tidak konsisten, akan tetapi solusi pendekatan terbaik dari sistem persamaan linier fuzzy ini dapat dicari, yaitu:,, +, +, +,, +, +, +, IV-2

46 r r.59 +.r.59.r r r r r Jadi penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy diperoleh sebagai berikut:, , , , Berdasarkan definisi 4.2 solusi dari sistem persamaan linier fuzzy adalah : min,,, min , , 6.28, maks,,, maks , , 6.28, min,,, IV-24

47 min , , 2.7, maks,,, , , 2.7, Berdasarkan penjabaran solusi sistem persamaan linier fuzzy maka diperoleh, , , , Maka diperoleh bahwa dan, dengan demikian penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy ini adalah kuat. Berdasarkan persamaan (2.) maka sistem persamaan linier fuzzy ini dapat dinyatakan dengan bilangan fuzzy segitiga sebagai berikut: 4.894, 6.28, , ( 5.274, 2.7, 2.824) Grafik untuk sistem persamaan linier fuzzy ini dapat digambarkan sebagai berikut: Gambar. Grafik Funfsi Keanggotaan Segitiga dari dan Berdasarkan hasil dari penyelesaian diperoleh bahwa solusi dari sistem persamaan linier fuzzy ini kuat karena dan. Serta solusi pendekatan terbaik sistim persamaan linier fuzzy ini adalah : IV-25

48 , , dan, , IV-26

49 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5. Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy dapat dilakukan dengan metode Singular Value Decomposition (SVD). Solusi yang diperoleh dari penyelesaian sistem persamaan linier fuzzy menggunakan metode SVD adalah solusi pendekatan terbaik karena,. 5.2 Saran Pada tugas akhir ini penulis menggunakan metode SVD untuk menyelesaikan sistem persamaan linier fuzzy, penulis menyarankan agar pembaca bisa mencoba menggunakan metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier fuzzy.

50 DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard. Elementary Linear Algebra, Eighth Edition. John Wiley, New York. 2. Ahmad, Irdam Haidir, dan Lucia Ratnasari. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Analisis SVD. Jurnal Matematika Vol. ; Kalman, Dan. A Singularly Valuable Decomposition : The SVD of a Matrix. The AmericanUniversity, Washington, DC. (Diakses Tanggal 28 Februari 22). Leon, Steven J. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta. 2. Lipschutz, Seymour, dan Marc Lars Lipson. Aljabar Linear Schaum s. Edisi Ketiga. Erlangga, Jakarta. 26. Nicholson, W. Keith. Elementary Linear Algebra. First Edition. McGraw-Hill, Singapore. 2. Noranita, Beta. Sistem Persamaan Linear Fuzzy. Vol. ; Sutojo, T. dkk. Teori dan Aplikasi Aljabar Linear dan Matriks. Andi, Yogyakarta. 2.