LAMPIRAN A PENURUNAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES Hubungan n akan dawal dar gaya yang beraks pada massa fluda. Gaya-gaya n dapat dbag ke dalam gaya bod, gaya permukaan, dan gaya nersa. a. Gaya Bod Gaya bod sembang terhadap massa fluda dan terdstrbus seluruhnya pada massa fluda, contohnya medan gaya gravtas, yatu gaya bod yang merupakan gaya yang dbutuhkan untuk mempercepat massa partkel fluda. Msal G merupakan gaya per satuan massa sehngga G adalah gaya per satuan volume, kemudan hukum gerak Newton menyatakan gaya bod beraks pada setap elemen d arah-x, -y, -z: G x dx dy dz G y dx dy dz G z dx dy dz. (A.1) b. Gaya Permukaan Gaya permukaan sembang terhadap luas area fluda dan terdapat pada elemen area dengan mengellng seluruh kontak langsung. Gaya permukaan dapat dbag ke dalam normal dan tangensal komponen pada permukaan. Tegangan permukaan beraks pada satu ttk ddefnskan sebaga tegangan tensor. Jka df merupakan gaya yang beraks pada suatu permukaan da, defns skalar dar tegangan normal dan geser masng-masng adalah df normal da normal df geser geser. (A.) da 56
57 xx x xx dx yx zx zx z y yx dz dy yx zx z zx dz xx dx xx x yx dy y Gambar A.1. Volume elemen fluda. c. Gaya Inersa Gaya nersa ddapat dar percepatan elemen fluda dan drumuskan sebaga penurunan Du /Dt. Penurunan tersebut menggambarkan perubahan kecepatan sebaga pergerakan elemen pada ruang. Kecepatan u berada pada komponen-x. Jka u = f (x, y, z, t), perubahan u terhadap waktu dt adalah u u u u Du dt dx dy dz. (A.3) t x y z Jka dt 0» dx/dt = u, dy/dt = v dan dz/dt = w. Jka (A.3) kemudan dbag dengan dt maka menjad u u u u Du u v w t x y z. (A.4) Gaya dbutuhkan untuk mempercepat elemen pada arah-x menjad Du dx dy dz (A.5) Dt dmana akan membentuk persamaan yang sama pada arah lan.
58 d. Persamaan Momentum Persamaan momentum dalam bentuk dferensal drumuskan pada tegangan tensor yang berasal dar penerapan hukum gerak Newton pada partkel kecl fluda. Beranggapan bahwa partkel fluda pada waktu t mempunya bentuk kubus dengan ss dx, dy, dan dz berpusat pada (x, y, z). Jka komponen tegangan tensor dtanda pada pusat kubus, kemudan komponen pada muka-x postf dar kubus akan menjad dx. (A.6) x dan pada muka-x negatf dx. (A.7) x Tegangan yang beraks d arah-x pada muka d belakangnya dapat drumuskan sama dengan persamaan d atas. Resultan komponen-x dar gaya yang beraks pada kubus dapat dhtung dengan mengalkan tegangan dengan areanya dmana tegangan tersebut beraks dan kemudan dtambahkan masng-masng dar setap area: x y z xx yz zz dx dy dz. (A.8) Msal G merupakan gaya per satuan massa sehngga G adalah gaya per satuan volume, sepert yang dtunjukkan pada (A.1), kemudan hukum gerak Newton menyatakan persamaan momentum d arah-x sebaga massa dkalkan percepatan sama dengan gaya permukaan dtambah gaya bod yang beraks pada elemen: Du x xx yz zz dx dy dz dx dy dz dx dy dz Gx. (A.9) Dt x y z
59 Kemudan persamaan dbag dengan (dx dy dz) persamaan momentum menjad: Du Dt G x. (A.10) e. Persamaan Penyusun Persamaan penyusun merupakan hubungan antara tegangan dan regangan dar materal. Jka materalnya adalah fluda, sfat utamanya adalah bahwa fluda terdeformas secara terus menerus sepanjang tegangan geser yang dberkan pada fluda tersebut, sekalpun jka tegangan gesernya konstan. Hal n berart bahwa tdak terdapat hubungan tunggal antara tegangan geser dan regangan geser. D lan hal tegangan geser cenderung tergantung pada nla regangan yang berubah. Hal n menunjukkan bahwa banyak fluda yang mungkn dlakukan pendekatan dengan model Newtonan. Model Newtonan menggunakan asums bahwa tegangan geser lner terhadap bla regangan dan hubungannya sotropk. Ketka nela regangan geser nol, tegangan gesernya nol. Pada fluda konds dam hanya terdapat komponen normal dar tegangan pada permukaan dan tegangan tensor merupakan sotropk. Beberapa tensor sotropk past sembang terhadap delta Kronecker, yang mana dnyatakan sebaga: 1 0 0 0 1 0. 0 0 1 Tegangan pada fluda stats memlk bentuk persamaan: p (A.11)
60 dmana p merupakan tekanan termodnamka dtanda smbol negatf karena tekanan postf dnyatakan sebaga kompres dan tegangan postf dnyatakan sebaga tensl. Ketka fluda bergerak, suatu tambahan komponen tegangan non- sotropk, berkembang karena vskostas fluda. Hal tersebut merupakan tegangan geser, dsebut penympangan tegangan tensor., secara sederhana dapat dtambahkan pada persamaan (A.11) yang bertujuan untuk melput batas tegangan karena gerak fluda: p. (A.1) Penympangan tegangan tensor,, berhubungan dengan graden kecepatan u / x, sepert yang dsebutkan sebelumnya. Graden kecepatan dapat dpsahkan ke j dalam bagan smetrs dan ant smetrs: u 1 u u j 1 u u j. (A.13) x j x j x x j x Bagan ant smetrs menunjukkan rotas fluda dan tdak dapat menghaslkan tegangan. Tegangan hanya dhaslkan oleh nla regangan tensor e 1 u xj u x j. (A.14) Jka kta asumskan hubungan lner antara dan e maka dapat dtulskan: K e (A.15) mn mn
61 dmana K mn merupakan orde keempat tensor yang memlk 81 komponen. Hal n dapat dtunjukkan bahwa semua tensor sotropk dar tap orde ddapat dar yang dtunjukkan bahwa K mn memlk bentuk: Kmn mn m jn n jm (A.16) dmana,, adalah scalar yang bergantung pada konds termodnamka lokal. Karena merupakan smetrs, n dbutuhkan dar persamaan (A.15) bahwa Kmn smetrs d dan j yang dtunjukkan oleh persamaan (A.16) bahwa = yang berart bahwa hanya dua scalar tertnggal dar awalnya 81 karena sotrop dan smetr. Substtus dar (A.16) ke dalam (A.15) dperoleh e e (A.17) mm dmana e mm =. u dan tegangan tensor seluruhnya (A.5) menjad p e e. (A.18) mm Dengan mengatur tanda = j ddapatkan 3 p ( 3 ). u (A.19)
6 dan p menjad 1 p. u 3 3 (A.0) Akan tetap, mungkn tdak sama pada alran sehngga dnyatakan tekanan rata-rata sebaga 1 p 3 (A.1) Substtus persaman (A.0) ke dalam (A.1) maka ddapatkan p p. u 3 (A.) Untuk fluda nkompresbel e mm =. u = 0 dan persamaan penyusun (A.19) menjad p e (A.3) dmana p berart tekanan rata-rata. Untuk fluda nkompresble tekanan termodnamka dapat dnyatakan. Perbedaan antara p dan p terkat pada besarnya koefsen vskostas, / 3. Asums yang serng dpaka 0 dtemukan akurat dan (A.19) untuk fluda kompresbel menjad p. u e. (A.4) 3
63 f. Persamaan Naver-Stokes Persamaan Naver-Stokes dperoleh dengan memasukkan tegangan tensor (A.4) ke dalam persamaan momentum (A.10): Du p G e. u Dt x x 3 j (A.5) Jka konstan persamaannya menjad Du p 1 G u. u Dt x 3 x (A.6) Untuk nkompresbltas vektor menjad. u = 0 dan persamaan jauh berkurang. Dtuls dalam notas Du p G u Dt (A.7)