NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-12 Sswato 1, Ar Suparwato 2, M Ady Rudhto 3 1 Mahasswa S3 Matematka FMIPA UGM da Staff Pegajar FMIPA UNS Surakarta, 2 Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Gadjah Mada Yogyakarta 3 FKIP, Uverstas Saata Dharma Yogyakarta e-mal : 1 ssmpaus@yahoocod, 2 ar_suparwato@yahoocom, 3 arudhto@yahoocod Abstrak Msalka hmpua blaga real Aljabar Max-Plus adalah hmpua dlegkap dega operas maksmum " " da plus " " Dbetuk hmpua I( ) yatu hmpua yag aggotaya merupaka terval-terval tertutup dalam Hmpua I( ) dlegkap dega operas " " da " " dsebut aljabar Max-Plus terval Selajutya, dapat dbetuk hmpua matrks berukura yag eleme-elemeya merupaka aggota hmpua I( ) dtuls I( ) Msalka A ( ) I da [A, A] I( ) b dega A [A,A], matrks terval A dkataka tak terreduks jka utuk setap matrks A [A,A] tak terreduks Jka tdak demka matrks terval A dkataka terreduks Dalam peelta aka dbahas tetag la ege da vektor ege suatu matrks terval terreduks reguler Kata kuc : Aljabar Max-Plus terval, la ege, vektor ege, matrks terreduks reguler PENDAHULUAN, dlegkap dega operas maksmum " " da plus " " merupaka semrg dempote yag komutatf Aljabar Max-Plus telah dguaka utuk memodelka da megaalss secara aljabar masalah perecaaa, komukas, produks, sstem atra dega kapastas berhgga, komputas parallel, da lalu ltas (Baccell, etal [1]) Utuk meyelesaka masalah jarga dega waktu aktftas blaga kabur sepert pejadwala kabur da sstem atra kabur, aljabar Max-Plus telah dgeeralsas mejad aljabar Max-Plus terval da aljabar Max-Plus blaga kabur Aljabar Max-Plus terval yatu hmpua Aljabar Max-Plus adalah hmpua I( ) dlegkap dega operas " " da " ", sedagka aljabar Max-Plus blaga kabur yatu hmpua F( ) dlegkap dega operas " " da " " (Rudhto [6]) Dar hmpua dapat dbetuk hmpua matrks berukura yag eleme-elemeya merupaka eleme, dotaska dega Hmpua Makalah dpresetaska dalam Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka dega tema Kotrbus Peddka Matematka da Matematka dalam Membagu Karakter Guru da Sswa" pada taggal 10 November 2012 d Jurusa Peddka Matematka FMIPA UNY

dlegkap dega operas maksmum " " da plus " " merupaka semrg yag m dempote (Aka, et al, [1], Butkovc [3], Kogsberg [5]) Demka juga, yatu hmpua matrks berukura m dalam aljabar Max-Plus Khusus utuk = 1, m dperoleh hmpua vektor dalam aljabar Max-Plus dtuls (Farlow [4]) Msalka A, graf komukas dar A dtuls G(A) Jka G(A) terhubug kuat maka matrks A dkataka tak terreduks Sebalkya, jka G(A) tak terhubug kuat maka matrks A dkataka terreduks (Farlow [4], Kogsberg [5]) Farlow [4] da Tam K P [10] telah membahas d dalam aljabar Max-Plus beserta tafsraya dalam teor graf, bahwa la ege da vektor ege dar suatu matrks masg-masg adalah perode da barsa dar suatu waktu aktftas Farlow [4] membahas khusus utuk matrks tak terreduks, sedagka Kogsberg [5] da Schutter [7] sela membahas matrks tak terreduks juga matrks terreduks Berkata dega la ege da vektor ege, Sswato [8] da Suboo [9] telah membahas tetag algortma utuk meetuka la ege da vektor ege suatu matrks dalam aljabar Max-Plus Sejala pada aljabar Max-Plus, mucul pula matrks dalam aljabar Max-Plus terval yatu I( ) m da matrks dalam aljabar Max-Plus blaga kabur yatu F( ) m, serta la ege da vektor ege matrks dalam aljabar Max-Plus terval da aljabar Max-Plus blaga kabur Rudhto [6] telah membahas tetag la ege da vektor ege matrks atas aljabar Max-Plus terval khusus utuk matrks tak terreduks Dalam makalah aka dbahas tetag la ege da vektor ege matrks terreduks dalam aljabar Max-Plus terval Sebelum dbahas hasl utama dar makalah, terlebh dahulu aka dtjau beberapa kosep dasar da hasl-hasl yag medukug pembahasa Defs 11 Dberka barsa x( k) k yag dbagktka oleh sstem persamaa lear x( k 1) A x( k) dega A da x(0) sebaga la awal Msalka x( k) ( x1( k), x2( k),, x( k)) sehgga utuk j 1, 2,,, x ( ) j lm j k k k ada Vektor ( 1, 2,, ) dsebut vektor waktu skel Jka semua sama maka la dsebut laju pertumbuha asmtotk barsa xk ( ) Defs 12 Suatu matrks dkataka regular jka memuat palg sedkt satu usur yag tdak sama dega dalam setap bars Defs 13 Norma l utuk vektor v ddefska oleh v v 1, 2,, m m Lema 14 [4] Jka A matrks regular da uv, maka ( A u) ( A v) u v Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 100

Teorema 15 [4] Dberka sstem x( k 1) A x( k) utuk k 0, A reguler da la awal x (0) Jka x (0) la awal sehgga sama utuk sebarag la awal y(0) x( k, x(0)) lm ada maka la lmt k k Lema 16 [4] Dberka sstem x( k 1) A x( k) utuk k 0, A tak terreduks dega v vektor ege yag bersesuaa dega la ege maka x (, (0)) lm j k x k k utuk semua j1, 2,, da x(0) Teorema 17 [8,9] Jka utuk sebarag la awal x(0) (,,, ) sstem x( k 1) A x( k) memeuh x( m) c x( ) utuk blaga bulat m 0 da blaga real c maka xk ( ) lm (,,, ) dega k k c m Selajutya, adalah suatu la ege dar matrks A dega vektor ege dberka oleh m 1 ( m1) v ( x( m 1) Selajutya, dbcaraka kosep aljabar Max-Plus terval da matrks d dalamya [6] Iterval tertutup x dalam adalah suatu hmpua baga dar yag berbetuk x = [x,x] = { x x m x mx} Iterval x dalam dsebut terval Max-Plus Suatu blaga x dapat dyataka sebaga terval [x,x] Defs 18 Dbetuk I( ) {x = [ x, x ] x, x, x x } { ε}, dega m m ε = [, ] Pada hmpua I( ) ddefska operas " " da " " dega x y [ x y, x y] da x y [ x y, x y] utuk setap x, y I( ) Hmpua I( ) dlegkap dega operas da merupaka semrg dempote komutatf dega eleme etral ε [, ] da eleme satua 0 [0,0] Selajutya dsebut aljabar Max-Plus terval da dotaska dega I( ) I( ) ;, Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 101

Defs 110 Hmpua matrks berukura m dega eleme-eleme dalam I( ) dotaska dega I( ) m yatu m I( ) A = [A j ] A j I( ) ; = 1, 2,, m, j = 1, 2,, Matrks aggota I( ) m dsebut matrks terval Max-Plus Selajutya matrks terval Max-Plus cukup dsebut dega matrks terval Defs 111 Struktur aljabar dar I( ) yag dlegkap dega operas da dotaska dega ( ) ( ) I I ;, merupaka dod (semrg yag dempote), sedagka merupaka semmodul atas ( ) I( ) m I Defs 112 Utuk A ( ) m I ddefska matrks m A = [A ] da j m A = [A j ] masg-masg dsebut matrks batas bawah da matrks batas atas dar matrks terval A Defs 113 Dberka matrks terval A ( ) m I, dega A da A masg-masg adalah matrks batas bawah da matrks batas atas dar matrks A m Ddefska terval matrks dar A yatu [A, A] { A A A A } da ( m ) b= {[A, A] A ( ) m I I } m m Defs 114 m 1 Utuk α I( ), [A, A], [B, B] I( ) b ddefska α [A, A] = [α A, α A] [A, A] [B, B] = [A B, A B] m k k 2 Utuk [A, A] I( ) b, [B, B] I( ) b ddefska [A, A] [B, B] = [A B, A B] Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 102

Teorema 115 [9] Struktur aljabar dar I( ) b yag dlegkap dega operas da dotaska dega ( ) b ( I I ) b;, merupaka dod (semrg m yag dempote), sedagka I( ) b merupaka semmodul atas I( ) Semrg ( ) ( ) I I ;, somorfs dega semrg b I b dega pemetaa : ( ) f I I( ) ( ) ;, f(a) = [ A, A ], A ( ) I( ) I Sedagka semmodul I( ) m atas I( ) m somorfs dega semmodul I( ) b atas I( ) Dega demka utuk setap matrks terval A selalu dapat dtetuka terval matrks [ A, A ] da sebalkya utuk * setap terval matrks [ A, A ] I( ) b dega A, A dapat dtetuka matrks terval A I( ) dmaa [ A j, A j ] I( ) utuk setap da j Dega demka matrks terval A I( ) m dapat dpadag sebaga terval m matrks [A, A] I( ) b Iterval matrks [A, A] I( ) b dsebut terval matrks yag bersesuaa dega matrks terval A I( ) da dlambagka dega A [A, A] Akbat somorfsme d atas maka berlaku α A [α A, α A], A B [A B, A B] da A B [A B, A B] Defs 116 Ddefska T 1 2 Hmpua I( ) I( ) x = [x, x,, x ] x I( ) ; = 1, 2,, dapat dpadag sebaga atas 1 Usur-usur dalam I( ) dsebut vektor terval I( ) I( ) Vektor terval x bersesuaa dega terval vektor yatu x [x, x] Defs 117 Dberka A I( ) Skalar terval λ I( ) dsebut la ege Max-Plus terval matrks terval A jka terdapat suatu vektor terval v I( ) dega v ε 1sehgga A v =λ v Vektor v dsebut vektor ege Max-Plus terval matrks terval A yag bersesuaa dega λ Berkut dberka suatu teorema yag memberka eksstes la ege terval Max-Plus suatu matrks terval Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 103

Teorema 118 [9] Dberka A I( ) dega A [ A, A ] Skalar terval (A) = [ (A), (A) ], merupaka suatu la ege Max-Plus terval matrks terval A, dmaa (A) da (A) berturut-turut adalah bobot rata-rata maksmum srkut elemeter dalam G (A) da G (A) Defs 119 Suatu matrks terval A I( ) dega A [ A, A ], dkataka tak terreduks jka setap matrks A [ A, A ] tak terreduks Teorema 120 [9] Suatu matrks terval A I( ), dega A [ A, A ], tak terreduks jka da haya A tak terreduks Akbat 121 [9] Dberka A I( ), dega A [ A, A ] Jka matrks terval A tak terreduks maka (A) = [ (A), (A) ] merupaka la ege terval Max-Plus tuggal matrks terval A PEMBAHASAN Msalka x( k 1) A x( k) yatu sstem persamaa dalam aljabar Max-Plus terval Aka dbahas hasl peelta yatu tetag la ege da vektor ege matrks terval terreduks reguler Pembahasa berkata dega perlaku perodk dar suatu sstem persamaa dalam aljabar Max-Plus terval, sedagka perlaku perodk dar suatu sstem persamaa berkata dega vektor terval waktu skel T Defs 21 Dberka barsa x(k) = [x 1( k), x 2( k),, x ( k)] I( ) k, hmpua blaga asl yatu barsa yag dbagktka oleh x( k 1) A x( k) x j ( k) x j x j sehgga utuk x j ( k) [ x j, x j ], j 1, 2,,,, da bahwa k k k x ( ) τ j lm j k k k ada Vektor τ [τ 1, τ 2,, τ ] T dsebut vektor terval waktu skel Jka semua τ sama maka terval dsebut laju pertumbuha asmtotk barsa vektor terval x( k ) Msalka x(k) I( ) k barsa yag dbagktka oleh sstem x( k 1) A x( k), dega A ( ) I da x(0) I( ) sebaga la awal k Barsa x( k ) dapat dtuls x( k) A x(0) Jka A matrks terval tak terreduks, laju pertumbuha asmtotk sebarag x ( ) terval yag tuggal dar A Selajutya, utuk j k, j 1, 2,, merupaka la ege I tak terreduks dega A ( ) Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 104

la ege terval λ da vektor ege terval v, maka la ege terval dar A adalah λ k da vektor ege tervalya adalah v I dyataka dalam lema berkut Lema 22 Jka v ege vektor terval dar matrks tak terreduks k k la ege terval λ maka A v λ v utuk semua k 0 Bukt : Dperhatka bahwa utuk 0 berlaku : A (λ v) (A λ ) v (λ A) v λ (A v) λ (λ v) ( 1) λ v Selajutya, bukt lema dlakuka dega duks matematka 1 1 Utuk k = 1, A v λ v A v λ v ( 1) ( 1) Daggap bear utuk k = 1, yatu Utuk k =, A v λ v k I dega A ( ) λ v ( 1) A (λ v) λ ( 1) v A (A v) ( 1) (A A ) v λ v A v λ v k k Dar, da terbukt, A v λ v utuk semua k 0 k k k Dar lema 22, yatu A v λ v da dar x( k) A x (0), jka k x (0) dplh v suatu vektor ege terval maka x ( k) A x(0) k k x( k) A v x( k) λ v Dega megguaka operas d dalam aljabar kovesoal bahwa, jka λ [λ, λ,, λ] T maka x( k) k λ v x( k) v k λ x( k) v [ kλ, kλ,, kλ] T x j( k) v j sehgga berlaku lm λ atau k k k x j ( k) lm λ utuk j 1, 2,, Oleh karea tu, jka x(0) = v yag merupaka k k vektor ege terval maka laju pertumbuha asmtotk dar x(k) adalah la ege terval yag bersesuaa dega vektor ege terval v dar matrks terval A Selajutya, bagamaa jka barsa x(k) dberka la awal sela vektor ege terval dar A Utuk pembcaraa, dperluka orma l yag dmodfkas utuk vektor terval v I( ) da beberapa lema Defs 23 Utuk = 1, berart v = [v, v] I( ) Ddefska v - v, utuk v v v v utuk v = v = v Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 105

Lema 24 Msalka v = [v, v] I( ) maka v yag ddefska pada defs 23 merupaka orma dar v I( ) Bukt : Ambl v = [v, v], w = [w, w] I( ) da a Jka v = [v, v] dega v v maka v = [ v, v] v v (v v) [v, v] v b Jka v = [v, v] dega v = v = v maka v = [ v, v] v v v Jad v = v a Jka v = [v, v], w = [w, w] I( ) dega v v da w w maka v+w = [v, v] [w, w] [v w, v w] v w (v w) (v v) (w w) v + w b Jka v = [v, v], w = [w, w] I( ) dega v = v v da w = w w maka v+w = [v, v] [w, w] [v w, v w] v+w v w v + w c Jka v = [v, v], w = [w, w] I( ) dega v v da w = w w maka v+w = [v, v] [w, w] [v w, v w] v w (v w) Jad, v+w v + w v v v + w v, v I( ) da v 0 v = 0 = [0,0] Selajutya utuk 2, dsajka defs da lema berkut v 0 Defs 25 Utuk setap vektor terval v I( ), v = [v 1, v 2,, v ] T dega v = [ v, v ], = 1, 2,, ddefska vv, jka 1, 2,, v v 1, 2,, v v, jka 1, 2,, v = v 1, 2,, Lema 26 Msalka vektor terval v I( ), v = [v 1, v 2,, v ] T dega v = [ v, v ], = 1, 2,, maka v yag ddefska pada defs 25 merupaka orma dar v I( ) Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 106

Bukt : Ambl v, w I( ) da dega v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T da w = [ [ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ] ] T a Utuk v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v Berart, T 1 1 2 2 1 1 2 2 v = [ [ v, v ], [ v, v ],, [ v, v ] ] = [ [ v, v ], [ v, v ],,[ v, v ] ] sehgga, v = v v 1,2,, v v 1,2,, v v v 1,2,, b Utuk v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v Berart, T 1 1 2 2 1 1 2 2 v = [ [ v, v ], [ v, v ],, [ v, v ] ] = [ [ v, v ], [ v, v ],,[ v, v ] ] sehgga, v = v v 1,2,, 1,2,, v v 1,2,, Jad v = v a Utuk v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v da da w = [ [ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ] ] T dmaa {1, 2,, } w w Berart, v + w = [[ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T + [[ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ]] T = [[ v 1 w 1, v 1 w 1], [ v 2 w 2, v 2 w 2],,[ v w, v w ]] T sehgga, v+w = ( v w) ( v w) 1,2,, = ( v v) ( w w) 1,2,, v v + w w v + w 1,2,, 1,2,, b Utuk v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v da da w = [ [ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ] ] T dmaa {1, 2,, } w w Berart, v + w = [[ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T + [[ w, w ], [ w, w ],,[ w, w ]] T sehgga, 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 = [[ v w, v w ], [ v w, v w ],,[ v w, v w ]] T v+w = v w 1,2,, v w v 1,2,, 1,2,, v + w c Utuk v = [ [ v, v1 ], [ v ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v da 1 2 T T Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 107

da w = [ [ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ] ] T dmaa {1, 2,, } w w Berart, v + w = [[ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T + [[ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ]] T = [[ v 1 w 1, v 1 w 1], [ v 2 w 2, v 2 w 2],,[ v w, v w ]] T sehgga, v+w = ( v w) ( v w) 1,2,, Jad, v+w v + w = ( v v) ( w w) 1,2,, v v v 1,2,, v + w v 0, v I ( ) T da v 0 v = [ [0,0],[0,0],, [0,0]] Oleh karea tu, v yag ddefska pada defs 23 da defs 25 merupaka orma dar v I( ) Defs 27 Suatu matrks terval A I( ) dega A [ A, A ], dkataka regular jka utuk setap matrks A [A, A] regular Lema 28 Matrks terval A I( ) dega A [A, A] dkataka regular jka da haya jka A regular Bukt : ( ) Meurut defs 27, karea A [A, A] maka A regular ( ) Dketahu A regular, berart memuat palg sedkt satu usur yag tdak sama dega dalam setap bars Ambl A [ A, A ] sebarag berart A m A Oleh karea tu, A memuat palg sedkt satu usur yag tdak sama dega dalam setap bars Dega kata la A reguler Karea A sebarag maka setap matrks A [ A, A ] regular Lema 29 Jka A I( ) m matrks regular da u, v I( ) m dega A [A, A], u [u, u] da v [v, v] maka (A u) (A v) u v Bukt : Msalka A A u da A v vektor terval berhgga dalam I( ) m dega u [A u, A u] da A v [A v, A v] Bukt dberka utuk kasus jka {1,2,, } (A u) (A u) da (A v) (A v), sedagka utuk kasus jka {1,2,, } (A u) (A u) da (A v) (A v) sejala bukt Teorema 14 ddefska β = (A u) (A v) Berart bahwa, ada 0 1, 2,, m sehgga β (A u) (A v) (A u) (A v) 0 0 Oleh Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 108

karea tu, 0 adalah deks dar eleme dalam 0 (A u) (A v) (A u) (A v) 0 dega la mutlak maksmum Tapa kehlaga keumuma msalka bahwa β (A u ) (A v ) (A u ) (A v ) 0 Meurut perkala matrk 0 0 dalam aljabar Max-Plus, berart β 0 0 (( a j u j ) ( a j v j )) 1, 2,, 1, 2,, (( a 0j u j ) ( a 0j v j )) j l Oleh karea tu, ada suatu 0 j 1, 2,, β = (( a0 j u 0 j0 ) ( a0 j0 v j0 )) (( a0 j u 0 j0 ) ( a0 j0 v j0 )) ( u v ) ( u v ) j0 j0 j0 j0 I megakbatka bahwa, sehgga, (( a ) ( )) 1, 2,, 0j u j a 0j v j l (( a u ) ( a v )) 0 j0 j0 0 j0 j0 β ( uj0 vj0) ( uj v 0 j0 ) ( u j v j) ( u j v j) j 1, 2,, ( u j v j) ( u j v j) u v j 1, 2,, Terbukt, (A u) (A v) u v Dalam teorema berkutya, dpadag x(0) tdak perlu merupaka vektor ege terval dar A Notas x( k, x(0)) meyataka vektor terval x( k) dmula dega x(0) Lema 210 Dberka sstem x( k 1) A x( k) utuk k 0, A ( ) I reguler x( k, x(0)) da la awal x(0) Jka x(0) megakbatka lm ada maka la lmt k sama utuk sebarag la awal y(0) I( ) Bukt : Msalka bahwa, x(0) I( ) da k Oleh karea tu, utuk sebarag y(0) I( ) dperoleh, x( k, x(0)) lm τ dega τ I( ) k k x( k, y(0)) x( k, x(0)) 1 k k 1 0 (A y(0)) (A x(0)) y(0) x(0) k k k k 1 x( k, y(0)) x( k, x(0)) Utuk k maka y(0) x(0) 0 da 0 k k k x( k, y(0)) Akbatya lm τ k k Meurut teorema, utuk suatu matrks terval regular jka vektor waktu skel ada maka vektor tdak tergatug dar la awal Selajutya, utuk suatu matrks tak terreduks A, lema berkut mejam eksstes vektor waktu skelya Meurut lema Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 109

210 da lema 22, bahwa semua kompoe vektor waktu skelya adalah λ utuk sebarag la awal Lema 211 Dberka sstem x( k 1) A x( k) utuk k 0, A ( ) I tak terreduks dega v vektor ege terval yag bersesuaa dega la ege λ I( ) x j ( k, x(0)) maka lm λ utuk semua j1, 2,, da x(0) I( ) k k Bukt : Msalka v suatu vektor ege dar matrks terval A Jka dplh x(0) v I( ) x j ( k, x(0)) dperoleh lm λ utuk semua j Karea A tak k k terreduks maka A reguler da v berhgga Meurut lema 210, vektor waktu skel ada da tdak tergatug dar x(0) Dega kata la semua kompoe vektor waktu skelya adalah λ utuk sebarag la awal Berdasarka uraa sebelumya, eksstes la ege terval da vektor ege terval utuk matrks terval terreduks dberka oleh teorema berkut : Teorema 212 Jka utuk sebarag la awal x(0) [ε, ε,, ε] T sstem x( k 1) A x( k) memeuh x( m) c x( ) utuk blaga bulat m 0 da terval c maka x( k) lm k k [λ, λ,, λ] T dega λ c m Selajutya, λ adalah suatu la ege terval dar matrks A dega vektor ege dberka oleh m 1 ( m1) v (λ x( 1)) Bukt : Dketahu bahwa utuk sebarag la awal x(0) [ε, ε,, ε] T sstem x( k 1) A x( k) memeuh x( m) c x( ) utuk blaga bulat m 0 da terval c Msalka l = m, sehgga x( k) x( l) lm lm k k l c x( ) lm l c x( ) lm lm l l c x( ) lm lm l l c 0 l x( k) vektor waktu skelya adalah lm [λ, λ,, λ] T k k c 0 m Jad jka λ c m maka Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 110

Selajutya, jka m 1 ( m1) v (λ x( 1)) maka m ( m1) A v A (λ x( 1) 1 m 1 ( m1) (A (λ x( 1))) m 1 ( m1) (λ (A x( 1))) m 1 ( m1) (λ (x( )) m1 2 ( m1) (λ x( 1)) m1 ( m) λ (λ x( 1)) 2 m ( m) λ (λ x( 1)) 1 λ v Berdasarka teorema, berkut adalah lagkah-lagkah yag dguaka utuk meetuka la ege da vektor ege dar matrks A ( ) I dlakuka secara berulag dar sstem x( k 1) A x( k) sebaga berkut : Ambl sebarag vektor x(0) [ε, ε,, ε] T Lakuka teras sstem x( k 1) A x( k) sampa terdapat blaga bulat m > 0 da terval sehgga perlaku perodk terjad yatu x( m) c x( ) c Htug la ege λ m m ( m1) Vektor ege v (λ x( 1)) 1 KESIMPULAN Dar hasl pembahasa dapat dsmpulka bahwa : Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 111

a Matrks terval terreduks regular A mempuya la ege terval da vektor ege terval jka vektor terval waktu skelya merupaka laju pertumbuha asmtotk barsa x( k ) dar sstem persamaa lear x( k 1) A x( k) b Batas bawah da batas atas la ege terval tersebut berturut-turut adalah la ege Max-Plus matrks batas bawah da la ege Max-Plus matrks batas atas dar matrks tervalya c Batas bawah da batas atas vektor ege terval tersebut berturut-turut adalah vektor ege matrks batas bawah da vektor ege matrks batas atas dar matrks tervalya DAFTAR PUSTAKA [1] Aka, M, Cohe, G, Gaubert, S, Quadrat, J P, ad Vot, M 1994 Max-Plus Algebra ad Applcatos to System Theory ad Optmal Cotrol Proceedgs of the Iteratoal Cogress of Mathematcas Zurch, Swtzerlad [2] Bacell, F, Cohe, G, Olsder, G J, Quadrat, J P 2001 Sychrozato ad Learty, New York : Joh Wley & Sos [3] Butkovc, P, Tam K P, 2009 O Some Propertes of The Image of a Max Lear Mappg Cotemporary Mathematcs Volume 495 [4] Farlow, K G 2009 Max-Plus Algebra Master's Thess submtted to the Faculty of the Vrga Polytechc Isttute ad State Uversty partal fulfllmet of the requremets for the degree of Masters Mathematcs [5] Kogsberg Z R 2009 A Geeralzed Egemode Algorthm for Reducble Regular Matrces over the Max-Plus Algebra Iteratoal Mathematcal Forum, 4 24 1157 1171 [6] Rudhto, Ady 2011 Aljabar Max-Plus Blaga Kabur da Peerapaya pada Masalah Pejadwala da Jarga Atra Dsertas : Program Stud S3 Matematka FMIPA UGM Yogyakarta [7] Schutter, B D 1996 Max Algebrac System Theory for Dscrete Evet Systems PhD Thess, Katholke Uverstet Leuve, Departemet Elektrotechek [8] Sswato 2012 Nla Ege da Vektor Ege suatu Matrks Terreduks dalam Aljabar Max-Plus Prosdg Semar Nasoal Aljabar 2012 Jurusa Matematka UNDIP 152 161 [9] Suboo 2000 O Classes of M-Max-Plus Systems ad Ther Applcatos, Publshed by Delf Uversty Press [10] Tam K P 2010 Optmzg ad Approxmatg Egevectors I Max-Algebra A thess Submtted to the Uversty of Brmgham for The Degree of Doctor of Phlosophy (PHD) Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 112