1.1. Sub Ruang Vektor Dalam membiarakan ruang vektor, tiak hanya vektoer-vektornya saja yang menarik, tetapi juga himpunan bagian ari ruang vektor tersebut yang membentuk ruang vektor lagi terhaap operasi yang sama paa ruang vektornya. Himpunan yang emikian yang selanjutnya isebut sebagai sub ruang vektor ( vetor subspae ). Definisi 1.2.1. Anaikan V aalah ruang vektor an S aalah himpunan bagian tak kosong ari V. Himpunan S isebut sub ruang vektor ari V jika terhaap operasi yang iefinisikan paa V, S membentuk ruang vektor. Contoh 1.2.1 Himpunan R aalah suatu ruang vektor terhaap operasi stanarnya. Himpunan S R x y z 0 aalah himpunan bagian ari R. Telah ibuktikan paa Contoh 1.1. bahwa S R x y z 0 membentuk ruang vektor terhaap operasi yang iefinisikan paa R. Dengan emikian S merupakan sub ruang vektor R. Contoh 1.2.2 Himpunan A R x y 0 aalah himpunan bagian ari R. Himpunan A R x y 0 ini membentuk sub ruang vektor R. E_mail: karyati@uny.a.i 17
Sebelum ibuktikan memenuhi seluruh aksioma untuk ruang vektor, ibuktikan ahulu bahwa terhaap operasi yang iefinisikan paa R, bersifat tertutup. Ambil sebarang elemen i A R x y 0, sebut ( x,, ( x ', y', ). Sehingga x y 0 an x ' y' 0, selanjutnya iperoleh : ( x, + ( x ', y', ) = ( x x', y y', z ). Dalam hal ini ipenuhi x x' 0 0 0 an y y' 0 0 0. Dengan emikian ( x x', y y', z ) A, sehingga isimpulkan A tertutup terhaap penjumlahan. Ambil A an R. Sehingga x y 0 selanjutnya iperoleh ( x, engan. x.0 0 an. y.0 0. Dengan emikian ( x, A. Jai A tertutup terhaap perkalian skalar. Selanjutnya itunjukkan bahwa A memenuhi semua aksioma untuk ruang vektor: Aksioma 1 ( x,, ( x', y', ) A, maka ( x,, ( x', y', ) R. Diketahui R ruang vektor, maka pasti bersifat komutatif terhaap jumlah vektor. Aksioma 2 Karena A R maka setiap elemen i A merupakan elemen i R. Diketahui ruang vektor, maka penjumlahan setiap elemen-elemnnya bersifat asosiatif. Aksioma Bentuk 0 ( 0, 0, 0), maka elemen ini merupakan elemen i A. Elemen ini R E_mail: karyati@uny.a.i 18
merupakan vekor nol i R, sehingga berlaku 0 a a untuk setiap a R. Akibatnya berlaku juga untuk setiap elemen i A Aksioma 4 Ambil A, maka x y 0 an ( - ( x, ) A sebab x y 0 0. Sehingga ( x, +( - ( x, )= 0 Aksioma 5 Karena A R maka setiap elemen i A merupakan elemen i R. Diketahui ruang vektor, sehingga untuk setiap elemennya berlaku ( x, ( x', y', ) ( x' y' ). Dengan alasan yang sama maka selalu ipenuhi aksioma-aksioma 6,7 an 8. R Proposisi berikut menunjukkan hubungan yang ekuivalen suatu sub ruang vektor engan sifat ketertutupan operasi penjumlahan vektor an perkalian skalar yang harus ipenuhi oleh suatu himpunan bagian yang membentuk ruang vektor. Proposisi 1.2.2. Anaikan V aalah ruang vektor an S aalah himpunan bagian tak kosong ari V. Himpunan S ikatakan sub ruang vektor ari V jika an hanya jika: a. Untuk setiap a, b S, maka a b S (tertutup terhaap operasi penjumlahan vektor ) b. Untuk setiap a S an R, maka a S E_mail: karyati@uny.a.i 19
(tertutup terhaap perkalian skalar) Bukti: Karena S merupakan sub ruang vektor ari V, maka S merupakan ruang vektor terhaap operasi biner yang iefinisikan paa V. Karena operasi biner harus bersifat tertutup, maka operasi jumlah an perkalian skalarnya juga harus tertutup. Dalam hal ini akan ibuktikan apabila S tertutup terhaap penjumlahan an perkalian skalar, maka S memenuhi keelapan aksioma ruang vektor. Karena S V, maka aksioma 1,2,5,6,7 an 8 selalu ipenuhi. Untuk aksioma, ambil 0 R, menurut b maka ipenuhi 0. a S. Menurut sifatnya maka 0. a 0 sehingga S memuat vektor nol. Untuk aksioma 4, ambil ( 1) R, menurut b maka ( 1)a S untuk setiap vektor i S. Menurut sifatnya, maka iperoleh ( 1 ) a ( a) S untuk setiap vektor i S. Dengan Proposisi 1.2.2 i atas, maka untuk membuktikan suatu himpunan bagian ari suatu ruang vektor merupakan sub ruang vektor atau bukan ukup ibuktikan ketertutupannya terhaap operasi penjumlahan vektor an perkalian skalarnya. Proposisi berikut merupakan akibat ari Proposisi 1.2.2: E_mail: karyati@uny.a.i 20
Proposisi 1.2.. Anaikan V aalah ruang vektor an S aalah himpunan bagian tak kosong ari V. Himpunan S ikatakan sub ruang vektor ari V jika an hanya jika untuk setiap a, b S an, R, maka. a.b S Bukti: Himpunan S merupakan ruang vektor ari V, sehingga menurut Proposisi 1.2.2 maka ipenuhi a an b. Sehingga menurut b, jika a, b S an, R maka. a S an. b S. Sementara itu menuru a, maka. a.b S. Selain engan menggunakan Proposisi 1.2.2, apat igunakan Proposisi 1.2. untuk membuktikan suatu himpunan merupakan rub ruang vektor. Contoh 1.2.: Himpunan A R x y 0 aalah himpunan bagian ari R. Dari Contoh 1.2.2 telah ibuktikan bahwa himpunan ini tertutup terhaap penjumlahan vektor an perkalian skalar. JAi terbukti bahwa A R x y 0 aalah sub ruang vektor R. Contoh 1.2.4: Diberikan a b B 2 M2 a 2, b. Tunjukkan bahwa B aalah sub ruang vektor ari M 2 2 terhaap operasi stanarnya. E_mail: karyati@uny.a.i 21
Bukti: Himpunan a b B 2 2 M2 a 2, b, R. Selanjutnya ambil sebarang elemen i B, sebut : 2, 2' ' ' ' an iperoleh : 2 2' ' ' ' 2 2' ' ' ' 2( ') ' ' '. Jelas bahwa hasil terakhir memenuhi syarat keanggotaan himpunan B. Dengan emikian B tertutup terhaap operasi penjumlahan. Ambil sebarang 2 B, R maka iperoleh: 2. 2. 2(. )... Dari hasil terakhir menunjukkan bahwa.... syarat keanggotaan himpunan B ipenuhi. Dengan emikian B tertutup terhaap operasi perkalian skalar. Contoh 1.2.4: f x Diberikan himpunan C f F f 0, engan F aalah ruang vektor ari fungsi bernilai real engan satu peubah x. Untuk membuktikan tertutup terhaap penjumlahan vektor, ambil sebarang elemen f x f, g C. Sehingga ipenuhi f g x 0 an g 0. Selanjutnya ibuktikan E_mail: karyati@uny.a.i 22