BAB 3 PERSAMAAN DIFFERENSIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA SUATU ASET TURUNAN

Transkripsi

1 BAB 3 PERSAMAAN DIFFERENSIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA SUATU ASET TURUNAN Pmbahasan harga opsi idak dapa dilpaskan dari pmbahasan nang skurias lain yang brhubungan dngan haga opsi. Shingga prlu dibahas masalah skurias yang brhubungan dngan harga opsi. 3.. Harga Saham Saham mrupakan suau bnuk as finansial yang nilainya brubah-ubah mngikui harga pasar pada suau saa ssuai dngan banyaknya pnawaran prminaan pada saa rsbu. Shingga pada jangka waku rnu harga saham dapa mngalami knaikan maupun pnurunan aau bahkan dapa pula idak mngalami prubahan harga. Jadi prubahan harga saham dipngaruhi olh prubahan waku dipngaruhi pula olh pubah-pubah pngganggu yang brupa pubah acak mngikui grak Brown. Prubahan harga saham rsbu dapa dimodlkan sbagai briku: ds () = S ()( μd + σdw ()) aau dapa diulis dimana : ds () = μs () d + σs () dw () (3.) S() : harga saham μ : harapan ingka pndapaan invsor (xpcd rurn), yang σ d nilainya rganung pada rsiko pndapaan dari saham : volailias dari harga saham : priod waku dw () : pubah acak dngan drif ra 0 varianc ra, dimana W() pross sokasik yang mngikui grak Brown (Hull 003). Dngan dmikian, prubahan harga saham idak scara langsung dipngaruhi olh W(), api olh dw(). briku: Slanjunya dari (3.) dapa dicari harga saham S() dngan cara sbagai

2 8 Misalkan y(, S) = ln S() aau S () = y y y y = 0, =, = S S S S Mnuru lmma ˆ Io y y y y dy (, S ) = + μs + σs d σsdw () + S S S y y y d ( μsd σsdw ( )) σ S d = S S = ( μsd + σsdw ( )) σ S d S S = μd + σdw ( ) σ d = ( μ σ ) d + σdw ( ) aau dapa dinyaakan dy () = ( μ σ ) d + σdw (). (3.) Prsamaan difrnsial (3.) mmpunyai solusi y () y (0) = μ σ ds + σdw s 0 0 y y W = ( 0) + μ σ + σ dimana y (0) mrupakan nilai awal dari y(). Aau dapa dinyaakan S = S μ σ + σw () (0)xp () dimana S (0) mrupakan harga awal dari suau saham. (3.3) Prsamaan (3.3) mnunjukkan bahwa harga saham mngikui pross grak Brown Gomris. Dngan mnginga sifa ksponnsial, dapa disimpulkan bahwa harga saham idak akan brnilai ngaif, brdisribusi lognormal. Shingga unuk T = + μ σ + σ ln S ln S(0) W = + μ σ + σ ln ST ln S(0) T W( T) Slanjunya diprolh

3 9 aau = μ σ + σ ln ST ln S ( T ) ( W( T) W) ST = μ σ + σ (3.4) S () ln ( T ) ( W ( T ) W ). Dngan mnggunakan prosdur risk-nural valuaion yang mnggunakan asumsi bahwa xpcd rurn dari undrlying ass sama dngan risk-fr inrs ra ( μ = r ), maka prsamaan (3.4) mnjadi ST = σ + σ (3.5) S () ln ( r )( T ) ( W ( T ) W ) ST = S r σ T + σ W T W ()xp ( ()). (3.6) ST Slanjunya diprolh kspkasi varians dari ln sbagai briku: S () ST ln ( ) S () = σ + σ = r σ ( T ) E E r T W T W S T var ln = var r σ ( T ) + σ ( W ( T ) W ) S ( T ) (3.7) = (3.8) σ. 3.. Harga Obligasi Obligasi mrupakan suau as anpa rsiko yang brsifa drminisik, dngan ingka suku bunga brnilai konsan. Shingga prubahan harga obligasi dirumuskan sbagai briku: adalah Misalnya B () adalah harga obligasi pada waku, maka prubahannya db () = rb () d (3.9) dimana solusi dari prsamaan difrnsial rsbu adalah B () = B(0) r dngan r adalah ingka suku bunga konsan, B (0) harga awal dari obligasi.

4 Nilai As Turunan As finansial dari suau prsroan mrupakan as dalam bnuk saham aau obligasi. Shingga nilai as finansial dipngaruhi olh saham ( S ()) obligasi ( B) (). Jika dimisalkan nilai as finansial adalah f ( S,, B ), maka dapa diulis dimana f S, (), B () = φ() S () + ψ() B () (3.0) f ( S,, B ) adalah nilai as finansial φ () adalah banyak uni saham ψ () adalah banyak uni obligasi. Karna nilai as finansial dipngaruhi olh harga saham obligasi, maka f ( S,, B ) mrupakan nilai dari suau as urunan (drivaiv ass) pada waku. Dimana prubahan nilainya brganung pada prubahan harga as finansial lain, yaiu harga saham obligasi. Shingga prubahan nilai as finansial akan mmnuhi df, S (), B () = φ() ds () + ψ() db () (3.) Dngan mnsubsiusi (3.) (3.9) k prsamaan (3.) diprolh [ ] df, S (), B () = φ() μs () d + σs () dw () + ψ() rb () d = μφ( S ) + ψ ( rb ) d+ σφ( SdW ). (3.) Prsamaan (3.) mrupakan rflksi pross prubahan nilai as urunan yang disbabkan prubahan harga saham harga obligasi Prsamaan Difrnsial unuk Pnnuan Harga Suau As Turunan Unuk mndapakan prsamaan difrnsial unuk pnnuan harga as urunan, dapa dilakukan dngan mmisalkan f ( S, ), T mrupakan harga as urunan pada waku. Dari prsamaan (3.) brlaku lmma diprolh (, ) (, ) (, ) S f S S df (, S ( )) = + σ S ( ) + μs ( ) d S S (, S ) + σsdw. S () Ioˆ, shingga (3.3)

5 Padahal dari prsamaan (3.) df, S (), B () = μφ() S () + ψ () rb () d + φ() σs () dw (). (3.4) Dngan mnyamakan prsamaan (3.3) (3.4) dapa dipilih φ() = diprolh ( S, ) S () (, ) (, ) (, ) S f S S μφ ψ σ μ S S () S () + () rb () = + S() + S (). Slanjuya subsiusi prsaman (3.5) k prsamaan (3.6) diprolh ψ (, ) (, ) S f S () rb() = + σ S (). S Slanjunya dngan mmisalkan (, ) (,, ) (3.5) (3.6) (3.7) f S = f S B = f, subsiusi prsamaan (3.5) k prsamaan (3.0) diprolh ψ () B() = f S(). S () Dngan mnsubsiusi prsamaan (3.8) k prsamaan (3.7) diprolh (3.8) aau r f S = + S S() S() f () σ () f () σ () rf rs = + S S() S() f + σ S () + rs() rf = 0. (3.9) S S Prsamaan (3.9) mrupakan Prsamaan difrnsial unuk pnnuan harga suau as urunan, yang diknal dngan Prsamaan Difrnsial Black- Schols-Mron (BSM) (Sampfli & Goodman 00). Prsamaan difrnsial BSM mmpunyai solusi yang brlaku unuk smua as urunan, brganung pada syara baas yang digunakan olh masing-masing jnis as urunan (Hull 003). Slanjunya unuk mnylsaikan prsamaan difrnsial (3.9) dilakukan dngan mlakukan ransformasi k prsamaan panas (Shiryav 997).

6 Dfinisikan θ = θ = σ (, S) ( T ) σ Z = Z (, S) = ln S() + ( r )( T ) (3.0) V V Z f S rt = ( θ, ) = (, ). (3.) Shingga diprolh = σ, = 0 S() Z σ = r, Z =. S() S() Dari prsamaan (3.) diprolh sra (, ) = f S V S = rv + dv rv d Z rv Z = + = + + σ = rv r σ Z θ (3.) = S Z Z S S S Z = + = (3.3)

7 3 f S S S = = S S Z S S Z Z S S S Z S Z S S = + = + Z S Z Z S Z S S. S Z Z = + = S Z Z S S Z = (3.4) Slanjunya dngan mnsubsiusikan prsamaan (3.), (3.3), (3.4) k dalam prsamaan (3.9) diprolh σ rv r S Z S Z Z + rs rf = 0 S Z σ + σ rt V V V V V V σ rv r + σ + σ σ + r rf Z Z Z Z Z = 0 rt V V rv σ + σ rf Z = 0 V V rv σ + σ Z = rf rt rt V V rv + σ + σ rf. Z = (3.5) Dari prsamaan (3.) diprolh rv = rf. Shingga (3.5) mmbri hasil rt V V σ + σ = 0. Z

8 4 Dngan dmikian σ + σ = 0 Z + = 0 Z = 0. Z Prsamaan (3.6) mrupakan prsamaan panas unuk V ( θ, Z ). (3.6) Dari lampiran D diprolh pnylsaian dari prsamaan panas (3.6) yaiu ( y Z ) θ V ( θ, Z ) = h( y) dy (3.7) πθ dimana h( y) = V (0, y) mrupakan syara baas prsamaan Prsn Valu Nilai Harapan Slisih Harga Ekskusi dngan Harga Saham Unuk mnghiung prsn valu nilai harapan slisih harga kskusi (srik pric) dngan harga saham dapa dilakukan dngan mnghiung nilai as urunan f (). Slanjunya jika ingka suku bunga as anpa rsiko (obligasi) idak brnilai nol ( r 0), maka mnuru Baxr (Baxr & Rnni, 996) unuk mnghiung nilai as urunan f () dilakukan dngan mmprhiungkan pross diskono rhadap harga obligasi. Shingga diprolh rt ( ) f () = B () E B ( T ) f ( T ) = r E f T ( ) r ( T ) = E f T (3.8) Prsamaan (3.8) mnyaakan bahwa nilai as urunan f (), mrupakan prsn valu nilai harapan harga as urunan pada saa yang akan daang, sbu T ( T > ). Pada opsi, harga as urunan pada waku T, yaiu f ( T ) mrupakan slisih harga kskusi dngan harga saham pada saa T. Dngan dmikian harga opsi f (), mrupakan prsn valu nilai harapan slisih harga kskusi dngan harga saham pada saa jauh mpo T.