BAB II TINJAUAN PUSTAKA

4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi, lemma, dan teorema yang berkaitan dengan pembahasan. 2.1. Teori Grup Definisi 2.1. Struktur aljabar grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: tertutup terhadap operasi biner disebut a) Operasi biner bersifat asosiatif: a bc a b c, untuk setiap a, b, c G. b) Terdapat unsur identitas e G, untuk * pada G sehingga berlaku a e e a a untuk setiap a G. 1 c) Untuk setiap a G ada unsur a G sehingga disebut invers a terhadap operasi *). 1 1 a a a a e. ( a -1 Grup G disebut grup komutatif atau grup abelian jika operasi * bersifat komutatif yaitu: a b b a, untuk semua a, b G. Grup berhingga yaitu grup yang kardinalitasnya berhingga. Dalam hal ini kardinalitas suatu grup G disebut dengan order dari G, dinotasikan ord G O G atau G. Definisi 2.2. Jika H himpunan bagian atas grup G adalah grup di bawah operasi G, maka H subgrup dari G. Teorema 2.3. (Uji satu langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian yang tak kosong atas G. Maka H adalah subgrup atas G jika H tertutup di bawah operasi pembagian; yaitu jika bilamana atau

Teorema 2.4. (Uji dua langkah) Misalkan G grup dan H himpunan bagian tak kosong atas G. Maka, H disebut subgrup dari G jika bilamana (tertutup terhadap perkalian), dan bilamana (tertutup terhadap invers) Sebagai contoh, Z dan Q merupakan subgrup dari R terhadap operasi +. Tentu saja Z Q R dan masing-masing merupakan grup terhadap operasi yang sama yaitu +. Misal G sembarang grup, a G, dan n bilangan bulat positif, maka: a n : aa... a, n kali n 1 1 1 a : a a... a, dan = (a n ) -1 a 0 : n kali e. Jika ada bilangan bulat tidak nol m sedemikian sehingga dari unsur a, notasi sedemikian sehingga m a 5 e, maka order Oa, didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n n a e. Jika tidak ada bilangan bulat tidak nol n sedemikian n sehingga a e, maka dikatakan a mempunyai order di tak hingga (infinity). Ringkasan 2.5. Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order. 1. Jika Oa n, maka ada tepat n kuasa dari a (power of a) yang masingmasing berbeda, yaitu 0 2 n a e, a, a,..., a 1. 2. Jika Oa tak hingga, maka semua kuasa dari a berbeda. Artinya, jika r dan s yaitu dua bilangan bulat yang berbeda, maka a r a s. 3. Misalkan a yaitu unsur dari grup G dan Oa n. Maka t a e jika dan hanya jika t yaitu kelipatan dari n (t kelipatan n artinya ada bilangan bulat q sehingga t=nq). Definisi 2.6. Misalkan H subgrup dari grup G. Himpunan bagian atas G disebut koset kiri atas H memuat. Sedangkan himpunan bagian atas G disebut koset kanan atas H memuat.

Teorema 2.7. (Teorema Lagrange) Misalkan H subgrup dari grup berhingga G. Maka order dari H adalah pembagi dari order G. Teorema 2.8. Order dari unsur grup berhingga G membagi order G. Jika H merupakan subgrup dari grup G, indeks dari H di dalam G diartikan sebagai jumlah koset dari H di dalam G, notasinya G : H. 6 sedangkang : H G H 2.2. Grup Siklik Grup G disebut siklik jika dan hanya jika ada unsur a G generator) sehingga n G a a n Z. Dalam kasus G grup aditif, dapat ditulis G a na n Z. (a disebut Ringkasan 2.9. (Sifat-sifat Grup Siklik) 1. Jika grup G berorder n, maka G siklik jika dan hanya jika ada a G sehingga Oa n. 2. Setiap grup siklik yaitu abelian. 3. Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik. 4. Jika G a dan b G, maka O b O a. 5. Jika G yaitu grup siklik berorder n dan suatu bilangan bulat k n, maka ada b G sehingga Ob k. 6. Misalkan G yaitu grup abelian berorder mn dengan m dan n prima relatif. Jika G mempunyai suatu unsur a dengan Oa m dan b dengan Ob n, maka G yaitu grup siklik dengan G ab. 7. r a yaitu generator dari G a dengan G n prima relatif. jika dan hanya jika r dan n 2.3. Grup Homomorfisme dan Isomorphisme

Misal G dan H grup. Suatu homomorfisma (grup) dari G ke H yaitu suatu fungsi f : G H sedemikian sehingga untuk sembarang a dan b di dalam G, f a f b f ab. Bayangan (Imej) dari f, dinotasikan Im f, yaitu Kernel dari f, dinotasikan ker f, yaitu Im f f G f x x G. ker f x G f x e (secara implisit e yaitu unsur identitas dari f). Sifat-sifat dasar homomorfisma dinyatakan dalam Ringkasan berikut ini. Ringkasan 2.10. (Sifat-sifat Dasar Homomorfisma) Misalkan G dan H yaitu grup, f : G H 1. f e e. homomorfisma, maka sifat-sifat berikut dipenuhi. 2. untuk setiap a G. 3. Im f merupakan subgrup dari H. 4. ker f merupakan subgrup dari G. 7 Jika homomorfisme yang bijektif, maka f disebut isomorfisme. 2.4. Ring Struktur aljabar dengan dua operasi biner yang paling umum yaitu Ring. Definisi 2.11. Ring R adalah himpunan dengan dua operasi + dan x (disebut dengan penjumlahan dan perkalian) yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: a. R, adalah grup abelian b. Operasi adalah asosiatif : untuk setiap a, b, c R. c. Berlaku hukum distributif atas R : Untuk setiap a, b, c R memenuhi dan

Ring R disebut komutatif jika perkaliannya bersifat komutatif. Ring R disebut mempunyai unsur kesatuan jika terdapat unsur dengan 8 Definisi 2.12. Unsur bukan nol dari Ring komutatif R disebut pembagi nol jika ada unsur bukan nol sehingga Definisi 2.13. Ring komutatif dengan unsur kesatuan disebut daerah integral jika tidak memuat pembagi nol Definisi 2.14. Karakteristik Ring R adalah sekurang-kurangnya integer positif sehingga untuk setiap. Jika tidak ada, R disebut berkarakteristik 0. Teorema 2.15. Karakteristik daerah integral adalah 0 atau prima. Teorema 2.16. Di dalam sembarang Daerah Integral D dengan karakteristik p, p p p a b a b untuk semua unsur, a b D. Definisi 2.17. Field adalah suatu Ring komutatif, ada unsur kesatuan 1 dan setiap unsur tak nolnya mempunyai invers (multiplikatif) Teorema 2.18. Daerah integral yang berhingga adalah field. Akibat 2.19. Untuk setiap bilangan prima p, Ring Z p integer modulo p, adalah field Definisi 2.20. SubRing A dari Ring R disebut ideal dari R jika untuk setiap dan setiap, dan. Teorema 2.21. Misal R Ring, I R, I tidak kosong. Himpunan bagian I disebut ideal jika memenuhi: a. b. dan dan. Untuk setiap Ring R, {0} dan R adalah ideal atas R. Ideal {0} disebut ideal trivial. Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan. Suatu himpunan dibangun oleh. merupakan ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama yang

Definisi 2.22. Suatu ideal I atas Ring komutatif R disebut ideal prima atas R jika dan sehingga dan. Suatu ideal B atas Ring komutatif R 9 disebut ideal maksimal atas R jika B adalah ideal atas R dan maka B = A atau B = R. Misalkan Ring R dan I merupakan ideal dari R. Karena R merupakan grup terhadap penjumlahan dan I subgrup dari R, maka Ring faktor dapat ditulis sebagai. Teorema 2.23. Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. I ideal maksimal dari R. Maka R adalah field jika dan hanya jika I ideal maksimal. I Definisi 2.24. Suatu homomorfisma dari Ring R ke Ring ' R yaitu suatu fungsi f : R R ' yang memenuhi, berlaku : a. f a b f a f b, dan b. f ab f a f b. Jika f surjektif, maka Kernel dari f didefinisikan dan range dari f didefinisikan ' R disebut bayangan homomorfik dari R. f x R f x ker 0, ran f f x x R. Jika f homomorfisma yang bijektif, maka f disebut isomorfisma. Dalam hal ini R dan ' R dikatakan isomorfik, dinotasikan Teorema 2.25. Misal f x R f x f : R R ker 0 merupakan ideal dari R. ' Ring homomorfisma. Maka Teorema 2.26. R I merupakan bayangan homomorfik dari R. Teorema 2.27. (Teorema dasar homomorfisme) Misalkan ' f : R R merupakan epimorfisme, dan misalkan K yaitu kernel dari f. Maka.

10 2.5. Ring Polinomial Misalkan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan, dan x simbol yang tak tetap. Setiap ekspresi berbentuk disebut polinomial dalam x dengan. Polinomial dalam x dapat ditulis dengan dan lain-lain. Misal merupakan sembarang polinomial, derajat dari polinomial yaitu bilangan terbesar n sehingga koefisien dari bukan nol dan dinotasikan dengan deg. Polinomial yang semua koefisiennya nol disebut polinomial nol, dan dinotasikan dengan Jika polinomial maka berderajat nol dan disebut polinomial konstan. Misalkan dan perkalian polinomial didefinisikan sebagai berikut :. Operasi penjumlahan dan Dimana Dimana, Jika R Ring, maka, untuk k = 0,, m+n menotasikan himpunan semua polinomial dalam x yang koefisiennya ada di R dengan operasi penjumlahan dan perkalian seperti yang didefinisikan sebelumnya. Teorema 2.28. Misal R Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Maka R[x] merupakan Ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Teorema 2.29. Jika R adalah daerah integral, maka R[x] adalah daerah integral.

11 Definisi 2.30. Suatu polinomial irredusibel atas F bila f(x) tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dimana keduanya berderajat lebih rendah dari f(x). Teorema 2.31. Misal F field dan Ring polinomial F x. Jika f x, g ( x) F x dengan g x 0, maka ada polinomial unik q x, r ( x) F x sehingga f ( x) q x g x r x dengan r x 0 atau derajat r x derajat g x. Teorema 2.32. Misal F field, I ideal tak nol di F[x], dan unsur jika dan hanya jika Ideal merupakan polinomial tak nol berderajat terendah di I. merupakan ideal utama Teorema 2.33. Semua ideal dari. Teorema 2.34. Misal F field dan hanya jika ideal maksimal jika dan irredusibel atas F. Teorema 2.35. ideal maksimal jika dan hanya jika field. 2.6. Perluasan Field Definisi 2.36. Jika E field yang memuat subfield F, maka E disebut perluasan field dari F. Definisi 2.37. Misal E perluasan field dari field F dan c E. c disebut algebraic atas F jika f c 0 untuk f x F x yang tak nol. F E c Gambar 1. Perluasan Field F Definisi 2.38. Misal E perluasan field dari field F dan c E algebraic atas F. Polinomial monik p x merupakan polinomial irredusibel dengan akar c atas F

dinotasikan dengan irr c, F c atas F dinotasikan dengan deg c, F 12 dan derajat dari polinomial irredusibel dengan akar Teorema 2.39. Misal F subfield dari field E, c E dan x tak tentu (indeterminate). Pemetaan : c F x E yang didefinisikan dengan n c f x f c dimana f x a0 a1 x... anx, f x F x homomorfisma. Homomorfisma c x c serta c c a a, a F. Kernel atas homomorfisma merupakan disebut homomorfisma evaluasi dan berlaku merupakan himpunan semua polinomial sehingga. Jadi, kernel berisi semua polinomial sehingga c merupakan akar dari. Misalkan kernel dinotasikan sebagai, menurut Teorema 2.25 kernel untuk setiap homomorfisma merupakan ideal, sehingga merupakan ideal dari F[x]. Menurut Teorema 2.33 setiap ideal dari F[x] merupakan ideal utama. Karena merupakan ideal utama dan berdasarkan Teorema 2.32,, dengan polinomial berderajat terendah. Dengan Definisi 2.30 mudah untuk membuktikan bahwa merupakan polinomial irredusibel. Misalkan Sehingga, dimana. Hal ini tidaklah mungkin, karena merupakan polinomial berderajat terendah di dalam. Sehingga merupakan polinomial berderajat lebih tinggi dari Maka menurut Definisi 2.30, merupakan polinomial irredusibel. Karena setiap konstanta pengali dari ada di maka monik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa merupakan polinomial minimum dari c atas F. Lalu bagaimana dengan Range dari?

13 Range Dari penjelasan di atas diperoleh merupakan epimorfisme, dengan polinomial irredusibel. Dengan menggunakan Teorema dasar homomorfisme, maka polinomial irredusibel maka. Menurut Teorema 2.34, jika merupakan ideal maksimal. Dan berdasarkan Teorema 2.35 dapat disimpulkan bahwa merupakan field. Karena maka juga merupakan field. Teorema 2.40. Misal F field dan p x polinomial tak konstan di F x. Ada suatu perluasan field E dari F dan unsur c di E sehingga c akar dari p x. Definisi 2.41 V himpunan, F field, operasi di V yaitu penjumlahan dan perkalian skalar. V disebut ruang vektor atas F jika memenuhi aksioma berikut: 1. Untuk setiap a, b V terdapat tunggal c V sehingga tertutup terhadap penjumlahan: a b c. 2. Untuk setiap a, b, c V a b c a b c. bersifat asosiatif: 3. Terdapat tunggal identitas 0V, untuk setiap a V a 0 0 a a. 4. Untuk setiap a V terdapat tunggal invers b V a b b a 0, b a. 5. Untuk setiap a, b V bersifat komutatif: a b b a. 6. Untuk setiap k F dan setiap a V terdapat tunggal b V tertutup terhadap perkalian: ka b. 7. Untuk setiap k F dan setiap a, b V k a b ka kb. 8. Untuk setiap k, l F dan setiap a V 9. Untuk setiap k, l F dan setiap a V, k l a ka la.,., kl a k la sehingga sehingga sehingga

14 10. Untuk setiap a V, 1a a ; 1 unsur identitas di F,. Definisi 2.42. Misal E perluasan field dari field F. Jika E ruang vektor atas F berdimensi hingga n, maka E disebut perluasan hingga berderajat n atas F. Derajat E atas F sama dengan n dinotasikan E : F n. Definisi 2.43. Jika field E dibangun oleh unsur satu c atas field F: E F c, maka E disebut perluasan tunggal dari F dan unsur c disebut unsur primitif atau akar primitif untuk perluasan. Teorema 2.44. Misal E F c deg c, F dengan c E algebraic atas F, dan n, n 1. Setiap unsur dari E F c dalam bentuk b b c... b c, dimana b F x. 1 n1 0 1 n1 i dapat dinyatakan secara unik Teorema 2.45. Derajat dari atas F sama dengan derajat dari polinomial minimum dari c atas F. Sebagai contoh, i merupakan akar dari polinomial irredusibel atas R[x]. mempunyai derajat 2, menurut Teorema 2.44, dengan basisnya {1, i}. Setiap unsur dalam R[i] merupakan kombinasi linear dari 1 dan i yang berbentuk dimana dan dinotasikan dengan. Teorema 2.46. Misalkan merupakan polinomial irredusibel berderajat m, maka adalah finite field berderajat. Operasi penjumlahan polinomial dan operasi perkalian polinomial dilakukan dalam modulo. Teorema 2.47. Misal E perluasan field dari field F dan c E algebraic atas F. Jika deg c, F 1,,..., 2 n 1 c c c. n, maka F c ruang vektor atas F berdimensi-n dengan basis

15 Lemma 2.48. Misal basis dari ruang vektor K atas F dan basis dari ruang vektor E atas K. Maka himpunan perkalian merupakan basis dari ruang vektor E atas field F.