Tatk Wdharh dan Naschah ska Andran (Inferens Fungs Ketahanan dengan Metode Kaplan-Meer INFERENI FUNGI KETAHANAN DENGAN METODE KAPLAN-MEIER Tatk Wdharh dan Naschah ska Andran Jurusan Matematka FMIPA UNDIP Jl Prof H oedarto, H, emarang 5075 Abstract Let T be a nonnegatf random varable representng the lfe tme of ndvduals n some populaton Lfe tme data of ndvduals are devded n two knds, cencored and uncencored data The probablty of an ndvdual survvng tll tme t s gven by the survval functon (tp(t t Product Lmt estmator (Kaplan-Meer estmator s a nonparametrc method to fnd the survval functon for cencored data Key words: survval functon, cencored data, Kaplan Meer estmator PENDAHULUAN Analss waktu hdup adalah metode analss waktu hdup yang bergantung dar waktu melput waktu hdup dan status waktu hdup ndvdu Data waktu hdup yang dperoleh dapat berupa data tak tersensor dan data tersensor Data yang dmaksud adalah data hdup ndvdu dalam grup tertentu yang dukur dar perode tertentu pula dan merupakan varabel random yang bernla nonnegatf sehngga akan membentuk suatu dstrbus yang dsebut dstrbus waktu hdup alah satu permasalahan yang dtemu dalam analss data ketahanan hdup adalah kemungknan adanya beberapa ndvdu yang tdak dapat dkut perkembangannya sampa ndvdu tersebut mat tahan hdup adalah ketka ndvdu dapat dkut perkembangannya sampa ndvdu tersebut mat, sedangkan untuk ndvdu yang tdak dapat lag dkut perkembangannya merupakan observas waktu tahan hdup yang tdak lengkap, basa dsebut observas tersensor Fungs ketahanan suatu ndvdu (t ddefnskan sebaga perbandngan antara jumlah observas yang hdup lebh dar waktu t (t 0 dengan jumlah total observas [] Fungs ketahanan n sangat bergantung pada tpe penyensoran yang dgunakan Tpe penyensoran yang serng dpaka adalah sensor tpe I, II dan III Dalam tulsan n durakan mengena nferens fungs ketahanan dengan menggunakan metode Kaplan Meer Dcar peluang ketahanan hdup ndvdu dengan sensor tpe III dan membandngkan fungs ketahanan dua sampel yang berbeda dengan salah satu sampel dber perlakuan tertentu dan sampel yang lan djadkan observas terkontrol, lebh lanjut dcar sampel manakah yang mempunya fungs ketahanan yang lebh bak KAJIAN TEORI Analss ketahanan adalah metode yang serng dgunakan untuk mempelajar tentang kegagalan Untuk analss ketahanan dmula observas suatu kumpulan ndvdu pada beberapa ttk waktu yang sudah dketahu secara past dan dapat dkut perkembangannya untuk beberapa perode waktu dan waktu dcatat pada saat kejadan tersebut Uj ketahanan hdup berkatan dengan waktu ketahanan karena dengan dketahu waktu ketahanan ndvdu bsa dketahu berapa besar kemungknan ketahanan hdup ndvdu tersebut oleh suatu perlakuan tertentu ketahanan adalah ukuran data waktu untuk kejadan past sepert kegagalan atau kematan ketahanan T merupakan varabel random nonnegatf yang mewakl ketahanan hdup dar ndvdu dalam populas yang merupakan 0
Tatk Wdharh dan Naschah ska Andran (Inferens Fungs Ketahanan dengan Metode Kaplan-Meer varabel random kontnu dalam nterval [0, atau ketahanan hdup pada waktu t dengan t > 0 Tpe Penyensoran ensor Tpe I Ada n ndvdu yang damat dmula pada waktu yang sama Ekspermen akan berhent jka telah dcapa waktu tertentu (waktu penyensoran ensor n membutuhkan waktu yang lama dan baya yang relatf besar karena penelt harus menunggu sampa waktu penyensoran berakhr [3] ensor Tpe II Ada n ndvdu yang damat dmula dar waktu yang sama Ekspermen dhentkan setelah kegagalan ke r dperoleh, sehngga sensor tpe II dapat menghemat waktu dan baya pengamatan harus dputuskan terlebh dahulu sebelum data tersebut dkumpulkan [3] 3 ensor Tpe III Indvdu masuk dalam pengamatan pada waktu yang berbedabeda selama perode waktu tertentu Beberapa ndvdu mungkn mat/gagal sebelum pengamatan berakhr dmana waktu ketahanannya secara past dketahu, kemungknan yang lan adalah ndvdu keluar sebelum pengamatan berakhr sehngga tdak berpengaruh pada pengamatan berkutnya, dan kemungknan yang terakhr adalah ndvdu tetap hdup sampa batas akhr waktu pengamatan Untuk ndvdu yang hlang, waktu ketahanan adalah dar mula masuk pengamatan sampa dengan waktu terakhr sebelum hlang Untuk ndvdu yang tetap hdup, waktu ketahanan adalah dar mula masuk pengamatan sampa dengan waktu pengamatan berakhr Karena waktu masuk pengamatan tap ndvdu tdak sama maka waktu sensor yang terjad juga berbeda beda [3] 3 ETIMATOR PRODUCT LIMIT (KAPLAN MEIER Jka waktu ketahanan dapat dkelompokkan secara terurut maka waktu ketahanan T dapat dperlakukan sebaga varabel random yang dskrt Msalkan T bernla t, t, dengan 0 t <t < dan fungs denstas peluangnya adalah p ( t P ( T t,,,, n maka fungs ketahanannya adalah t P T t p t ( ( ( ( t t Estmas dengan Kaplan-Meer dar probablta ketahanan dar beberapa waktu yang khusus merupakan hasl kal estmas yang sama pada waktu sebelumnya dan angka ketahanan yang terobservas dar tahun-tahun tersebut [3] ( t + ( t ( t atau ( ( t t + ( t ( Fungs hazard ddefnskan sebaga peluang suatu ndvdu gagal dalam nterval (t,,t+ t dengan dketahu bahwa ndvdu tersebut telah hdup selama waktu t h ( t P ( T t T t p ( t,,, (3 ( t Karena p ( t ( t ( t+ maka persamaan (3 menjad p ( ( t ( t ( t h t + ( t ( t ( t +,,, 3, (4 ( t ubtstus persamaan ( dan (3 : ( ( t+ t h( t ( t (5 Jka terdapat observas yang salng bebas maka estmator nonparametrk fungs ketahanan adalah n ( t h( t,,,, n, (6 destmas dengan menggunakan metode maksmum lkelhood sehngga dperoleh δ ht (,,,,n, R dengan dengan h ( t
Jurnal Matematka Vol 9, No3, Desember 006:0-6 δ adalah jumlah kematan ndvdu pada pengamatan ke-, R adalah jumlah ndvdu yang tetap hdup pada pengamatan ke- Dengan demkan fungs ketahanan (t d- engan menggunakan estmas Product Lmt (Kapalan Meer adalah n δ ( t R n n q p (7 Pada prakteknya estmas Kaplan- Meer dapat dcar dengan cara membentuk tabel yang kolom-kolomnya bers: Kolom pertama (, banyaknya pengamatan yang dambl sebaga sampel Kolom kedua ( t, semua waktu hdup bak yang termasuk observas tersensor 3 maupun observas tdak tersensor dengan durutkan dar waktu yang terkecl sampa dengan waktu yang terbesar Tanda * berart termasuk observas yang tersensor 4 Kolom ketga (R, jumlah ndvdu yang tetap hdup pada pengamatan ke- 5 Kolom keempat (δ, jumlah kematan ndvdu pada pengamatan ke- 6 Kolom kelma ( q, estmas peluang kematan ndvdu pada pengamatan ke 7 Kolom keenam ( p, estmas peluang ketahanan ndvdu pada pengamatan ke- 8 Kolom ketujuh ( ( t, estmas fungs ketahanan untuk tap-tap ndvdu yang masuk pada pengamatan Amatan ( 3 n pengamatan t ( t t t 3 t n Tabel Tabel estmas Kaplan-Meer ndvdu R (3 R R R 3 R n ndvdu mat δ (4 δ δ δ 3 δ n Estmas probablta bersyarat kematan q (5 q q q 3 q n Estmas probablta bersyarat ketahanan p (6 p p p 3 p n Estmas fungs ketahanan ( t (7 (t (t (t 3 (t n ebaga contoh, berkut n dberkan pasen penderta leukema yang dber perlakuan secara acak berupa obat 6 MP dan pasen yang lan tdak dberkan perlakuan (kontrol [] ampel ( obat 6 MP 6*, 6, 6, 6, 7, 9*, 0*, 0, *, 3, 6, 7*, 9*, 0*,, 3, 5*, 3*, 3*, 34*, 35* ampel ( kontrol,,,, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8,,,,, 5, 7,, 3 * observas tersensor
Tatk Wdharh dan Naschah ska Andran (Inferens Fungs Ketahanan dengan Metode Kaplan-Meer Untuk sampel kesatu pengamat an t ndvdu yang damat beresko R Tabel Tabel Penderta Leukma yang Dber Perlakuan ndvdu yang mat δ ndvdu yang tersensor C q p (t 6 3 049 0857 0857 7 7 0 00588 094 08067 9 6 0 0 08067 0 5 00667 09333 0759 3 0 0 0759 3 0 00833 0967 0690 6 0 0090 09090 0674 7 0 0 0 0674 9 9 0 0 0674 0 8 0 0 0674 7 0 049 0857 05377 3 6 0 0667 08333 0448 5 5 0 0 0448 3 4 0 0 0448 34 0 0 0448 35 0 0 0448 Untuk sampel kedua pengamat an t Tabel 3 Tabel Penderta Leukma yang Tdak Dber Perlakuan ndvdu ndvdu yang ndvdu yang q damat yang mat p (t tersensor beresko δ C R 0 0095 09048 09048 9 0 0053 08947 08095 3 7 0 00588 094 0769 4 6 0 050 08750 06667 5 4 0 049 0857 0574 8 4 0 03333 06667 0380 8 0 0500 07500 0858 6 0 03333 06667 0905 5 4 0 0500 07500 049 7 3 0 03333 06667 00953 0 05000 05000 00477 3 0 0 0 3
Tatk Wdharh dan Naschah ska Andran (Inferens Fungs Ketahanan dengan Metode Kaplan-Meer 4 PERBANDINGAN DUA FUNGI KETAHANAN Jka fungs ketahanan hdup suatu ndvdu destmas menggunakan estmas Product Lmt (Kaplan Meer, maka untuk membandngkan dua fungs ketahanan dapat menggunakan uj Peto dan Peto sebaga generalsas uj Wlcoxon Uj n danggap sebaga skor untuk tap observasnya sepert basa pada uj logrank Pemberan skor untuk tap tap observas adalah sebaga berkut U ( t + ( t ( t, untuk observas yang tdak tersensor, untuk obsservas tersensor (8 Langkah langkah untuk membandngkan dua fungs ketahanan adalah sebaga berkut Tap observas dber skor U dengan dber tanda grup dan grup Dhtung nla dar untuk masng masng grup, dmana n n U dan U j 3 Dcar nla varan dar untuk semua grup, Var ( n ( n + n ( n + n n n + n 4 Melakukan pengujan hpotess yang dpaka, H 0 : (t (t (Perlakuan dan sama sama efektf H : (t> (t (Perlakuan lebh efektf darpada perlakuan atau H : (t< (t (Perlakuan lebh efektf darpada perlakuan atau H 3 : (t (t (Perlakuan dan efektfnya berbeda U j 5 Menghtung statstk ujnya untuk masng masng grup, Z Var ( 6 Dengan α sebaga tngkat sgnfkans maka dcar daerah penolakan H 0 Jka ada d grup maka daerah krts penolakan H 0 adalah Z < Zα Jka ada d grup maka daerah krts penolakan H 0 adalah Z > Zα Untuk contoh kasus datas dperoleh Tabel 4 pada Lampran Grup : 60006 dan Grup : 60096 dengan Var ( 38973875 Untuk sampel kesatu uj hpotesa yang dpaka adalah : H o : (t (t (Perlakuan dan sama sama efektf H : (t> (t (Perlakuan lebh efektf darpada perlakuan tatstk uj: Z Var 6 0006 7860 ( 0 6006 3 897 3 3598 Daerah penolakan H 0 untuk sampel kesatu adalah jka Z htung < Z tabel dengan penggunaan α sebesar 5 % Karena Z htung 33598 < Z tabel 645 maka H 0 dtolak yang berart bahwa perlakuan pada sampel satu yang dber obat 6 MP lebh efektf darpada tdak dber perlakuan sepert pada sampel kedua 5 KEIMPULAN Estmator Kaplan Meer dgunakan untuk mengestmas fungs ketahanan hdup dar data yang tersensor dan data yang tdak tersensor untuk masng masng observas dengan panjang nterval waktu yang bervaras Untuk membandngkan dua fungs ketahanan dapat dgunakan uj Peto dan Peto sebaga generalsas uj Wlcoxon berdasarkan hasl analss pasen 4
Tatk Wdharh dan Naschah ska Andran (Inferens Fungs Ketahanan dengan Metode Kaplan-Meer yang dber perlakuan obat 6 MP memlk fungs ketahanan yang lebh bak dbandngkn dengan pasen yang tdak dber perlakuan 6 DAFTAR PUTAKA [] Cox, D R and Oakes, D (983, Analyss of urvval Data, John Wley and ons, Inc [] Lawless, J F (98, tatstcal Models And Methods For Lfetme Data, John Wley and ons, Inc [3] Lee, E T (99, tatstcal Methods for urvval Data Analyss, John Wley and ons, Inc [4] Mller, R G (98, urvval Analyss, John Wley and ons, Inc 5
Jurnal Matematka Vol 9, No3, Desember 006:0-6 Lampran No Obser vas Tabel 4 Tabel Penderta Leukma yang Dber Perlakuan Pengamatan t Grup ( t 09048 + 09048 09048 09048 09048 + 09048 08096 3 08095 09048 + 08095 0743 4 08095 08095 + 08095 0690 5 3 0769 06667 + 0769 0574 6 4 06667 06667 + 0769 0486 7 4 06667 06667 + 06667 03334 8 5 0574 0574 + 06667 038 9 5 0574 0574 + 0574 048 0 6* 0574 0486 6 0857 0574 + 0857 0485 6 0857 0857 + 0857 074 3 6 0857 0857 + 0857 074 4 7 08067 08067 + 0857 06638 5 8 0380 0380 + 08067 0877 6 8 0380 0380 + 0380 0380 7 8 0380 0380 + 0380 0380 8 8 0380 0380 + 0380 0380 9 9* 0380 0690 0 0* 0380 0690 0 0759 0380 + 0759 0339 * 0759 047 3 0858 0759 + 0858 00387 4 0858 0858 + 0858 0484 5 0905 0858 + 0905 0537 6 0905 0905 + 0905 0690 7 3 0690 0690 + 0905 093 8 5 049 049 + 0690 0669 9 6 0674 0674 + 049 097 30 7 00953 00953 + 0674 0773 3 7* 00953 09047 3 9* 00953 09047 33 0* 00953 09047 34 05377 00953 + 05377 03670 35 00477 00477 + 05377 0446 36 3 0 00477 + 0 0953 37 3 0448 0448 + 0 0953 38 5* 04448 0559 39 3* 04448 0559 40 3* 04448 0559 4 34* 04448 0559 4 35* 04448 0559 U 6