J. Math. ad Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 3, No., Nov 006, 49 56 Batas Bilaga Ajaib Pada Graph Caterpillar Chairul Imro Jurusa Matematika FMIPA ITS Surabaya imro-its@matematika.its.ac.id Abstrak Jika suatu graph diberi label pada setiap simpul da sisi dega bilaga sebayak simpul da sisi, maka graph tersebut mempuyai sifat total sisi ajaib jika label pada setiap sisi da simpul yag iside dega sisi tersebut dijumlahka mempuyai jumlah yag sama. Bilaga tersebut diamaka bilaga ajaib dari suatu graph. Utuk medapatka bilaga tersebut perlu dilakuka terlebih dahulu mecari batas miimum da maksimum. Pada paper ii aka dicari batas miimum da maksimum bilaga ajaib dari graph caterpillar. Kata Kuci: Graph Caterpillar, Total Sisi Ajaib 1. Pedahulua Pemberia label pada graph G adalah pemetaa satu-satu yaitu memetaka semua simpul da sisi dari graph tersebut ke suatu bilaga yag biasaya merupaka bilaga 1,, 3,. Dega kata lai, pelabela graph adalah pemberia label pada simpul-simpul da sisi-sisi dari graph, sehigga setiap simpul da setiap sisi mempuyai label yag berbeda. Pelabela yag domaiya berupa himpua simpul, himpua sisi, atau keduaya yag biasaya disebut dega pelabela simpul, pelabela sisi, da pelabela total[3]. Pada paper ii, aka dibahas pelabela total, khususya pelabela total sisi ajaib yaki pelabela dimaa jumlah label sisi da 49
50 Batas Bilaga Ajaib Pada Graph Caterpillar label simpul-simpul yag meempel pada sisi tersebut selalu sama utuk setiap sisi. Jumlah tersebut disebut agka ajaib, yag biasa dilambagka dega huruf k. Ide pelabela ii dikealka pertama kali oleh Sedláček [5] pada 1960-a, selajutya diformulasika oleh Kotzig da Rosa [6] pada tahu 1970-a. Pada paper ii aka dicari batas miimum da maksimum himpua kritis pada pelabela suatu graph. Graph yag aka dikaji adalah graph caterpillar. Pelabela pada sebuah graph diberi tada dega sejumlah label pada simpul da sisi graph, sehigga setiap label sisi pada graph tersebut tergatug kepada label kedua simpul yag meempel pada sisi tersebut. Pada paper ii, haya membahas pelabela total sisi ajaib yag didefiisika sebagai berikut: Defiisi 1.1 [3, 7, 1, ] Pelabela total sisi ajaib pada graph G adalah pemetaa satu-satu λ dari V E kepada himpua bilaga bulat {1,, 3,..., v + e} dega v = V da e = E, sedemikia sehigga ada suatu bilaga kosta k dimaa utuk setiap sisi xy E λx + λxy + λy = k 1 Utuk lebih mudah, sebut λx + λxy + λy sebagai pejumlaha sisi xy, da k adalah agka ajaib dari graph G. Suatu graph disebut ajaib jika graph tersebut dapat dikeaka pelabela total sisi ajaib. Suatu graph mempuyai total sisi-ajaib, maka jumlah agka ajaib pada setiap sisiya adalah jumlaha yag memuat semua label pada simpul da sisi ditambah dega d i 1 kali simpul yag mempuyai derajat d i atau k E = 1 + + 3 +... + v + e + Σd i 1x i Pada paper ii aka dikaji, bagaimaa mecari batas miimal da maksimal bilaga ajaib dari graph caterpillar C.. Hasil Pada bagia ii aka dibahas bagaimaa mecari batas miimal da maksimal bilaga ajaib dari graph caterpillar yag sesuai dega Defiisi 1.1 yag diyataka dalam dua teorema, yaitu Teorema.1 da Teorema.. Sebelum lebih jauh, perhatika beberapa pegertia simbul sederhaa dibawah ii: 1. S v meyataka jumlah label pada semua simpul
Chairul Imro 51. S e meyataka jumlah label pada semua sisi 3. jumlah simpul dau pada star ke i 4. d i jumlah simpul pusat star ke i 5. x i = λv i0 label pada pusat star ke i Gambar 1: Graph Caterpillar Perhatika Gambar 1 adalah gambar graph caterpilar yag terdiri dari graph star yag terhubug pada pusat graph star, oleh karea itu V = {S 1, S,..., S } dimaa S i = {v i0, v i1, v i,..., v ip1 } dega adalah bayakya dau pada S i da v i0 adalah simpul pusat star ke i, dega i = 1,,,, sehigga jumlah simpul pada graph caterpillar C adalah jumlah semua dau pada setiap star ditambah dega jumlah simpul pusat star atau v = V = S i = + 1 = + karea graph caterpillar termasuk graph poho, maka jumlah sisi pada graph caterpillar C adalah e = E = v 1 sehigga jumlah bilaga iteger yag dibutuhka utuk melabeli caterpillar adalah v + e = + 1
5 Batas Bilaga Ajaib Pada Graph Caterpillar Teorema.1 Setiap graph caterpillar C mempuyai batas miimum bilaga ajaib adalah + 1 + + + 1 k + 1 Bukti: Padag graph caterpillar C diatas da perhatika defiisi pelabela total sisi ajaib, bahwa jumlah label pada setiap sisi da simpul yag iside dega sisi tersebut harus mempuyai jumlah yag sama, sehigga setiap label pada simpul aka diguaka atau dijumlahka pada sisi yag lai sesuai dega derajat pada simpul tersebut. Oleh karea itu karea d i 1 =, maka ke S v + S e + d i 1x i ke S v + S e + x i 3 Label pada setiap simpul aka diguaka atau dijumlah sesuai besarya derajat dari simpul tersebut, maka bilaga ajaib aka miimum jika semua simpul mempuyai label bilaga terkecil, khususya pada label simpul pada pusat star. Label yag mugki dikeaka pada simpul yaitu λsimpul = 1,, 3,..., v Karea tidak diketahui derajat terbesar simpul pada star, maka kemugkia pelabela pada pusat star yaitu x i = p 1 1 + p + + p, atau = p 1 + p 1 + + p 1, atau = p 1 + p 4 + + p, atau yag laiya Jika diaggap derajat dari simpul pusat adalah sama, da label pada simpul diambil rata-rata, yaitu 1 + + 3 + + = + 1 = + 1
Chairul Imro 53 maka x i = + 1 4 Sedagka S v + S e = 1 + + 3 + + v + e = 1 + + 3 + + + 1 = + = + 1 + 1 + 5 Jika Persamaa 5 da Persamaa 4 disubstitusika ke Persamaa 3, mejadi ke + 1 + + + 1 atau bilaga ajaibya adalah k + 1 + + 1 + + 1 6 Teorema yag kedua adalah batas maksimum yag mugki pada caterpillar, yaitu Teorema. Setiap graph caterpillar C mempuyai batas maksimum bilaga ajaib adalah k + 1 + + 1 3 1 + 4 + 1
54 Batas Bilaga Ajaib Pada Graph Caterpillar Bukti: Dega cara yag seperti teorema sebelumya, maka ke S v + S e + x i 7 Label pada setiap simpul aka diguaka atau dijumlah sesuai besarya derajat dari simpul tersebut, maka bilaga ajaib aka maksimum jika label pada sisi adalah label terkecil yaitu atau λsisi = 1,, 3,..., v 1 λsisi = 1,, 3,..., + 1 atau label pada simpul adalah label terbesar, yaitu λsimpul = +, + + 1,..., + 1 Karea tidak diketahui derajat terbesar simpul pada star, maka kemugkia pelabela pada pusat star yaitu x i = p 1 + + p + + 1 + + p + 1, atau = p 1 + 1 + p + + + p + Jika diaggap derajat dari simpul pusat adalah sama, da label pada simpul diambil rata-rata, yaitu + + + + + + + 1 atau atau + 1 + = + + 3 1 = 3 1 + 4 + 1
Chairul Imro 55 maka x i = 1 3 1 + 4 8 Sedagka S v + S e sama seperti Persamaa 5, yaitu S v + S e = + 1 + 9 Jika Persamaa 9 da Persamaa 8 disubstitusika ke Persamaa 7, mejadi ke + 1 + + 1 3 1 + 4 atau bilaga ajaibya adalah + 1 + + 1 3 1 + 4 k + 1 10 3. Peutup Dari uraia diatas dapat ditarik kesimpula, bahwa batas miimal bilaga ajaib dari pelabela total edge-magic dari graph caterpillar adalah k + 1 + + 1 + + 1 da batas maksimal bilaga ajaib dari pelabela total edge-magic dari graph caterpillar adalah + 1 + + 1 3 1 + 4 k + 1
56 Batas Bilaga Ajaib Pada Graph Caterpillar Pustaka [1] Chairul Imro, Variasi Pelabela Graph Litasa da Star, Semiar Nasioal Matematika ITS, 4 Desember 004. [] Chairul Imro, Several Ways to Obtai Edge-Magic Total Labeligs of Caterpillars, Iteratioal Workshop o Graph Labelig, Batu, Malag, 6-9 Desember 004. [3] E.T. Baskoro, Pelabela Total Sisi Ajaib Prosidig Koferesi Nasioal Matematika XI Bagia I 00 81-85. [4] E.T. Baskoro, Critical Sets i Edge-Magic Total Labeligs. 005. [5] J. Sedlacek, problem 7, Theory of Graphs ad it s Applicatios Smoleice, 1963, 163-164, Publ. House Czechoslovak Acad. Sci.,Prague, 1964. [6] A. Kotzig ad A. Rosa, Magic Valuatios of Fiite Graph, Caad. Math. Bull. 13 1970, 451-461. [7] W.D. Wallis, Magic Graphs, Birkhauser Bosto, 001.