Bab 3 MODEL-MODEL UNTUK SISTEM DAN SINYAL 3. Tipe-tipe model Model matematika da model siyal Model matematika adalah deskripsi sistem dimaa hubuga atara variael da siyal model diyataka dalam betuk-betuk matematika. Dalam cotoh pada bab 2, kita lihat bahwa pembagua model secara atural meghasilka persamaa differesial da perbedaa. Model matematika kita dai sistem diamik ii secara prisip terdiri dari koleksi beberapa persamaa differesial da perbedaa. Dalam bab ii, kita aka mediskusika aspek formal matematis dari persamaa-persamaa terseut. Beberapa siyal eksteral yag mempegaruhi sistem tersebut juga harus dimodelka dalam ragka utuk megerti da mesimulasika efek-efekya pada sistem. Pada bab ii, kita aka diskusika juga cara-cara ya khas utuk medeskripsika sifat-sifat siyal. Model diagram blok Diagram blok sebuah sistem adalah peguaraia logis dari fugsi-fugsi sistem da memperlihatka bagaimaa bagia-bagia (blok-blok yag berbeda mempegaruhi satu sama lai. Iteraksi ii digambarka dega aak paak atar blok-blok. Sebuah sistem yag dberika biasaya direpresetasika oleh beberapa model diagram blok yag berbeda tergatug seberapa detail kita igi membuatya. Gambar 3.. Diagram blok utuk tak dalam sub bab 2.3 Gambar 3.2 diagram blok yag medeskripsika bagaimaa ketiggia dalam tag tergatug pada arus masuk da arus keluar 6
Cotoh 3. Diaram blok utuk tagki air Perhatika tagki pada gambar 2.4. Arus keluar q tergatug pada arus masuk u, yag dapat kita gambarka dega diagram blok sederhaa, seperti pada gambar 3.. Kita dapat juga membuat deskripsi yag lebih detail yag megadug ketiggia h dalam tagki. Ketiggia h tergatug pada arus masuk u da arus keluar q (gambar 3.2. Arus keluar q tergatug pada ketiggia h (da luas arus keluar a, berdasarka hukum beraulli (lihat gambar 3.3. Gambar sebelah kiri dalam gambar 3.3 lebih disukai jika luas arus keluara dalah tetap da tidak dapat dipegaruhi. Jika luas arus keluar dapat divariasika misalya dega meempatka sebuah katup pada arus keluar gambar sebelah kaa lebih atural. Dari suh sistem dalam gambar 3.2 da 3.3 kita sekarag memiliki blok diagram utuk tagki pada gambar 3.4. h Tagki q (a (b Gambar 3.3 (a alira keluara sebagai fugsi dari ketiggia, da (b sebagai fugsi dari ketiggia da peampag keluara Gambar 3.4 Diagram blok sistem tagki 7
Perhatika perbedaa atara gambar skematik pada gambar 2.4 da diagram blok pada gambar 3.4. Gambar skematik serig diguaka utuk ilustrasi sederhaa dari sebuah sistem. Ii bagaimaapu berdasarka kostruksi secara fisik dari sistem dimaa blok diagram berdasarka deskripsi secara logis. Arus-arus pada gambar 3.4 adalah arus iformasi da buka air pada gambar 2.4. Diagram blok sagat bergua ketika mestrukturka sebuah sistem, khususya sistem yag sagat besar da kompleks. Sebagai model utuk sistem meraka dapat dbadigka dega model verbal yag kita diskusika dalam bab pedahulua. Mereka juga membetuk sebuah titik awal yag sagat petig utuk pembagua matematika. Ketika misalya kita membagu model (2.7, (2.8 utuk sistem tak kita mulai dari persamaa dasar 2.6 da 2.4-2.5, yag berkaita dega dua blok dalam gambar 3.4. dalam bab 4 kita aka mediskusika secara lebih detail pegguaaa diagram blok dalam pembagua model. Diagram blok juga diguaka sebagai model dalam ilmu pegetahua dimaa model kuatitatif tidak dapat dibetuk seperti misalya ekologi, sosiologi (sosiogram da sebagiaya. Model simulasi Model dapat dibetuk utuk tujua yag berbeda-beda. Seperti kita yataka dalam pedahulua simulasi serig diaggap sebagai tujua utama. Utuk model yag besar da kompleks, umum bahwa persamaa belum secara eksplisit diyataka dalam betuk tertutup. Model mugki haya ada sebagi program komputer yag diguaka utuk simulasi. Model-model tersebut dapat disebut model simulasi. 3.2 masuka, keluara da siyal gaggua Model matematis sebuah sistem diamis terdiri dari sebuah besara berbagai tipe. Dalam sus bab ii kita aka mediskusika karakteristik besara yag berbeda ii da memberika peamaa utuk mereka. Beberapa besara dalam model tidak berubah terhadap waktu. Kita aka meyebutya sebagai kostata. Besara yag bervariasi terhadap waktu disebut variabel atau siyal. 8
Ketika pembelajara model da simulasi dibuat utuk tujua disai, adalah praktis utuk memisahka mereka kedalam dua tipe kostata dalam model. Parameter sistem adalah kostata yag diaggap diberika oleh sistem da tidak daat dipilih oleh orag yag medesaiya. Parameter disai adalah kostata adalah kostata yag dapat dipilih dalam ragka utuk memberika sistem/model sifat-sifat yag diigika. Tujua studi simulasi serig utuk memutuska ilai yag sesuai utuk parameter disai. Cotoh 3.2 Jika kita mesimulasika model tagki dalam sub-bab 2.3 dalam ragka meguji bagaimaa arus keluara tergatug pada luas arus keluara a dalam taki tetap, area a adalah parameter disai, semetara g da A adalam parameter sistem. Sebuah model da sistem diamis selalu terdiri dari sejumlah variable atau siyal, dimaa kelakuaya adalah miat utama kita. Kita aka meyebut siyal ii sebagai output da meyatakaya sebagai y(, y2(..., yp(. Cotoh 3.3 Dalam sub-bab 2.2 output adalah y ( = N ( (specime dari spesies y 2 ( = N 2 ( (specime dari spesies 2 Catat bahwa output tidak ditetuka oleh system itu sediri. Pembuat model itu sediri yag memutuska apa yag aka diaggap sebagai output. Pembuat model yag lai mugki memilih y 2 ( = N 2 ( sebagai output model seperti pada Cotoh 3.3. Kita aka meulis semua output sebagai vektor kolom: y( y2 ( y( = M y p ( (3. Dalam sistem/model, ada beberapa siyal da variable yag mempegaruhi variable lai dalam sistem, tetapi mereke sediri tidak dipegaruhi oleh kelakua sistem. 9
Arus masuk u dalam sistem tagki (sub bab 2.3 adalah cotoh siyal tersebut. Siyal ii mempergaruhi ketiggia tagki da arus keluara, tetapi siyal arus masuk u sediri tidak tergatug pada kedua variabel tersebut. Kita aka sebut siya seperti itu sebagai siyal eksteral. Dalam sebuah diagram blok sagat mudah megeali siyal eksteral sebagai aak paah bebas yag meujuk pada satu atau beberapa blok. Lihat misalya pada Gambar 3.4, dimaa u da a adalah siyal eksteral. Sebuah siyal ekseral dapat berupa satu dari dua tipe. Jika kita memiliki siyal eksteral utuk mempegaruhi kelakua sistem, kita membicaraka sebuah siyal iput atau siyal kotrol. Kita aka meuliska siyal itu sebagai: u (, u 2 (,..., u m ( atau dega formalisme vektor u2 ( = (3.2 M um ( Sebuah siyal eksteral dimaa kita tidak dapat mempegaruhi atau memilih, disebut siyal gaggua. Kita aka megguaka otasi w (, w 2 (,..., w r ( Atau w ( w2 ( w( = M wr ( Utuk siyal gaggua. (3.3 Cotoh 3.4 Siyal siyal utuk Tagki Air Jika luas arus keluara a dalam system tagki pada subbat 2.3 dapat divariasika, system ii aka memiliki dua siyal eksteral, da a(. Apakah keduaya merupaka siyal gaggua atau iput tergatug pada pegguaa. Arus dapat sebagai variable yag kita tidak dapat pegaruhi, sedagka a( dapat diatur utuk mecapai tujua tertetu. Pikirka, sebagai cotoh, tagki sebagai peampug air, sebagai 20
huja da a( sebagai gerbag bajir. Maka adalah siyal gaggua da a( adalah iput. Dalam pegguaa berbeda kita dapat megotrol arus da dapat sebagai iput. Cotoh tersebut memperlihatka bahwa keberadaa siyal eksteral da pembagia iput da siyal gaggua tidak secara jelas ditetuka oleh sistem begitu saja. Hal itu ditetuka oleh opii kita tetag apa yag berubah atau dapat diubah da apakah kita dapat megotrol kodisi. Utuk pemodela da simulasi, tidak perlu utuk memutuska apakah siyal tertetu adalah iput atau siyal gaggua. Siyal memasuki model da program simulasi dalam cara yag sama apapu iterpretasiya. Pembedaa aka haya mejadi petig ketika mediskusika sifat-sifat maa dapat diperoleh dari sistem da bagaimaa mecapaiya. Dega demikia, utuk kesederhaaa kita aka serig megguaka otasi u utuk iput da siyal gaggua da bicara teta iput ketika kita dapat megataka iput da/atau siyal gaggua. Kita sekarag telah medefiisika output da siyal eksteral dalam model. Kita aka membahas variabel model lai yaitu variabel iteral. Notasi yag kita perkealka dalam sub bab ii dapat diragkum sebagai berikut: Kostata: besara dalam odel yag tidak berubah terhadap waktu Parameter sistem: kostata yag diberika oleh sistem Parameter Desai: kostata yag dapat kita variasika dalam ragka memberika sistem sifat-sifat berbeda. Variabel atau siyal: besara dalam model yag berubah terhadap waktu. Output: variable yag kelakuaya adalah miat utama kita, diyataka sebagai y. Siyal eksteral: variabel yag mempegaruhi sistem tapa dipegaruhi oleh variabel sistem yag lai. Iput: siyal eksteral dalam sistem dimaa variasi waktuya dapat kita pilih, diyataka dega u. Siyal gaggua: siyal eksteral dalam sistem yag tidak dapat kita pegaruhi, diyataka dega w. 2
Variabel iteral: variabel dalam sistem yag buka output maupu siyal eksteral. Gambar 3.5 Diagram blok dasar sebuah sistem Dega otasi u, w da y kita dapat meggambarka sistem sebagai diagram blok sederhaa berdasarka pada gambar 3.5 Dega kosep ii, kita juga dapat secara lebih jelas medefiisika perbedaa atara sistem statik da diamik, yag telah kita bicaraka dalam subbab.6. Variasi dalam output pada sistem statik secara lagsug dipasagka pada ilai sesaat iput. Utuk sistem diamis, dilai pihak, ilai output suatu saat tergatug pada, secara prisip, semua ilai iput sebelumya. Lihat gambar 3.6. (a (b Gambar 3.6 Cotoh hubuga masuka da keluara utuk (a sistem statik da (b sistem diamik. Iput berupa garis tebal, keluara berupa garis putus-putus 3.3 Persamaa Diferesial Dalam pemodela matematika dalam Bab 2, kita temuka bahwa hubuga atara variabel model dideskripsika dega batua persamaa diferesial (dalam waktu diskrit, persamaa perbedaa. 22
Ada dua cara yag berbeda utuk megambarka persamaa persamaa diferesial ii. Salah satuya adalah meghubugka secara lagsug iput u pada output y dalam satu persamaa diferesial. Secara prisip, ii terlihat sebagai berikut: Dimaa g y ( ( ( m ( m ( y (, y (,, y(, u (, u (, = 0 ( k d ( = dt k k y( K (3.4 Da g(-,-,...,- adalah fugsi oliier berilai vektor yag sembarag. Cara laiya adalah dega meuliska persamaa diferesial sebagai sebuah sistem persamaa persamaa diferesial orde pertama dega memperkealka sejumlah variabel iteral. Jika kita meyataka variabel variabel iteral ii sebagai x (, K, x ( t Da memperkealka otasi vektor x ( x( = M (3.5 x ( Kita dapat, secara prisip, meuliska sebuat sistem persamaa diferesial orde pertama sebagai. ( ( x(, x = f (3.6 Titik diatas x meyataka diferesiasi terhadap waktu t. Pada (3.6, f(x, u adalah fugsi vektor dega kompoe: f f ( x, u = f ( x, u M (3.7 ( x, u Fugsi fugsi f i (x, u adalah fugsi dari + m variabel, kompoe x da vektor u. Tapa otasi vektor, (3.6 mejadi 23
... x( = f x 2 ( = f M x ( = f 2 ( x (, x (, u (, u ( ( x (, x (, u (, u ( ( x (, x (, u (, u ( Output dari model dapat dihitug dari variable variable ieral x i ( da ipout u i (: ( x(, m m m (3.8 y ( = h t (3.9 Yag dituliska dalam betuk dipajagka y ( = h 2 y ( = h 2 y ( = h M ( x (, x (,, um ( ( x (, x (, u (, u ( ( x (, x (, u (, u ( m m (3.0 Semua model dalam bab 2 dapat dituliska sebagai (3.6-(3.9 atau sebagai persamaa waktu diskritya ( x(, x ( t + = f t (3.a ( x(, y ( = h t (3.b Cotoh 3.5 Deskripsi Iteral dari Tagki Air Model (2.7, (2.8 utuk tagki dalam sub bab 2.3 adalah dalam betuk (3.6, (3.9 dega x ( = h(, = y ( = q(,, m =, p = a 2g f ( x, u =. x + A u A h( x, u = a 2g x u dx/dt = f(x,u y = g(x,u y (a (b Gambar 3.7 (a model eksteral, da (b model iteral 24
Deskripsi model dalam tipe (3.4 adalah dikataka sebagai deskripsi eksteral, karea berkaita secara lagsug variabel eksteral terhadap output. Deskripsi (3.6, (3.9 dikataka sebagai iteral, karea meggambarka kelakua variabel variabel iteral, yaitu x. Lihat gambar 3.7. Dalam buku ii kita aka lebih serig megguaka deskripsi iteral. Alasaya adalah bahwa vektor x( dalam (3.6 memiliki iterpretasi petig sebagai vektor keadaa, yag aka kita diskusika dalam sub bab berikutya. 3.4 Kosep Keadaa da Model Ruag-Keadaa Pada akhir sub bab 3.2 kita meadai bahwa utuk sistem diamis output tergatug pada semua ilai iput sebelumya. Ii membawa kita pada fakta bahwa tidak cukup utuk megetahui utuk t t 0 agar dapat meghitug output y( utuk t t 0. Kita memerluka iformasi megeai sistem. Dega keadaa sistem pada waktu t 0 kita bermaksud bahwa sejumlah iformasi dega keadaa ii da pegetahua megeai, t t 0, kita dapat meghitug y(, t t 0. Defiisi ii sesuai dega defiisi sehari hari dari kata keadaa. Jelas pula dari defiisi keadaa bahwa kosep ii aka memaika pera petig dalam simulasi model. Keadaa adalah secara tepat iformasi yag harus disimpa da diupdate dalam simulasi agar dapat meghitug output. Perhatika sistem umum persamaa diferesial orde pertama (3.7 dega output yag diberika oleh (3.9:. ( x = f ( x(, (3.2a y ( = h( x(, (3.2b Utuk sistem ii vektor x(t 0 adalah keadaa pada waktu t 0. Ii megikuti hasil umum persamaa diferesial: Jika f(x, u adalah berlaku baik (cukup misalya jika f dapat dituruka secara kotiyu da u adalah kotiyu piecewise, persamaa diferesial (3.2 a dega x(t 0 memiliki solusi uik utuk t t 0. 25
Secara ituitif kita dapat berpikir sebagai berikut: asumsika bahwa kita megetahui x( da pada waktu t 0. Kemudia kita dapat meghitug x( berdasarka (3.2 a. Kemudia kita dapat juga meghitug x(t 0 + δ utuk δt kecil tak higga berdasarka pada x ( t δ = x t + δt. f ( x( t, t o + (3.3 ( o o o Dari ilai ii kita dapat melajutka da meghitug x( utuk t t 0. Output y(, t t 0, dapat kemudia dihitug berdasarka (3.2b. Faktaya, persamaa (3.3 adalah metoda Euler utuk solusi umerik dari (3.2 a jika δt agka yag kecil da terhigga. Kita telah meetapka bahwa variabel x (,..., x ( atau, dega kata lai, vektor x ( x( = M x ( Dalam deskripsi model iteral (3.2 adalah suatu keadaa utuk model. Disii terletak petigya deskripsi model ii utuk simulasi. Model (3.2 disebut model ruagkeadaa, vektor x( adalah vektor keadaa, da kompee x i ( adalah variabel keadaa. Dimesi x( yaitu, disebut orde model. Utuk model waktu diskrit (3.a sagat jelas bahwa x(t 0 adalah keadaa pada waktu t 0. Jika kita megetahui x(t 0 da utuk t t 0 kita dapat secara jelas meghitug x( da kemudia y( utuk t = t 0 +, t 0 + 2, t 0 + 3,... Persamaa (3.a adalah algoritma solusi diriya sediri. Model model ruag-keadaa aka mejadi model stadar kita utuk sistem diamis. Sebagai kesimpula, kita memiliki model berikut ii: 26
. ( Model model Ruag-Keadaa (waktu kotiyu x = f ( x(, (3.4a y ( = h( x(, (3.4b U(: iput, sebuah vektor kolom berdimesi m Y(: output, sebuah vektor kolom berdimesi p X(: keadaa, sebuah vektor kolom berdimesi Model dikataka berorde. Jika fugsi f(x, u adalah dapat dituruka secara kotiyu da jika adalah fugsi kotiyu piecewise, maka solusi uik utuk (3.4 utuk x(t 0 = x 0 ada. Utuk sistem waktu diskrit kita memiliki model: Model-model Ruag-Keadaa (waktu diskri X(t k+ = f(x(t k, t k k = 0,, 2,... (3.5a Y(t k = h(x(t k, t k (3.5b U(t k : iput pada waktu t k, sebuah vektor kolom berdimesi m Y(t k : output pada waktu t k, sebuah vektor kolom berdimesi p X(t k : keadaa pada waktu t k, sebuah vektor kolom berdimesi Model dikataka berorde. Utuk ilai awal x(t o = x 0, (3.5 selalu memiliki sebuah solusi uik. Model Model Liier Model (3.4 atau (3.5 dikataka liier jika f(x, u da h(x, u adalah fugsi fugsi liier dari x da u: ( x u = Ax Bu f, + (3.6a ( x u = Cx Du h, + (3.6b 27
Disii matriks memiliki dimesi berikut A: x B: x m C: p x D: p x m Jika matriks matriks ii idepedet terhadap waktu model (3.6 dikataka liier da ivaria terhadap waktu. Beberapa fakta tetag model model liier da ivaria terhadap waktu diragkum dalam Appedix A. 28