BAB III FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Paa bagian ini kita slalu mmprtimbangkan fungsi lmntr yang iplajari alam kalkulus an mnfinisikan hubungannya ngan fungsi ari suatu variabl komplks. Khususnya, kita finisikan fungsi analitik ari suatu variabl komplks untuk mruksi kalam fungsi kalkulus = x + i0. Kita mulai mnfinisikan fungsi ksponn komplks an kita gunakan untuk pngmbangan slanjutnya. 3. FUNGSI EKSPONENSIAL Jika suatu fungsi f ari suatu variabl komplks = x + iy aalah iruksi kalam kluarga fungsi ksponnsial alam kalkulus imana aalah ral, kita harus mngingat kmbali bahwa () f(x+i0) = x untuk stiap bilangan ral x. Karna ( x ) = x untuk stiap bilangan ral x, juga asalnya fungsi trsbut mmnuhi konisi brikut: () f aalah trifrnsialkan imana-mana (ntir) an f () = f() untuk stiap. Prhatikan kmbali contoh paa bagian 8, fungsi f() = x (cosy + isiny), Dimana y ihitung alam raian, fungsi trsbut trifrnsialkan imana-mana an f () = f(). Juga konisi () an () jlas ipnuhi fungsi ini. Fungsi ini apat itunjukkan bahwa mmnuhi konisi () an () (lihat soal nomor 5); an kita tulis f() =. Kaang-kaang, untuk mmuahkan kita gunakan notasi xp untuk. Fungsi ksponnsial ari analisis komplks aalah ifinisikan untuk smua ngan prsamaan (3) = x (cos y + i sin y) imana = x + iy. Fungsi ini iruksi ari fungsi ksponnsial alam kalkulus ngan y = 0 aalah ntir an, (4), 8
aalah juga ntir alam biang. Dalam kalkulus, nilai n akar pangkat n ari aalah positif, mikian juga x imana x = /n ( n =, 3, ). Slanjutnya, nilai fungsi ksponnsial komplks sama ngan n asalkan = /n ( n =, 3, ). Jika bagian imajinr murni i, maka ari prsamaan (3) i = cos + i sin. Rumus ini isbut rumus Eulr yang tlah ijlaskan paa BAB I bagian 5. Pnfinisian i yang ibrikan igunakan paa prsamaan (3) an scara umum apat ituliskan sbagai brikut (5) = x iy. Prsamaan (5) apat itulis mnjai (6) Bilangan = x i, imana = x an y. aalah positif untuk smua x, an ari prsamaan (6), moulus aalah x an y mrupakan suatu argumn ari., yakni (7) x an arg( ) = y + n (n = 0,,, 3, ) Sbagai catatan, slalu positif, (8) 0 untuk smua bilangan komplks. Prsamaan (5) untuk apat igunakan untuk mnurunkan sifat fungsi ksponnsial komplks brikut. (9) (xp )( xp ) = xp ( + ). Untuk mmbuktikan sifat ini, tulis = x + iy an = x + iy. Maka x iy x iy x x iy iy (xp )( xp ) =. Karna x an x kuanya bilangan ral, an ari bab bagian 6, maka (xp )( xp ) = x x i y y ; an juga iy iy i y y, 83
(x + x ) + i(y + y ) = (x + iy ) + (x + iy ) = +. Ini brarti sifat paa prsamaan (9) tlah itunjukkan. Dari sifat (9) apat iturunkan pula sifat xp( ) xp = xp, atau xp xp (0) xp Dari (0) iprolh 0 = an aalah = -. Sifat-sifat yang lain ari fungsi ksponnsial () (xp ) n = xp(n) (n = 0,,, ), an () i i = untuk smua Prsamaan () mmpunyai arti bahwa fungsi aalah fungsi prioik ngan prioik i. Contoh. Carilah smua nilai yang mmnuhi (3) = -. Prsamaan (3) apat itulis mnjai x iy = i. Maka ari bagian 5, bahwa ua bilangan komplks aalah sama alam bntuk ksponnsial, jika x = an y = + n (n = 0,,, ). Jai, x = 0, an iprolh (4) = (n + )i, (n = 0,,, ). LATIHAN. Tunjukan bahwa i 4 (a). xp( 3i) = - ; (b). xp i. Paa saat kapan fungsi 3 + - ntir? 3. Buktikan bahwa fungsi xp tiak analitik imana-mana. ; (c). xp(+i) = -xp() 4. Tunjukkan alam ua cara bahwa fungsi xp( ) aalah ntir, Tntukan pula turunannya. 84
5. Tulis xp i an xpi an bntuk x an y. Tunjukkan pula bahwa xp x xy i xpi 6. Tunjukkan bahwa xp xp. 7. Buktikan bahwa xp < jika an hanya jika R > 0. 8. Carilah smua nialai smikian shingga (a). = -; (b). = + 3 i; (c). xp(-) =. 9. Tunjukkan bahwa xpi xpi jika an hanya jika = n, (n = 0,,, ). 0. (a). Tunjukan bahwa jika ral, maka Im() = n (n = 0,,, ) (b). Jika imajinr murni, maka tntukan batasan nilai paa.. Tntukan nilai ari xp(x+iy), jika (a) x mnuju -, (b) y mnuju.. Tulis R alam bntuk x an y. Bagaimana fungsi ini agar harmonik paa stiap omain yang tiak mmuat titik asal? 3. Misalkan fungsi f() = u(x,y) + iv(x,y) analitik paa suatu omain D. Paa saat kapan fungsi U(x,y) = u(x,y) cos v(x,y), V(x,y) = u(x,y) sin v(x,y) Harmonik i D an bagaimana harmonik konjugat V(x,y) ari U(x,y)? 4. Buktikan ksamaan 4. FUNGSI TRIGONOMETRI (xp ) n = xp(n) (n = 0,,, ) Dari rumus Eulr paa bagian 5, tlah iktahui bahwa ix = cos x + isin x, -ix = cos x - isin x untuk stiap bilangan ral x, an ari prsamaan ini iprolh ix - -ix = isin x, ix + -ix -ix = cos x. 85
Dfinisi i atas yang mnasari pnfinisian fungsi kosinus an sinus ari suatu variabl komplks, yakni: i i () sin, cos i Fungsi ini aalah ntir karna mrka aalah kombinasi linir (latihan 3, bagian ) ari i an -i. Dari turunan fungsi ksponnsial, turunan ari () aalah () sin cos, cos sin. Dari finisi () muah untuk itunjukkan bahwa : (3) sin (-) = -sin an cos (-) = cos. Contoh. Tunjukkan bahwa (4) sin cos = sin ( + ) + sin ( - ) Dngan mnggunakan finisi (), iprolh bahwa i i sin cos = i i i i i = i i i i i = sin ( + ) + sin ( - ). Sifat-sifat yang lain ari fungsi trigonomtri aalah sbagai brikut: (5) sin ( + ) = sin cos + cos sin (6) cos ( + ) = cos cos - sin sin (7) sin + cos = (8) sin = sin cos, cos = cos sin (9) sin =cos, sin =-cos Jika y suatu bilangan ral, maka ari finisi () an finisi fungsi hiprbolik i y y sinh y, alam kalkulus, iprolh hubungan cosh y y 86
(0) sin(iy) = i sinh y, an cos(iy) = cosh y. Dari prsamaan (0) iprolh bagian ral an bagian imajinr ari fungsi sin an cos, ngan mmisalkan = x an = iy, an prsamaan (5) an (6), iprolh () sin = sin x cosh y + i cos x sinh y () cos = cos x cosh y - i sin x sinh y, imana = x + iy. Suatu sifat yang paling pnting ari sin an cos yang iturunkan ari prsamaan () an () aalah fungsi prioik masing-masing, yakni : (3) sin (+) = sin, sin ( + ) = - sin (4) cos (+) = cos, cos ( + ) = - cos Juga (lihat latihan 7) (5) (6) sin = sin x + sinh y, cos = cos x + cosh y. Prsamaan (5) an (6) mmbrikan gambaran bahwa sin an cos tiak trbatas alam nilai mutlak, walaupun nilai mutlak ari sin x an cos x kurang ari atau sama ngan satu. Pmbuat nol ari fungsi f() aalah suatu bilangan 0 smikian shingga f( 0 ) = 0. Jika sin mrupakan fungsi sinus alam kalkulus imana aalah bilangan ral, maka sin = 0 jika = n, (n = 0,,, ). Dmikian juga jika sin = 0, maka ari (5), iprolh sin x + sinh y = 0 jai, sin x = 0 an sinh y = 0. Ini brarti x = n (n = 0,,, ) an y = 0. Dari sini iprolh suatu sifat, bahwa (7) sin = 0 jika an hanya jika = n (n = 0,,, ). Karna ari prsamaan (9), -sin = cos, maka (8) cos = 0 jika an hanya jika = + n (n = 0,,, ) 87
Jai, alam hal ini pmbuat nol ari sin an cos aalah bilangan ral. Empat fungsi trigonomtri lain yang iturunkan ari fungsi sinus an cosinus aalah sbagai brikut : (9) sin tan, cos sc, cos cos cot sin csc sin Fungsi tan an sc aalah fungsi analitik imana-mana kcuali ititik singularitasnya (bagian 0), yaitu = (/) + n (n = 0,,, ), an ini mrupakan pmbuat nol ari fungsi cos. Dmikian juga fungsi cot an csc mmpunyai titik singularitas i pmbuat nol sin, yakni = n (n = 0,,, ). Slanjutnya, ngan mnfrnsialkan bahagian kanan ari prsamaan (9), iprolh rumus ifrnsial sbagai brikut : (0) tan sc, sc sc tan, cot csc csc csc cot Untuk mnyliiki sifat prioik ari fungsi trigonomtri (9) apat isliiki ari prsamaan (3) an (4). Sbagai contoh, () tan( + ) = tan. LATIHAN. (a). Uraikan scara rinci prsamaan () alam bagian 4 untuk mnntukan (b). turunan sin an cos. Misalkan fungsi f() aalah analitik alam omain D. Paa saat kapan fungsi sin f() an cos f() analitik alam omain D. Juga ngan mnuliskan w = f(), maka tunjukkan bahwa w sin w cos w, an cos w sin w w 88
. Tunjukkan bahwa i = cos + i sin untuk stiap bilangan komplks. 3. Tunjukkan bahwa stiap rumus trigonomtri paa prsamaan (7), (8), an (9) bagian 4 iturunkan ari prsamaan (5) an (6) bagian 4. 4. Gunakan sifat paa prsamaan (7) bagian 4 untuk mnunjukkan (a). + tan = sc (b). + cot = csc 5. Turunkan rumus iffrnsial paa prsamaan (0) bagian 4. 6. Dalam bagian 4, gunakan prsamaan () an () untuk mnurukan prsamaan (5) an (6) ari sin an cos. 7. Tunjukkan ktaksamaan brikut ini ngan mnggunakan prsamaan (5) an (6) ari sin an cos, (a). sin sin x (b). cos cos x (c). sinh y sin cosh y (c). sinh y cos cosh y 8. a. Gunakan finisi () alam bagian 4 ari sin an cos untuk mnunjukkan sin ( + ) sin ( - ) = cos -cos b. Dngan mnggunakan bagian a, tunjukkan bahwa, jika cos = cos maka paling sikit salah satu ari bilangan - an + mrupkan klipatan ari. 9. Tunjukkan bahwa fungsi sin an cos tiak analitik imana-mana untuk. 0. Gunakan sifat rflksi bagian untuk mnunjukkan bahwa, untuk smua a. sin sin b. cos cos. Dngan mnggunakan prsamaan () an () bagian 4, tunjukkan scara langsung soal nomor 0.. Tunjukkan bahwa (a). i cosi (b). i sini cos untuk smua sin jika an hanya jika = ni (n = 0,,, ) 89
3. Carilah smua nilai yang mmnuhi ari prsamaan sin = cosh4 ngan mnyamakan bagian ral an bagian imajinr sin an cosh4. 4. Carilah smua nilai yang mmnuhi prsamaan cos =. 5. FUNGSI HIPERBOLIK Fungsi sinus hiprbolik an cosinus hiprbolik ari variabl komplks ifinisikan mlalui pnfisian mrka paa variabl ral, yakni, () sinh =, cosh = Karna an - aalah ntir, maka ari prsamaan () sinh an cosh aalah ntir. Lbih ari itu, () sinh cosh, cosh sinh. Karna () ifinisikan mlalui fungsi ksponnsial an finisi bagian 4 sin = i i i, cos = ari sin an cos, maka fungsi sinus hiprbolik an cosinus hiprbolik mmpunyai hubungan ngan fungsi sinus an cosinus, yakni: (3) -i sinh (i) = sin, cosh (i) = cos (4) -i sin (i) = sinh, cos (i) = cosh Disamping sifat-sifat i atas, fungsi sinus hiprbolik an cosinus hiprbolik mmpunyai sifat sbagai brikut : (5) sinh (-) = -sinh, cosh (-) = cosh (6) cosh sinh = (7) sinh ( + ) = sinh cosh + cosh sinh (8) cosh ( + ) = cosh cosh + sinh sinh (9) sinh = sinh x cos y + icosh x sin y (0) cosh = cosh x cos y + isinh x sin y i i. 90
() () sinh cosh = sinh x + sin y = sinh x + cos y imana = x + iy. Untuk mmbuktikan sifat-sifat i atas apat ilakukan ngan mnggunakan finisi () an sifat-sifat lain yang tlah ibuktikan. Sbagai contoh akan ibuktikan prsamaan (), an slain itu ijaikan sbagai latihan. Contoh. Buktikan bahwa sinh = sinh x + sin y, ngan = x + iy. Dari prsamaan (4) sinh sini, yakni (3) sinh sin y ix, imana = x + iy. Ttapi ari prsamaan (5) bagian 4, iktahui bahwa sin x iy sin x sinh y y ix sin y sinh x, akibatnya sin = sinh x + sin y, ini brarti prsamaan () tlah ibuktikan. Dari sifat prioik sin an cos, an hubungannya ngan prsamaan (4), maka fungsi sinh an cosh aalah fungsi prioik ngan prio i. Prsamaan (4) mmbrikan hasil bahwa (4) sinh = 0 jika an hanya jika = ni (n = 0,,, ) an (5) cosh = 0 jika an hanya jika = n i (n = 0,,, ). (6) Tangn hiprbolik ari ifinisikan ngan prsamaan sinh tanh cosh an analitik istiap omain asalkan cosh 0. Sangkan fungsi cot h, sc h, an csc h ifisikan sbagai brikut : cosh coth sinh sch cosh csch. sinh 9
Slanjutnya, turunan ari fungsi tanh, coth, sch, an csch iprolh ari sifat-sifat turunan sprti paa fungsi hiprbolik yang brnilai ral, an iprolh : (7) tanh sch, coth csch (8) sch sch tanh, csch csch coth LATIHAN. Buktikan turunan ari sinh an cosh paa prsamaan () bagian 5.. Buktikan bahwa sinh = sinh cosh ngan mnggunakan : a. finisi (), bagian 5, ari sinh an cosh. b. ari sifat sin = sin cos 3. Tunjukkan bahwa prsamaan (6) an (8) bagian 5 iturunkan ari prsamaan (7) an (6) bagian 4. 4. Tulis sinh = sinh(x + iy) an cosh = cosh(x+iy), tunjukkan prsamaan (9) an (0) bagian 5 ngan mnggunakan prsamaan (7) an (8) bagian 5. 5. Turunkan prsamaan () bagian 5 untuk cosh 6. Tunjukkan bahwa sinh x cosh cosh x ngan mnggunakan (a) prsamaan () bagian 5; (b) prsamaan alam latihan 8b bagian 4. 7. Tunjukkan bahwa (a). sinh( + i) = -sinh (b). cosh( + i) = -cosh (c). tanh ( + i) = tanh. 8. Tunjukkan scara lngkap pmbuat nol ari fungsi sinh an cosh yang inyatakan alam prsamaan (4) an (5) bagian 5. 9. Gunakan hasil paa soal nomor 8 untuk mnuntukan pmbuat nol an titik singularitas ari fungsi tangn hiprbolik. 0. Turunkan rumus iffrnsial prsamaan (7) bagian 5.. Gunakan prinsip rflksi bagian untuk mnunjukkan bahwa, untuk stiap, (a). sinh sinh (b). cosh cosh 9
. Gunakan hasil paa soal nomor untuk mnunjukkan bahwa tanh tanh ititik-titik cosh 0. 3. Kapan fungsi sinh( ) ntir? Tulis bagian ral mlalui fungsi ari x an y, an kaaan bagaimana fungsi trsbut harus harmonik imana-mana. 4. Carilah smua nilai yang mmnuhi prsamaan (a). cos = (b). sinh = i (c). cosh = -. 6. FUNGSI LOGARITMA DAN CABANG-CABANGNYA Salah satu motivasi untuk mnfinisikan fungsi logaritma aalah mncari pnylsaian ari prsamaan () w = untuk w, imana aalah suatu bilangan komplks tak nol. Dari sini, kita tulis r an w = u + iv, shingga prsamaan () mnjai u iv i r. Maka ari ksamaan ari ua bilangan komplks alam ksponnsial, iprolh u = r an v +n, imana n suatu bilangan bulat. Karna prsamaan u = r mngakibatkan u = ln r, an prsamaan () ipnuhi jika an hanya jika w mmpunyai satu ari nilai w = ln r + i ( + n) (n = 0,,, ). Jai, jika kita tulis () log = ln r + i ( + n) (n = 0,,, ), kita mmpunyai hubungan srhana (3) log =. Prsamaan () mmbrikan arti bahwa fungsi logaritma ari variabl komplks =r i tak nol mrupakan fungsi brnilai banyak. i 93
Jika bilangan komplks tak nol, ngan bntuk ksponnsial =r i, maka mmpunyai satu nilai ari nilai = + n (n = 0,,, ), imana = Arg. Prsmaan () apat itulis mnjai (4) log = ln r + i, Jai, (5) log = ln + i arg ( 0). Prlu itkankan bahwa tiak slalu bnar bahwa bagian kiri ari prsamaan (3) ngan urutan kbalikan ari fungsi logaritma an ksponnsial aalah sama ngan. Hal ini isbabkan olh karna log ( ) mmpunyai sjumlah tak hingga nilai untuk stiap yang ibrikan. Tpatnya, alam bagian 3, x an arg ( ) = y + n (n = 0,,, ) imana = x + iy, an ari prsamaan (5) iprolh log ( ) = ln + i arg = x + i(y + n), atau (6) log ( ) = + i arg (n = 0,,, ) Nilai utama ari log aalah nilai yang trmuat alam prsamaan () imana n = 0 an inyatakan ngan Log. Jai (7) Log = ln r + i, atau (8) Log = ln + i Arg ( 0). Sbagai catatan, log = Log + in (n = 0,,, ). Fungsi Log aalah jlas trfinisi ngan baik an mmpunyai nilai tunggal paa saat 0. Hal ini iturunkan ari logaitma asli alam kalkulus imana aalah bilangan positif = r. Dari sini, pnulisan = r i0 aalah tunggal, alam prsamaan (7) Log = ln r an akibatnya Log r = ln r. Contoh. Dari prsamaan (), iprolh 94
log = ni (n = 0,,, ) an log (-) = (n + )i (n = 0,,, ). Khususnya, Log = 0 an Log (-) = i. Jika kita mmisalkan smbarang bilangan ral an nilai paa prsamaan (4) ibatasi paa intrval < < +, maka fungsi (9) log = ln r + i (r>0, < < + ), ngan komponn-komponnnnya (0) u(r,) = ln r an v(r,) =, aalah brnilai tunggal an kontinu alam omain yang ibrikan (lihat gambar 5). Sbagai catatan, jika fungsi paa prsamaan (9) kita finisikan paa sinar =, maka fungsi trsbut tiak kontinu isana. Jika titik paa sinar, maka trapat titik-titik smbarang yang kat k yang mmbrikan nilai ari v kat ngan an juga titiktitik smikian shingga v kat ngan +. y 0 x Gambar 5 Fungsi (9) tiak hanya kontinu ttapi juga analitik alam omain r > 0, < < + imana turunan parsial or prtama ari u an v aalah kontinu an mmnuhi bntuk polar prsaamaan C-R ari bagian 9. u v, r u r r v r 95
Juga ari bagian 9, Jai, i log r r i u r ivr i0 i () log 0, arg Khususnya, () Log 0, Arg Suatu cabang ari fungsi brnilai banyak f aalah nilai tunggal F yang analitik alam suatu omain i stiap titik yang mmbrikan satu nilai F() ari nilai-nilai f(). Dari sifat kanalitikannya, jlas bahwa kita apat mmilih scara acak ari nilai f. Untuk stiap nilai ttap, fungsi brnilai tunggal paa prsamaan (9) aalah suatu cabang ari fungsi brnilai banyak prsamaan (4). Fungsi (3) Log = ln r + i 0, aalah isbut cabang utama. Suatu potongan cabang aalah bagian ari garis atau kurva yang tlah ijlaskan paa pnahuluan pnfisian suatu cabang F ari fungsi brnilai banyak f. Titik paa potongan cabang untuk F aalah titik singular (bagian 0) ari F, an stiap titik aalah irisan ari smua potongan cabang ari f an isbut titik cabang. Titik asal an sinar = ibuat ari potongan cabang untuk cabang (9) ari fungsi logaritma. Potongan cabang untuk cabang utama (3) triri ari titik asal an sinar =. Titik asal mrupakan titik cabang ari fungsi logaritma yang brnilai banyak. 7. SIFAT-SIFAT FUNGSI LOGARITMA Hubungan prsamaan (3) an (6) alam bagian 6, smua sifat logaritma ari bilangan ral positif i bawah kalam sifat analisis komplks, ngan sikit moifikasi. Dalam bagian ini akan iturunkan bbrapa sifat.. ;. 96
Jika an mnyatakan ua bilangan komplks tak nol, maka jlas apat itunjukkan bahwa () log ( ) = log + log. Prnyataan ini, iartikan sama ngan fungsi brnilai banyak paa prnyataan () arg ( ) = arg + arg yang tlah ijlaskan paa bagian 6. Jai, jika ua nilai ari tiga logaritma ittapkan, maka trapat suatu nilai ari logaritma kmpat smikian shingga prnyataan () bnar. Untuk mnunjukkan prsamaan () apat igunakan prsamaan () sbagai asar pmbuktian. Karna an nilai moulus aalah smua bilangan ral positif, srta ari finisi logaritma alam kalkulus bahwa ln ln ln juga ari prsamaan (), iprolh bahwa (3) ln iarg ln iarg ln i arg. Prsamaan (3) mnunjukkan bahwa prsamaan () tlah ibuktikan. Dngan cara yang srupa apat pula itunjukkan bahwa (4) log = log - log Contoh. Ilustrikan prsaman () ngan nilai = = -. Jika nilai log = i an log = -i aalah itntukan, maka prsamaan () aalah jlas ipnuhi jika nilai log ( ) = 0 aalah ipilih. Juga apat isliiki jika nilai = = -, bahwa Log ( ) = 0 Log + Log = i. Jai prnyataan paa prsamaan () tiak slalu bnar jika log iganti ngan Log. Dmikian pula untuk prsamaan (4). Jika suatu bilangan komplks tak nol, maka (5) n = nlog (n = 0,,, ) 97
untuk stiap nilai ari log itntukan. Jika n =, maka tlah ijlaskan paa prsamaan (3) bagian 8. an prsamaan (5) jlas ipnuhi. Jika kita mnuliskan = r i paa prsamaan (5) maka kua ruas akan iprolh r n in. Juga bnar bahwa, jika 0, maka (6) n xp log, (n =,, ) n Bntuk paa bagian kanan prsamaan (6) mmbrikan n nilai yang brba, an nilainilainya aalah mrupakan nilai ari akar pangkat n ari. Untuk mmbuktikan ini, tulis = r xp (i ), imana aalah nilai utama ari arg. Maka ari prsamaan () bagian (6), untuk log, iprolh i k xp log xp ln r, k = = 0,,,. Jai, n n n n k (7) xp log r xpi, (k = 0,,, ). n n n Karna xp(ik/n) mmpunyai nilai yang brba jika k = 0,,,, n-, bagian kanan prsamaan (7) hanya mmpunyai n nilai. Jai bagian kanan prsamaan (7) mrupakan akar pangkat n ari (bagian 7), an juga apat itulis mnunjukan prsamaan (6) jika bilangan bulat ngatif ijaikan sbagai latihan. LATIHAN. Tunjukkan bahwa (a). Log i i (b). Log i ln i. Tunjukkan bahwa, jika n = 0,,,, maka: (a). log = + ni (b). log i = 3. Tunjukkan bahwa (a) Log(+i) = Log(+i) n i 4 n. Untuk 3 (c). log 3i ln n i (b). Log (- + i) Log(- + i). 98
4. Tunjukkan bahwa (a). log (i ) = log i jika log = ln r + i 9 r 0, ; 4 4 (b). log (i 3 ) log i jika log = ln r + i r 0, 4 4 5. Tunjukkan bahwa (a). Himpunan ari nilai log i aalah n i (0,,, ) an 4 log i = logi. (b). Himpunan nilai ari log (i ) tiak sama ngan himpunan ari log i. 6. Dibrikan cabang log = ln r + i (r>0, < < + ) ari fungsi logaritma aalah analitik istiap titik paa omain yang ibrikan. Carilah turunannya ngan mnifrnsialkan kua sisi ari prsamaan xp(log) = bagian 6 an aturan rantai. 7. Carilah smua nilai yang mmnuhi prsamaan log = (/)i. 8. Misalkan bahwa titik trltak alam strip (biang) < y< +. Tunjukkan bahwa jika cabang log = ln r + i (r>0, < y< + ) ari fungsi logaritma, maka log ( ) =. 9. Tunjukkan bahwa, jika R >0 an R >0, maka Log ( ) = Log + Log 0. Tunjukkan bahwa untuk stiap bilangan komplks tak nol an Log ( ) = Log + Log + Ni, imana N mmpunyai satu nilai ari 0,.. Turunkan prsamaan (4) bagian 7, untuk log ( / ) (a). ngan mnggunakan knyataan bahwa arg ( / ) = arg arg (b). prtama tunjukkan bahwa log (/) = - log (0), slanjutnya log (/) an -log mmpunyai himpunan nilai yang sama, an trakhir gunakan prsmaan () bagian 7 untuk log ( ).. Dngan mmilih nilai-nilai tak nol ari an, tunjukkan bahwa prsamaan (4) alam bagian 7 untuk log ( / ) tiak slalu bnar jika log iganti ngan Log. 99
3. Tunjukkan bahwa (a). fungsi Log (-i) aalah analitik imana-mana kcuali paa y = (x0); (b). fungsi Log 4 i aalah analitik imana-mana kcuali ititik-titik i an paa x -4 untuk sumbu ral. 4. Tunjukkan alam ua cara bahwa fungsi ln (x + y ) aalah harmonik alam stiap omain yang tiak mmuat titik asal. 5. Tunjukkan bahwa R log ln x y (). Apakah fungsi ini mmnuhi prsamaan Laplac jika? 8. EKSPONEN KOMPLEKS Jika 0 an ksponn c aalah suatu bilangan komplks, maka fungsi c ifinisikan ngan prsamaan () c = c log imana log mnyatakan fungsi logaritma brnilai banyak. Prsamaan () mrupakan finisi ari c an ini tlah ijlaskan alam bagian 7 ktika c = n (n = 0,,, ) an c = (n = 0,,, ). Jai pnfinisian c brasarkan paa pmilihan c n sprti i atas. Contoh. Pangkat ari scara umum brnilai banyak, sbagai ilustrasi apat ituliskan i i xp i logi xp i n i xp4n imana n = 0,,,. Sbagai catatan ari sifat fungsi ksponnsial aalah, mikian juga ua himpunan ari bilangan kita apat mnuliskan an c c aalah sama. Juga 00
() an khususnya, c c i = xp 4n i (n = 0,,, ). Jika = r i an suatu bilangan ral, cabang log = ln r + i (r>0, < < + ) ari fungsi logaritma aalah fungsi brnilai tunggal an analitik alam omain yang ibrikan. Jika cabang i atas igunakan, maka fungsi c = xp (c log ) aalah fungsi brnilai tunggal an analitik alam omain yang sama. Turunan ari suatu cabang ari c aa an iprolh c xp log c xpc log xpc log c c xp c log xp log bntuk trakhir ari pnurunan i atas aalah fungsi brnilai tunggal c c-, jika ifinisikan paa omain r>0, < < +. Jai (3) c c c c 0, α arg α π. Nilai utama ari c iprolh jika log iganti ngan Log alam finisi (): (4) c = c Log Prsamaan (4) juga mnfinisikan cabang utama ari fungsi c 0, Arg π. Contoh. Nilai utama ari (-i) i aalah xp ilog i xp i i xp. 3 Contoh 3. Cabang utama ari apat itulis 3 xp Log xp ln r i r xpi. 3 3 3 3 paa omain 0
Aalah analitik alam omain langsung ngan mnggunakan torma alam bagian 9. r 0, π. Juga apat itunjukkan scara Dari finisi (), fungsi ksponnsial ngan basis c, imana c aalah konstanta komplks tak nol, apat itulis (5) c = logc. Jika nilai ari log aalah spsifik, c aalah fungsi ntir ari. Knyataannya, an ini mnunjukkan bahwa (6) c c logc c log c log c logc ; 9. INVERS DARI FUNGSI TRIGONOMETRI DAN HIPERBOLIK logaritma. Invrs ari fungsi trigonomtri an hiprbolik apat ijlaskan alam bntuk Untuk mnfinisikan fungsi invrs ari sinus sin -, kita tulis w = sin - imana = sin w. Jai w = sin -, jika iw iw. i Prsamaan ini kita rubah alam bntuk prsaman kuarat iw, yakni: ( iw ) i ( iw ) = 0. Pnylsaian iw apat ilihat paa latihan 8(a) bagian 7. Dan iprolh () iw imana i, aalah fungsi yang mmpunyai ua nilai ari. Jika kua ruas paa prsamaan () ilogaritmakan an iktahui bahwa w = sin -, maka iprolh. () sin i log i 0
Contoh brikut mngilustrasikan bahwa sin - aalah fungsi brnilai banyak ngan sjumlah tak brhingga nilai untuk stiap titik. Contoh. Dari prsamaan () iktahui bahwa Ttapi an Karna maka bilangan, sin log log ln i log i. ln ni ln n i ln ln, n ln ni mrupakan himpunan nilai ari log. Jai sin ln n i n (n = 0,,, ) (n = 0,,, ) (n = 0,,, ) i (n = 0,,, ). Dngan tknik sprti yang igunakan paa prsamaan () untuk sin -, apat itunjukkan bahwa (3) cos i log i an juga (4) tan i log i i Fungsi cos - an tan - aalah juga brnilai banyak. Jika kita amati cabang ari akar kuarat an fungsi logaritma yang igunakan, maka smua tiga fungsi invrs i atas brasal ari fungsi brnilai tunggal an analitik sbab mrka aalah komposisi ari fungsi analitik. 03
Turunan ari ktiga fungsi i atas apat ilihat paa prsamaan i bawah ini. Turunannya trgantung paa ua nilai yang ipilih untuk akar kuarat: (5) (6) sin cos, Turunan ari yang trakhir aalah tiak aa, bagaimanapun, trgantung paa cara bagaiamana mmbuat fungsi trsbut brnilai tunggal. Invrs ari fungsi hiprbolik apat iprolh ngan cara yang srupa ngan invrs fungsi trigonomtri, an iprolh (8) sinh log, (9) cosh log an (0) tanh log. strusnya. LATIHAN Trakhir, notasi lain untuk fungsi invrs aalah arc sin, arc cos, an. Tunjukkan bahwa jika n = 0,,,, maka i i i xp n xp ln 4 n i a., b.. Carilah nilai utama ari a. i i, b. 3i 3i ; c. i 4i 3. Dngan mnggunakan finisi () bagian 8 ari c tunjukkan bahwa 04
3 3i 4. Tunjukkan bahwa hasil alam soal nomor 3 apat itulis alam bntuk: 3 a. 3i 3i 3 an yang icari prtama aalah akar kuarat ari 3i 3 b. 3i 3i 3 an yang icari prtama aalah pangkat tiga ari 3i 5. Tunjukkan bahwa nilai utama akar k-n ari bilangan komplks tak nol o yang ifinisikan paa bagian 7 aalah sama ngan nilai utama ari ifinisikan alam bagian 8. n 0 yang a a 6. Tunjukkan bahwa jika 0 an a suatu bilangan ral, maka xp aln. 7. Misalkan c = a + bi suatu bilangan komplks, imana c 0,,, an iktahui i c aalah fungsi brnilai banyak. Bagaimana cara mmbatasi konstanta c agar supaya nilai ari c i aalah smua sama? 8. Misalkan c,, an aalah bilangan-bilangan komplks, imana 0. Buktikan bahwa jika smua pangkatnya aalah nilai utama, maka (a). c c (b). ( c ) n = cn (n =,, ) (c). c = c+ (). 9. Asumsikan bahwa f () aa, carilah rumus turunan untuk 0. Carilah smua nilai ari : f c (a). tan - (i) (b). tan - (+i) (c). cosh - (-) (). tanh - 0.. Slsaikan prsamaan sin = untuk, a. Dngan mnyamakan bagian ral an imajinr kua bagian. b. Gunakan prsamaan () bagian 9, untuk sin -. c c 05
. Slsaikan prsamaan cos = untuk. 3. Turunkan rumus (5) bagian 9 untuk turunan ari sin -. 4. Turunkan rumus (4) bagian 9 untuk tan - 5. Turunkan rumus (7) bagian 9 untuk turunan ari tan - 6. Turunkan rumus (9) bagian 9 untuk cosh - 06