Berkala Fisika ISSN : 40-966 Vol. 6, No. 3, Juli 003, al. 7-78 Komputasi Alira Paas pada sebua Batag Logam Dega Megguaka Algoritma Numerov da Baasa Pemrograma Borlad Delpi 6.0 Sumaria, K. Sofa Firdausi da Dwi Mulati. Laboratorium Istrumetasi da Elektroika Jurusa Fisika UNDIP. Laboratorium Optik da Laser Jurusa Fisika UNDIP Abstrak Tela dibuat program komputasi alira paas sebua batag logam atau plat dega megguaka algoritma Numerov da baasa pemrograma Borlad Delpi 6.0. Program komputasi alira paas sebua batag logam atau plat merupaka peelesaika permasalaa sarat batas da ilai eige utuk kasus S(x) = 0 dari Persamaa Diferesial Orde II ag d dx mempuai betuk persamaa + k ( x) = S( x). Program ii megguaka Algoritma Numerov ag merupaka pejabara dari Deret Talor. da baasa pemrograma Delpi 6.0. Algoritma tersebut merupaka metode beda igga. Peelesaia Persamaa Diferesial orde II utuk S(x) = 0 berupa grafik fugsi eige ag secara fisis merupaka alira paas sebua batag logam atau plat. Hasil komputasi alira paas sebua batag logam atau plat berupa fugsi eige ag besara sama atau berimpit utuk fugsi eige aalitik da umerik (program). PENDAHULUAN Permasalaa sarat batas da ilai eige baak dijumpai dalam berbagai bidag terutama dalam permasalaa fisis maupu matematis. Sedagka utuk sarat batas baak diperluka terutama dalam permasalaapermasalaa ag melibatka persamaa-persamaa diferesial dalam peelesaiaa. Jika dikaji utuk permasalaa fisis sediri maka sarat batas da ilai eige baak diguaka pada feomea elektromagetik, idrodiamika, alira paas, da gravitasi ag diselesaika dari betuk sederaa persamaa Laplace. Kajia sarat batas da ilai eige secara kusus ditemuka pada persamaa Poisso da Helmolt (persamaa gelombag ag tak tergatug waktu) baik itu gelombag elektromagetik maupu gelombag mekaik. Dikareaka persamaa-persamaa matematis dalam fisika itu sagat kompleks (dalam aplikasia) maka peelesaia peritugaa dega megguaka batua komputer. Sarat batas da ilai eige dapat diselesaika secara umerik dari persamaa diferesial orde II ag berbetuk d + k ( x) = S( x) () dx dega S adala sebua betuk o omoge da k adala bilaga kompleks seigga k merupaka sebua fugsi real. Sedagka dalam peelitia ii tela diselesaika PD orde II tersebut utuk S(x) =0 pada kasus distribusi alira paas pada plat logam dega megguaka batua Algoritma Numerov da peragkat luak seigga peelesaia sarat batas da ilai eige aka lebi cepat da lebi muda teratasi dari perituga secara maual. ALIRAN PANAS PADA SEBUAH BATANG LOGAM ATAU PLAT Persamaa alira paas adala u = α u. () t 7
Sumaria, K. Sofa F., Dwi Mulati Komputasi Alira α Dega u adala temperatur da adala sebua kostata karakteristik dari materi saat paas megalir. Sedagka bagia radial dari persamaa (.8) berbetuk F + k F = 0 atau d F + k F = 0. (3) dx (Utuk permasalaa satu dimesi, F aa sebagai fugsi x ). Peelesaia aalitik dari (3) adala si kx F( x) =. (4) cos kx Dapat dibadigka alira paas ag melalui plat dega ketebala l. Diasumsika bawa permukaa plat sagat luas seigga dapat diabaika beberapa al da megaggap bawa alira paas aa pada jarak x (liat gambar ). Permasalaa ii idetik dega alira paas pada batag logam ag disekat dega pajag l ag juga terjadi aa pada jarak x. Aggap plat terjadi pada distribusi suu stead state pada x = 0 suu 0 da x = l suu 00. Pada saat t = 0 da x = l suu pada didig (seperti suu pada didig x = 0 ) 0. Natia aka didapatka distribusi suu sepajag sumbu x. 0 x l Gambar Alira paas ag terjadi pada batag logam dega x = 0 da x = l pada suu 0º igga 00º (Boas, 983). ALGORITMA NUMEROV Metode kusus ag sederaa utuk meelesaika persamaa () adala dega Numerov atau metode Cowlig. Dega memperkiraka turua keduaa utuk tiga ilai ag berbeda : 0 + (5) dega adala turua kedua dari fugsi ag diguaka, adala fugsi pada beda igga mudur, 0 adala fugsi pada beda igga tega, adala fugsi pada beda igga maju, adala besara lebar lagka ag diambil, seigga + + = + 4 + O (6) ( ) O dapat ditulis secara eksplisit ag didapatka dari ekspasi Talor ag berbetuk betuk error ( ) 3 x x ( x) = 0 + x + +! 3! + K (7) ± = ( x = ± ) = 0± + 3 4 ± + O( ). (8) 6 Dari persamaa diferesial itu sediri aka didapatka d = ( k + S ) x= x dx 7
Berkala Fisika ISSN : 40-966 Vol. 6, No. 3, Juli 003, al. 7-78 = ( k ) ( k ) + ( k ) +. (9) S+ S + S + + O( ) Jika disubstitusika ke dalam persamaa (9) maka setela beberapa pegatura aka dapat ditulis mejadi (Kooi, 986) + k + + 5 k + + k = + (0) Jika ilai k = 0 maka persamaa (0) aka mejadi: 6 ( S + 0S + S ) + O( ) 3 + = + + 0 + () sedagka bila ilai S ag berilai ol maka aka didapatka persamaa: 6 ( S + S + S ) O( ) + = + k + + k 5 k + O 6 ( ). () METODE PENELITIAN Pada peelitia ii diguaka metode dega megkaji pustaka serta da megguaka batua komputer utuk medapatka asil akir ag diarapka dega pembuata program dari baasa pemrograma Borlad Delpi 6.0 ag berpedoma pada taapa peelesaia Algoritma Numerov. Diagram blok Utuk lebi jelasa proses ag perlu ditempu utuk medapatka asil akir dapat diliat pada diagram blok pada gambar utuk permasalaa sarat batas da ilai eige. Permasalaa Algoritma PD Orde II Numerov Program Peelesaia Delpi Nilai Gambar Diagram blok peelesaia sarat batas da ilai eige. Batas Gambar. Diagram Blok Peelitia Permasalaa-permasalaa fisis ag berbetuk persamaa diferesial orde II diuba mejadi betuk umerik dega megguaka Algoritma Numerov. Kemudia aka dibuat programa dega baasa pemrograma Borlad Delpi 6.0 dega memberika ilaiilai batasa. Peelesaia ag didapatka aka dikalibrasi dega baasa pemrograma Pascal. Pada peelesaia aka didapatka arga fugsia utuk kasus k (x)=0. ag merupaka distribusi alira paas pada plat logam. Permasalaa-permasalaa fisis utuk kasus S(x) = 0 ag aka dikaji dalam peelitia ii adala alira 73
Sumaria, K. Sofa F., Dwi Mulati Komputasi Alira paas pada sebua batag logam atau plat. Pada peelesaia programa aka didapatka ilai eigea atau alira paasa. Metode uji Sebagai pegkalibrasi aka diguaka: Perituga secara aalitik Peelesaia dega megguaka baasa pemrograma Pascal Keluara dari pemrograma Delpi aka dibadigka asila dega megguaka perituga secara aalitik da/atau dega baasa pemrograma Pascal. Dari perbadiga iila aka diketaui keakurata dari asil ag tela diperole dari baasa pemrograma Delpi igga aka dapat diketaui pula bear tidaka program Delpi ag tela dibuat. Diagram alir program pada S(x)=0 Pada kasus komputasi alira paas aka mempuai arga S(x) = 0. Diagram alir program utuk kasus lira paas da partikel bebas ag mempuai S(x) = 0 diagram alir programa seperti pada gambar 3. START Masukka: Tebaka awal K= Iterval K (DK)= Batas_awal= Batas_akir= C C PHIM=0 PHIZ=0.0 CON = (K*K*H*H)/ For x := to N- do PHIP = *(-5*CON)*PHIZ - (+CON)*PHIM PHIP = PHIP/(+CON) PHIM = PHIZ PHIZ = PHIP iterasi = 0 PHIOLD = PHIP = A Abs(DK) > TOLK iterasi = iterasi + K = K + DK E D 74
Berkala Fisika ISSN : 40-966 Vol. 6, No. 3, Juli 003, al. 7-78 E D For x := to N- do PHIP = *(-5*CON)*PHIZ - (+CON)*PHIM PHIP = PHIP/(+CON) PHIM = PHIZ PHIZ = PHIP PHIP = B Yes PHIP * PHIOLD > 0 (B * A) > 0 No K = K - DK DK = DK/ Cetak : K = END Gambar 3 Diagram alir program pada S(x) = 0. Keteraga: K = ilai eige DK = iterval K N = jumla iterval sepajag batasa ag diberika H = lebar lagka dalam rage batasa ag ada Tiga iteraksi dari atau ilai fugsia ag perlu ditijau meliputi: PHIM = ag merupaka ilai fugsi sebelum sesuggua PHIZ = ag merupaka ilai fugsi sesuggua PHIP = + ag merupaka ilai fugsi setela sesuggua PHIOLD = ilai fugsi ag lama atau pertama diperole TOLK = tolerasi dari ilai eige ag disimbolka dega K Dilakuka peebaka arga awal K setela dilakuka pemasuka data-data utuk Batas_awal, Batas_akir, N, da DK. Selajuta dalam prosedur argaarga tersebut aka diola utuk medapatka arga PHIP. Harga PHIOLD = PHIP ag diaggap sama dega A. Selama Abs(DK) > TOLK maka arga K = K + DK kemudia aka diproses lagi dalam prosedur ag sama igga didapatka PHIP ag diaggap sama dega B. Jika PHIP * PHIOLD > 0 atau B*A > 0 maka arga K=K+DK tetapi jika tidak terpeui maka arga K=K DK dega DK = DK/. Maka pada akir program sebagai outputa dapat diketaui K dega disertai iterasia. 75
Sumaria, K. Sofa F., Dwi Mulati Komputasi Alira HASIL DAN PEMBAHASAN Dari asil program komputasi alira paas pada sebua batag logam atau plat aka dibaas ilai eige ag tela diperole da fugsi eige ag meertaia. Program mecari ilai eige Alira paas pada sebua batag logam aka sesuai dega persamaa diferesial orde II jika S(x) = 0. Pada kasus S(x) = 0 aka didapatka ilai eige dari perituga secara aalitik dega umerik ag dataa ada pada tabel berikut utuk batas 0 < x. Tabel. Nilai eige secara aalitik da umerik utuk batas 0 < x No. Nilai eige Ralat Aalitik Numerik 3.486 3.459 0.007 6.857 6.837 0.0054 3 9.4857 9.4477 0.00380 4.5743.56636 0.00507 5 5.749 5.70795 0.00634 6 8.8574 8.84955 0.00759 7.00000.993 0.00887 8 5.486 5.37 0.004 9 8.857 8.743 0.040 0 3.4857 3.4588 0.069 Dari tabel dapat diketaui bawa ilai eige ag didapatka secara aalitik da umerik mempuai selisi arga ag kecil seigga ralata juga kecil. Fugsi eige Fugsi eige ag diperole secara aalitik da umerik utuk batas 0<x ag diguaka sebagai coto adala tiga ilai eige pertama aitu 3.486, 6.857, da 9.4857. Utuk meliat perbedaa atara ketiga grafik pada batas ag sama tersebut maka dibuat grafik gabugaa pada gambar 4. Karea perbedaa atara perituga aalitik da umerik memberika ralat ag relatif sagat kecil, maka asil tampila grafik pada gambar 4. terliat fugsi eige aalitik dega umerik ampir berimpit. Hal ii dapat juga diliat pada data tabela bawa atara kedua fugsi eige mempuai datadata ag ampir sama seigga ralatralata pu selalu berkisar pada arga sekitar ol. Pada grafik di atas dapat diketaui juga bawa pada ilai eige ag berilai π (=3.486) aka mempuai grafik dega satu pucak, ilai eige ag berilai π (=6.857) aka mempuai grafik dega dua pucak atau membetuk satu gelombag, da pada ilai eige ag berilai 3π (=9.4857) aka mempuai grafik dega tiga pucak. Grafik-grafik ag ada tersebut sesuai dega betuk persamaa gelombag sius aitu si kx dega k merupaka ilai eige ag tela diperole da x merupaka iterval dari batasa ag kita guaka. KESIMPULAN. Tela dibuat program utuk meelesaika permasalaa sarat batas da ilai eige dari Persamaa Diferesial Orde II ag mempuai betuk persamaa d x + k ( x) = S( x) d utuk S(x)=0. a. Besara ralat meujukka besara perbedaa peelesaia secara umerik dega aalitik.. Komputasi alira paas pada sebua batag logam atau plat diperole. a. Nilai eige ag didapatka secara aalitik da umerik mempuai selisi arga ag kecil seigga ralata juga kecil. b. Fugsi eige aalitik da umerik mempuai ralat ag sagat kecil seigga terliat berimpit pada grafika. 76
Berkala Fisika ISSN : 40-966 Vol. 6, No. 3, Juli 003, al. 7-78 DAFTAR PUSTAKA Boas, Mar L, 983, Matematical Metods i te Psical Scieces, Edisi ke-, Jo Wile ad Sos, New York. Cote, Samuel D, 99, Dasar-dasar Aalisis Numerik (Suatu Pedekata Algoritma),Edisi ke-3, Peerbit Erlagga, Jakarta. Kooi, Steve E, 986, Computatioal Psics, Addiso-Wesle Publisig Compa, Ic, Yogakarta. Krae, Keet S, 99, Fisika Moder, Peerbit Uiversitas Idoesia, Jakarta. Kreit, Frak, 986, Prisip-prisip Perpidaa Paas, Edisi ke-3, Peerbit Erlagga, Jakarta. Kreszig, Erwi, 993, Advaced Egieerig Matematic, Edisi ke-7, Jo Wile ad Sos, New York. Pramoo, Djoko, 999, Muda Meguasai Delpi 3, Jilid I da II, PT. Elex Media Komputido, Jakarta. Praata, Ato, 000, Pemrograma Borlad Delpi, Edisi ke-3, Peerbit ANDI Yogakarta, Yogakarta. Sceid, Fracis, 99, Seri Buku Scaum (Teori da Soal-soal) Aalisis Numerik, Peerbit Erlagga, Jakarta. Soedojo, Peter, 995, Asas-asas Matematika Fisika da Tekik, Gadja Mada Uiversit Press, Yogakarta. 77
Sumaria, K. Sofa F., Dwi Mulati Komputasi Alira.50.00 Fugsi eige 0.50 0.00 0.00 0.0 0.40 0.60 0.80.00.0-0.50 Aalitik Numerik -.00 Aalitik Numerik -.50 Aalitik x Numerik Gambar 3 Diagram alir program pada S(x) = 0. 78