Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus S., Matematika untuk Perguruan Tinggi, Ghalia- Indonesia, Jakarta, 1995. []. Suryadi H.S., Pengantar ljabar Linier dan Geometri nalitik, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1991. [3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of Linear lgebra, McGraw-Hill, 1968.
VEKTOR 1. Definisi Vektor. Notasi 3. Operasi pada Vektor 4. Interpretasi Vektor Secara Geometris 5. Komponen Vektor 6. Dalil pada Operasi Vektor 7. Vektor Satuan 8. Panjang Vektor 9. Perkalian Vektor 3 Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor: perpindahan, kecepatan dan percepatan. B Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu. 4
Vektor Penyajian Vektor Geometri: Tanda Panah B Notasi: P atau P 5 Penjumlahan Vektor R=+B 6
Penjumlahan Vektor Cara Poligon B R=+B R B 7 Penjumlahan Vektor Cara Jajaran Genjang R=+B B B θ R 8
Dua buah vektor dikatakan sama bila memiliki besaran (panjang) dan arah yang sama. Vektor - adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor, tetapi berlawanan arah, dan bila dijumlahkan akan menghasilkan vektor 0. + (-) = 0-9 SelisihVektor R = B R = + (-B) -B R B 10
Perkalian Vektor dengan Skalar Perkalian vektor dengan skalar m menghasilkan vektor m. 11 Interpretasi Vektor Secara Geometris x 6 5 4 U U = [3 ] U =. [3 ] = [6 4] 3 1 U -U = -1. [3 ] = [-3 -] -4-3 - -1 1 3 4 5 6 x 1 -U - 1
Interpretasi Vektor Secara Geometris 5 4 3 1 x V W U 1 3 4 5 U = [3 ] V = [ 3] W = U + V = [3 ] + [ 3] = [5 5] T = U V =.? x 1 13 Komponen Vektor Y y θ x X Komponen Vektor : vektor x dan vektor y Komponen-komponen sebuah vektor selalu saling tegaklurus. Komponen skalarnya: x = cos θ y = sin θ 14
Komponen Vektor (lanjutan) da cara menyatakan vektor 1. = x + y Y y. + = x y θ = tan 1 y x θ x X 15 Komponen Vektor (lanjutan) Y y rah komponen vektor tergantung pada arah sumbu-sumbu yang digunakan sebagai acuan. θ x X = x + y atau = x + y 16
Komponen Vektor (lanjutan) Dua buah vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki komponen yang sama. u [u 1 u u 3 ] = v [v 1 v v 3 ], jika u 1 = v 1, u = v, u 3 = v 3. Contoh: 1. u =[1 3] dan v =[ 3 1], u v.. Misalkan [ x-y x+y z-1] = [4 3]. Kedua vektor tersebut memenuhi kesamaan bila nilai x = 3, y = -1, z = 4. 17 D. L. Crispina ardede (Oktober 011) Penjumlahan Vektor Berdasarkan Komponennya C = + B C = C x + C y C x = x + B x dan = tan C 1 ( y ) θ C x 18
Penjumlahan Vektor Misalkan vektor U = [3 ] dan V = [ 3] U x = 3 dan U y = V x = dan V y = 3 Jika W = U + V, maka W dapat dicari dengan cara W x = U x + V x = 3 + = 5 W y = U y + V y = + 3 = 5 Vektor W = [W x W y ] = [5 5]. Contoh 19 0 Dalil Pada Operasi Vektor Untuk setiap vektor = [a 1, a,, a n ], B = [b 1, b,, b n ], C = [c 1, c,, c n ] R n dan besaran skalar k, m R (R: himpunan bilangan riil), berlaku 1. + B = B + komutatif. + (B + C)= ( + B) + C asosiatif 3. k ( + B) = k + k B distributif 4. + 0 = 5. + - = 0 6. (k+m ) = k + m 7. (km ) = k(m) = m(k) 8. 1 =
R 1 Vektor Satuan Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah vektor satuan mempunyai magnitudo/ ukuran/panjang yang besarnya sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem koordinat R (R 3 ) dinyatakan dengan i dan j (i, j dan k) yang saling tegaklurus. y y j i = i + x y x j z R 3 k B = B i + B j + x j i y B B k z x Panjang Vektor Besar dan arah vektor diukur langsung. Misalkan, Vektor di R dinyatakan sebagai = x i + y j Panjang Vektor dihitung dengan cara: Misalkan, Vektor B di R 3 dinyatakan sebagai B = B x i + B y j + B z k, Panjang Vektor B dihitung dengan cara: B = = ( x) + ( ) y ( B x) + ( By) + ( B ) z
Perkalian Titik Misalkan dan B vektor di dalam R n. Hasil kali titik dari dan B adalah.b = 1 B 1 + B +...+ n B n. dimana = [ 1... n ], B = [B B 1... B n ]. Dua vektor dan B dikatakan tegak lurus satu sama lain, jika.b = 0. Contoh: Diketahui u = [1-3 -4], v = [6 7 1 -], w = [5-4 5 7]. u.v = 1.6 + (-).7 + 3.1 + (-4).(-) = 3 u.w =...... v.w =...... Vektor... dan... saling tegak lurus. 3 Perkalian Titik (Lanjutan) Sifat perkalian titik (dot product) dalam R n. Teorema Untuk sembarang vektor u, v, w R n dan sembarang skalar k R berlaku 1. (u + v). w = u.w + v.w. (ku). v = k (u.v) 3. u.v = v.u. 4. u.u 0 dan u.u = 0 jika dan hanya jika u = 0. 4
Perkalian Titik Latihan 1. Jika u = [ -7 1], v = [-3 0 4], dan w = [0 5-8], tentukan a). 3u 4v b). u 3v 5w.. Tentukan x dan y jika [4 y] = x[ 3]. 3. Tentukan x, y, z jika [ 3 4] = x[1 1 1] + y[1 1 0] + z[1 0 0] 4. Dari soal no. 1, tentukan a). u. v b). u.w 3. u.(v+w) 5 Panjang Vektor di R n Panjang vektor u = [u 1 u u n ] dinyatakan dengan u u = u. u = u + 1 + u +... u n Contoh: u = [1-3] u = 1 + ( ) + 3 3 = 1+ 4 + 9 = 14 6
Jarak pada R n Misalkan dua vektor pada R n, u = [u 1 u u n ] dan v = [v 1 v v n ]. Jarak (distance) antara u dan v adalah d( u, v) = (u 1 v1) + (u v) +... + (u n vn ) Contoh: u = [1-4], v = [3 1-5] d( u, v) = = () = 94 (1 3) + (- 1) + ( 3) + (9) + (4 ( 5)) 7 Panjang Vektor dan Jarak pada R n Latihan 1. Tentukan panjang vektor u jika diketahui a). u = [ -7] b). u = [3-1 4]. Tentukan k sedemikian hingga u = 39 dimana u = [1 k - 5]. 3. Hitung jarak antara vektor u dan v, jika a). u = [1 7], v = [6-5] b). u = [3-5 4], v = [6-1] 4. Tentukan harga k sedemikian hingga d(u,v) = 6 dimana u = [ k 1-4], v = [3-1 6-3] 8
RUNG VEKTOR 1. Field. Ruang Vektor di atas Suatu Field 3. Ruang Vektor Bagian 4. Ketergantungan Linier 5. Kombinasi Linier 6. Dimensi dan Basis 9 Field Misalkan K sebuah himpunan. Pada K didefinisikan (dua) operasi yang disebut penjumlahan (+) dan perkalian (. ). K merupakan field bila aksioma-aksioma berikut dipenuhi: 1. K tertutup terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (. ). Operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada K 3. Terdapat identitas penjumlahan yang juga merupakan anggota K 4. Setiap anggota K memiliki invers penjumlahan yang juga anggota K 5. Operasi penjumlahan bersifat komutatif pada K 6. Operasi perkalian bersifat asosiatif pada K 7. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan 8. Operasi perkalian bersifat komutatif pada K 9. Terdapat identitas perkalian yang juga merupakan anggota K 10. Setiap anggota K memiliki invers perkalian yang juga merupakan anggota K 30
Field (K, +,. ) adalah Field, jika α, β, γ K dipenuhi: 1. α + β K dan α. β K (tertutup). (α + β) + γ = α + (β + γ) (asosiatif) 3. 0 K α+0 = 0+α = α (0 identitas penjumlahan) 4. α K -α α K α+-α = -α+α = 0 (-α invers penjumlahan dari α) ) 5. α + β = β + α (komutatif) 6. (α.β).γ = α.(β.γ) (asosiatif) 7. α.(β + γ) = α.β + α.γ ; (β + γ).α = β.α + β.γ (distributif) 8. α. β = β. α (komutatif) 9. 1 K α.1 = 1.α = α (1 identitas perkalian) 10. α 0 K α -1 K α.α -1 = α -1.α = 1 (α -1 invers perkalian dari α) 31 Ruang Vektor di tas Suatu Field Misalkan (K, +,. ) adalah Field dan V himpunan tidak kosong dimana, jika u, v V, u + v V dan u V, k K berlaku ku V. Himpunan V disebut Ruang Vektor jika berlaku: 1. u, v, w V, (u + v) + w = u + (v + w). u V, 0 V u+0 = u (0: vektor nol) 3. u V, -u V u+-u = 0 4. u, v V, u + v = v + u M1. k K, u, v V, k(u + v) = ku + kv M. k, l K, u V, (k + l) u = ku + lu M3. k, l K, u V, (k l) u = k (l u) 3 M4. u V, 1 K 1.u = u
Ruang Vektor Contoh 1. Himpunan semua n-tuple dari elemen-elemen field K, dimana penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai (a 1, a,, a n ) + (b 1, b,, b n ) = (a 1 +b 1, a + b,, a n + b n ) k (a 1, a,, a n ) = (ka 1, ka,, ka n ) dimana a i, b i K, adalah ruang vektor atas field K.. Misalkan V himpunan semua matriks (mxn) dimana setiap sel berisi anggota K. V merupakan ruang vektor atas K dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian skalar. 33 Ruang Vektor Latihan 1. Tunjukkan bahwa untuk sembarang skalar k dan sembarang vektor U dan V, berlaku k (U V) = ku kv. Diketahui himpunan pasangan terurut dari bilangan riil V = {(a, b) a, b R}. Tunjukkan bahwa V bukan ruang vektor atas R di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada V yang didefinisikan sebagai (a, b) + (c, d) = ((a + c), (b+d)) dan k(a,b) = (ka, b) 34
Ruang Vektor Latihan 3. Diketahui himpunan pasangan terurut dari bilangan riil V = {(a, b) a, b R}. Tunjukkan bahwa V bukan ruang vektor atas R di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada V yang didefinisikan sebagai a). (a, b) + (c, d) = (a, b) dan k(a,b) = (ka, kb) b). (a, b) + (c, d) = ((a+c), (b+d)) dan k(a,b) = (k a, k b) 35 Ruang Vektor Bagian Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor atas field K. W disebut Ruang Vektor Bagian dari V, jika W adalah ruang vektor atas field K, dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar pada V. Contoh: V = ruang vektor dari semua matriks (mxn) W = himpunan semua matriks (a) dimana a = a. W merupakan ruang vektor bagian dari V. 36
Ketergantungan Linier Misalkan V ruang vektor atas field K. Vektor-vektor v 1, v,, v m V dikatakan Bergantung Linier, jika terdapat λ 1, λ,, λ m K yang tidak semua nol, sedemikian hingga λ 1 v 1 + λ v + + λ m v m = 0 Jika λ 1 = λ = = λ m = 0, maka v 1, v,, v m dikatakan Bebas Linier. 37 Ketergantungan Linier Contoh 1. Vektor u = [1 1 0], v = [1 3-1], w = [5 3 -] bergantung linier, karena 3u + v w = 0.. Tunjukkan bahwa vektor-vektor berikut bebas linier. u = [6 3 4], v = [0 5-3 1], w = [0 0 7 -]. 38
Ketergantungan Linier Latihan 1. Selidiki apakah vektor-vektor u dan v berikut bebas linier atau bergantung linier. a). u = [3 4], v = [1-3] b). u = [ -3], v = [6-9] c). u = [4 3 -], v = [ -6 7] d). u = [-4 6 -], v = [ -3 1]. Selidiki apakah matriks-matriks berikut bebas linier. a). b). 1 = 1 1 = 3 1 1, B = 1 0 3, B = 1 0 1 1, C = 1 0 0-1 1-5, C = - 4 0 39 Ketergantungan Linier Latihan 3. Misalkan V ruang vektor dari polinomial berderajat 3 atas R. (R: himpunan bilangan riil) selidiki apakah u = t 3-3t + 5t + 1 v = t 3 - t + 8t + w = t 3-4t + 9t + 5 bebas linier. 40
Kombinasi Linier Misalkan V sebuah ruang vektor atas field K dan v 1, v,, v m V. Sembarang vektor dalam V yang berbentuk λ 1 v 1 + λ v + + λ m v m disebut Kombinasi Linier dari vektor-vektor v 1, v,, v m. Dengan kata lain, Vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor v 1, v,, v m bila terdapat skalar-skalar λ 1, λ,, λ m sedemikian hingga v = λ 1 v 1 + λ v + + λ m v m 41 Kombinasi Linier Contoh 1. Vektor e 1 = [1 0 0], e = [0 1 0], e 3 = [0 0 1], membangkitkan ruang vektor R 3. [a b c ] R 3, [a b c ] = a [1 0 0] + b [0 1 0] + c [0 0 1] = a e 1 + b e + c e 3. [a b c ] R 3 merupakan kombinasi linier dari e i. Selidiki apakah vektor v = [3 9-4 4] merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor u = [1-0 3] v = [ 3 0 1] w = [ -1 1] 4
Kombinasi Linier Latihan 1. Nyatakan vektor v = [1-5] sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor u 1 = [1 1 1], u = [1 3], u 3 = [ -1 1]. Nyatakan vektor w = [ -5 3] sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor e 1 = [1-3 ], e = [ -4-1], e 3 = [1-5 7]. 3. Hitung k sedemikian hingga vektor t = [1 - k] merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor v = [3 0 -], w = [ -1-5] 3 1 4. Nyatakan matriks P = sebagai kombinasi linier dari 1 1 matriks-matriks 1 = 1 1, 0 B = 0 1 0, 1 C = 0 0 1 43 Dimensi dan Basis Dimensi Suatu ruang vektor V dikatakan Berdimensi n, jika dapat ditemukan sebuah himpunan n vektor anggota V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n + 1) vektor anggota V selalu bergantung linier. Dengan kata lain, dalam ruang vektor berdimensi n, jumlah maksimum vektor anggota V yang bebas linier adalah n. Basis Setiap himpunan n buah vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor berdimensi n disebut Basis dari ruang vektor 44
Dimensi dan Basis Contoh 1. Misalkan ruang vektor V dibentuk oleh vektor-vektor p = [1-3 1] dan q = [ -4 5 ]. Kedua vektor tersebut tidak berkelipatan, berarti keduanya bebas linier. Dengan demikian, dimensi ruang vektor yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut adalah.. Vektor e 1 = [1 0 0], e = [0 1 0], e 3 = [0 0 1], merupakan basis dari ruang vektor R 3. λ 1 [1 0 0] + λ [0 1 0] + λ 3 [0 0 1] = [0 0 0] λ 1 + λ + λ 3 = 0 λ + λ 3 = 0 λ 1 = λ = λ 3 = 0 λ 3 = 0 Jelas bahwa e 1, e, e 3 bebas linier, dan merupakan basis R 3. 45 Dimensi dan Basis Latihan 1. Selidiki apakah vektor -vektor e 1 = [1 0 0], e = [1 1 0], dan e 3 = [1 1 1], merupakan basis dari ruang vektor R 3.. Selidiki apakah vektor -vektor u = [1 1 ], v = [1 5], dan w = [5 3 4], merupakan basis dari ruang vektor R 3. 3. Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh a). a = [1 1 ], b = [1 5], c = [5 3 4]. b). a = [1 ], b = [ 4 4], c = [1 0 1]. c). a = [1 0 1], b = [3 0 3], c = [ 0 ]. 46